【最新推荐】初中数学教材知识梳理_系统复习(1)

1、初中数学教材知识梳理-系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1)按定义分(2)按正、负性分r 止后斗数(有理/_0_1有限小数或正实数 丁JJ负有理数 无限循环小数| 实数01实数正无理数负实数1L无理数1J 无限不循环小数负无理数(D 0既不属于正数，也不属于负 数.(2)无理数的几种常见形式判断： 含冗的式子；构造型：如 3.010010001(坟个1之间多 个0)就是一个无限/、循环小数； 开方开/、尽的数：如，；三角 函数型：如 sin60 0 , tan25° .(3)失分点警示：开得尽方的含根 号的数属于有理数，如=2, =

2、-3, 它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴(1)二要素：原点、正方向、单位长度(2)特征：实数与数轴上的点对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是 2.5.3.相反数(1)概念：只有符号/、同的两个数(2)代数忠义：a、b互为相反数 a+b=0(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原 点的距离相等a的相反数为-a ,特别的0的绝对 值是0.例：3的相反数是二，-1的相反数是1.4.绝对值(1)几何意义：数轴上表示的点到原点的品喃(2)运算性质：|a|= ；a(a > 0)；忸即=a-b(a>b)1I-a_(a&

3、lt;0).b-a (a < b)(3)非负性：|a| > 0,若回+b 2=0,则 a=b=0.(1)若 |x|=a (a> 0),则 x=±a.(2)对绝对值等于它本身的数是非 负数.例：5的绝对值是5; |-2|= 2;绝对 俏等千3的是±3;|1-|= /.5.倒数(1)概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a (a * 0)(2)代数意义：ab=1 a,b互为倒数例：-2的倒数是/2_ ;倒数等于它本 身的数有±1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法(1)形式：aX10n,其中10|a| <10, n为整数(2)确

4、止n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数例：21000用科学记数法表示为2.1 X的整数为减去！；对于小数，写成aX10-n, 1<|a| <10, n等于原数中左M至第一个非零数字前所有零的个数(含 小数点前卸的一个)104；19万用科学记数法表示为 1.9义 105； 0.0007用科学记数法表示 为 7X 10-4.7.近似数(1)定义：一个与实际数值很接近的数.(2)精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精 确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是 3.14;精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数 的大小 比较(1)数轴比较法：数轴上的两个

5、数，右边的数总比左边 的数大.(2)性质比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小， 绝对值大的反而小.(3)作差比较法：a-b>0a>b； a-b=0a=b； a-b<0 a< b.(4)平方法：a>b>0a2>b2.例：把1, -2,0 , -2.3按从大到小的顺序排列结果为一1>0>-2 >-2.3_.知识点五：实数的运算9.常 见 运 算乘方几个相同因数的积；负数的偶(奇)次方为正 (负)例：(1)计 算：1-2-6= -7;(-2) 2=4 ;3-1= 1/3 - ir 0=1-零次幕a°=_1_(a 丰

6、 0)负指数幕ap=1/ap (aw0, p为整数)平方根、算术平方根若x2=a (a>0),则x= v1a二其中Ja是算术平方根._1/2_ ；(2)64的平方根是_± 8_,算术平 方根是_8_,立方根是 4 .失分点警示：类似”的算术平方根” 计算错误.例：相互对比填一 填：16的算术平方根是_4_, 的算术平方根是_2_.立方根若 x3=a,贝U x= 3a .10.混合运算先乘力、开方，冉乘除，取后加减；同级运算， 从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小中括号、大插次进行.计算时，可以结合运 算律，使问题简单化第2讲整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念关键

7、点拨及对应举例1.代数 式(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方) 把数或表示数的 字母连接而成的式子、单独的一个数或 一个字母也是代数式.(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计 算得出的结果，叫做求代数式的值.求代数式的值常运用整体代入法计算.例：ab=3, M 3b 3a= 9.2.整式(单 项 式、 多项 式)(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数 或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的 系数，所有字母的指数担叫做单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项 式的项，次数最图的项的次数叫做多项式的次数 .(3)整

