2016年挑战中考数学压轴题(第九版精选)

1、目录第一部分函数图象中点得存在性问题1、1因动点产生得相似三角形问题例12015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例22014年武汉市中考第24题例32012年苏州市中考第29题例42012年黄冈市中考第25题例52010年义乌市中考第24题例62009年临沂市中考第26题1、2因动点产生得等腰三角形问题例12015年重庆市中考第25题例22014年长沙市中考第第26题例32013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例52012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1、3因动点产生得直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏

2、州市中考第29题例32013年山西省中考第26题例42012年广州市中考第24题例52012年杭州市中考第22题例62011年浙江省中考第23题例72010年北京市中考第24题1、4因动点产生得平行四边形问题例12015年成都市中考第28题例22014年陕西省中考第24题例32013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例52012年烟台市中考第26题例62011年上海市中考第24题例72011年江西省中考第24题1、5因动点产生得梯形问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第24题例22014年上海市金山区中考模拟第24题例32012年上海市松江中考模拟第24题例420

3、12年衢州市中考第24题例52011年义乌市中考第24题1、6因动点产生得面积问题例12015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题例32013年苏州市中考第29题例42012年范泽市中考第21题例52012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1、7因动点产生得相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例32013年上海市杨浦区中考模拟第25题1、 8因动点产生得线段与差问题例12015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例32013年天津市中考第25题例42012年

4、滨州市中考第24题第二部分图形运动中得函数关系问题2、 1由比例线段产生得函数关系问题例12015年呼与浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例32013年宁波市中考第26题例42012年上海市徐汇区中考模拟第25题3、 2由面积公式产生得函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例22014年黄冈市中考第25题例32013年范泽市中考第21题例42012年广东省中考第22题例52012年河北省中考第26题例62011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中得计算说理问题4、 1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例22014年福州

5、市中考第22题例32013年南京市中考第26题5、 2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例22014年安徽省中考第23题例32013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形得平移翻折与旋转6、 1图形得平移例12015年泰安市中考第15题例22014年江西省中考第11题4、2图形得翻折例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例22014年上海市中考第18题4、3图形得旋转例12015年扬州市中考第17题例22014年上海市黄浦区中考模拟第18题4、4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例22014年泰州市中考第16题4、5四边形例12015

6、年安徽省中考第19题例22014年广州市中考第8题4、6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4、7函数图像得性质例12015年青岛市中考第8题例22014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点得存在性问题1、1因动点产生得相似三角形问题例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中，双曲线(kw。)与直线y=x+2都经过点A(2,m).(1)求k与m得值；(2)此双曲线又经过点B(n,2),过点B得直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求ABC得面积；(3)在(2)得条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线C

7、B上有一点E,如果以点A、C、E所组成得三角形与ACD相似，且相似比不为1,求点E得坐标。图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到,ACE与ACD相似，存在两种情况.思路点拨1 .直线AD/BC,与坐标轴得夹角为45°。2 .求ABC得面积,一般用割补法.3 .讨论ACE与ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程。满分解答(1)将点A(2,m)代入y=x+2m=4.所以点A得坐标为(2,4)将点A(2,4)代入，得k=8.(2)将点B(n,2),代入得n=4.所以点B得坐标为(4,2).设直线BC为y=x+b,代

8、入点B(4,2),得b=2.所以点C得坐标为(0,2)。由A(2,4)、B(4,2)、C(0,-2)，可知A、B两点间得水平距离与竖直距离都就是2,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4.所以AB=,BC=,/ABC=90°.图2所以Saabc=8。由A(2,4)、D(0,2)、C(0,2),得AD=,AC=。由于/DAC+/ACD=45°,ZACE+ZACD=45°，所以/DAC=/ACE。此时 ACDA CAE,相似比为1.如图4,当时，。解得CE =。此时C、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以 E( 1 0 , 8)。图4考点伸展第(2)题我们在

9、计算 ABC得面积时，恰好 ABC就是直角三角形。般情况下，在坐标平面内计算图形得面积，用割补法.如图5,作4 ABC得外接矩形 HCNM ,MN y轴。S矩形HCNM=24,Saah c=6, Sa am b=2, S abcn=8,得 Sabc= 8.所以ACE与ACD相似，分两种情况:如图3,当时，CE=AD=.图5例22014年武汉市中考第24题如图1,RtABC中,/ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm得速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm得速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0vt<2),连

