备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题72利用对称性求解正态分布问题理

1、1、2 -3、标准正态分布：如果随机变量E的概率函数为f (x)二，则称E服从标准正态分布.即专题 72 利用对称性求解正态分布问题考纲要求：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，位于 x 轴上方，E落在任一区间a,b)内的概率等于它与 x 轴.直线x =a与直线 x =b 所围成的曲边梯形的 面积(如图阴影部分)的曲线叫E的密度曲线,以其作为图像的函数f(x)叫做E的密度函数，由于“x(8,+8) ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.1沙2正态分布与正态曲线： 如果随机变量E的概率密度函数为f(x)=e 右(x(一8, +8),越“矮胖”，表示总体的

2、分布越分散.基础知识回顾：密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量实数和b(b0)为参数)，称E服从参数为卩、b的正态分布，用UNt-S2表示.f (x)的表2达式可简记为N=二，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若LI N点2，则E的期望与方差分别为：E= ”，D;= 二2正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.(2)曲线是单峰的，它关于直线X = 1对称.1曲线在 X =I处达到峰值 - .(4)二、2二曲线与 x 轴之间的面积为 1.d定时，曲线随着卩的变化而沿x 轴平移. 一定时，曲线的形状由b确定.(T越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；b越大，曲

3、线P(.二-3二3二)=0.9974)【答案】D【解析】由已知有P(90 : X 114) =0.9974,所以P(X 114)1 0.9974 =0.0013 = 0.13。,选 D.2X P-LNo,1。 非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若ELI N（4,CT2则 H =-N（0,1），据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：PExoi=P乞？。4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P（卩bXW卩+b） = 0.683 :P（卩2cXW卩+ 2 r ）=0.954 :P（卩3cXW+3c） = 0.997. “”原则：假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结

4、为如下三步：（i ）提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布Nd）.（ ii ）确定一次试验中的取值a是否落入范围（-3；u【3；）.（iii）做出判断：如果 a，接受统计假设.如果a-3；亠 3 二），由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“ 3；- ”态分布N（j+）0.3 %，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即E不服从正态应用举例：类型一、正态分布例 1【2018 届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知随机变量X N 7,4，且P(5 : X : 9)二a, P(3：X：11) = b，则P(3：X：9)=()A.口B.2b a c 2b- a

5、, 2a-bC.D.2 2 2【答案】B【解析】由正态分布的对称性知，P（X9） = J3X7）+P（1=故选 B.例 2【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102,42）,则 114 分以上的成绩所占的百分比为（附P （ -； ： ：X乞 二）=0.6826,P()-2二:X _2二)=0.9544,A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13%3点评：求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意:(1)熟记正态分布的三个常用数据1P(卩bXW卩 +c) = 0.682 6.2P(12dXw (1+2(T)=0.954 4.3P(1 3d

6、X 1+3d)=0.997 4.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为 1.1正态曲线关于直线 x =1对称，从而在关于 x=1对称的区间上概率相等.2P(Xa),P(X 1 +a).类型二、利用正态曲线的性质求概率例 3、甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(已2N (馬2)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量7=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数：2=1.99【答案】D【解析】由图象可知甲图象关于直线沪64对称

7、，乙團象关于直线E)8对称,/.卩i=O. 4, 13=0.故A正确，C正确，丁甲團象比乙厨象更高瘦,二甲类水果的庚量比乙类水果的质量更集中干平均值左右故B正确扌乙團象的最犬值为1-迥即!=1.99、 S 2 工 1.99，故 D 错误。本题选择 D 选项.的竞赛成绩 X 近似服从正态分布 N(70, 100).已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 16 名.例 4【2018 届河南省中原名校高三上学期第一次质量考评】在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生(1 )试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80 分以上(含 80 分)的学生，试问此次竞赛获奖励

8、的学生约为多少人附：P(|X卩|V(r)=0.683,P(|X卩|V2)=0.954,P(|X卩|v3c)=0.997【答案】(1) 696(2) 110【解析】试题分析；1)由题意苜先确定正态分布中卩，口的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；禾蛹的结论结合正态分布團象的性即可确定需要奖励的学生人数.试题解祈：设裁赛学生的成绩为X,因为XN (70, 100),所以Ahg 0=10,则卩 G? 土 90)=尸( 兰 50) = 卩(即 VJf 90)二；1 一尸 3 27 V X +(1-0.951 = 0.023,16-=-0,023696(人儿因此此次参寒学生的总数约为日死人*他)

9、由P (XS：8O)=P (X60)=|1-(60 aO) = l-P(-ff J?+=X(1 -0,683) = 0,1585得 696X0.1585110.因此，此次竞暮茯奖励的学生约为口0人.点评：解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.方法、规律归纳：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.实战演练：1已知随机变量X服从正态分布N(3 严2),且P(X=4)=0.84，贝V P(2Xv4)=()A.0.16B.0.32