8、式：单项式和多项式统称为整式(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的 指数也相同的 项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：(1)卜列式子：-2a2; 3a-5b;x/2;2/x; 7a2; 7x2+8x3y; 2017.其中 WT 单项式的是；多项式 是;同类项是和®.(2)多项式 7mn-11mn+1 是K 次二项式，常数项是_.知识点二:整式的运算3.整式 的力口 减运 算(1)合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系 数，字母和字母的指数不变.去括号法则：若括号外是“ + ”，则括号里的各项都不变 号；若括号外是“”，则括号里的各项都 查多.(3)整式的加减运算法

9、则：先去括号，再合并同类项 .失分警示：去括号时，如果括号 外面是符号，f 要变号，且与 括号内每一项相乘，/、要有漏 项.例：-2(3a-2b- 1) = 6a+4b + 2.4.幕运算法 则(1)同底数幕的乘法：arn- 3=a二.，(2)幕的旧：(am)n = amn;(3)积的乘力：(ab) =a b ;(4)同底数幕的除法：am+ an =a二(a w 0).其中m,n 都在整数(1)计算时，注意观察，善于运 用它们的逆运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 3X2mx 2n=6.(2)无解决幕的运算时，有时 需要先化成同底数.例：2m . 4mQ.5.整式 的乘 除运 算(1)单

10、项式x单项式：系数和同底数幕分别相乘；只有 一个字母的照抄. 单项式x多项式： m(a+b) =ma+mb.(3)多项式 x 多项式:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb.单项式+单项式：将系数、同底数幕分别相除.(5)多项式+单项式：多项式的每一项除以单项式；商 相加.失分警示：计算多项式乘以多项 式时，注思/、能漏乘，不能丢项， 不能出现变号错.例：(2a - 1)(b + 2) = 2ab+4a b 2.(6)平力差公式：(a+b)( ab) = a b .注意乘法公式的逆向运用及其乘法 公式完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2. 变形公式：a

11、2+b2=(a ± b)2?2ab,ab=(a+b) 2- (a2+b2)】/2变形公式的运用6.混合 运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一 般步骤为：化简、代入替换、计算.例：(a-1 )2-(a+3)(a-3)-10=_ -2a_.知识点上:因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.(2)常用方法：提公因式法： ma+ mb mc= m a+ b+ c). 公式法：a2- b2 = (a+ b)( a- b) ； a2±2ab+b2= (a± b)2.(3) 一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式 后，看是否

12、能用公式法分解；检查各因式能否继续分 解.(1)因式分解要分解到最后结 果不能再分解为止，相同因式 写成幕的形式；(2)因式分解与整式的乘法互 为逆运算.第3讲分式知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概 念 A一一 .一 .、(1)分式：形如-(A, B是整式，且B中含有字母， BBw 0)的式子.(2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应 注意：(1)判断化简之间的式子；(2) 冗是常数，不是字母.例：下列分 式：；巴一,其中是分x 1式是;最简分式 .2.分式的 意义A(1)无意义的条件：当B= 0时，分式C无意义； B A .、有意义的条件

13、：当B*0时，分式一有意义； B(3)值为零的条件：当A= 0, Bw0时，分式公=0.B失分点警示：在解决分式的值为0, 求值的问题时，f要注意所求得 的值满足分母不为0.x2 1例：当)一1的值为0时，则x = -1 .x 13.基本性 质(1 ) 基本性质：A A-C AC(Cw0). BBC B C(2)由基本性质可推理出变号法则为：A AAAAA.B BBB BB由分式的基本性质可将分式进行化 简：例：化简：2X2 1=x 2x 1 x 1知识点三：分式的运算4.分式的 约分和 通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，日口 am a即一一； bm b(2)通分

14、(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即a,- 空,bdb d bc bc分式通分的关键步骤是找出分式的 最简公分母，然后根据分式的性质通 分.例：分式二和的最简公x x x x 1分母为x x2 1 .5.分式的 力口减法. 1ab a± b(1) RJ分母：分母/、艾，分子相加减.即，=；' ''c c ca(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即a bc ad± bc± d= bd .例：=1. x 1 1 x112aa 1 a 1 a2 1.6.分式的 乘除法(1)乘法：a 、暮(2)除法：