10、接PQ.(1)若ABPa与ABC相似，求t得值；(2)如图2,连接AQ、CP,若AQCP,求t得值；(3)试证明：PQ得中点在ABC得一条中位线上。图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动,可以体验到，若4BPQ可以两次成为直角三角形，与ABC相似。当AQLCP时，ACQscdp。PQ得中点H在ABC得中位线EF上。思路点拨1 .BPQ与4ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程。2 .作PDLBC于D,动点P、Q得速度，暗含了BD=CQ.3 .PQ得中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H得位置，一目了然.满分解答(1) RtAABC中,A

11、C=6,BC=8,所以AB=10.BPQ与ABC相似，存在两种情况：如果，那么.解得t=1。如果，那么。解得。(2)作PDXBC,垂足为D.在RtBPD中，BP=5t,cosB=，所以BD=BPcosB=4t,PD=3t.当AQCP时，ACQsCDP.所以，即.解得.图5图6（3）如图4,过PQ得中点H作BC得垂线，垂足为F,交AB于E.由于H就是PQ得中点，HF/PD,所以F就是QD得中点.又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.因此F就是BC得中点，E就是AB得中点。所以PQ得中点H在4ABC得中位线EF上.考点伸展本题情景下,如果以PQ为直径得。！1与4ABC得边相切，求t得值。如图7,

12、当。H与AB相切时,QPLAB,就就是，。如图8,当。H与BC相切时，PQLBC,就就是，t=1.如图9,当。H与AC相切时，直径，半径等于FC=4.所以。例32012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线（b就是实数且b>2）与x轴得正半轴分别交于点A、B（点A位于点B就是左侧工与y轴得正半轴交于点Co（1）点B得坐标为_点C得坐标为（用含b得代数式表示）；（2）请您探索在第一象限内就是否存在点P,使得四边形PCOB得面积等于2b,且PBC就是以点P为直角顶点得等腰直角三角形？如果存在，求出点P得坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请您进一步探索在第一象限内就是否存在点Q,使得QCO、

13、AQOA与4QAB中得任意两个三角形均相似（全等可瞧作相似得特殊情况）?如果存在，求出点Q得坐标；如果不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴得正半轴上运动，可以体验到,点P到两坐标轴得距离相等，存在四边形PCOB得面积等于2b得时刻.双击按钮“第（3）题”，拖动点B,可以体验到，存在/OQA=/B得时刻，也存在/OQ'A=/B得时刻.思路点拨1。第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴得距离相等.2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高得三角形，底边可以用含b得式子表示.3。第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉

14、这三个三角形就是直角三角形，点Q最大得可能在经过点A与x轴垂直得直线上.满分解答(1)B得坐标为(b,0),点C得坐标为(0,)。(2)如图2,过点P作PDx轴，PELy轴，垂足分别为D、E,那么PDBAPEC.因此PD=PE.设点P得坐标为(x,x).如图3,联结OP.所以S四边形PCOB=S/pco+SaPBO=2b。解得.所以点P得坐标为().图2图3(3)由，得A(1,0),OA=1.如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么OQC0QOA.当，即时，BQAsQOA。所以.解得。所以符合题意得点Q为().如图5,以OC为直径得圆与直线x=1交于点Q,那么/OQC=9O°

15、因此OCQsQOA。当时，BQAsQOA.此时/OQB=90°。考点伸展第(3)题得思路就是，A、C、O三点就是确定得，B就是x轴正半轴上待定得点，而/QOA与/QOC就是互余得，那么我们自然想到三个三角形都就是直角三角形得情况这样,先根据QOA与4QOC相似把点Q得位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B得位置。如图中，圆与直线x=1得另一个交点会不会就是符合题意得点Q呢？如果符合题意得话，那么点B得位置距离点A很近，这与OB=4OC矛盾.例42012年黄冈市中考模拟第25题如图1,已知抛物线得方程C1:(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C得左侧.

