中考数学《圆与相似的综合》专项训练附详细答案

1、中考数学圆与相似的综合专项训练附详细答案一、相似1 .已知：如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm,对角线 AC, BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动， 速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF/ AC,交BD于点F.设运动时间为t (s) (0vtv6),解答下列问题:且 T尸DJE C(1)当t为何值时，4AOP是等腰三角形？(2)设五边形 OECQF的面积为S (cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S

2、五边形 S五边形oecqe Saacd=9: 16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二.在矩形 ABCD中，Ab=6cm, BC=8cm, .AC=10, 当AP=PO=t,如图1,过P作PMXAO,.AM=罔 AO= / PMA=Z ADC=90 ； / PAM=Z CAD,.APMAADC, AP.AP=t=当 AP=AO=t=5,当t为5或5时，4AOP是等腰三角形(2)解：作 EH，AC 于 H, QMAC 于 M , DNAC 于 N,交 QF 于 G,Q

3、B图2在APO与CEO中, / PAO玄 ECO AO=OC, / AOP=/ COE.AOPACOE, .CE=AP=t.CEHAABC,EH CE.AB AC.EH= § ,修*区24dDN= = 51. QM / DN,.CQMACDN,.QM=/ a - 7)N 1?24 24 - 4tDG= 1. FQ/ AC, .DFQADOC,FQ D(- X 5 X t (t 4 5) p252 65oc "S 五 边 形 OECQf=SOEC+S 四 边形 OCQf=F r 3-* -r * 12.S与t的函数关系式为(3)解：存在，Saacd= 士 X 6 X 8=24

4、1 n 3.八c /-2广+ 7/ 4打 S 五边形 OECQF S ACD= 32舍去)，5):24=9: 16,解得 t= 上，t=0,(不合题意,91-1= I：时，S五边形 S五边形 oecqf Saacd=9: 16(4)解：如图 3,过D作DMLAC于M , DNLAC于N, / POD=Z COD, 24.DM=DN= $ ,* . ON=OM=，W - SN = J.OP?DM=3PD,t1小合题意，舍去)， 当 t=2.88 时，OD 平分 / COP.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得：AB=CD=6 BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q两点分别从A点和D点同时出

5、发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点 D;所以4AOP是等腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时，过P作PMLAO,易证CQMsCDN,可得比例式即可求解；当AP=AO=t=5时，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H, QMLAC于M, DNLAC于N,交QF于G,可将五边形转化成一个 三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S= 三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积;(3)因为三角形 ACD的面积=_AD CD=24,再将(2)中的结论代入已知条件 S五边形S 五边形oecqf Sacc=9: 1

6、6中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存 在；(4)假设存在。由题意，过 D作DM，AC于M, DNAC于N,根据角平分线的性质可得 / 1 1 1DM=DN ,由面积法可得 ；三角形 ODP的面积=-OP，DM=：PD上CD= 3PD,所以可得 OP?DM=3PD,则用含t的代数式可将 OP和PM表示出来，在直角三角形 PDM中，用勾股 定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。2 .如图，在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上，王刚从A点出发，沿着A- B-C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路忖线追赶，

7、当张华跑到距 B地2 3 m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.(1)此时两人相距多少米 (DE的长)?(2)张华追赶王刚的速度是多少？【答案】(1)解：在RHABC中： . AB=40, BC=30, .AC=50 m.由题意可得DE/AC, RtA BD& RtA BAC, Dh BL."=您,8Dh J即 =.16解得DE= 3 m.答：此时两人相距 m.(2)解：在 RtBDE中：七 J6,.DB=2', DE", .BE=2 m.王刚走的总路程为 AB+BE=42 m.，王刚走这段路程用的时间为 3 =i4(s).张华用的时间为14

8、-4=10(s),目-.张华走的总路程为 AD=AB-BD=40-2=37j (m),1，张华追赶王刚的速度是 37+ 10= 3m/s).答：张华追赶王冈I的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】(1)在RtABC中，根据勾股定理得 AC=50 m,利用平行投影的性质得 DE/ AC,再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.(2)在RtBDE中，根据勾股定理得 BE=2 m,根据题意得王刚走的总路程为42 m ,根据时间=路程斑度求得王刚用白时间，减去 4即为张华用的时间，再根据速度=路程却寸间解之即可得出答案.3.在平面直角坐标系中，抛物线 V =也式二. bx +匕6厘。)

