备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题51圆的方程以及直线与圆的位置关系

1、专题 51 圆的方程以及直线与圆的位置关系考纲要求：1 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）3.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系（内含、内切、相交、外切、相离）4 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想.基础知识回顾：一、圆的定义和圆的方程义平 im内训 定点的距离等于定长 的点的轨迹|叫 作圆力I1.1标Ht(工一tl) ( V ) -1(广0 )圆心0（心为半径为r一般工+3+ D工+Ev+ F -(.)充箜条件+E? 4F0圜心坐标：（半径1-1- VE + E

2、24F三、圆h讼过科依据结论代 数汰联 K 方理组消曲诚得 兀二次方程-i濟 4oA0.相交:-_相切（）11离何il算b心到直线的距离a.比较a与芈径r的英系.和交屈孩托为d0)，圆C2： (xa2)2+ (yb2)2=r2(2o).与圆的位置关系设圆O： （xai）23类型一、直线与圆位置关系(1)判断直线与圆的位置关系【例 1】【2018 届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在ABC中，若asinA bsinB -csinC = 0，则圆C : x2y2= 1与直线l : ax by c = 0的位置关系是()A.相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定【答案】A【解析】因为+心血(?=

3、0所ika1c1= 0.1=厂，故181 Cz x3-+ y2= 1与直线故圆心c(o.o)到直线厂血+勿+疔=0的距离=;JQ+b1: (3X+如+亡=0相切故选A.【例 2】已知不等式.-x22 ax a恒成立，则a的取值范围是 _解析：由题意直线y =a(x 1)恒在半圆(x -1)2y1(y - 0)上方(可相切)，当a时，直线3方法 位蜀关并儿何法，圆心距d与F1 *r?的关系代数法:两圆方程 联龙组成方程组 的解的情况外离d门十F-上无 if外切d = n + 吧亠组实数解相交门一吃 V 7 V门两组不同的实数解+桂内切d=1 燈（门一组实数解11）内含态 cfV 1J C（门 工

4、广？）无解应用举例y =a（x+1）与半圆（xI）十丫？=l（y KO），所以a的取值范围是空,邑）3点评：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含 有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法.（2）直线与圆相交【例 3】【2018 届陕西省榆林市第二中学高三上期中】圆- =J截直线：；.-二所得弦长为 2，则实数等于（）A. 2 B.C. 4 D.-二【答案】D【解析】圆的标准方程为 +2尸+ -1严=5 - a,圆的圆心为（-2,1）半径为V5 -ao隔心到直线x+y-3 = 0的距离为d =匕节汙=迅宙条件得

5、2佞三丘二云环 二2,解得込=-九选D,【例 4】如图，已知圆，- 的圆心为 C,此圆和直线 1在，轴上方有两个不同交点 A、B，（1 ）求，的取值范围；（2）求匕曲G面积的最大值及此时 a 的值.-j O1r- )- !J【答案】（1） ；一*一 -人（2 ）：-人时取得最大值【解析】试题分析：（1 ）由圆心到直线距离与半径关系确定交点个数，再根据直线斜率得交点位置，求交集得的取值范围；（2）由垂径定理得：-,再根据三角形面积公式以及基本不等式求最值51211|试题解析：由.得： 解得或 ，又，即 a 的取值范围是、S = -d-2J3-护 3即匚一 二时取得最大值.(或厂S二利用二次函数的

6、最值也可以). 点评：计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1) 几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2) 代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AEB=, 1 +k2|XAXB|=.1+ k2XA+ XB.(3) 直线与圆相切【例 5】【2017 届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线l:m，2x，m-1y4-4m= 0上总存在点M,使得过M点作的圆C:x2y224y0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是()A.m _1或m _2B.2_m_8C.-2_m_10D. m _-2或m_8【答案】C如團，设切点分别为丛 B.连接

7、 AS EC, MG 由=四边形 MACS 为正方形故MC=厲巨=2,若直线 1 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直,只需圆 心(1, 2到直线/的距离& =卜严+2：_2+斗_4 昭 I 艺 2,即沪陥一 20MQ 二一 2 兰朋幻 0,故选插+2十如一厅c【例6】已知抛物线C:y = 8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D:x y -4x 3=0作切 线，切点分别为A,B，则四边形PADB面积的最小值为 _ .解析：设P(x, y)，圆心D(2,0)为抛物线的焦点，半径r = DA =1，抛物线的准线方程为x - -2,7PAr2= J(x + 2)21,所以四边