16、(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m得值；(2)在(1)得条件下，求BCE得面积；(3)在(1)得条件下，在抛物线得对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H得坐标；(4)在第四象限内，抛物线C1上就是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点得三角形与BCE相似？若存在，求m得值;若不存在，请说明理由。动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25"，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但就是/BFC在无限远处也不等于45。观察右图，可以体验到，/CBF保持45°,存在/BFC=/BCE得时刻.思路点拨1 .第(3)题就是典型得“牛喝水

17、”问题，当H落在线段EC上时，BH+EH最小。2 .第(4)题得解题策略就是：先分两种情况画直线BF,作/CBF=/EBC=45°,或者作BFEC.再用含m得式子表示点F得坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m得方程.满分解答(1)将M(2,2)代入，得。解得m=4.(2)当m=4时,。所以C(4,0),E(0,2).所以Sabce=o(3)如图2,抛物线得对称轴就是直线x=1,当H落在线段EC上时，BH+EH最小。设对称轴与x轴得交点为P,那么.因此。解得.所以点H得坐标为。(4)如图3,过点B作EC得平行线交抛物线于F,过点F作FF。x轴于F由于/BCE=ZFBC,所以当

18、，即时,BCEsAFBC.设点F得坐标为，由，得.解得x=m+2。所以F'(m+2,0).由，得.所以.由，得.整理，得0=16。此方程无解.图2图3图4如图4,作/CBF=45°交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于/EBC=/CBF,所以,即时，BCEABFC.在RtBFF中，由FF=BF',得.解得x=2m.所以F'.所以BF'=2m+2,。由，得.解得。综合、，符合题意得m为.考点伸展第(4)题也可以这样求BF得长:在求得点F'、F得坐标后，根据两点间得距离公式求BF得长。例52010年义乌市中考第24题如图1,已知梯形OABC,抛物线

19、分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3)。(1)直接写出抛物线得对称轴、解析式及顶点M得坐标；(2)将图1中梯形OABC得上下底边所在得直线OA、CB以相同得速度同时向上平移，分别交抛物线于点Oi、Ai、Ci、Bi,得到如图2得梯形OiABCi.设梯形OiAiBiCi得面积为S,Ai、Bi得坐标分别为(xi,yi)、(X2,y2).用含S得代数式表示X2xi,并求出当S=36时点Ai得坐标；(3)在图i中，设点D得坐标为(i,3),动点P从点B出发，以每秒1个单位长度得速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同得速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、

20、Q两点同时停止运动.设P、Q两点得运动时间为t,就是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成得三角形与直线PQ、直线AB、动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形与图象，可以体验到，X2-x1随S得增大而减小.双击按钮"第(3)题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果/GAF=/GQE,那么GAF与4GQE相似。思路点拨1 .第(2)题用含S得代数式表示X2-xi,我们反其道而行之，用xix表示So再注意平移过程中梯形得高保持不变，即y2-yi=3.通过代数变形就可以了。2 .第(3)题最大得障碍在于画示意图，在没有计算结果得情况下，无法

21、画出准确得位置关系，因此本题得策略就是先假设，再说理计算，后验证.3.第(3)题得示意图，不变得关系就是：直线AB与x轴得夹角不变，直线AB与抛物线得对称轴得夹角不变.变化得直线PQ得斜率，因此假设直线PQ与AB得交点G在x轴得下方，或者假设交点G在x轴得上方.满分解答(i)抛物线得对称轴为直线，解析式为，顶点为M(i,)o(2)梯形OiAiBiCi得面积，由此得到。由于，所以.整理，得。因此得到。当S=36时，解得此时点Ai得坐标为(6,3).(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线得对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似得GAF与GQE,有一个公共角/G.在GEQ中

22、,/GEQ就是直线AB与抛物线对称轴得夹角，为定值.在4GAF中，/GAF就是直线AB与x轴得夹角，也为定值，而且/GEQw/GAF.因此只存在/GQE=/GAF得可能，GaEsGAF。这时/GAF=/GQE=ZPQD.由于，所以。解得.图3图4考点伸展第(3)题就是否存在点G在x轴上方得情况？如图4,假如存在，说理过程相同，求得得t得值也就是相同得。事实上，图3与图4都就是假设存在得示意图，实际得图形更接近图3。例62009年临沂市中考第26题如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三点。(1)求此抛物线得解析式；(2)P就是抛物线上得一个动点，过P作PM±x轴

23、,垂足为M,就是否存在点P,使得以A、P、M为顶点得三角形与OAC相似*存在，请求出符合条件得点P得坐标；若不存在,请说明理由；(3)在直线AC上方得抛物线就是有一点D,使得DCA得面积最大，求出点D得坐标.7图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到.PAM得形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧"、"P在x轴上方"与"P在A右侧”，可以显示FAM与4OAC相似得三个情景.双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方得抛物线上运动，观察DCA得形状与面积随D变化得图象，可以体验到，E就是AC得中点时，ADCA得面积

24、最大.思路点拨1.已知抛物线与x轴得两个交点用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.2。数形结合，用解析式表示图象上点得坐标，用点得坐标表示线段得长3.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程。4。把DCA可以分割为共底得两个三角形，高得与等于OA.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线得解析式为，代入点C得坐标(0,2),解得。所以抛物线得解析式为.(2)设点P得坐标为.如图2，当点P在x轴上方时，1vx<4,.如果，那么。解得不合题意.如果,那么。解得。此时点P得坐标为(2,1).如图3,当点P在点A得右侧时，x>4,.解方程，得.此时点

25、P得坐标为.解方程，得不合题意.如图4,当点P在点B得左侧时，xv1,。解方程，得.此时点P得坐标为。解方程，得.此时点P与点O重合，不合题意.综上所述，符合条件得点P得坐标为(2,1)或或.2图2图3图4(3 )如图5 ,过点 D作x轴得垂线交AC于E.直线A C得解析式为.设点D得横坐标为m,那么点D得坐标为，点E得坐标为。所以.因此.当时， DCA得面积最大，此时点D得坐标为(2,1)。考点伸展第(3)题也可以这样解：如图6,过D点构造矩形OAMN,那么DCA得面积等于直角梯形CAMN得面积减去CDN与ADM得面积.设点D得横坐标为(m,n),那么由于所以.1.2因动点产生得等腰三角形问

26、题例12015年重庆市中考第25题如图1,在ABC中，ACB=90°,ZBAC=60°,点E就是/BAC得平分线上一点，过点E作AE得垂线，过点A作AB得垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F就是BD得中点,DHXAC,垂足为H,连接EF,HF。(1)如图1,若点H就是AC得中点，AC=，求AB、BD得长；(2)如图1,求证：HF=EF.(3)如图2,连接CF、CE,猜想：CEF就是否就是等边三角形？若就是，请证明；若不就是，请说明理由.，拖动点E运动，可以体验到， FAE与4 5口11动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”保持全等，CMF与CAE保持全等，CEF保持等

27、边三角形得形状.思路点拨1。把图形中所有30。得角都标注出来，便于寻找等角与等边。2。中点F有哪些用处呢？联想到斜边上得中线与中位线就有思路构造辅助线了。满分解答(1)如图3,在RtAABC中,/BAC=60°,AC=所以AB=。在RtADH中，/DAH=30°,AH=,所以DH=1,AD=2.在RtAADB中,AD=2,AB=,由勾股定理，得BD=.(2)如图4,由/DAB=90°,/BAC=60°,AE平分/BAC,得/DAE=60°/DAH=30°.在RtAADE中AE=.在RtAADH中,DH=.所以AE=DH.因为点F就是R

28、tABD得斜边上得中线，所以FA=FD,/FAD=/FDA.所以/FAE=ZFDH.所以FAEAFDH。所以EF=HF.(3)如图5,作FM，AB于M,联结CM.由FM/DA,F就是DB得中点彳导M就是AB得中点。因此FM=,AACM就是等边三角形.又因为AE=,所以FM=EA.又因为CM=CA,/CMF=ZCAE=30°，所以CMFCAE.所以/MCF=/ACE,CF=CE.所以/ECF=ZACM=60°o所以CEF就是等边三角形。考点伸展我们再瞧几个特殊位置时得效果图，瞧瞧有没有熟悉得感觉.如图6,如图7,当点F落在BC边上时，点H与点C重合.图6图7如图8,图9,点E