9、与上轴的两个交点分别为 A(-3, 0)、B (1, 0),与y轴交于点 D(0, 3),过顶点 C作CHI±x轴于点H.(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点 E与顶点C不重合)，当4ADE与 ACD面积相等时，求点 E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点 P与顶点C不重合)，过点 P向CD所在的直线作垂 线，垂足为点 Q,以P、C Q为顶点的三角形与 4ACH相似时，求点 P的坐标.【答案】(1)解：设抛物线的解析式为 丫 - a* e ' c fa ,"，抛物线过点 A(-3, 0),B(1, 0), D(0, 3), - 3b c = Cf a

10、 + b +七=G° ： 3,解得，a=-1, b=-2, c=3,，抛物线解析式为卜=-E -4 7 ,顶点c (-1,4)；(2)解：如图 1, A(-3, 0), D(0, 3),，直线AD的解析式为y=x+3,设直线AD与CH交点为F,则点F的坐标为（-1, 2），CF=FH分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知， ADE与 ACD面积相等，直线EC的解析式为y=x+5,直线EH的解析式为y=x+1, y - x -f- 5/ y - xI分别与抛物线解析式联立，得 lr= F 一+ j , i=/21 3,-3 十一.

11、十 3 1r - 1 -（，-） f，9解得点E坐标为（-2, 3）,?1，二'：'；（3）解：若点P在对称轴左侧（如图 2）,只能是CPgACH,得/PCQ=Z CAH,图2PQ CM 而一疝 , ?分别过点C、P作x轴的平行线，过点 Q作y轴的平行线，交点为 M和N,由CQMsQPN,PQ PN QN, =2, / MCQ=45 °,设 CM=m,则 MQ=m , PN=QN=2m, MN=3m , ，P 点坐标为(-m-1 , 4-3m),将点P坐标代入抛物线解析式，得 -仙，+ 2向 71+ 3 =-Ju ,解得m=3,或m=0(与点C重合，舍去).P点坐标为

12、(-4, -5); 若点P在对称轴右侧(如图 )，只能是PCMACH,得/PCQ=Z ACH,PQ AH.CQ延长CD交x轴于M ,M(3 , 0)N,PQCQFMCM / MCH=45 ； CH=MH=4 .MN=FN=2,.F点坐标为(5, 2),直线CF的解析式为y=联立抛物线解析式，得综上所得，符合条件的【解析】 【分析】(P点坐标为(-4, -5),(,解得点p坐标为(35).1)将 A (-3, 0)、 B (1 , 0)、 D(0, 3),代入38W),y=ax2+bx+3 求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点 C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,利用 ADE与4A

13、CD面积相等，得出直线 EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3)(3)分两种情况讨论： 点P在对称轴左侧；点P在对称轴右侧.4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+ (a+3) x+3 (a<0)从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.(1)求点A、C的坐标；(2)如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE OB=4CE时，求a的值；(3)如图2,在(2)的条件下，点 P在C、D之间的抛物线上，连接 PC PD,点Q在点 B、D之间的抛物线上，QF/ PC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD, / CFQ=2Z ABC,求

14、 BQ 的长.【答案】(1)解：当x=0时，y=3,，C (0, 3).当 y=0 时，ax2+ (a+3) x+3=0,(ax+3) (x+1) =0,解得 xi=- u, x2=-1.,.a<0,.'.-6 >0,.A (-1, 0)(2)解：如图1,过点D作DM LAB于M .1. OE/ DM,ay de a .西，工 .OM=3,，D点纵坐标为12a+12.0E DM +阳 tan / EAO=困A=3/=3a+3,.OE=3a+3, .CE=OC-OE=3-(3a+3) =-3a. .OB=4CE 1 =-12a,.a<0,I. a(3)解：如图2,过点D