10、C.0.68D.0.84【答案】C5【解析】因为正太分布的图像关于3 对称，且 P(T4) = l-0 84 = 016,根 据对称性可得 P(X2)= 0.16fl?AF(2J4)-P(.V0,试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在70 分到 110 分之间的人数约为总人数3的3，则此次数学考试成绩不低于110 分的考生人数约为()5A. 200 B. 400 C. 600 D. 800答案】A解析】依题意得 P(70W E 110) = 0.2，于是此次数学考试成绩不低于110 分的考生约有 0. 2X1 000 = 200(人).本题选择 A 选项.点睛：关于正态曲线在某个区

11、间内取值的概率求法1熟记 P(dXW口 +d)， P( 2dXW卩 + 2d)， P( 3dXW + 3d)的值.2充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为 1.5. 2017 届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三第四次联考】据统计2016 年“十=0.1590黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N 2000,1002，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过 2300 的概率为()附；若 X、N匕二2P(：x：；)=0.6826P(二一2二：XE2；)=0.9544P(.二一3二：XE3)=0.9974A.0.4987B.0.8413C.0.9772D.0.998

12、7【答案】D【解析】游客人数服从正态分布 AT(2D011001)?贝 Q 由p-3ax/z+3tT)= 0.9974 贝 U/Y1700 x2300) = 1(1-0.9974) = 0.0013?所以Px 2300) = 1 - 0WB = 0.9987 .故本題答案选 D .点睛：关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法-要充分利用正态曲线的对称性和曲线与疋轴之间的面积为 1 且曲线是单峰的，它关于直线x =对称，从而关于 x = /对称的区间上概率相等.有P(X a) , Pxa.6.【2018 届四川省成都市新津中学高三 11 月月考】已知随机变量X-N 1，,其正态分布密度曲线如图

13、所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为()附：若随机变量-N(巴2),贝y P(P bW 4 +b) =0.6826,P(卩2匚 兰卩 +2u) = 0.9544A.6038B.6587C.7028D.7539【答案】B1【解析】由题意，P 0：X 10.6826 =0.3413，落入阴影部分点的的概率为2黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N 2000,1002，则在此期间的某一天，太阳岛的人数1 -0.3413 = 0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000 0.6587 = 6587，故选 B.7.设N(5,22),贝U

14、P(3v7)=_.【答案】0.6826【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率 TXz/- X + CF) )= 0.6826 ,.73 X7) = P(5-2 5 + 2) = 0.6826 .答案：0.68268.【2018 届四川省成都市第七中学高三上学期入学】若随机变量 N 2,1，且P.3)=0.1587，则P(A1) =_.【答案】0.8413【解析】随机变量 N 2,1, 正态曲线关于x=2对称，P(1).3) =0.1587,则P( .1) =1 - P(：1) =1 -0.1587 =0.84139.从某企业生产的产品中抽取1000 件测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果

15、得到频率分布直方图如图所示.O156 175 185 19S 205 215 225 23&顾串舟标憤2(I)求这 1000 件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代表).(n)由频率分布直方图可以认为这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(卩，s2)，其中卩近似为样本平均数X,s2近似为样本方差 s2.闊-沁利用该正态分布，求P(175.6Z224.4);某用户从该企业购买了100 件这种产品，估计其中质量指标值位于区间(175.6 , 224.4)的产品件数(精确到个位)附：.50 12.2，若 ZN(卩，S2)，贝UP(II-8Zy+S) =

16、0.6826 ,9P( 卩2SZy+ 2S) = 0.9544【答案】(I)x =200, s2=150; (H)0.9544，9 件.【解析】试题分析：(I)运用高散型随陂量的期望和方差公式，最网求也(II由(1)Z-M 200,150),从而求出/17 玉 6 Z 224,4)=0.9544,即可得出结论；由知，一件产品的质量指标值位于区间35 224.4)的概率为6 0544即可估算试题解析；(I )jr = 170X0.02 +180X0. 00 + 100X0. 22 + 200X0. 33 + 210X0. 24 + 220X0. 08 + 230X0,02=200,s =(-30

17、)aX0.02+ (-20)aX0.094- (-10/X 0* 22 + 0X0. 33+10=XO. 24 + 20aX 0.08 + SO X 0.02= 150.(II )由(I )知b ZT(2O0, 150),从而F (175. 5Z224. 4)=P(200- 2X12. 2Z200 + 2X12. 2)=0.9544.由知一件产品的质量指标值位于区间山5224.4)的枫率为6 9544,用户从该企业购买了100件 这种产品中质量指标倩位于区间(175.6, 224*4)的产品件数为100X0.9544件)10. 2018 届陕西省榆林市第二中学高三上期中】某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径：服从正态分布 1.(I)如果钢管的直径 ：满足C；为合格品，求该批钢管为合格品的概率(精确到0.01 );(n)根据(I)的结论，现要从40 根该种钢管中任意挑选3 根，求次品数的分布列和数学期望(参考数据：若 X出旳，则 P(M - bCX兰” +iT)= O.(JE2E；卩(M - 2疗 X兰M + 2存)二0.954A；：屮:，:甘；-0 U !)【答案】(1) 0.95.(2)见解析【解析】试题分析：(I)由正态分布中三个重要区间上的概率可知，钢管直径满足，-汕: