北京市届高三数学一轮复习专题突破训练立体几何文

1、北京市届高三数学一轮复习-专 题突破训练-立体几何-文作者:日期:北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练立体几何一、填空、选择题1、（2015年北京高考）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为（A. 1C. y/31c左）被腐D. 22、（2014年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为俯视图王（主）测B .3、（2013年北京高考）某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为图1一34、（昌平区2015届高三上期末）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形, 侧（左）视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是B.C.D.

2、A. 883443俯视图5、（朝阳区2015届高W模）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是,四棱锥侧而中最大侧面的面积6、（东城区2015届高三二模）若一个底而是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面枳等于(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6正（主）视卦,俯视图侑视图第(12)7、（房山区2015届高三一模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）48A. - B. - C. 4D. 8338、（丰台区2015届高三一模）某几何体的三视图如图所示（右上），则该几何体的体枳32（A） 48（B） 32（0 16（D）39、（丰台区20

3、15届高三二模）如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形, 则其左视图而积为(A) 2(c)l(D)正视图10、（海淀区2015届高三一模）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图为这个三棱锥的俯视图的是（）/正视图 乂厂（A）（B）（C）11、（石景山区2015届高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1, 画出的是某多而体的三视图，则该多面体的各条棱中，7最长的棱的长度为（）v/ l1111A. 2yf2B. y/b）;：C. 3D. 273； ! "中，所有可能成y(D)®粗实线yiiiiiMM1111111I111111_l1俯视图12、（西城区2015

4、届高三三模）一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧（左）视图如图所示，则俯视图可以为（正（主）视图仰体）视图13、设机，是不同的直线，白,夕是不同的平面，下列命题中正确的是A.若 m/a,nLQ,in 工 n ,则 a_L .alipC.若 mt la. n ± p. m / hi,则 a ± flalip14、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是QA. -B 4C. 23B 若 ml /a, n ± /3,m ± n ,则D 若 m / la. n ± B，m/ In ,则 15.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸

5、，可得这个几何体的体积为A. 4B. 8C. 12D. 24二、解答题K (2015年北京高考)如图，在三楂锥V ABC中，平面VAB，平而ABC, 4VAB为等边三 角形，AC_LBC且AC = BC = J2, O, NI分别为AB, VA的中点.(I )求证：VB平而MOC：(H)求证：平面MOC_L平面VAB：(III)求三棱锥V ABC的体积.BF2、(2014年北京高考)如图，在三棱柱A8C-A4G中，侧棱垂直于底面，ABLBC,AA = AC = 2 ,E、产分别为4G、8c的中点.< I)求证：平面A8E"_L平而58CG ；(II)求证：GF平面ABE；(Hl

6、)求三棱锥EA3C的体积.3、（2013年北京高考）如图1 -5,在四棱锥产一物P中，AB/CD. AB1.AD, CD=2AB,平面用2L 底而祝。PALAD.七和尸分别是和尸。的中点.求证:*_1_底面月氏2（2）助平面PAD；（3）平而玩力L平而PCD.4、（昌平区2015届高三上期末）如图，在四棱锥夕 ABC。中，底面A8C。为平行四边形,ZDAC=90 ,。为 AC 的中点，PO_L底面 A8C0.（I）求证：AO_L平而。4C;（口）在线段03上是否存在一点“，使得OM平而 24。？若存在，写出证明过程：若不存在，请说明理由.5、（朝阳区2015届高三一模）如图，在三棱柱48C-A

7、4G中，各个侧而均是边长为2的 正方形，O为线段AC的中点.（I）求证：8O_L平而 ACGA：（II）求证：直线AB1平而8G。：（IH）设例为线段BG上任意一点，在BG。内的平面区域（包 括边界）是否存在点E,使并说明理由.6、（东城区2015届高三二模）如图，在四棱锥P ABCD中，平面AAO，平面A8CQ, E为AD上一点，四边形8CDE为矩形，ZPAD = 60 , PB = 26, PA = ED = 2AE = 2.（I）若再'=九定（九七R）,且Q4 平而改尸，求4的值;（II）求证：C8_L平面。石8.7、（房山区2015届高三一模）如图，四棱锥EA8CO中，侧而E4