15、作DT,y轴于点T,过点P作PG±y轴于点G,连接TP.,. a=-,，抛物线的解析式为 y=- - x2+ R x+3, D (3, 6) , DT=3, OT=6, CT=3=DT, 又,. PC=PD PT=PT.-.TCFATDP,/ CTP=/ DTP=45 ,° TG=PG75设 P (t,-二 t2+ t+3),鹏.OG=- t2+ t+3 , PG=t,.5，TG=OT-OG=6-( - - t2+ t+ t+3)=上 t2-1 t+3 ,.,一 t2-二 t+3=t,解得 t=1 或 6, 点P在C、D之间， . .t=1 .过点 F作FK/ y轴交 BC

16、于点 K,过点 Q作 QNx轴于点 N,则Z KFC=Z OCF, / KFB=Z CON=90 : . FQ/ PC, / PCF+Z CFQ=180 ,° / PCF+Z PCG+Z OCF=180 ,/ CFQ=Z PCG+Z OCF, / CFK吆 KFQ玄 PCG吆 OCF,/ KFQ=Z PCG . P (1, 5) , PG=1, CG=OG-OC=5-3=2I A? 1 tanZ PCG=C6 二，0C 31 .tanZ ABC=如 办 二;， / PCG4 ABC,/ KFQ=Z ABC. / CFQ=2Z ABC,/ CFQ=2Z KFQ,/ KFQ=Z KFC4

17、 OCF之 ABC,OF OF1一 -TanABC - .tan/OCF"3I f J.OF= 士 .s设 FN=m,贝U QN=2m, Q ( m+ 2m),. Q在抛物线上，1353，-工(m+上)2+ - x( m+ 二')+3=2m ,解得m=二或m=-(舍去)，.Q (4, 5),. B (6, 0),.bq= b' 7"-岁叵.【解析】【分析】(1)令x=0,求出y的值，得到 C点坐标；令y=0,求出x的值，根据 a<0得出A点坐标；(2)如图1,过点D作DM LAB于M.根据平行线分线段成比例定理求出 OM=3,得至ij D点纵坐标为 1

18、2a+12.再求出 OE=3a+3,那么 CE=OC-OE=-3a根据OB=4CE得出-占=-12a,解方程求出 a=E ; (3)如图2,过点D作DT，y轴于点T,过点 P作PGJ± y轴于点 G,连接TP.利用SSSffi明4TC咤TDP,得出/ CTP=Z DTP=45°,那么TG=PG设P (t,/t2+=t+3),列出方程二“2t+3=t,解方程求得t=1或6,根据点P在 C、D之间，得到t=1 .过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点Q作QNx轴于点N,根据 平行线的性质以及已知条件得出 / KFQ=Z PCG,进而证明/ KFQ=Z KFC=Z OCF=Z A

19、BC,由tan Z OCF= ' =tan/ABC= -，求出 OF=-.设 FN=m,则 QN=2m, Q (m+ 二，2m),根据 1443T1HHiQ在抛物线上列出方程-二(m+ 士)2+二x(m+1)+3=2m ,解方程求出满足条件的m的值，彳#到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.5.定义：如图0,若点D在力ABC的边ab上，且满足kACD -/B ,则称满足这样 条件的点为 ABC的理想点”(1)如图若点D是ABC的边AB的中点，AC =入口，AB二九试判断点不是 4 的理想点”，并说明理由;(2)如图|，在RtABC中，上f =如“，AB 9 , AC ,若点D是

20、I G ABC的理想点”，求CD的长；(3)如图，已知平面直角坐标系中，点 A fe2) ,-幻，C为x轴正半轴上一点，且满足一ACR二M 口，在y轴上是否存在一点 D,使点A, B, C, D中的某一点是其余三 点围成的三角形的 理想点”若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】(1)解：结论：点D是 4 ABC|的理想点”.理由：如图 中，r D 是 AB 中点，AB - J ,J AD = DE j,:'AC?=小=6, AD YRAC? =AD M,AC AB而一正."KD s二他，二 jACU a二|点D是| /血的理想点”,(2)解：如图中,丁点

21、D是 A“的理想点”， CD 或 jECD - S ,当/AID =时，了 /虻力+ 4CD =如" ?Q二/M) +上由二如 ?.：-OJB =如 口 ?当|二ML=金|时，同法证明：CD在 Rt / ABC 中，二KB - 90二 BC - 位，-A/ = 3 ?7/r - F A0 CD - - - AC ' BG 91O(3)解：如图©J中，存在有三种情形:过点A作MA:AC|交CB的延长线于M,:'/，1AC - AOC - - A1B1 - 如” 上ACM ? : -4MC = 4CM = 4屋 ?. : AM AC,：“ 二MAU '-

