从数学史角度看丁小平的微积分研究

1、从数学史角度看丁小平的微积分研究中国科学院大学科学技术史博士研究生周茂君从丁小平先生在第四届世界数学科学大会发表浅谈现行微积分原理的错误和新微积分原理简介算起，至今已有九年。这九年中， 丁小平先生一直通过发表论文和讲学等方式揭示现行微积分原理的错 误，同时，讲授他的新微积分原理，到目前为止，不了解他的学术结论 的数学家已经寥寥无几， 但公开支持他学术结论的不多，试图驳倒他的 一个都没有成功，而私下支持他学术结论的却比比皆是。笔者试从科学 史角度谈谈自己对丁小平研究工作的浅见。丁小平先生回母校清华大学参加校庆时与同学合影微积分的历程牛顿和莱布尼兹，分别在1665年和1673年独自创建微积分方法

2、体系并建立各自的微积分原理，其结果是：微积分方法放之四海而皆准， 但微积分原理始终不能自圆其说。 在牛顿的微积分原理中，由于构造流 数（即导数）的需要，牛顿人为地引入小量，可是，当流数构造出之后， 牛顿又觉得流数后的小量或的组合项是个麻烦，于是，牛顿又人为地将 它舍弃。逻辑学告知世人，如果一个量无论多小都得引入，那它就不可 以忽视;如果一个量小得可以忽视，那它就不必引入。据此，基督教北 爱尔兰大主教贝克莱嘲笑牛顿的“是幽灵。在莱布尼兹的微积分原理中， 莱布尼兹定义两个要多近就可以多近的变量的差为微分，微分的逐点累加就是积分（将积分区分为不定积分与定积分是多余的），积分的微化就 是微分，导数就是

3、因变量与自变量的微分之比。莱布尼兹微积分原理的 不足在于说不清要多近就可以多近”究竟是多近。1821年至1823年，法国数学家柯西分别出版了他的分析教程 和无限小计算教程概论，以此为标志，人类建立起第一个微积分原 理。后来，又经过黎曼、维尔斯特拉斯和达布等数学家的完善，我们现 行的微积分原理宣布大功告成。柯西系的微积分原理本质上就是用极限 论处理掉项的牛顿系的微积分原理，但在解释不了丰富多彩的微积分方 法为什么行之有效时又只好把莱布尼兹的微分拼凑进去。可是，1875年数学家托梅对现行微积分原理提出挑战。继托梅的 直尺函数之后，原点左右无限震荡函数和越接近原点越无限次震荡衰减函数等相继登场，从此

4、，微积分原理再次进入危机之中。如果我们称贝 克莱对牛顿的质疑为微积分原理的第一次危机的话，那么，这次危机称 之为微积分原理的第二次危机。 微积分原理第二次危机的化解是法国数 学家勒贝格在1902年通过他的积分，长度和面积一文完成的，文 中有两个核心思想，即后人所说的 勒贝格测度”和勒贝格积分如上就是现今的微积分历程。微积分历程所引发的思考微积分方法的行之有效早已为实践所证明，无需再做理论上的证明，可是诚如马克思指出：这种算法通过肯定不正确的数学途径得出了正 确的结果。”那么，为什么不正确的途径可以得出正确的结论呢 徵什么 微积分方法行之有效呢？以及如何优化已有微积分方法和怎样再揭示更 多的微积

5、分方法 定些问题就是微积分原理所要完成的任务。不管从1665年算起，还是从1673年算起，也不管牛顿和莱布尼兹的微积分原理是否无法自圆其说，在牛顿和莱布尼兹之后微积分方法得到迅猛发展确是铁的事实，截止 1821年，微积分方法发展得几乎与 现今毫无二致。在微积分方法的发展中，做出主要贡献的是伯努利兄弟、 欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶和高斯，其中贡献最大的 是欧拉。从师承脉络上看，伯努利兄弟是莱布尼兹的朋友和学生，而欧拉又是伯努利兄弟的学生。相反，继泰勒建立泰勒公式以后，英国数 学陷入长期的停滞状态他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束 缚。”通过这些历史事实不知是否可以得出这样的结论：

6、微积分方法的 迅猛发展主要得益于莱布尼兹的思想， 与柯西用极限论建立的牛顿思路 的微积分原理关系甚远。1821年以后，已有的微积分方法基本上没有 得到优化，新的微积分方法也没有再得到揭示 ；另一方面，微积分方法 并没有揭示穷尽，比如，到现在人类也解不了大多数的微分方程。 据此, 人们似乎可以怀疑现行微积分原理的存在价值。极限思想的首倡者是英国数学家 J沃利斯。极限方法的意义在于可 以处理掉导数后多余小量或的组合项，也可以定义定积分。一句话，可 以规避过程直面结果。也正因为如此，极限论下的积分无法逐点累加， 也无法给出导数的瞬时比形式。这就应该是为什么现行微积分原理对以 托梅为代表的数学家提出的

7、挑战没有办法的原因。勒贝格似乎解决了这个问题，但细细想来，勒贝格积分不过是实现了积分中的角色对调，仅 仅是规避了问题，相反，勒贝格测度论也存在逻辑上的问题。勒贝格测度中存在的逻辑问题可以从两个方面加以说明：第一，无 理数是测度的数学承担者与超越数是测度的数学承担者的说法是相互 矛盾的，即使退到贝尔的第一类集合这种解释也不能自圆其说，因为超 越数在解析几何意义上与其它数一样，其它数没有测度，超越数也同样没有测度。第二，勒贝格测度是用排除法建立的，它的思路是：区间有 测度，代数数的测度为0,所以，超越数是测度的数学承担者。这种排 除法使用的错误在于忘记现行数-形模型中两个数（点）之间是有空隙的,

8、未排除空隙。丁小平所做工作可能具有的意义首先，丁小平先生指出现行微积分原理中微分概念引入的错误，以及由此引发微积分原理的系统性错误，并以重新定义微分的方式反衬这一错误。不知是否可以这样认为，丁小平指出的现行微积分原理中微分 的错误恰好是微积分发展史中极限思想与微分思想相抵触的产物。极限论自然有它自己的数学意义， 但是，用极限论建立微积分原理并不见得 可取。其次，丁小平先生指出现行微积分原理整体结构的扭曲，并重新设定结构，这种结构与莱布尼兹的思想是一致的。又次，丁小平先生建立的新数-形模型，纠正了传统模型的恶无限缺陷，实现了数模型与形模型的统一，为蓄积多年的数学革命的发生提供了条件。这其中，有两个重要方面：第一，建立了Werden（发生）概念，纠正了传统数模型的一会儿是动态的一会儿是静态的自相矛盾性，形成了静中有动新模型，使得数学得以实现动态描述；第二，指出代数数和超越数都承担不了测度，测度只能由 Werden承担。再次，丁小平先生的新微积分原理用事实证明莱布尼兹思路的微积分原理是完全可行的，可以认为这使数学史上争议了 246年的问题终于 画上了句号。最后，丁小平的新微积分原理实现了数学上的逐点描述，比如微分的数学承担者、导数的瞬时比形式、积分逐点累加等等，其中微分的数学承担者问题不仅解决了数学自身的问题，也使得诸如虚位移原理等自 然科学的核心问题得以解决。