专题03选填题解法——特殊法-高考数学选择填空必备解题技巧

1、高中数学选填题解法一一特殊法张云芳邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。当题目给定条件是抽象或者是动点，但结论是唯一的，这个时候可以考虑特殊化。1、设等比数列an的前n项和为Sn,则下列等式中一定成立的是()A、Sn+S2n=S3nB、S22n=SnS3nC、S22n=Sn+S2n-S3nD、S2n +S22n=Sn(S2n+S3n)【答案】D【解析】本题是2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学第7题，题中给的等比数列an为抽象的，结合下面四个选项，可以让抽象数列特殊化，假设为 1,2,4,

2、8,16, 然后再令n=1,则A选项即为&+S2=S3,显然1+3*7,排除；则B选项即为S2JS1S3,显然9 1-7,排除；则C选项即为S22=Si+S2-S3, 9W1+3-7,排除；则答案为D。不放心可以验证 下，发现n=1时候成立。2、已知定义在R上的奇函数f(x)单调递增，且g(x)=|f(x)|,则不等式g(x)-g(2x-6)c0的解集为()A、 (2,6)B、 (-6,-2)C、 (-00, 2) U (6, +00) D、 (-8, -6) U (-2, +00)【答案】C【解析】本题是2019年第一次全国大联考【新课标出卷】理科数学第 4题，题中给的两个函 数都为

3、抽象函数，根据题中给的f (x)条件，可以令f (x) =x,满足了奇函数同时在 R上为 单调递增。则g (x) =|x|,则求解不等式即为|x|-|2x-6|<0,通过移项平方整理得 x2-8x+12>0,即答案为C选项。另外，整理到|x|-|2x-6|<0,也可以采取代入法排除，观察四个选项，取x=5，不成立，排除A与D;取x=0可以，排除B选项，答案是C选项。1c 一3、在4ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c ,若zABC的面积为c2 ,则 411=()t a nA t a BA. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】D【解析】本题是2019年第一次全国大

4、联考【新课标田卷】文科数学第9题，由于题中 ABC没有明确是什么三角形，根据给的条件，可将 ABCt殊化，设为等腰直角三角形贝J S=1 ab=1 a2,而 2a2=c2,即 S=1a2=1c2,满足题中条件，所以/ A=/ B=45 , +1=2,2224A tanB所以答案选D。4、在.'ABC中，AB=3, AC =2, D为BC的中点，则立,阮=()A、B、-5 C、5 D、522【答案】B8题，题中 ABC【解析】本体是福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检文科数学第没有给定形状，而下面四个选项是定值，可设为直角三角形，通过建系,3 一.3一.3(-3,2 )易知 D

5、 _,1,则 = _,1, 一&T =-3,2 则一句7 .一京T= -,1' 2/AD' 2/ BCADBC'=-5即B选项。2,则不等式的解集为=5、设定义域为R的函数f(x)满足【答案】(1,二)【解析】本题是黄山市2019届文科数学第16题,根据题中条件把抽象函数具体化，令f(x)=-1 ,fr(x) f(x)满足，代入不等式ex-1f(x)<f(2x-1)则ex-1(-1) < (-1)求解得：(1,+00)。6、若 G为 ABC的重心，一飞-* =m-"Abt +n"Act ,则 m+n= )A、1 B、1C、1 D、

6、2233【答案】D【解析】本题是黄山市2019第一次检测2019届文科数学试题第7题，题中 ABC没有给定什么类型，下面四个选项是定值，可以把 ABC特殊化为等腰直角三角形，通过建系，2易知重心G坐标为(1,1 ) , T5t = (1,1),qt = (0,3) , -"Act = (3,0),则(1,1 )=m (0,3) +n (3,0) = (3n, 3m ,即 3n=1, n=-;3m=1 m=-,所以 m+n=2 3337、数歹I区;满足U=2，%+42n则+.,. + 一 .() al a2 a2019191020A. B. C. D.【答案】D【解析】本题是福建省厦门

7、市2019届高三年级第一学期期末质检文科数学第10题，可以把题111一=一=-an a1 2目更改成 + + + 工=，由于这里把题中 ,看成工，所以下面四个选项逐一更改 aa2a3an320an为 A、2(n 1) ; B、=;C、一n一 ；D、工，然后令 n=1,贝+' +1+ nn 2(n 1) n 1a 32 a3而n=1时，选项A=0不满足，排除；选项B=0不满足，排除；选项C=不满足，排除；选项4D=l,满足，所以本题答案为 D。28、若Sn是等差数列 Q 的前n项和，且32 +39+319 = 6 , M &9 =。【答案】38【解析】本题是漳州市2019届高三毕