8、形PADB面积为 S = |PA r = J(x + 2)21,又xO，所以当X = 0时面积有最小值，且Smin - 0 22.3.【例 7】【2018 届广西河池市高级中学高三上第三次月考】圆心在直线x _2yW0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2/3，则圆C的标准方程为 _ .2 2【答案】(X2 ) +(y 1 ) =4【解析】设團心(讪,半径为宀则由题青知，“如八=沪+(洁解得a= 2 = l,所次所求圆的方程为故填：(X-2)2+(y-l)2=斗.点评：求过点Rx,y)的圆x2+y2=r2的切线方程(1) 若F(X0,y)在圆x2+y2=r2上，则以P为切点的圆的

9、切线方程为xx+yy=r2.(2) 若F(X0,y)在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为y屮=k(xx)，利用待定系数法求解. 说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.总之，在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关 系解决问题.类型二、与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型

10、最值问题.【例 8】已知实数x,y满足方程x2+y2 4x+ 1 = 0.求1的最大值和最小值.x解析：原方程可化为(X 2)2+y2= 3，表示以(2,0)为圆心，3 为半径的圆.x的几何意义是圆上一点与原所以PD =x 2，又因为PA为圆D的切线，所以PD _ AD，在Rt PAD中,点连线的斜率，所以设y=k，即y=kx.如图 3 所示，当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，X此时 冷寻=书，解得k=J3.所以X的最大值为(3,最小值为- 护.(2) 截距型最值问题.【例 9】已知实数x,y满足方程x2+y2- 4x+ 1 = 0.求yx的最大值和最小值；解析：方法一，yx可

11、看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时12：切=羽，解得b= 2J6.所以yx的最大值为2+6，最小值为22 6.方法二，设x 2= 3cosB,贝Uy= 3sinB,故x= 2+ 3cos0,y= , 3sin0,贝Uyx=3sin0 3cos0 2=6sin i0 -4 2nn、，jnn当0 4 = 2kn , (k Z)时，yx有最小值一 6 2,当0匸=2kn+(k Z)时，yx有 最大值 6 2.(3) 距离型最值问题.【例 10】【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】已知 |_ C 的方程为x2-2x + y2= 0

12、,直线l:kx y+x2k=0与L C交于丄两点，当|AB|取最大值时k =_ , AABC面积最大时，k =_.【答案】2 1 或 7【解析】圆的方程化为(兀-+ b = 1,圆心 C (LOh 半径为 1,直线方程化为k(x-2) = y-定点(2,2),当直线过圆心时，弦超|为直径最大，此时疋=2 英设ZAOB = 0,则血気 0，当& =鹉时，的面积最尢此时凰 1 倒直线的距离为半，盂JL*d =I = -解得：k =0或= 6.佢叽2(4) 利用对称性求最值2 2【例 11】【2018 届黑龙江省大庆中学高三上学期开学】过动点P作圆：(x3) +(y 4) =1的切线PQ,9

13、其中Q为切点，若|PQ = |PO| (O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是_ .【答案】5【解析】根据题意，设 P 的坐标如讣)，圆仗-扩+(厂 4)5 的圆心为则 N4)PQ 为圆(x-3)5+ (厂 4)a= 1 的切线，则 W|PN|a=|PQ|a+|BQ|3=|PQ|a+l,卜0一、.11% 札I. 7-2 -1o1234又由 |PQ|=|POL则旬州IHPQIW,变形可得! 6m+3n=24?即F在直线6xy=24 上，则|PQI 的最小值即点 0 到直线 6xBy=24 的距离，12=一；5即 IFQI 的最小值是*(5) 建立目标函数求最值问题【例 12】【2018 届江苏省南