15、a c = ad； bdbdb d bc一、nan、，_乘力：包=-(n为正整数).b 此而 a b 121c二2y;2b a _2x xy3旦=27.2x8x3(1)仅含有乘除运算:首先观察分子、分母能否分解因失分点警示：分式化简求值问题，7.分式的式，若能，就要先分解后约分.要先将分式化简到最简分式或整式混合运(2)含有括号的运算:注意运算顺序和运算律的合理应的形式，再代入求值.代入数值时注算用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若启括 号，先算括号里面的.意要使原分式有意义.有时也需运 用到整体代入.第4讲二次根式知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.肩关概念(1)二次根式的概念：形

16、如qa(ao)的式子.(2)二次根式有意义的条件：被开方数 大于或等于 0.(3)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因 式是蹩式(分母中不含根号)；被开方数中不 含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根 式组成的复合代数式后意义的条 件时，注意确保各部分都启意义， 即分母不为0,被开方数大于等于 0等.例：若代数式旨有意义， 则x的取值范围是x> 1.2.二次根式 的性质(1)双重非负性：被开方数是非负数，即a>0;二次根式的值是非负数，即va>o.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幕、 算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题： (1)值非负

17、：当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 Ja 1 + Jb 1=0,贝tj a=-1 ,b=1.(2)被开方数非负：当互为相反数 的两个数同时出现在二次根式 的被开方数下时，可得这一对相 反数的数均为0.如已知b=0一1 +J1 a ,则 a=1,b= 0.(2)两个重要性质：(峋2= a(a>0);信=闻=a a 0 ；a a 0 积的算术平力根：7ab =忘. Vb(a>0, b>0); 商的算术平方根： 卜 金(a>0, b>0).例：计算：J3.142 =3.14 : V 2 2 :2/-口 44 2后弓=2 ；aT9 W知识点二：二次根式的运

18、算3.二次根式 的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开力数相同 的二次根式.例：计算：72 78 V32 = 32._4.二次根式 的乘除法(1)乘法：& .后= 7ab(a>0, b>0)；注意：将运算结果化为最简二次根 式.例：计算：机标=1;嚼、怪4.除法：型=fa ( a>0, b>0). 而b5.二次根式 的混合运 算运算顺序与实数的运算顺序相同， 先算乘方,再算乘 除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去 括号).运算时，注意观察，有时运用乘法 公式会使运算简便.例：计算：(广+1)( 42 -1)= 1.第二单元方程(组)与不等式(组

19、)第5讲一次方程(组)知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基 本性质(1)性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即右a b,则a±c b±c .(2)性质2：等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能 为0),所得结果仍是等式.即若a=b,则ac=bc， a b(cw0).c c(3)性质3:(对称性)若a=b,则b=a.性质4：(传递性)若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除 以一个数时，这个数必须/、为 0.例：判断正误.(1)若 a=b,贝 a/c=b/c.(X)(2)若 a/c=b/c ,则 a=b.(V)2.

20、关于方程 的基本概念(1)次方程：只含有 二个未知数，并且未知数的 次数是1,且等式两边都是整式的方程.(2)二L次方程：含有两个未知数，并且含有未知数 的项的次数都是1的整式方程. 二L次方程组：含后两个未知数的两个一次方程 所组成的一组方程.二L次方程组的解：二L次方程组的两个方程 的公共解.在运用次方程的定义解 题时，注意一次项系数不等于 0.例：若(a-2) Xa1| a 0是关于x的一一次方程，则a的值为 0.知识点二：解一广次方程和二L次方程组3.解一7- 次方程的步 骤(1)去分母：方程两边同乘分母的最小公倍数，/、要漏乘 常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项

21、均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a*0);(5)系数化为1:方程两边同除以系数a,得到方程的解 x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应 该将分子用括号括起来，然后再 去括号，防止出现变号错误.4.二-次 方程组的解 法思路：消无，将二L次方程转化为次方程 .1已知方程组，求相关代数式的值 时，需注意观察，有时不需解出 方程组，利用整体思想解决解方 程组.例：已知2x y 9则x 2y 3x-y的值为x-y= 4.方法：(1)代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表 达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：巴两个方程的两边分别

22、相加或相减消 去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用5.列方程(组)解应用题 的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知事、未知事；设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程(组)；解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称.(1)设未知数时，一般求什么 设什么，但有时为了方便，也可 间接设未知数.如题目中涉及到 比值，可以设每一份为x.(2)列方程(组)时，注意抓 住题目中的关键词语，如共是、 等于、大(多)多少、小(少) 多少、几倍、几分之几等.6.常见题型 及关系式(1)利润问题：售价=标价X折扣，销售

23、额=售价X销量，利润=售价-进价，利润率=利 润/进价x 100%.(2)禾1息问题：利息=本金X利率X期数，本息和=本金+利息.(3)工程问题：工作量=工作效率x工作时间.(4)行程问题：路程二速度X时间. 相遇问题：全路程二甲走的路程+乙走的路程； 追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发： 前者走白路程+两地间品喃=追者走的路程.第6讲F二次方程知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元 二次方程的相 关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.(2)一般形式：ax2 +bx+c= 0(aw0),其中 ax2、

24、bx、c 分别叫 做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、 一次项系数、常数项.例：方程axa 2 0是关于x的F二次方程，则方程 的根为一1.2.一元二 次方程 的解法(1)直接升平方法：形如(x+m)2=n(n>0)的方程，口直接升 平力求解.(2 )因式分解法：可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程，用因式 分解法求解.(3 )公式法：一元二次方程ax2+bx + c = 0的求根公式为 x =b 招 4ac(b2-4ac>0).2a配方法：二次方程的二次项系数为1, 一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法.解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即 先

25、考虑能否用直接开平方 法和因式分解法，不能用 这两种方法解时，再用公 式法.例：把方程x +6x+3=0及形 为(x+h) 2=k的形式后， h=-3 ,k= 6.知识点二：F二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判 别式(1)当A = b2 4ac>0时，原方程启两个不相等的实数根.(2)当A = b2 4ac=0时，原方程启两个相等的实数根.(3)当A = b2 4ac<0时，原方程没有实数根.例：方程x2 2x 1 0的判别式等于6,故该方程启H 个不相等的实数根:方程x2 2x 3 0的判别式等_8,故该方程没有戈数1I.4.根与系 数的关(1)基本关系：右关于 x的一

26、人一次方程 ax+bx+c=0(aw0)与一元二次方程两根相关 代数式的常见变形：系后两个根分别为xi、X2,则xi+X2=-b/a, xiX2=c/a .注意运用根 与系数关系的前提条件是4。.(2)解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式义形为含有X1+X2、X1X2的式子，再运用根与系数的关系求解.（Xi+1）（X 2+1）=XiX2+（X 1+X2） + 1,X 12+X22=（X 1+X2） 2-2x 1X2,11 Xi X2 等.Xi X2XX2失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时4 2=b-4ac >0.知识点三：一元二次方程

27、的应用4.列一元 二次方 程解应 用题(1)解题步骤：审题； 设未知数； 列F二次方程； 解一九二次方程；检验根是否有意义；作答.运用一元二次方程解决实 际问题时，方程一般后两 个实数根，则必须要根据 题总检验根是否有意义.(2)应用模型：F二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.平均增长率(降低率)问题：公式：b = a(1 ±X)n, a表示基 数，乂表示平均增长率(降低率)，n表示变化的次数，b表示 变化n次后的量；禾润问题：禾1润=售价-成本；禾1润率=禾1润/成本x 100%传播、比赛问题：面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移

28、形成规则图形，运用面枳之间的关 系列方程.第7讲分式方程知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.例：在下列方程中，x2 1 0 ;x y 4 ;x ,其中是分式方程X 1的是.2.解分式方 程方程两边同乘以最简公分母基本思路：分式方程一整式方程约去分母例：将方程二-2转化为整式方X 1 1 X程可得：12 = 2(x 1).解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；解所得的整式方程；(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母 中，若最简公分母为0,则应舍去.3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根.例：若分式方程,0有增根，则增根X 1为

