初中数学竞赛试题总汇编

1、实用标准中国教育学会中学数学教学专业委员会2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120 分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）在下列各小题中， 均给出四个答案， 其中有且只有一个正确答案， 请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分1. 从长度是 2cm， 2cm， 4cm，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）AA 1B 1C 1D 14322如图， M是 ABC的边 BC的中点， AN平分 BAC，AN BNN于 ，且=10， =15， =3，则的周长为（）NABBCM

2、NABCBCA38 B 39C 40D. 41M（第 2 题图）3已知 xy1 ，且有 5 x 22011 x90 ， 9 y20 ，则x2011 y5的值等于（）yA 5B 9C 2011D201195594已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆 ( 如图所示 ) ，已知两个月牙形 ( 带斜线的阴影图形 )的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）（第 4 题图）A 6B.7 C 8D 95设 a ， b ， c是 ABC的三边长，二次函数y( abcxab时取最) x 2在 x 1228b ，则 ABC是（小值

3、）5A等腰三角形B锐角三角形C 钝角三角形D直角三角形6 计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（ 1）中的 2 个连续存储单元已依次存入数据 b ， a ，取出数据的顺序是 a ， b ；堆栈（ 2）的 3 个连续存储单元已依次存入数据 e ， d ， c ，取出数据的顺序是 c ， d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出 5个数据（每次取出1 个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A5 种B6 种C10 种D12 种二、填空题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）bead（ 1） （ c 2）（第 6 题图）22 x

4、1 4 0 ，则满足该方程的所有根之和为.7若 x8（ 人教版考生做 ）如图 A，在ABCD中，过 A， B， C 三点的圆交 AD于 E，且与 CD相切，若 AB=4， BE=5，则 DE的长为8（ 北师大版考生做 ）如图 B，等边三角形中， ， 分别为， 边上的两个动点，ABC DEAB BCF G且总使 AD=BE， AE与 CD交于点 F， AGCD于点 G，则A F文档实用标准2 a423 xa9已知 aa 1 0 ，且32 xaa2222，则 xa310元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种 . 若两人购买商品

5、一共花费了172 元，则其中单价为9 元的商品有件11如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面 BC上，如果 CD与地面成 45oo2 ) m，则电线杆AB的长为， A= 60， CD=4m， BC= ( 4 6 212实数 x 与 y ，使得 xy ， xy ， xy ， xy具有这样性质的数对( x , y ) 为C四个数中的三个有相同的数值，则所有DCEEFADABGABBC（第 8题图 A）D(第 11题图)（第 8题图 B）三、解答题（本大题共3 个小题，每小题20 分，共 60分）13. （本题满分 20 分）已知： ( xa )( xb )( xb

6、 )( xc)( xc )( xa ) 是完全平方式求证：abc 14. （本题满分 20 分）如图，将 OA= 6， AB = 4 的矩形 OABC放置在平面直角坐标系中，动点 M，N以每秒个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿 AO向终点 O运动，点N沿向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作，交于点，CBNP BCOBP连接 MP（ 1）点 B 的坐标为；用含 t 的式子表示点P 的坐标为；（ 2）记 OMP的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（ 0 <t < 6 ）；并求 t为何值时， S 有最大值？yyN（ 3）试探究：当S 有最大值时，在 y 轴CB

7、CB上是否存在点T，使直线 MT把 ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是P1 ？若存在，求出点 T 的坐标； ONC面积的OMAxOAx3若不存在，请说明理由（备用图）(第 14题图)15. （本题满分20 分）对于给定的抛物线22 ( b q ) . （ 1）证明：y xaxb ，使实数 p ， q 适合于 ap抛物线 y x 2pxq通过定点；（ 2）证明： 下列两个二次方程，实数根 .20 与 x2中至少有一个方程有xaxbpxq 0文档实用标准2013 年全国初中数学竞赛试题考试时间2013年 3月 17日9：3011：30满分 150 分题号一二三总分156101112