8、3，底而43CO,底而A8C。是直角梯形,AD/ BC. AB = BC = 2AD, ND48 = 90°, £A3是正三角形，尸为EC的中点.（I ）求证：平而E43；（1【）求证：。尸，平面E8C.8、(丰台区2015届高三一模)如图，在三棱柱ABC 4耳£中，侧棱底而ABC, M为 棱 AC 中点.AB = BC, AC = 2,朋=&.(I )求证：8c平而4BM ：(II)求证：AC1，平而A8M ：(III)在棱8星的上是否存在点N,使得平而AGN，平而A4CC?如果存在，求此时BN一的值：如果不存在，说明理由.BB、9、(丰台区2015届高

9、三二模)如图所示，四棱锥PA8C。的底而A8CQ是直角梯形，BCHAD,AB±AD. AB = BC = -AD. PA_L 底而 A3CO,过 8c 的平面交 PQ 于 M ,交 PA 于 N (M 2与。不重合).(I )求证：MNHB5(II)求证：CD 工 PC ；PM(III)如果8MJ.AC,求此时的值.PD10、（海淀区2015届高三一模）如图1,在梯形A8CD中，AD/BC. AD1DC, BC = 2AD, 四边形A跳尸是矩形.将矩形A3E尸沿A8折起到四边形的位置，使平面A8£/；_L平面 ABCD,“为A片的中点，如图2.（I ）求证：BE.1DC；（

10、II）求证：DM 平面BCE1；（III）判断直线CO与M6的位置关系,并说明理由.11、（海淀区2015届高三二模）如图所示，在四棱锥PA3C。中，尸。，平而A3CD,又AQ8C, ADLDC,且尸。= 8C = 3Ao = 3.< I）画出四棱准尸 ABC。的正视图；（1【）求证：平面24。JL平面PCO：PE（IH）求证：棱心上存在一点E,使得AE平而PCO,并求的值.EB12、（石景山区2015届高三一模）如图，已知 1平面月5Q?,四边形月期为矩形，四边形月W为直角梯形，NZZ45=9O , AB/CD. AL=Af=CL=2, AB=4.（I ）求证：平面BCE；< I

11、D求三棱锥月一侬的体积；（川）线段所上是否存在一点m使得励1团？ 若存在，确定M点的位置：若不存在，请说明理由.13、（西城区2015届高三二模）如图，在四棱锥E-A3CD中，AE1DE, 8L平面4）石， AB 1 平而AD石，CD = DA = 6, AB = 2, DE = 3.（I ）求棱锥C AOE的体积:（II）求证：平而ACE J_平面CDE；EF在，说明理由.（III）在线段OE上是否存在一点尸，使AF平而3CE?若存在，求出的值：若不存14、如图，四棱锥 庆四中，5c留於1,止且平面尸平面板7Z(I )求证:47J_如；PF(II)在线段PA上,是否存在点E使BE平面PCD?

12、若存在，求生的值;若不存在,请说明理PA由.15.在四棱锥P A3C。中，平而ABCD, A48C是正三角形，AC与次)的交点M恰好是ACPN 1中点，又NC4Q = 30 ,以=例=4,点"在线段所上，且不77 = ；7.NB 3(I )求证：BD1PC ;(II)求证：MN平而PDC;(III)设平面PAB A平面PCD = l,试问直线/是否与直线CD平行,请说明理由.参考答案一、填空、选择题1、【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示:由三视图可知，SC，平面ABCD, SA是四棱锥最长的校.= a/sC2 + AC2 = /SC2 + AB2 + BC1 = 73

13、 .2、【答案】2拒【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2,所以最长的棱长为= 2/.3、3解析正视图的长为3,侧视图的长为3,因此，该四棱锥底而是边长为3的正方形，且高为1,因此 r=1x (3X3) Xl=3. J4、D 5、B,叵646、D 7、C 8、B 9、C 10、DIK C 12、C13、【答案】C解：C中，当 7。,?/，所以，a,或ua,当 1/7,所以a”,所以正确。14、【答案】B解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2,底而三角形的高为3,底面边长为3,所以底面积为Lx4x3 = 6,所以该几何体的体枳