29、1.知识点二：分式方程的应用4.列分式方 程解应用 题的一般步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）列分式方程；（4） 解分式方程；（5）检验：（6）作答.在检验这一步中，既要检验所求未知数 的值是不是所列分式方程的解，又要检 验所求未知数的值是不是符合题目的实 际意义.第8讲一元一次不等式（组）知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式 的相关 概念（1）不等式：用不等号（>,>，<,0或w ）表示不等关系 的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使/、等式成立的未知数的取值范围 .例：“a与b的差/、大于1" 用/、等

30、式表/、为ab01.2.不等式 的基本 性质性质 1:若 a>b,则 a ± c>b± c；性质 2：若 a>b, c>0,贝U ac>bc, a>E ；性质 3:若 a>b, c<0, ac<bc, a <-.牢记/、等式性质3,注反受 号.如：在不等式一2x>4中， 若将不等式两边同时除以 2,可得 x<2.知识点二：一次不等式3.定义用/、等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都 是1的，左右两边为整式的式子叫做一次不等式 .例：右mx 3 0是关于x 的一7次不等式，则m的 值为-上1

31、4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为 1.失分点警示系数化为1时，注意系数的 正负性，若系数是负数，则 不等式改变方向.（2）解集在数轴上表小:hPRZ-Jr 1Q于0a0口0a0ax >ax>ax< ax< a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的次不等式合在 T,就组成一个一一次不等式组.（1）在表示解集时“学”， 表示含有，要用实6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分心圆点表示；假设a<b解集数轴去小口诀表示不包含要用空心圆点 表不.x ax>b1人人取大（2）已知不等式

32、（组）的x b1b解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常7.不等式 组解集x ax<al11 一小小取小x bab数，再逆用不等式（组）a<x<解集的定义，反推出含字 母的方程，最后求出字母的类型x a 一 1 一 一大小，小大中间找x bb1打，1的值.如：已知不等式（a-1 ） xx a无解人人，小小取不了<1-a的解集是x>-1，则x baba的取值范围是av 1.知识点四：列不等式解决简单的实际问题注意：列不等式解决实际问题中， 设未知数时，不应带”至 少”、“最多”等字眼，与方 程中设未知数一致.(1) 一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列

33、不等 式；解不等式；验检是否有意义.8.列不等 式解应 用题(2)应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少(2 ”、“最多(0) ”、“不低于(2 ”、 “不高于(&) ”、“不大(小)于"、“超过(>)”、“不足 (<)”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问 题，一般还需根据整数解，得出最佳方案第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平曲直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1)定义：在平向内启公共原点且互相垂直的两条数 直角坐标系.(2)几何意义：坐标平面内任意一点 M与有序实为 系zt 对应.轴构成平向k对(x, y)的关点的坐

34、标先读横坐标 (x轴)，再读纵坐标 (y 轴).2.点的坐标 特征(1 )各象限内点的坐标的符号特征(如图所小)：第二象限2点 P(x,y)在第一象限？ x二0, y二(-，+) 1Ly_ 第一象限J ( + , + ) x(1)坐标轴上的点/、0；T -2 -1O点P(x,y)在第二象限？ x<0, y二彳?象)0；3点P (x,y )在第三象限？ x<0, y<0;点P (x,y )在第四象限？ x>0, y士0.(2)坐标轴上点的坐标特征：在横轴上？ y=0；在纵轴上？ x = o；原点？(3)各象限角平分线上点的坐标第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标第二、四

35、象限角平分线上的点的横、纵坐标(4 )百P；4.点 的 坐标特._彳关 同左耳怏,小半于x轴对 冏“铮W呷必7为(a, b)；关于y轴对称的点P2的坐标为(一z关于原点对称的点P3的坐标为(-a, - b).(5)点M (x,y )平移的坐标特征：M (x,y ) M 1(x+a, y)M2( x+a, y+b)123 A一 第四象限 -(+ ,一)x= 0, y = 0.相等；互为相反数(a, b)的对称正：尔的点R的坐标九b)；属于任何象限.(2)平面直角坐标系 中图形的平移，图 形上所有点的坐标 变化情况相同.(3)平面直角坐标系 中求图形面积时，先 观察所求图形是否为 规则图形，若是，