8、1314得分评卷人复查人答题时注意：1. 用圆珠笔或钢笔作答；2. 2. 解答书写时不要超过装订线；3. 3 草稿纸不上交。一、选择题（共 5 个小题，每小题7 分，共35 分。每道小题均给出了代号为A、 B、C、 D的四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1. 设非零实数 a 、 b 、 c 满足a2 b3 c0，则 abbcca 的值为（）2 a3 b4 c0222abc(A) -1( B)0(C)1(D)1222. 已知 a 、 b 、 c 是实常数，关于x 的一元二次方程2c0 有两个非零实根，则axbx下列关于 x

9、的一元二次方程2c 0 中，以11axbx2， 2 为两个实根的是（）x1x 2(A)c2222 ac ) x20( B)2222 ac ) xa2x( bacx( b0(C) c22( b2a20(D)2222 ac ) xa2x2 ac ) xcx( b03，如图，在 Rt ABC中 , 已知 O 是斜边 AB 的中点， CDAB, 垂足为 D， DE OC,垂足为 E，若 AD， DB， CD的长度都是有理数，则线段 OD、OE、DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（）C(A) OD(B) OE(C) DE(D) ACE4、如图，已知 ABC的面积为 24，点 D 在线段 AC上，点

10、F 在ADA线段 BC上，且 BC=4AF， DCFE是平行四边形，则图阴影部分 ( DOBBDE+ ADE)的面积为（）。E(A) 3(B)4(C) 6(D) 8A5 对 于 任 意 实 数 x ， y ， z ， 定 义 运 算 “ * ” 为 ：3 x3223453 xyxyBx * y33，且 x * y * z( x * y ) * z ，CF( x1)( y1 )60则 2013*2012*3*2的值为（）EDF文档BC实用标准607( B)18215463(D)16389(A)(C)967967967967二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6. 设 a33 ，

11、 b 是 a2 的小数部分，则( b2 )3 的值为 . 如图，点 D、E 分别是 ABC的边 AC、AB 上的点，直线 BD与 CE交于点 F，已知 CDF，BFE， BCF的面积分别是3， 4， 5 则四边形 AEFD的面积是。 . 已知正整数a 、 b 、 c 满足 a22 c20 ， 3 a20 ，则 a b c 的最b8 b c大值为。 . 实数 a ， b ， c ， d满足：一元二次方程x2cx d0 的两根为 a ， b ，一元二2axb0 的两根为 c ， d ，则所有满足条件的数组（a ， b ， c ， d ）次方程 x为。10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售

12、4 元，圆珠笔每支售7 元。开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013 元，则他至少卖出了支圆珠笔。三、解答题（共4 题，每题20 分，共80 分）11. 如图，抛物线 yax2，顶点为 E，该抛物线x 与bx 3轴交于 A， B 两点，与y轴交于点C，且 OB=OC=3OA。直线1Dy x 1 与 y 轴交于点 D，求 DBC-CBE.3OBA12. 、设 ABC的外心，垂心分别为O， H，若 B， C，H， O 共圆，对于所有的 ABC，求CBAC所有可能的度数。E13. 设 a ， b ， c 是素数，记xbca ， ycab ， zab

13、c ，当 z 2y ，xy2 时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论。14. 如果将正整数M放在正整数 m左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M为 m的“魔术数”（例如，把 86放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数），求正整数 n的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1 a 2, a n ，满足任意一个正整数 m，在 a 1 a 2, a n 中都至少有一个为的 m魔术数。文档实用标准2013 年全国初中数学联赛江西预赛试题时间： 2013 年 3 月 10 日上午 9：0011：30一、选择题（每小题7 分，共