14、为1x6x2 = 4,选B.2315、【答案】A解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB_LAD, AB=AD=2, BCE,即PA_L平面ABCD, PA=2o且底面梯形的面积为 + 4)x2=6,所以V =1x6x2 = 4 .选A.23二、解答题1、【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）中.3【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线而平行、1而而平行、线线垂直、线面垂直、面而垂直、三棱 锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、 转化能力、计算能力.第问，在

15、三角形ABV中，利用中位线的性质得最后直接利用线 面平行的判定得到结论:第涧，先在三角形ABC中得到OC_LAB，再利用而而垂直的性质得OC_L 平而VAB,最后利用面而垂直的判定得出结论：第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用先求出三角形VAB的面积，由于。_1平而VAB,所以0C为锥体的高，利用锥体 的体积公式计算出体积即可.试题解析：（I ）因为O,M分别为AB, VA的中点,所以又因为V8（z平面MOC,所以V8/平面MOC.（II）因为AC = 8C，。为AB的中点，所以 OC_LA8.又因为平而VAB1平面ABC,且OC u平面ABC,所以OC_L平面VAB.所以平面MOC_L平面V

16、AB.（III）在等腰直角三角形AC8中，AC = BC = 0所以 A8 = 2,OC = 1.所以等边三角形VAB的面积.又因为OC_L平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于gx OC x.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体枳相等,所以三棱锥V-ABC的麻舐正.32、解：(I )在三棱柱A8C-AAG中，8用J_底面ABC.所以又因为AB_L8C.所以A3,平而8/CG.所以平面平而48CG .(II )取AB中点G,连结EG, FG .因为E, F分别是4£，BC的中点,所以 FGAC,且 EG = 'aC.2因为acAG，且ac = ag，所以产G

17、£G，且产G = EG.所以四边形产G£Q为平行四边形.所以G尸 EG.又因为EGu平面ABE, C/u平面相£,所以G尸平面(IH)因为A4, =AC = 2, BC = l, AB±BC,所以A3 =，4C2-g=6.所以三棱锥E-ABC的体积V = gabc - AA1=ixlx5/3xlx2 = - 3、证明：(1)因为平而月切_1_底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以以_1_底而ABCD.(2)因为，CD=2AB. £为缈的中点，所以独应，且AB=0E,所以的为平行四边形，所以BEAD.又因为侬平面PAD, ADa平面

18、PAD,所以麻平面为ZZ(3)因为J5_L4?,而且从却为平行四边形，所以皿，ADLCD.由知a_1_底面型所以出，又因为疝?0融=4所以Q?L平而用切，所以CDLPD.因为方和尸分别是和尸。的中点，所以a? 牙；所以CD1EF,所以，平面BEF, 所以平而即平面PCD. 4、证明：（I）在A4DC中，因为 NOAC=90,所以 AO J. AC.又因为 尸巾（ABC。，A"u平面A3CD所以POLAD.又因为POAC=O, PC、ACu平面尸AC, 所以ADJ_平面R4C.6分（II）存在.当M为心中点时，OM/平面PAD证明：设24、AO的中点分别为石、尸，OF、ME、EF,在A

19、48t>,。为4。的中点，所以 ofcdqf=Lcd.2在PA83 M> E为PB、R4的中点，所以 ME/AB. ME= - AB , 2MEHOF, ME=OF,所以四边形Og是平行四边形，所以OMHEF.因为 OW 2平面PAD, Eu平面R4D, 所以OW平面PAO.5、解：（【）证明：因为三棱柱的侧面是正方形， 所CC, 1 BC,CC, 1AC, BCQAC=C.所以CG JL底而4BC.因为8OU底而ABC,所以Cqj.BD.由已知可得，底而ABC为正三角形.因为。是AC中点，所以8OJLAC.14分因为ACCCCi=C,所以3O_L平而ACGA,.（II）证明：如图