22、CAO =如"/的 + NMQ ? :/AC。，二/湎& 4COAtA心， ：MH 0A|, OC AH ,设 |C 缸内，：*A0力，be 3), OA =MH J OB 3. AB - 4 OC AI上y轴于H.-朽,-理"VMHZg理想点设山口山人理想点解得a - a或 门舍弃I，, 经检验h - a是分式方程的解，二C电叭OC Y,当上D£A 上皿时，点人是£ BCD,的:D© /皿，|上。瓜二忑山B, ：氏小 DQ,二子二D/4 D.U ? ；UI ，川二向-W加4 J/ ?解得U1二必，J DJ0,切.当-TBCA -/Q时

23、，点a是BCDe的易知：/LD汨=75 ".：ODp = 0C = 6二方他初.当一伙A =2ADy：时，点8是 ACDm的理想点”.易知：上狗二工尸，| 0D3 0C 6 ?:加衣-.综上所述，满足条件的点 D坐标为(0, 12)或包6)或|色6).【解析】【分析】(1)结论：点 D是| / A0C的理想点"，|只要证明| £ ACD s| ABC 即可解决问题；(2)只要证明CD 1 AB即可解决问题；(3)如图中，存在.有三种 情形：过点 A作MA ± AC交CB的延长线于 M,作MH轴于H.|构造全等三角形，禾U 用平行线分线段成比例定理构建方程

24、求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；6.在4ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如图1,折叠4ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交 AC、AB分别于Q、H,若(2)如图2,折叠4ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交 AC、AB分别于E、F.若FM/AC,求证：四边形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的条件下，线段 CQ上是否存在点P,使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.Saabc= 9S；adhq , 求 HQ 的长.在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15,

25、.AC= 7芋，/=20,设 HQ=x , HQ / BC ,AQ= 'x , - Saabc= 9S dhq ,i 乜 H 上 X 20 W 95c! xx ix ,，x= 5或-5 （舍弃），.HQ=5,故答案为5.(2)解：如图2中,C M B图2由翻折不变性可知： AE= EM , AF=FM , / AFE= / MFE , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME , 四边形AEMF是菱形.(3)解：如图3中,AM BS3设 AE= EM=FM = AF=4m ,则 BM=3m , FB=

26、5m ,4m+5m= 25,106，AE=EM= § , 106 8G .EC= 20- 9=9,=叫c 小- =-.CM=儿2G,. QG=5, AQ= 3 ,16QC=',设 PQ= x ,竺巴当& 及时，HQPMCP,5 xlb lb -彳下二出解得：x= 7 , HQPAPCM ,16解得：x=10或3 ,16经检验：x= 10或J是分式方程的解，且正确，4G 1C综上所，满足条件长 QP的值为7或10或J .【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出 AC,设HQ=x,根据SAabc=9Sa dhq ,构建方程即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题；

27、（3）设AE=EM=FM=AF=4m,则BM=3m , FB=5m,构建方程求出 m的值，分两种情形分别求解即可解决问题,0）,且与y轴相交于点C.7.抛物线 y=ax2+bx+3 (aw。经过点 A ( - 1, 0) , B (-(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0, y=3,.C (0,3) J设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-幺).J将c (0, 3)代入得：-上a=3,解得a=2,，抛物线的解析式为 y=-2x2+x+

28、3(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N。 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直线AC的解析式为y=3x+3.ACXBM,I 1 =BM的一次项系数为''。I -_-X- + b- 61设BM的解析式为y= 1 +b,将点B的坐标代入得： 32,解得b=jBM的解析式为y= ? 二：. ;133# mH将 丫=3*+3与丫= .7二联立解得：x= i ,y= 1| J1.区.MC=BM= 7 / = /. .?MCB为等腰直角三角形。/ ACB=45o. / ACB=45o点D是第一象限抛物线上一点， / ECD>4