14、 6 题，计 42 分）1、若 mn4 m25 mn6 n22, 且 m、 n 同号，则2的值是（）2 n3 m 5 nm2 mn3 nA、7B、6 C 、5D 、 42、若 ABC中， AB 62 ， BC=2, ABC的面积是 1，若 B 是锐角，则ACB的度数是（）A、30° B 、45° C 、60° D 、75°3 、若 a 27 a 90 , b 27 b9 0 ， ab 1,则ba 的值为ab（）A、 13B 、13C 、13D、03334、一块木板上钉有 9 枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4 枚铁钉，构成一个平行四边形，共有套法

15、（）A、82B、 40C 、22D 、215 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中，从1 开始数起，问第1990 个“智慧数”是（）A、2663B 、2664 C 、2665 D 、26262至少有一个整数解的正整数a 的值的个数6、能使方程 mx +2(2m-1)x+4(m-3)=0有（）A、3 B、4C 、5D 、6二、填空题（每题7 分，共 4 小题，计 28 分）7、如图：在 ABC中，AB9，BC=4,Q为 AC的中点，P 为 AB边上一点，且 APQ=90° + 1 B，则 BP的长2为 _8、为了迎接2016 年世界杯足球赛的

16、到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖金（元 / 人）15007000当比寒进行到12 轮结束（每人均需要12 轮）时， A 队共积分 19 分，若每赛一场队员人均出场费 500 元，设 A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元，则 W的最大值是 _9、已知 a、b、c、d 是四个不同的实数， 且（a+c）(a+d)=-2013,(b+c)(b+d)=-2013,文档实用标准则 (a+d)(b+d)=-_10、已知 O的半径为 6，四边形 ABCD是圆内接四边形，对角线 AC与 BD交于点 E,CE1.2 ，若 AC是直径，且

17、AD=BD，则四边形 ABCD的周长是 _三、解答题（ 70 分）11、（满分 20 分）已知方程 x2+ax+2a+2=0有两个整数解，求 a 的值。12、（满分 25 分）已知 AE是 ABC的角平分线， D 是线段 AE上的点，且 BDE=90°+ 1 BAC，求证 :D 是 ABC的内心。213、（满分 25 分）如图：抛物线 y=mx2+5x+n与 x 轴交于 B、 C两点，交 y 轴与 A 点，过 A、 B、C 三点作 P，且 P 与 y 轴相切于点 A，（ 1）求 m、n 的关系；（ 2）求 BAC的正切值；（ 3）设抛物线的顶点为 D，试判断直线 DB与 P 的位置关

18、系，并证明。文档实用标准2012 年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、选择题：（每题7 分，共42 分）1、化简2 721123234 19 8 3 的结果是（）A、2B、 2C、33D、3 32、一次考试共有5 道题，考后统计如下， 有 81%的同学做对第1 题，91%的同学做对第2 题，85%的同学做对第3 题， 79%的同学做对第4 题， 74%的同学做对第5 题，如果做对3 题以上的（含3 题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（）。A、 70%B 、 79% C 、74%D 、81%3、如图：在 ABC 中，AD1AB ,BE113BC ,CFCA,则33AN:N

19、L:LE 等于（）A、2：1：1 B 、3：2：1 C 、3： 3：1 D 、2：3：14、满足方程 x 2y 22 ( xy )xy的所有非负整数解的组数有（）A、1B、2C、3D 、 45、如图：正方形ABCD的边长为 215，E、F 分别是 AB、BC的中点， AF 分别交 DE， DB于 M，N, 则 DMN的面积为（）A、 8B、9C、10D 、1124 的值为整数的实数6、使分式 x2 xx 的值的个数是（）23 x3xA、4B、5C、6D 、7二、 填空题（每题7 分，共 28 分）7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为.8、边长为9cm, 40cm,41cm

20、 的三角形的重心到外心的距离是k29、已知二次函数y ax2bxc , 一次函数 yk ( x1)，若它们的图像对于问题任4意的数 k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为10、代数式 x29( x8 ) 249 的最小值是三、 解答题（共三大题，70 分）11、已知关于 x的方程 ( k2 )( k4 ) x2(10 k28 ) x240 的根是整数，求满足条件的所有实数 k 的值（ 20 分）文档实用标准12、如图：在矩形 ABCD中，点 P 在 AB上，且 ACP是等腰三角形， O是 AC的中点， OE AB于有，点Q是 OE的中点，求证：PQ CE（ 25 分） .13、已知二次函数