29、落在BC边上.如图10，图11,等腰梯形ABECoDDcD例22014年长沙市中考第26题如图1,抛物线y =ax? + bx+c(a、b、c就是常数,a w 0)得对称轴为y轴,且经过(0 ,0)与两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心得。P总经过定点A(0,2)。(1)求a、b、c得值；(2)求证：在点P运动得过程中，OP始终与x轴相交；(3)设。P与x轴相交于M(xi,0)、N(x2,0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P得纵坐标。动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总就是相交得，等腰三角形AMN存在三种情况。思路点拨1。不算

30、不知道，一算真奇妙，原来。P在x轴上截得得弦长MN=4就是定值.2.等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA=MN与NA=NM两种情况时，点P得纵坐标就是相等得。满分解答(1)已知抛物线得顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.将代入y=ax得.解得(舍去了负值).(2)抛物线得解析式为，设点P得坐标为.已知A(0,2),所以.而圆心P到x轴得距离为，所以半径PA圆心P到x轴得距离。所以在点P运动得过程中，OP始终与x轴相交.(3)如图2,设MN得中点为H,那么PH垂直平分MN。在RtAPMH中”所以MH2=4。所以MH=2.因此MN=4,为定值.等腰AMN存在三种情况：如图3,当

31、AM=AN时，点P为原点。重合，此时点P得纵坐标为0.图3如图4,当MA=MN时，在RtAOM中，OA=2,AM=4,所以OM=2。此时x=OH=2o所以点P得纵坐标为.如图5,当NA=NM时，点P得纵坐标为也为图4考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心得。P总经过定点B(0,1),那么在点P运动得过程中，OP始终与直线y=1相切。这就是因为：设点P得坐标为.已知B(0,1)所以.而圆心P到直线y=-1得距离也为，所以半径PB二圆心P到直线y=1得距离.所以在点P运动得过程中，。P始终与直线y=1相切.例32013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtABC中,/A=90°

32、;,AB=6,AC=8,点D为边BC得中点，DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上得一动点，点Q为边AC上得一动点，且/PDQ=90°.(1)求ED、EC得长；(2)若BP=2,求CQ得长；记线段PQ与线段DE得交点为F，若 PDF为等腰三角形，求B P得长.动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似。观察PDF,可以瞧到，P、F可以落在对边得垂直平分线上，不存在DF=DP得情况。请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与4QDN保持相似.观察PDF,可以瞧到，P、F可以落在对

33、边得垂直平分线上，不存在DF=DP得情况.思路点拨1.第(2)题BP=2分两种情况.2。解第(2)题时，画准确得示意图有利于理解题意，观察线段之间得与差关系.3。第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形得传递性，转化为探求等腰三角形CDQ.满分解答(1)在RABC中，AB=6,AC=8,所以BC=10.在RtCDE中,CD=5，所以，。(2)如图2，过点D作DMAB,DNXAC,垂足分别为M、N,那么DM、DN就是ABC得两条中位线，DM=4,DN=3o由/PDQ=90°,/MDN=90°，可得/PDM=ZQDN.因此PDMAQDN.所以。所以，.图2图3图4如图3

34、,当BP=2,P在BM上时，PM=1.此时.所以。如图4,当BP=2,P在MB得延长线上时，PM=5.此时.所以.(3)如图5,如图2,在RtPDQ中,.在RtABC中，.所以/QPD=/C.由/PDQ=90°，/CDE=90°,可得/PDF=/CDQ。因此PDFCDQ.当PDF就是等腰三角形时，CDQ也就是等腰三角形.如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQCN=54=1(如图3所示).此时。所以。如图6,当QC=QD时，由，可得。所以QN=CNCQ=(如图2所示)。此时.所以不存在DP=DF得情况.这就是因为/DFP>/DQP/DPQ(如图5,图6所示)图5图6考点

35、伸展如图6,当CDQ就是等腰三角形时，根据等角得余角相等，可以得到BDP也就是等腰三角形，PB=PD在4BDP中可以直接求解.例42012年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l就是抛物线得对称轴。(1)求抛物线得函数关系式；(2)设点P就是直线1上得一个动点，当APAC得周长最小时，求点P得坐标；(3)在直线l上就是否存在点M,使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件得点M得坐标；若不存在，请说明理由.小¥7aq'b-KI图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线得对称轴