36、再 进一步寻找求这个图 形面积的因素，若找 不到，就要借助割补 法，割补法的主要秘 诀是过点向x轴、y 轴作垂线.从而将其 割补成可以直接计算 面积的图形来解决.3.坐标点的 距离问题(1)点M(a,b)到x轴，y轴的跑离:到x轴的距* 轴的距离为| a|_.(2)平行于x轴，y轴直线上的两点间的跑离：点 M(x1,0) , M2(x2,0)之间的距离为 | x1一x2| ,点 M(, y)间的距离为|x1一x2| ；点 M(0 ， y1) ， M(0 , y2)|可的距离为 |y1一y2| ,点 M营为| b|_；)到yxb y), m(x2,(x, y1) , M(x,平行于x轴的直线上

37、的点纵坐标相等;平 行于y轴的直线上的 点的横坐标签.y2)间的距离为| yi y2| .知识点二：函数4.函数的相 关概念(1)常量、变量：在一个变化过程中，数值始终/、变的量叫做常 量，数值发生变化的量叫做变量.(2)函数：在一个变化过程中，启两个变量 x和y,对于x的每 一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称 x是自变量， y是x的函数.函数的表示方法肩：列表法、图像法、解析法 .(3)函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分 式的分母不为 空；二次根式的被开方数为 韭负数；使实际问题 启意义.失分点警示函数解析式，同时有 几个代数式，函数自 变量的取值范围应是 各个代

38、数式中自变量 的公共部分.例：函 数y二由二中自变量x 5的取值范围是x-3且 x w 5.5.函数的图 象(1)分析实际问题判断函数图象的方法：找起点：结合题十中所给自变量及因变量的取值范围，对应 到图象中找对应点；找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.(2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法：设时间为t (或线段长为x),我因变量与t(或x)之间存在的函 数关系，用含t(或x)的式子/示， 再找相应的函数图象.要注 意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性 的技巧：当函数图 象从左到右呈“上升”(“下降

39、”)状态时， 函数y随x的增大而 增大(减小)；函数 值义化越大，图象越 陡峭；当函数y值 始终是同一个常数， 那么在这个区间上的 函数图象是一条 于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函 数的相 关概念(1)概念：一般来说，形如y kx + b(kw0)的函数叫做一次函 数.特别地，当b =0时，称为正比例函数.(2)图象形状：一次函数 y = kx+b是一条经过点(0, b)和 (-b/k ,0)的直线.特别地，正比例函数y=kx的图象是一条 包经过点(0, 0)的直线.例：当k=1时，函数y = kx+k1是正比例函 数，2.一次函

40、 数的性 质k, b符号K> 0, b>0K> 0, b<0K> 0, b=0k<0, b>0k<0, b<0k<0, b = 0(1) 一次函数 y=kx+b 中，k确定J倾斜方向和 倾斜程度，b确定了与y 轴交点的位置.(2)比较两个一次函数 函数值的大小：性质法， 借助函数的图象，也可以 运用数值代入法.例：已知函数y=-2x+b,图象不限京中y经过 象限H 二、三、四一、三、二、四二、三、四二、四图象 性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小函数值y随x的增大而减 少(填“增大”或“减小”丁3.一次函 数与坐 标轴交 点坐标(

41、1)交点坐标：求一次函数与 x轴的交点，只需令 y=0,解出x 即可；求与y轴的交点，只需令x=0，求出y即可.故一次函数y = kx+b(kw0)的图象与x轴的交点是一b, 0 ,与y轴的交 k点是(0 , b);(2)正比例函数y=kx(kw0)的图象恒过点(0, 0).例：一次函数丫=乂+2与乂轴 交点的坐标是(-2,0 ), 与y轴交点的坐标是(0,2).知识点二：确有次函数的表这式4.确定一 次函数 表达式 的条件(1)常用方法：待定系数法，其一般步骤为：设：设函数表达式为y = kx+b(kw0)；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k与b的值，得到函数表达式