21、 y2( m 3 ) xm 4点 A ( x,0 ), 点 B ( x,0）12),x图像与轴交于与12(x <xy 轴交于点 C, 若 CAB与 CBA是锐角。（1）求 m的值；（2）是否可能出现CAB CBA？若可能，求出 m的值；若不可能，比较CAB与 CBA的大小；（3）当 CAB与 CBA互余时， ABC的面积是多少？（25 分）文档实用标准2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1 已 知 a2 1 ， b32， c62， 那 么 a , b , c的大小关系是（）A. a bcB.ac bC.bacD.b c a2方程

22、x223 4的整数解( x y ,的组数为2 xy3 y（）A 3.B 4.C 5.D 6.3 已知正方形ABCD的边长为1， E 为 BC 边的延长线上一点，CE 1，连接 AE，与 CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（ D ）A6B5C 2 6D 2 533334 已 知 实 数 a , b 满 足221， 则44abaa b b的最小值为（）A1B 0.C 1.D9.885若方程22 p x 3 p 2的0两 个 不 相 等 的 实 数 根 x1 , x 2x满 足23423px1x1( x 2x2)，则实数的所有可能的值之和为（）A 0.B3C 1 .D5.4

23、46由 1，2，3，4 这四个数字组成四位数a b cd（数字可重复使用） ，要求满足 a cbd .这样的四位数共有（）A 36 个.B40 个.C44 个.D48 个.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1 已知互不相等的实数a , b , c 满足 a1b11，则 tctbca2使得 52 m1 是完全平方数的整数m 的个数为3 在 ABC中，已知 AB AC， A 40°， P 为 AB上一点， ACP 20°，则 B CA P4 已知实数 a , b , c 满足 a b c1， abc4 ，文档实用标准2a2b2c4 ，则 a 2b 2c 2a3 a

24、1 b3b 1 c3 c 19第二试一、（本题满分20 分） 已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积 .二（本题满分25 分）如图， PA为 O的切线， PBC为 O的割线， AD OP于点 D.证明：A D2BDCD.AODPBC12c 的顶点为 P，与 x 轴的正半轴交三（本题满分 25 分） 已知抛物线 yxb x6于 A( x1 , 0 ) 、 B( x 2 , 0 ) （ x1x 2 ）两点，与 y 轴交于点C， PA 是 ABC的外接圆的切线 . 设3M( 0 ,) ，若 AM/BC，求抛物线的解析式 .22011 年全国初中数学竞赛试题文档实用标准( 考试时

25、间： 2011 年 3 月 20 日 9： 30 11： 30 满分： 150 分 )一、选择题 （共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分。每道小题均给出了代号为A、B、 C、 D的四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1、设 x531)(x2 )( x3 ) 的值为（）2，则代数式 x ( xA、0 B、 1C、1D、22、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a,b）与 (c,d) 之间的运算“”为：（a, b ）（ c, d ）（ ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数 u, v,都有（ u, v

26、 ）（ x, y ）（ u, v ）, 那么（ x, y ）为（）A、（ 0, 1） B、（1, 0 ）C、（1， 0）D 、（0, 1）3、已知 A，B 是两个锐角，且满足sin2Aco s2B52A sin 232 ，则t ， c o sBt44实数 t 所有可能值的和为（）8B5C、 1D1 1A、3334、如图， 点 D、E 分别在 ABC的边 AB、AC上， BE、CD相交于点 F，设 S四 边 形EADF S ，1S BDF S2 ， S BCF S3 ， S CEF S4 ，则 S1S3与 S 2 S 4 的大小关系为（） AA、 S1S3 S2S4B 、 S1S3 S2S4C、