36、上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA+PC最小,PAC得周长最小.拖动点M在抛物线得对称轴上运动，观察MAC得三个顶点与对边得垂直平分线得位置关系，可以瞧到，点M有1次机会落在AC得垂直平分线上；点A有2次机会落在MC得垂直平分线上；点C有2次机会落在MA得垂直平分线上，但就是有1次M、AC三点共线.思路点拨1 .第(2)题就是典型得“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC得周长最小。2 .第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形得存在性满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，设y=a(x+1)(x-3),代入点C(0,3),得-3a=3.解得a=-1。所

37、以抛物线得函数关系式就是y=(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)如图2,抛物线得对称轴就是直线x=1.当点P落在线段BC上时,PA+PC最小，PAC得周长最小。设抛物线得对称轴与x轴得交点为H。由，BO=CO,得PH=BH=2.所以点P得坐标为(1,2).(3)点M得坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)。考点伸展第(3)题得解题过程就是这样得：设点M得坐标为(1,m).在4MAC中，AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.如图3,当MA=MC时，MA2=MC2O解方程4+m2=l+(m3)2,得m=1。此时点M得坐标为(1,1).如图4,当AM=AC时,

38、AM2=AC2解方程4+m、10,得。此时点M得坐标为(1,)或(1,).如图5,当CM=CA时,CM'ca2.解方程1+(m3)2=10，得m=0或6.当M(l,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件得点M得坐标为(1,0).图3图4图5例52012年临沂市中考第26题如图1,点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB得位置.(1)求点B得坐标；(2)求经过A、O、B得抛物线得解析式；(3)在此抛物线得对称轴上，就是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点得三角形就是等腰三角形？若存在，求点P得坐标；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名

39、“12临沂26”,拖动点P在抛物线得对称轴上运动，可以体验到，。与。B以及OB得垂直平分线与抛物线得对称轴有一个共同得交点，当点P运动到。O与对称轴得另一个交点时，B、O、P三点共线。请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P,发现存在点P,使得以点P、O、B为顶点得三角形就是等腰三角形思路点拨1。用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间得距离公式列方程；然后解方程并检验.2。本题中等腰三角形得角度特殊，三种情况得点P重合在一起。满分解答(1)如图2,过点B作BCy轴，垂足为Co在RtOBC中，/BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.所以点B得坐

40、标为.(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线得解析式为y=ax(x4),代入点B,。解得.所以抛物线得解析式为。(3)抛物线得对称轴就是直线x=2，设点P得坐标为(2,V).当OP=OB=4时,OP，16.所以4+y2=16。解得。当P在时，B、O、P三点共线(如图2).当BP=BO=4时，BP2=16.所以。解得。当PB=PO时，PB2=PO2.所以.解得。综合、，点P得坐标为，如图2所示.图2图3考点伸展如图3,在本题中，设抛物线得顶点为D,那么DOA与4OAB就是两个相似得等腰三角形。由，得抛物线得顶点为.因此.所以/DOA=30°,/ODA=120°.

41、例62011年盐城市中考第28题如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数得图象交于点A,且与x轴交于点B。(1)求点A与点B得坐标；(2)过点A作ACy轴于点C,过点B作直线1/y轴。动点P从点O出发,以每秒1个单位长得速度，沿OC-A得路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P与直线1都停止运动.在运动过程中，设动点P运动得时间为t秒。当t为何值时，以A、P、R为顶点得三角形得面积为8?就是否存在以A、P、Q为顶点得三角形就是等腰三角形？若存在，求t得值；若不存在，请说明理由。图1动感体验

42、请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动从图象中可以瞧到，APR得面积有一个时刻等于8.观察APQ,可以体验到，P在OC上时,只存在AP=AQ得情况;P在CA上时，有三个时刻，APQ就是等腰三角形。思路点拨3 .把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题。4 .求APR得面积等于8,按照点P得位置分两种情况讨论.事实上，P在CA上运动时，高就是定值4,最大面积为6，因此不存在面积为8得可能.3。讨论等腰三角形APQ,按照点P得位置分两种情况讨论，点P得每一种位置又要讨论三种情况.满分解答(1)解方程组得所以点A得坐标就是(3,4).令，得.所以点B得坐标就是(7,0)。(2