42、.(2)常见类型：已知两点确定表达式；已知厢寸函数对应值确定表达式；平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过 点(0,1 )，则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1 ) 的坐标代入即可.(1)确二次函数的表达 式需要两组条件，而确定 正比例函数的表达式，只 需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与 y轴交点坐标即可得出b 的值,b值为其纵坐标， 可快速解题.如：已知一 次函数经过点(0,2),则 可知b=2.5.一次函 数图象 的平移规律：一次函数图象平移前后 k不变，或两条直线可以通过 平移得到，则可知它们的k值相同.若向上平移h单位，则b值增大h;若向卜平移h单

43、位，则 b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4 的图象向卜平移2个单 位长度，所得图象的函数 关系式为y=-2x+2 .知识点三：一次函数与方程(组)、不等式的关系6. 一次函数 与方程兀，次方程kx+b=0的根就世次函数 y=kx+b(k、b是常数， kw0)的图象与x轴交点的横坐标.例：(1)已知关于x的方程 ax+b=0的解为x=1，贝U 函数y=ax+b与x轴的 交点坐标为(1,0).(2) 一次函数 y=-3x+12 中，当x _> 4时，y的 值为负数.7. 一次函数 与方程组一次力弹y=k1x+b 1的解两个一次函数 y=k1x+b和y=k2x+b嗨=口镰点坐标.8. 一

44、次函数 与/、等式(1)函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就 是不等式kx+b>0的解集(2)函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围就 是不等式kx+b<0的解集知识点四：一次函数的实际应用9. 一般步骤(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)利用待定系数法求出一次函数关系式；(4)确定自变量的取值范围；(5)利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是 否符合实际意义；(6)做答.一次函数本身并没有 最值，但在实际问题 中，自变量的取值往往 有f的限制，其图象 为射线或线段.涉及最 值问题的一般思路：确 止函

45、数表达式一确止10.常见题型(1)求一次函数的解析式.(2)利用一次函数的性质解决方案问题.函数增减性一根据自 变量的取值范围确定 最值.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例 函数的 概念k(1)定义：形如y = -(kw0)的函数称为反比例函数，k叫 X''做比例系数，自变量的取值范围是 非零的一切实数.(2)形式：反比例函数有以下三种基本形式：_ k ®y = -;丫二卜乂/；xy=k.(其中k为吊数，且kw0)X例：函数 y=3xm+1,当 m=- 2 时，则该函数是反比例函数.2.反比例 函数的图

46、象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函 数图象上的方法：把点的 横、纵坐标代入看是否满足 其解析式；把点的横、纵 坐标相乘，判断其乘积是否 等于k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比 较时，首先要判断自变量的 取值是否同号，即是否在同 一个象限内，若不在则不能 运用性质进行比较，可以画 出草图，直观地判断.k>0图象经过第 一、三象限(X、y 同 号)每个象限内，函数y 的值随x的增大而 减小.k<0图象经过第 二、四象限(x、y 异 号)每个象限内，函数y 的值随x的增大而 增大.3.反比例 函数的 图象特 征(1)由两条曲线组成，叫做双曲线；(

47、2)图象的两个分支都无限接近 x轴和y轴，但都不会与 x轴和y轴相交；(3)图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称 图形，2条对称轴分别是平面宜角坐标系一、二象限和二、 四象限的角平分线.例：若(a , b)在反比例函数k . y 的图象上，则(a, 一b)也该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系 数法只需要知道双曲线上任意一点坐标， 设函数解析式，代入求 出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过 点(一3, 1),则它的解析 式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的 几何意 义 k(1)意义：从反比例函