29、5o.又. ？DCE与？AOC相似，Z AOC=Z DEC=90o,/ CAO=Z ECD.CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4.F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3，将F （4,0）代入得4k+3=0,解得k= 4。 3，CF的解析式为y= ? x+3.J/将y= ' x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0 （舍去）或x=方.0 n g将x= 6代入y= x+3得y=:七.z肾.D （ S ,把）【解析】【分析】（1）易求得 C的坐标，利用交点式设出解析式，再把 C的坐标代入可 求出；（2）过点 B作BMLAC,垂足为 M,

30、过点 M作MNLOA,垂足为 N.由tan / CAO=3先求出 直线AC的解析式，从而求出 BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出 MC=BM,进而得出？MCB的形状，求出答案；(3)延长CD,交x轴于点F,由？DCE与？AOC相似可得出CF=AF利用勾股定理求出 坐标，由待定系数法求出CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.8,已知，如图1,抛物线y=ax2+bx+ 3与x轴交于点日C,与y轴交于点A,且AO= CO, BC= 4.Z1(1)求抛物线解析式；(2)如图2,点P是抛物线第一象限上一点，连接 PB交y轴于点Q,设点P的横坐标为t,线段OQ长

31、为d,求d与t之间的函数关系式；爸用国(3)AM,CN、在(2)的条件下，过点 Q作直线ly轴，在l上取一点 M(点M在第二象限)，连接 使AM=PQ,连接CP并延长 CP交y轴于点 K,过点P作PNL于点N,连接 KN、 CM.若/MCN+/NKQ= 45°时，求 t 值.1,当 x=0 时，y=3,A (0, 3),，OA=OC=3, BC=4,.OB=1,B (-1,0,0 (3, 0),曰-b + 3 = Q把B (- 1, 0) , C (3, 0)代入抛物线 y=ax2+bx+3中得：f% +必 孑？ 6解得：，抛物线的解析式为：y= x2+2x+3;(2)解：如图2,圉

32、2设 P (t, t2+2t+3) (0vtv3),过P作PGJ± x轴于G, 1. OQ/ PG,.BOQABGP,d=- t+3 (0<t< 3)(3)解：如图3,连接AN,延长PN交x轴于G,由(2)知：OQ=3- t, OA=3, .AQ=OA- OQ=3- (3-t) =t, .QN=OG=AQ=t, AQN是等腰直角三角形，/ QAN=45 ； AN= Y t, . PG/ OK, pg a OK 0(., ?一33-t而 = ,OK=3t+3,AK=3t, / QAN=Z NKQ+Z ANK,。 / NKQ+Z ANK=45 ； / MCN+Z NKQ=45

33、 ；/ ANK=Z MCN, . NG=CG=3- t, .NGC是等腰直角三角形，.NC=(3-t) , /GNC=45； / CNH=Z NCM+Z NMC=45 °, / NKQ=Z NMC, .AKNANMC,. AQ=QN=t, AM=PQ, RtA AQMARtA QNP (HL.),MQ=PN= - t2+2t+3 - ( 3-t) =- t2+3t,| 3E x2tt2- 7t+9=0,7 + l3，-寸 7311= j' > 3, t2=-, ,0<t<3,ti>3,不符合题意，舍去, t= J【解析】【分析】(1)根据函数图像与坐标

34、轴交点的坐标特点，得出 A点的坐标，再根 据点到坐标轴的距离得出 OA=OC=3,又BC=4,从而得出 OB的距离，进而得出 B,C两点的 坐标，再将 B,C两点的坐标代入抛物线 y=ax2+bx+3中得出一个关于 a,b的二元一次方程 组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；(2)过P作PG,x轴于G,根据P点的横坐标得出P点坐标设P (t, - t2+2t+3) (0vtv 3),根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出 BOQsBGP,根据相似三角形对应边成比例得出OQ： PG=OB： BG从而彳#出d关于t的函数关系式；(3)连接 AN,延长 P

35、N 交 x 轴于 G,由(2)知：OQ=3- t, OA=3,从而得 AQ=OA- OQ=3 -(3-t) =t,进而得 QN=OG=AQ=t,从而判断出AQN是等腰直角三角形，根据等腰直 角三角形的性质得出/ QAN=45 , AN= %1工t ,根据平行线分线段成比例得出 PG： OK=CG： OC,故 OK=3t+3, AK=3t,根据等式的性质得出/ ANK=/ MCN,判断出 NGC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出NC=E (3-t) , /GNC=45,再判断出AKNMNMC,根据相似三角形对应边成比例得出A K：M N = A N ： N C ,再利用HL 判断出