8、业班第一次教学质量检查测试文科数学第14题，可把数列GJ特殊化为常数列t,即an=t,则t+t+t=3t=6,则t=2,所以S19 =19t=38。9、在AW：中，曲比，若屈=2, AC=b则助二(2- 1r1- 2广1- 2r2. 1 .t + -匕t+.匕-a-b-a-bA.B.C.D.【答案】A【解析】本题是合肥市2019年高三第二次教学质量检测数学试题文科第 4题，可以把 ABC 特殊化为直角三角形，通过建系，A 012 E 3前1沅易知 B (a,0) ,C(0,b),设 D (m,n),因为，所以(m-a, n) =- (-a,b),得 m=- a,3326+ 1gn=-b,所以疝

9、=3" 3即为a选项。3 10、在平面四边形ABCD中，3ACD面积是AABC面积的2倍，数列网J满足力=3,且CA = a+ 3)CB + a-2)CD,则对二()A. 31 B. 33 C. 63 D. 65【答案】B【解析】本题是福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检理科数学第 12题，根据题中 条件，可以对平面四边形特殊化，依据后面的 AACD面积是AABC面积的2倍，知道不可特殊化 为平行四边形、矩形、正方形之类的，那就特殊化为直角梯形，然后通过建系，易得知 A (0,1 )、B (0, 0)、C (1,0)、D (2,2),则 一"3AT = (-1,2

10、 )、 C 二（-1,0 ）、- Cdt =（1,2）,代入题中 c-4 = &+i 3）ch 十水d,整理得（-1,2）= （3-an+i+an-2, 2an-4）,由于题中数列 同不为常数列，所以3-an Jaan-2 二整理得an+i2an +1=0,可把 2an-42所求的出看成an,则相应四个选项改成A、2n-1； B、2n+1; C、2n+1-1; D、2n+1+1。然后令n=1, 看四个选项哪个满足力工3,逐一验证，A、2-1=1,不满足，排除；B、2+1=3,满足，保留；C、 22-1=3,满足，保留；D、22+1=5,不满足，排除。再根据 an+1-2an +1=0求

11、得a=5;再令n=2 分别代入B与C选项，22+1=5,满足；而C23-1=7,不满足，排除。所以答案为 Bo11、执行如图所示的程序框图，若输出的结果为J1应-1 ,则判断框内可填入的条件是（）（好）1=1:* :s = oA. i >100? B. i >100? C. i >101?D. i >102?【答案】B【解析】本题是2019年第一次全国大联考【新课标R卷】文科数学第6题，题中输出结果为而2一1,可以改成 赤-1,则下面四个选项相应改成 A> i>n-2,B、i>n-2, C、i>n-1, D、i>n。令n=2,则输出结果为、

12、”-1,则相应四个选项分别改成 A、 i>0,B、i>0, C、i>1, D、i>2。第一次循环后发现输出结果就是为 6-1,所以排除C与D,这 两个选项还要再继续循环。再令 n=3,则输出结果为<3 -1,剩下两个选项分别改成 A、i>1, B、i>1,第一次循环输出结果为.、万-1,如果是A选项就满足，而此时输出结果不是想要的， 所以还要再循环，所以答案为 Bo.， C Tl Tl . a P12、已知5Pw,一且->0,则下列结论正确的是（）4 4 cos - cos-A、B 、a<P C 、依 |<|P| D 、依四加【答案】

13、A【解析】本题是2018-2019学年度第一学期高三期末调研考试数学试题 (文科)，令a =0,P=-,4则一-上<0,不满足一>0,所以排除B与C；令口 =-,曰二0,则9-LCOS： COS Jicos： cos Ji4s : cos.：s<0,不满足 上方一上 >0,所以排除D。答案选AoCOS : cos ：13、已知函数f(x)的定义域为(0,收)，且3f(x)+xf'(x)>0恒成立,其中f'(x)是f(x)的导函 数，若(m-2020)3 f(m-2020) a f (1),则实数m的取值范围是()A. (2019,2020)B. (

14、2019,2021)C. (2019,收)D. (2021,收)【答案】D【解析】本题是2019年第一次全国大联考【新课标R卷】文科数学第12题，由于f (x)是抽象函数，根据题中给的条件，可以令 f(x)=1(0, 口)，满足3f (x) + xf'(x)>0,则(m-2020)3 f (m-2020) a f(1)即为(m-2020) 3>1,解得 m>2021,所以本题答案为 D。14a>b,则()A. ln(a-b)>0 B, 3a<3bC. a3- b3>0D. |a | > b |【答案】C【解析】本题是2019年普通高等学校