20、，连接8c交8G于点。，连接。显然点。为8c的中点.因为。是AC中点，所以ABJ/OD.又因为OOc：平而BCQ, A片，平面3cQ,所以直线4与平面8Go.(HI)在SC1。内的平而区域(包括边界)存在一点E,此时点E是在线段£。上.证明如下：过C作CE_LCQ交线段CQ于E，由(I )可知8。_1_平面ACC/,而CEu平面ACCM， 所以 3OJ_CK.又CE_LG。，800。=。，所以 CE_L 平面8G。-又。Mu平而BCQ，所以CE_LDW. 14分6、证明：(I )连接AC交8E于点,连接因为PA 平而跳尸，平而尸ACPI平而=所以/M AP.因为EM H CD ,所以

21、坦=生=1.MC ED 2PF AM 1因为EWAP,所以=.FC MC 2所以 = 16分3(II)因为AP = 2,AE = l,NR4Q = 60,所以PE = JJ.10分所以丑£4X 又平面AA£)_L平面A8CD,且平面PAOD平而ABC。= A。,PE_L平面A8CQ,所以又BELCB,且 PECBE = E, 所以C8L平面阻.13分7、证明：（I）设M为班1的中点，连结五M, AM,尸为EC的中点-FA FM / BC, FM =-BC2V AD/ BC, BC = 2AD四边形AMFD是平行四边形:.AM / DF6 分又QFZ平而£43, A

22、Mu平面£43二。夕平而£43(11) V AD/ BC, /DAB = 90°A BC ± AB 又侧而£4B_L底面ABC。，侧面£480底面A5CO = A8, A8u平面A8CO.BC _l平而£A8,又AM u平面EAB BC j_ AME48是正三角形，F为EC的中点：.BEa_AM又8。03石=3, 8Cu平面E8C, 3Eu平面E3C：.AM,平面£8。V AM / DF，。月，平而E8C8、解：（I ）连结A片交AR于。，连结QM .在4AC中，因为M,。分别为AC, A片中点，所以。又因为OWu

23、平面ABM, 8cz平面 所以片C平而48必.4分（H ）因为侧棱A4，底面A6C, BM u平面ABC,所以A4 _L 8M.又因为M为棱AC中点，AB = BC,所以8WLAC.因为AACAC = 4,所以8W_L平而ACG4.所以 _LAG.因为"为棱AC中点，AC = 2,所以AM=1.又因为裕=&,所以在RtAACG 和 RtAMM 中，tanZAQC = tanZA.MA = >/2 .所以 NACC = ZAtMA ,即 ZACjC + ZCC = ZAMA + ZCAC = 90 .所以 _LAG.因为BA/DAM =M，所以平而48M .10分(HI)

24、当点N为8瓦中点时，即BN函平而aGN«l平面aagc.设AG中点为。，连结DW, DN.因为。，“分别为4G，AC中点，所以 DM/CG，且 DW=；CG.又因为N为8分中点，所以 DM BN ,且 DM=BN .所以 BM/DN，因为8W J_平面ACG4，Bi所以£W_L平面ACGA又因为DVu平面4GN,所以平面AgN，平面ACGA. M分9、证明：(I )因为梯形A88,且8C7/AO,又因为6Cu平面尸AO, AQu平面PAD, 所以8C平面P4Q.因为平面BCNM D平面PAD= MN, 所以MNBC.4分因为8C7/AO, BC = -AD, 2所以 BCA

25、Q,且 8C=AQ.因为AB = 8C,且"_LA£),所以ABCQ是正方形.所以 BQ_LAC.又因为BCO0为平行四边形，所以且。8。所以CD _L AC.又因为Q4_L底而A8C£>,所以。4 _L CO.因为PAC|AC=A,所以CO _L平而PAC,因为尸Cu平而PAC, 所以CD工PC.(Ill)过"作"K/为交AO于K，连结3K.因为PA_L底而A8C£),所以MK _L底面A8C£>.所以 MK_LAC.又因为3M_LAC,= M ,所以AC_L平面8WK, 所以 AC_L8K.由(H)知力C_L