27、 S1S3 S2S4D 、不能确定5 、设11114S 的整数部分等于S 3+3+3+3 ，则1232011DFEB第4题图C（）A、4 B、 5 C、 6 D、 7二、填空题 （共 5 小题，每小题7 分，共 35 分）6、两条直角边长分别是整数 a, b（其中 b<2011），斜边长是b+1 的直角三角形的个数为.7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4 ；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为 5 的概率是.8、如图，双曲线 y20 ）与矩形 OABC的边 BC，（ xxBA

28、 分别交于点E， F ， 且 AF BF，连结 EF，则 OEF的面积为.9、 O的三个不同的内接正三角形将O分成的区域的个数为.10 、 设四 位数 a b cd3333满足 abcd 1 1 0 c d， 则这 样 的 四 位数 的 个数文档实用标准为.三、解答题 （共 4 题，每题20 分，共 80 分）2a 0 的 两 个 整 数 根 恰 好 比 方 程11 、 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 xc x2的两个根都大1, 求 ab c 的值 .xa x b 012、如图，点H为 ABC的垂心，以AB为直径的 O 1 和 BCH的外接圆O 2 相交于点D， 延长 AD交

29、CH于点 P， 求证：点P 为 CH的中点 .AO1HDPCBO213、若从 1,2,3, ， n 中任取 5 个两两互素的不同的整数a1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a5 ， 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值 .14、如图，ABC中， BAC 60°,AB 2AC. 点 P 在 ABC内 , 且 PA=3 , PB=5,APC=2, 求 ABC的面积 .P2011 年全国初中数学联赛江西赛区初赛试BC题（考试时间2011 年 3 月二 0 日 9： 30 11： 30）文档实用标准第一试一、选择题（每题7 分，共 42分）28和27都是质数，若记 x77 a8 ，

30、 y88 a7，1、设 a 为质数，并且 7 a8 a财在以下情况中，必定成立的是（）A、 x,y都是质数B、 x,y 都是合数C、 x,y一个是质数，一个是合数D、对于不同的a, 以上各情况皆可2、化简322322的结果是（）1712217122A、 2B、2C、 2D 、-23、 2201132011 的末位数字是 ( )A、 1B、3C、 5D、 74、方程x34 x1x86x 11 的解的情况是（）A、无解B、恰有一解C、恰有两个解D、有无穷多个解5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是（）A、 24B、36 C 、38D、 766、设 a,b 为整数，

31、 并且一元二次方程2( 2 ab3 ) x ( a26 )0 有等根，xab而一元二次方程2( 4 a2 b2 ) x( 2 a2 b1 )0 有等根，那么以、为根的2 ax一元二次方程是（）A、 2 x27 x6024 x40C 、 xB、 2 x260xD2( ab ) xab0、 x二、填空题 ( 每题 7 分，共 28分 )1、Rt ABC的三条边长分别为3、4、5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面积等于2、 若 x 35 x 27 x3( x 4 ) 3a ( x4 ) 2b ( x4 )c， 则 (a,b,c)=()3、如图：正方形ABCD的边长为1，E 是 CD边外的一点，满

32、CE BD,BE=BD,则 CE=4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7 的倍数， 用 S 表示圆周上所有的十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有种。第二试24 ( a3) x2290 的正整数解？一（20 分）试确定，对于怎样的整数 a, 方程 5 xa文档实用标准并求出方程的所有正整数解。二（ 25 分） 锐角 ABC的外心为O，外接圆的半径为R，延长 AO， BO， CO，分别与对边1112。BC， CA， AB交于 D、E、 F；证明BECFRAD三、（ 25 分） 设 k 为正整数，证明：1、如果 k 是两个连续正整数的乘积，那么25k+6 也是两个连续正整数的乘积；2、如果 25k+6 是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个连续正整数的乘积；2010 年全国初中数学联赛江西省初赛试题第 一 试文档实用标准一 . 选择题（每小题 7分，共 42 分）1、化简35134862的结果是（）（ A）、2 ；（ B）、