15、招生全国统一考试卷理科数学II第6题，令a=-1, b=-2,则 ln(a-b)= ln1=0,不满足 ln(a-b)>0；则 3a=1 , 3b=1 ,显然1 >-,不满足 3a<3b; |-1|< |2|, 3939不满足|a | > b I,所以答案为Co15知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1，则a3=()A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C【解析】本题是2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学田第 6题，根据等比数列an 各项均为正数，可以列举数列1,2,4,8,16这个特殊数列，发现其满足a5=3a3+4a

16、1,易知a3=4, 所以答案为Co16 知 a, b 为单位向量，且 a b=0,c = 2a-V5b,则 cos<a,c*.【答案】2 3【解析】本题是2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学田第13题，根据条件可设向量 a= (1,0),向量 b= (0,1),由 c =2a-5bb ,求得向量 c= (2, J5),则 cos<a,c>= 2 0317图，在AABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA, AD与CE交于点O .若AB AC =6AO EC ,贝 1 AC 的值是【解析】本题是2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)第 12题。观察

17、图中，易知AB>AC。可以把AABCI殊化为rtMBC (以C为直角顶点，AB为斜边直角三角形)，通过一、r一 I,.一，、一 、，2 一一2t '可设A (0,3) , B (2t, 0) , D (t, 0),根据BE=2EA,由向量公式可以计算出 E坐标，E ' ,2 ,<3 )分别求出直线AD与直线CE方程。直线AD方程为：y3,3一x+3 ,直线CE方程为：y= . x。AB AC =6AO EC 得,tt联立两个方程求出点o坐标，oTi，根据条件-3 *2一3)=6：一3； 2t2 2AB =，AC2 +BC2 = v'9 +4t2 =3j3 ,

18、所以也=%! = J3 0AC 3另解：把ABC特殊化为RTMBC (以a为直角顶点，BC为斜边直角三角形)，通过建立直角ft 3可设B (0,3),卞g据BE=2EA, E (0,1),设C (t,0)则D -,3 I,分别求出直线AD与直线<2 2；CE方程。直线AD方程为：y = 3x,直线CE方程为：y =x+1。联立两个方程求出点 O tt坐标，0注,3 ,因为AB XAC ,所以一kbt k = 0,根据条件AB AC = 6AO EC得，4 40 = 6l'l,3- I!.(t,-1),由向量公式计算得t=V3 ,所以幽= 2 = 73。4 4AC 318、数f (

19、x >sin (©x +-)(8>0),已知f (x)在0,2冗有且仅有5个零点，下述四个结论: 5f (x )在(0,2n)有且仅有3个极大值点f (x依(0,2元)有且仅有2个极小值点HTf (x施(0-)单调递增10_ 12 29办的取值范围是上,29)5 10其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【答案】D【解析】本题是2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学田卷第12题。条件里给的函数f (X)是抽象的，可以特殊化，结合f (X )在0,2n有且仅有5个零点，令0 =2.5 ,则Il 冗)一，一f (X尸sin 2.5x + -,回出早图, 5（0.

20、377.1）由于在10,2冗,2冗=6.28,从图中看显然在b,2上有五个零点。从图中易知在(0,)单10、e 斗 ncc/， / a I、 3 1r(nV调递增(一生0.314),所以正确。接下来对f x =sin 2.5x +一 |求导得10k5 J从图中可知f(x)在0.377、2.89、5.404取得极大值；而在1.634、4.147、6.28取得极小值，12 29一，一所以正确，错误。这样答案自然为D。而0=2.5刚好符合中5 10)0答案为D。本题12 29，也可以观察中o范围5 10),令切=2.4。在取w特殊值，带有一定探索性，先令 w=1,画出草图发现在0,2"只有

21、两个零点；再令0=2,画出草图发现在【0,2"】只有四个零点；再令 0=3,画出草图发现在0,2.有六个零点，这样仍取值就在2,3】。19、若a Ab >0,且ab = 1 ,则下列不等式成立的是 ()A、1 b .a a ： log2 a b b 2B、b.1三：二log2ab： a-2bC、a +<log2 (a+b )<”D、【答案】B【解析】本题是2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第7题，可采取1 一 1b1特殊法，根据题中条件令 a=2, b=-，则 a + =4 ； = - ; log 2(a + b)= 10g ?2.5，易知 1