26、C£>,所以在平面A88中可得8C0K是平行四边形.所以 8c = OK = AK, 因为长是A。中点， 所以M为PD中点.PM 1所以=.PD 210 分14分10、证明：(I )因为四边形ABER为矩形,所以BE】 LAB.因为平而A5C£)_L平面且平而A6coA平面48月" = 48 ,BE】u平面ABE”,所以BE11.平面A8CD因为DCu平而A38,所以 BE _L DC.5 分(H)证明：因为四边形为矩形，所以 AM / /BE、.因为 AD/BC, ADAM=A, BCQBE, =B,所以平而AOM/平面7分因为DWu平面ADM, 所以0M

27、 平而BCEr9分(III)直线CD与ME1相交，理由如卜.:10分取8c的中点P, C&的中点Q,连接AP, PQ, QM .所以PQBE且PQ = LbE 2在矩形中，M为月月的中点,所以AM UBE、,且所以PQ/AM ,且尸。= AM.所以四边形APQM为平行四边形.所以 MQ/AP, MQ = AP.12 分因为四边形ABCQ为梯形，尸为8c的中点，BC = 2AD ,所以 AD/PC, AD = PC.所以四边形AOCP为平行四边形.所以C0/A尸，且8 = AP.所以 CD/MQ 且 CD = MQ.所以CDWQ是平行四边形.所以 DM/CQ,即 DW/CE因为DM于CE

28、一所以四边形DU4c是以DW,。百为底边的梯形.所以直线CD与相交.14分11.（【）解：四棱准产一ABC。的正视图如图所示.（II）证明：因为。，平面48。，AQu平面A8CQ, 所以PD1AD.5分因为 AD±DC, PDCCD = D, PDu平面PC。，COu平面尸CQ, 所以AO_L平面尸8.7分因为ADu平面P4O, 所以平面PAO1平面PCO.8分PF !（IH）分别延长CD84交于点O,连接PO,在棱依上取一点£,使得=.下证A£7/平EB 2而尸CD因为AD/BC, BC = 3AD .所以所以所以OA AD OBBC3 OA _ PE ABEB

29、' AE/OP.因为。Pu平面PCO,12分AE(z 平而 PCD,所以AE7/平面PCD14分12、(【)过。作CN1AB,垂足为.V,因为拉?1凿所以四边形域V为矩形.所以4V=A8=2.又因为月。=2, AB=4,所以 47= 2JI, CV=2，6C=2jI,所以月/+1 =担，所以4715G因为防1平面制力，MZfif所以比B1平面烟2 所以助1月G又因为助u平面5绥，BCu平面5CE BfCBC=B所以月。1平面BCE.4分(II)因为才1平面月瓦刀，AF/BE所以助1平面/15以？14匕VDE = Ve_acd =，EB. Siacd = T 8 分(III)存在，点.，

30、为线段4中点，证明如下：9分在矩形月期中，因为点M N为线段月6的中点，所以四边形应MV为正方形，所以 5 ENx10 分因为肺1平面？15s 皿U平面月加。所以加1血在直角梯形制力中，ADVAB,又川心月3=乩 所以助L平面也冗又CN/AD.所以CV1平面ABEF,又£孤=平而4宓F所以CNLBMx12分又 Gf)£V=M 所以£匕平而囱C,又反:U平而EVC, 所以9/1忠13、（）解：在 RtAAOE中，AE = dAD?-DE2 = 3石.1 分因为8_L平面ADE ,所以棱锥 c AO石的体积为 VC_AD£ = - SDE CD = - AE-，）E CD = 963324分(II )证明：因为CDL平面ADE , AEu平面ADE. 所以CD_LA£5分又因为 AE 工 DE, CDQDE = D, 所以AE_L平面CDE.7分又因为AEu平面ACE, 所以平而ACE 平面CDE.8分EF 1(IH)结论：在线段。石上存在一点尸，且 =