36、RtA AQMARtAQNP,故 MQ=PN= - t2+2t+3 - ( 3-t) =-t2+3t,从而得出关于 t的方程，求解并检验即可得出答案二、圆的综合9 .不用圆规、三角板，只用没有刻度白直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线 .解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线10 .如图，四边形 ABCD内接于。0,对角线AC为。的直径，过点 C作AC的

37、垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5/* AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长. A【答案】 见解析；(2) .5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD,Z ODC=ZOCD.AC为。O 的直径，Z ADC=Z EDC=90 °.,点 F 为 CE的中点，

38、DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO. 又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°.DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C，BC=AB=5 6.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE 一 ADC ACE=,AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x, .-100=4x?5x,x= 75 , .DE=V5 .点睛：本

39、题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.11.已知，如图：O1为x轴上一点，以 O1为圆心作。O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，/CMD的外角平分线交。1于点E, AB是弦，且AB/CD,直线DM的解析 式为 y=3x+3.(1)如图1,求OOi半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EFl BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦 AB/ CD,试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，EF交OOi于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说

40、明理由.【答案】(1) r=5 E (4, 5)(2) BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变，等于 572【解析】分析：(1)连接 ED EG EQ、MOi,如图 1,可以证到 Z ECD=Z SME=/EMC=/EDC,从 而可以证到Z EOiD=ZEOiC=90 °.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1, OM=3.设 OOi的半径为r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点Oi作OiPEG于P,过点Oi作OiQ± BC于Q,连接EQ、DB,如图2.由 AB/ DC可证到BD=AC,易证四边形 OiPFQ是矩形，从而有 OiP=FQ, Z

41、POiQ=90°,进而有 /EOiP=/ COiQ,从而可以证到 EPOiCQ。，则有PQ=QOi.根据三角形中位线定理 可得FQ=1 BD,从而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)连接 EO), ED, EB, BG,如图 3.易证 EF/ BD,则有 Z GEB=Z EBD,从而有 BG=?D，也就有BG=DE.在RtA EQD中运用勾股定理求出 ED,就可解决问题. 详解：(1)连接ED. EC EQ、MO1,如图1. ME 平分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,/ ECD=Z EDC,/ EOiD=Z EOiC.

42、 ZEOiD+Z EOiC=180 °,ZEOiD=Z EO1C=90 °.直线DM的解析式为y=3x+3, .点M的坐标为(0, 3),点D的坐标为(-1,0), .OD=1, OM=3.设。O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在 RtA MOO1 中，(r 1) 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EOi=5, .。1 半径为 5,点 E 的坐标为(4, 5).(2) BF+CF=AC.理由如下：过点O1作O1PL EG于 巳 过点O1作O1QLBC于Q,连接EO、DB,如图2. AB/ DC,Z DCA=Z BAC,Ad = Sc, ?d = Ac '

43、; bd=ac-CHP± EG, O1Q± BC, EF± BF, . . / OPF=/PFQ=/OQF=90 °, .四边形 OPFQ是矩 形，O1P=FQ, Z POiQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPO1C=ZCOiQ.EOFCQQ在EPQ 和CQOi 中，EPQCQQ,O1E QC.EPQACQO,POi=QO1,FQ=QO1.QOi± BC,BQ=CQ.CQ=DO1, .O1Q=-BD),FQ=1BD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,BF+CF=BD=AC.(3)连接 EQ,

44、 ED, EB, BG,如图 3. DC是。O1 的直径，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=180 °, . EF/ BD,/ GEB=Z EBD,BG = ?D，BG=DE. DO1=EOi=5, EOi ± DO1 , .1. DE=5 72， BG=5 72，:弦BG的长度不变，等于 5 J2 .图I图2图*点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三 角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股 定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由 AB/ DC证到AC=BD是解决第(