43、)如图2,当P在OC上运动时，0Wt<4曲，彳#.整理，得.解得t=2或t=6(舍去)。如图3,当P在CA上运动时，APR得最大面积为6。因此，当t=2时，以A、P、R为顶点得三角形得面积为8 .我们先讨论P在O C上运动时得情形，0 W t V 4。如图 1,在 AOB 中,/ B=45° , Z AOB>4 5 ° ,OB = 7 ,所以 OBAB。因此/ OAB>ZAOB>/B.如图4,点P由。向C运动得过程中，OP=BR=RQ,所以PQ/x轴.因此/AQP=450保持不变，/PAQ越来越大，所以只存在/APQ=/AQP得情况.此时点A在PQ得

44、垂直平分线上，OR=2CA=6。所以BR=1,t=1.我们再来讨论P在CA上运动时得情形，4<t<7.在4APQ中，为定值，如图5,当AP=AQ时,解方程，得.如图6,当QP=QA时，点Q在PA得垂直平分线上，AP=2(OROP)。解方程，得.如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程，得。综上所述，t=1或或5或时，APQ就是等腰三角形.图5图6图7考点伸展当P在CA上,QP=QA时，也可以用来求解.1、3因动点产生得直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtABC中，/ACB=90°,AB=13,CDAB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合

45、)，联结AE交边BC于F,/BAE得平分线交BC于点G.(1)当CE=3时，求字CEF:SaCAF得值；(2)设CE=x,AE=y，当CG=2GB时，求y与x之间得函数关系式；(3)当AC=5时，联结EG,AAEG为直角三角形，求BG得长。动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG=2GB保持不变，ABC得形状在改变，EA=EM保持不变.点击屏幕左下角得按钮“第(3)题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到,AEG可以两次成为直角三角形。思路点拨1。第(1)题中得CEF与CAF就是同高三角形，面积比等于底边得比5 .第(2)题中得ABC就是斜边为定值得形

46、状不确定得直角三角形。6 .第(3)题中得直角三角形AEG分两种情况讨论.满分解答(1)如图2,由CE/AB,得。由于CEF与/CAF就是同高三角形，所以Sacef：sACAF=3：13.(2)如图3,延长AG交射线CD于M.图2由CM/AB,得.所以CM=2AB=26。由CM/AB,得/EMA=ZBAM.又因为AM平分/BAE,所以/BAM=ZEAM.所以/EMA=/EAM。所以y=EA=EM=26X。(3)在RtABC中，AB=13,AC=5,所以BC=12。如图4,当/AGE=90°时，延长EG交AB于N,那么AGEAAGN.所以G就是EN得中点。所以G就是BC得中点，BG=6

47、。如图5,当/AEG=90°时，由CAFsEGF,得.由CEAB,得。所以又因为/AFG=ZBFA,所以AFGABFA.所以/FAG=ZBo所以/GAB=ZB。所以GA=GB.作GHAH,那么BH=AH=。在RtGBH中，由cos/B=，得BG=.图5图6考点伸展第(3)题得第种情况，当/AEG=90°时得核心问题就是说理GA=GB.如果用四点共圆，那么很容易.如图6,由A、C、E、G四点共圆，直接得到/2=74.上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点得思路还有：如图7，当/AEG=90°时，设AG得中点为P,那么PC与PE分别就是RtACG与RtAEG斜边上得中

48、线，所以PC=PE=PA=PG.所以/1=272,/3=2/5。如图8,在等腰PCE中，/CPE=180°2(/4+Z5),又因为/CPE=180°(/1+/3),所以/1+/3=2(/4+/5).所以/1=2/4.例22014年苏州市中考第29题如图1,二次函数y=a(x22mx3mb(其中a、m就是常数，且a>0,m>0)得图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B得左侧)，与y轴交于点C(0,3),点D在二次函数得图像上，CD/AB,联结ADo过点A作射线AE交二次函数得图像于点巳AB平分/DAE.(1)用含m得式子表示a;(2)求证：为定值；(3)设该二次函