48、数y=(kw0)图象上任意一点向x x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为| k|, 以该点、一个垂足和原点为 顶点的三角形的面积 为 1/2|k|.(2)常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函 数的表达式，注意若函数图 象在第二、四象限，则k<0. 例：已知反比例函数图象上 点作坐标轴的垂线所围 成矩形为3,则该反比例函数I k i4 'L-Ilt-lIL加，尸I解析式为：y _3或y -3 x -x6.与一次 函数的 综合(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a,b), 则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(-a,-b ).【方法二】联立两

49、个函数解析式，利用方程思想求解 .(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标， 再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与 各字母系数的关系，可采用假设法，分 k>0和k<0两 种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判 断、排除.(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方 的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解 集的范围.涉及与面积有关的问题时， 要善于把点的横、纵坐标 转化为图 形的边长， 对于不好 直接求的面积往往可分割转化为较好 求的三角形面积；也要注 意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部

50、 分的面积按从小到大的顺序 排列为：Sa ao=S opE> Sk BOD知识点三：反比例函数的实际应用7 .一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2设出函数表达式；(3)依题意求解函数表达式；(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题第12讲 二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1. 一次函 数的定 义形如y=ax+b圻c (a, b, c是常数，aw 0)的函数，叫做二次函 数.例：如果函数 y=(a 1)x2是二次函数，那么 a的取值范围是aw0.2.解析式(1)二种解析式：一般式：y=ax +bx+c;顶点式：y=a(x-h)

51、+k(a w0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);交点式： y=a(x-x i)(x-x 2),其中xi,X2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2)彳寺定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关 于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，从 而求出函数的解析式.若已知条件是图象上 的二个点或二对对应 函数值，可设一般式； 若已知顶点坐标或对 称轴力程与最值，可设 顶点式；若已知抛物线 与x轴的两个交点坐 标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函 数的图 象和性 质图象 / x0|/ y= ax 2+bx +c(a > 0)y=ax 2+ bx +

52、c( a v 0)(1)比较二次函数函 数值大小的方法：直 接代入求值法；性质 法：当自变量在对称轴 同侧时，根据函数的性 质判断；当自变量在对开口向上向上称轴异侧时，可先利用 函数的对称性转化到 同侧，再利用性质比 较；图象法：画出草 图，描点后比较函数值 大小.失分点警示(2)在自变量限定范 围求二次函数的最值 时，首先考虑对称轴是 否在取值范围内，面/、 能盲目根据公式求解. 例：当0&x&5时，抛 物线y=x2+2x+7的最小 值为乙对称 轴x= 上2a顶点 坐标b 4ac b22a, 4a增减 性当x>2时，y随x的增大而 2a增大；当x< b时，y随x的

53、 2a增大而减小.当x>上时，y随x的增大 2a而减小；当x <上时，y 2a随x的增大而增大.最值.,2x= 2 y 最小=4ac b .2a4ax= A y 最大=4ac b2. 2a4a3.系数a、 b、ca决定抛物线的开 口方向及开口大 小当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口问卜.某些特殊形式代数式 的符号：a± b+c即为x=± 1 时，y的值；4a ±2b+c即 为x= ± 2时,y的值.2a+b的符号，需判 断对称轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线 x=1 的左边，则-b/2a _> 1,

54、再根据a的符号即可 得出结果.2a-b的 符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b决定对称轴(x=-b/2a )的位 置当a, b同号，-b/2a <0,对称轴在y轴 左边；当b=0时，-b/2a=0 ,对称轴为y轴； 当a, b异号，-b/2a >0,对称轴在 y轴 右边.c决定抛物线与 y 轴的交点的位置当c>0时，抛物线与y轴的父点在正半 轴上；当c=0时，抛物线经过原点；当c<0时，抛物线与y轴的父点在负半 轴上.b2 -4ac决定抛物线与 x 轴的交点个数b 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点； b 4ac= 0时，抛物线与x轴启1个交点；b4ac<0时，抛物线与x轴没后交点知识点三：二次函数的平移4.平移与 解析式 的关系y=ax2/左(h<0)或向右(h>QFy=a(xh)2 向上(k>°减向下(k<0)、* y=a-h/k 的图象平移网个单位a的图家平移|kI个单位门的图象注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出 原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失