45、2)小题 的关键，由EG/ DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.12.矩形ABCD中，点C (3, 8) , E F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处， 点B在y轴正半轴上，点 C在第一象限，若点 A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位 长度的速度运动，点 B随之沿y轴下滑，并带动矩形 ABCD在平面内滑动，如图 2,设运动 时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；(3)求运动过程中，点 F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.【答案】(1) F (3,

46、 4) ; (2) 8-4，3； (3) 7; (4) t 的值为一或一.55【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30。，即可得出结论；(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当 t=0 时.-.AB=CD=8, F 为 CD 中点，DF=4,F (3, 4);(2)当 t=4 时，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°, ./ABC=30 ；点E是AB的中点，OE=3AB=4, BC=4j3 ,，

47、点B下滑的距离为28 4芯.(3)当0、E、F三点共线时，点 F到点O的距离最大，FO=OE+EF=.cs6FD4Sd-3 O(A) 2图1,八，一,八 八 AB/ BAO=Z FAD. / BOA=Z D=90. RtA FA& RtA ABO,FAAOFEti3，2 446圉士(4)在 RtADF 中，FD2+AD2=AF2, -AF=VFD2 AD2=5, 设 AO=ti 时, 相切，点 A 为切点，.FAI OA,ZOAB+Z FAB=90° . / Z FAD+Z FAB=90°,32t2= .5股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是

48、得出 /ABC=30°,解24 .ti=，设AO=t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得,524 . 32综上所述：当以点 F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为£4或三.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾(3)的关键是判断出当 O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解(4)的关键是 判断出RHFAaRtAABD,是一道中等难度的中考常考题.13.四边形ABCD内接于。0,点E为AD上一点，连接 AC, CB, Z B=Z AEC/ ACD=2/ BAC,求 / BAD 的度数;(3)如图3,在(2)的条件

49、下，延长 CE交。O于点G,若tan/BAC= 53 , EG=2,求11AE的长.圄3【答案】(1)见解析；(2) 600; (3) 7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到ZCED=ZCDE.(2)作 CH，DE 于 H,设/ECH=% 由(1) CE=CD 用 a 表示 / CAE / BAC,而 /BAD=/BAC+/CAE. (3)连接 AG,作 GNXAC, AM，EG,先证明 / CAG=/BAC,设 NG=5点m,可得AN=11m,利用直角n AGM, n AEM,勾股定理可以算出 m的值并求出 AE长.试题解析：(1)解：证明：四边形ABCD内接于OO./ B+

50、/D=180 ； / B=/AEC, / AEG / D=180 ； / AEG / CED=180 ,° / D=Z CED .CE=CD(2)解：作 CH, DE于 H.A设/ ECH=a,由(1) CE=CD / ECD=2 a, / B= Z AEC, / B+Z CAE=120 ； / CAEnZ AEC=120 ；/ ACE=180 - ZAEC- / ACE=60 °,/ CAE=90 - Z ACH=90 - (60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACH+ / HCD=60 + 2 a, / ACD=2/BAC,/ BAC=30 +a, / B

51、AD=Z BAG / CAE=30 + a+30 - a=60 :(3)解：连接 AG,彳GN± AC, AM ± EG,团 Z CED=ZAEG, ZCDE=Z AGE, /CED=/CDE/ AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=1 ,2/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30a+2a=/ BAC,. tan/BAOl,11. .设 NG=5«m,可得 AN=11m, AG= JaG2 AM 2 =14m ,/ ACG=60 ；1. CN=5m, AM =8 >/3 m , MG = JaG2 AM 2 =

52、2m=1,，CE=C=CG EG=10m 2=3,AE= Jam 2 em 2 = Ji2 +(4我2 =714.如图，在RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上,。经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若OO的半径是2cm,【答案】(1)证明见解析E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)V33(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；【详解】(1)连接OD.B D C(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题. . OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z

53、DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, . . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De ,OE± AD. ./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, .AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°,，SmS 扇形 oae- Sa aoe 60 22 V336043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.15.在直角坐标系中，。为坐标原点，点 A坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作 等边AOAB, C为x轴正半轴上的一个动点(OC>2),连接BC,以BC为边在第一象限内 作等边 BCD),直线DA交y轴于E点.(1)求证：OB8 4ABD(2)随着C点的变化，直线 AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变,请求出直线AE的解析式.(3)以线段BC为直径作圆，圆心