49、数得图像得顶点为F.探索：在x轴得负半轴上就是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE得长度为三边长得三角形就是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求得点G即可，并用含m得代数式表示该点得横坐标；如果不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m得点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴得距离都为定值.思路点拨1。不算不知道，一算真奇妙。通过二次函数解析式得变形，写出点A、B、F得坐标后，点D得坐标也可以写出来.点E得纵坐标为定值就是算出来得.2。在计算得过程中，第(1)题得结论及其变形反复用到.3.注意到点E、D、F到x轴得距离正好就是一组

50、常见得勾股数(5,3,4),因此过点F作AD得平行线与x轴得交点，就就是要求得点G.满分解答(1)将C(0,13)代入y=a(x22mx3m?),得-3=-3am2因此.(2)由y=a(x22mx3m2)=a(x+m)(x3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2一4,得A(m,0),B(3m,0),F(m,4)，对称轴为直线x=m。所以点D得坐标为(2m,-3).设点E得坐标为(x,a(x+m)(x3m)。如图2，过点D、E分别作x轴得垂线，垂足分别为D'、E'.由于/EAE=/DAD',所以.因此。所以am(x-3m)=1.结合，于就是得到x=4m.当x=4

51、m时，y=a(x+m)(x3m)=5am2=5o所以点E得坐标为(4m,5)。所以.图2图3(3)如图3,由E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,-4),可知点E、D、F到x轴得距离分别为5、4、3.那么过点F作AD得平行线与x轴得负半轴得交点，就就是符合条件得点Go证明如下：作FF'，x轴于F',那么。因此所以线段GF、AD、AE得长围成一个直角三角形.此时GF'=4m。所以GO=3m,点G得坐标为(一3m,0).考点伸展第(3)题中得点G得另一种情况，就就是GF为直角三角形得斜边.此时.因此.所以。此时.例32013年山西省中考第26题如图1,抛物线与x轴交于A、

52、B两点(点B在点A得右侧),与y轴交于点C,连结BCMBC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC,点P就是x轴上得一个动点，设点P得坐标为(m,0),过点P作x轴得垂线1交抛物线于点Q.(1)求点A、B、C得坐标；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD就是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM得形状，并说明理由；(3)当点P在线段EB上运动时，就是否存在点Q,使4BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q得坐标；若不存在，请说明理由。动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB得中点

53、时，四边形CQMD与四边形CQBM都就是平彳T四边形.拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，/DBQ与/BDQ可以成为直角.请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB得中点时，四边形CQMD与四边形CQBM都就是平行四边形。拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，/DBQ与/BDQ可以成为直角.思路点拨1 .第(2)题先用含m得式子表示线段MQ得长，再根据MQ=DC列方程。2 .第(2)题要判断四边形CQBM得形状，最直接得方法就就是根据求得得m得值画一个准确得示意图，先得到结论。3。第(3)题4BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作

54、坐标轴得垂线可以构造相似三角形.满分解答由，得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4)。(2)直线DB得解析式为。由点P得坐标为(m,0),可得，。所以MQ当MQ=DC=8时,四边形CQMD就是平行四边形.解方程，得m=4，或m=0(舍去).此时点P就是OB得中点，N就是BC得中点，N(4-2),Q(4,6).所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.所以四边形CQBM就是平行四边形。图2(3)存在两个符合题意得点Q，分别就是图3(-2, 0) , (6 , -4)。考点伸展第(3)题可以这样解：设点Q得坐标为.如图3,当/ DBQ=90°时，.所以。解得x=6。此时Q (6,

55、 4)。如图4,当/ BDQ=90°时，。所以.2012年广州市中考第24题如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B得左侧)，与y轴交于点C.求点A、B得坐标；(2)设D为已知抛物线得对称轴上得任意一点，当ACD得面积等于ACB得面积时,求点D得坐标；(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上得动点，当以A、B、M为顶点所作得直角三角形有且只有三个时，求直线l得解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24",拖动点M在以AB为直径得圆上运动，可以体验到当直线与圆相切时，符合/AMB=90°得点M只有1个.请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径得圆上运动，可以