22、 < log 22.52 b2a 8< log2 16 = 4 ,所以易知本题答案为Bo20、已知e,e2是互相垂直的单位向量，若 代。-e2与e+)，©的夹角为60)则实数人的值【答案】招3【解析】本题是2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第12题，根据题中条件令e1=(0,1);e=(1,0),则岳-e2=(-1,<13);e十 九金=(九，1),则列等式 cos600-1, 3 ,1.3二2所，整理得21、已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)=xf(x).若 a =g(log25.1), b=g(2°.8) , c =

23、 g(3),则a, b, c的大小关系为()A、a <b <cB、c<b<aC、b <a <cD、b <c< a【答案】C【解析】本题是2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第 6题，把f(x)特殊化为f(x)=x,则g(x)=x2,为偶函数，在x>0单调递增，易知2=log24<log25.1<log28=3; 20<20.8<21,所以 b<a<c,本题答案为 C22、函数f (x)在(,收)单调递减，且为奇函数.若f=1 ,则满足-1 < f(x2)£1的x的

24、 取值范围是()A. -2,2B. -1,1C. 0,4D. 1,3【答案】D【解析】本题是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷第 5题，结合条件可令 f(x)=-x ,则-10- (x-2) <1,解得 1<x<3,即答案为 Do本题亦可以采取代入法，观察四个选项，令 x=0,则-1&f (-2)0 1得成立，因为为奇函数，由f(1) = 1 知 f(-1)=1，所以-1 0f (-2)01 即为 f(1) &f (-2)&f (-2)成立，再结合 f(x)在(但,依)单 调递减，易知f(1) &f(-2)&f (-2)

25、不成立，即-1&f (-2)0 1不满足。所以排除包含0选项A、B 与C选项。本题答案为D。23、已知向量a, b满足a =1, b =2,贝"a+ba b的最小值是,最大值是.【答案】4, 2 5【解析】本题是2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学第 15题，可令向量 b= (2,0),设向量 a= (sin 8 , cos0 ),则 |a +b| +|a-b = (Sin 8 +2, cos0)田(sin8 -2, cos 0 ) |=V5+4sin9 + 5-4sin9=t,则 t2=10+2V25-16sin02 ,易知"伯20，因为 t>

26、;0,所以 te 4,2"51所以最小值为4,最大值为2而。24、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边BC,直角边AB, AC. BBC的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I, II, III的概率分 别t己为P1, P2, P3,则()A. Pi=P2【答案】AB. Pi=P3C. P2=P3D. P1=P2+P3【解析】本题是2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷第 10题，题中没有给定 边长，可以特殊化为 AC=3, AB=4,

27、BC=5。则Saabc=6,以AB为直径的半圆面积S2=2几，以AC为直径的半圆面积S3=9n ,以BC为直径的半圆面积8S4=25n 。pi二25 c二 68P2=P3=25二 6一至二825825 A二-6_8_025 八二 686= pi,这样P3可以不用算，答案为25 二 68显然与Pi, P2,不存在关系。Ao不放心可以再算下25、已知向量 a, b 满足 | a |=1 , a b = -1 , M a (2 ab)=()A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B4题、文科数学第4题,【解析】本题是2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学R第 根据条件设向量a= (0,1),

28、根据a b = -1 ,可得向量b = (m, -1),则a(2a-b) = (0,1) (-m,3) =3,本题答案为Bo11111.26、为计算S=1-；+w蒜一而，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入()2 3 499 IUU(开始)A. i =i 1 B. i =i 2 C. i =i 3 D. i =i 4【答案】B【解析】本题是2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学R第7题、文科数学第8题,本题可采取代入法+特殊法，计算 S=1+-=1- +-+ 2 3 499 1002 3 42n-1 2n11 1.一 一则判断框里相应改成i<2n；令n=2,则计算s=1- +-,此时i<4。把A代入，通过循环 2 3 4，1一 . 一.11 1 .一 输出s=1-,不满足，舍去；把B代入，通过循环输出s=1-+-,满足，为正确答案；42 3 4不放心可以验证C与D,易知通过循环，输出S都不满足。本题答案为 Bo，点P在其中一段上,27、在平面直角坐标系中，' l ”上右,母是圆x2+y2=1上的四段弧（如图） 角a以。为始边，OP为终边，若tana < cos a < sin a ,则P所在的圆弧是（A.B。C.