14、京市高三数学上学期期初】在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x 2)2+ (y 2)2=1 上存在点 M,使得点 M 关于 x 轴的对称点 N 在直线 kx + y+ 3 = 0 上，则实数 k 的最小值为 _ .4【答案】43【解析】；M在x -22y -22=1， 可设M 2 cos2 sn，可得N 2 cos-2 - si,16x0+8x0-241且山屈芒11将N的坐标代入kx + y +3 =0，可得siZ -kco旳=2k +1,2k +1兰Jk2+1，化为得3k24k乞0, 4zk乞0,4k的最小值为-33点评：求解与圆有关的最值问题的两大规律1 .借助几何性质求最值处理与圆有关的最

15、值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.2 建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式 法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.类型三、求圆的方程【例 13】【2018 届西城 161 高三上期中】已知圆C与直线x-yWO及x-y-4W0都相切，圆心在直线x + y=O上，则圆C的方程为_ .2 2【答案】(X -1 ) +(y +1 ) =2【解析】由条件设圆心为C1二圆C的圆心为(匕一1),半径为厂=逅=忑二圆C的方程为(工一+(J+1)3=2O答案：(工_1+($+1二2点评：求圆

16、的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解在使用用待定系数法时：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a, b, r 的方程组，解得1,13从而求出 a, b, r 的值.若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F 的 方程组，从而求出 D, E, F 的值.类型四、两圆的位置关系2【例 14】【届广西桂林市柳州市咼二综合模拟金卷（1 ）】已知圆 G : x亠2a i亠y? = 4和圆2 21 1

17、C2: x亠iy -b1只有一条公切线，若a, b：=R且ab 0，则一22的最小值为（）a bA. 2 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D【解析】由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为（也专 U 严y-b）3=1,圆心分别为 -2a, 0）（0b）半径分别为 2 和 1故有ja1+b2-1?/.4a3+ba=l,14|JlCl十岂=（占十刍）（4吋）二时厶+4 咯丹十 4=9,当且仅当纬=4 壬时等号成立，a b a ba ba bA4+A的最小值为匚a b【例 15】【2018 届湖北省荆州中学高三第二次月考】在平面直角坐标系 中，已知以I为圆心的圆+-12耳-14y + 60 =

18、 0 及其上一点山（2,4）.（1）设圆与，轴相切，与圆 J外切，且圆心在直线二上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 厂的直线与圆相交于 两点，且 化二，求直线的方程；【答案】（1） ： 宀 -=1（2） - 二/ - =【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求得圆心半径，则圆的标准方程为I .首先求得直线 I 的斜率，然后结合题意整理可得直线的方程是5二二.试题解析：（1）由圆心 N 在直线 x=6 上，可设.因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以，于是圆 N 的半径为，从而,解得因此，圆 N 的标准方程为v-：;l_1- J 1.4-0因为直线 I / OA 所以直线 l 的斜

19、率为八 .设直线 l 的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0,|2 X 6 - 7 + m| Im + 5|ci=-=- 则圆心 M 到直线 I 的距离-1-因为-而：.（m + 5）z25 =-+5一l所以：，解得=- .故直线 I 的方程为.-一.：- - - *|：.点评：（1）两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不 采用代数法.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.类型五、与圆有关的轨迹方程求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程常

20、用求法：（1）定义法 相关点代入法,1 , 1 2 2【例 16】已知一个动圆与圆 C : x- 4 亠 y100 相内切，且过点 A 4 , 0，则这个动圆圆心的轨迹方程是解析：设动 151 圆心为月，半径为宀圆月与圆 c 的切点为 Zh T 圆 U& +斗+00 的圆心为半径=10, A*动圆月与圆 C 相內切”可得凹| =左10|妙|, 丁圆月经过点以加）,二 I 肿|二|加|,得 |Cff|=10可 11 + 11 = 10, |JC| = 8r，则直线与圆相离；若d=r,则直线与圆相切；若dr，则直线与圆相交.(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二

21、次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.如果 0,方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交.2、与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法：(1)形如u=Xb型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题.形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.2 2形如(xa) + (yb)型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题实战演练：1.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知圆1丨，圆与圆关于直线； 二;对称，则圆的方程为()A. (x+ 22+(y-

22、2Y =1 B.(x-2)2+ (y += 1C x 十 2) + (y 十 2)2 = 1D(x 2) -4- (y 2 = 1【答案】B【解析】圆 G：(K+ 1)1+ (y I)2=1,圆心为(-1,1)半径为1；圆百占圆 G 关于宜线龙y 1=。对称，则先找1)关于直线蓋-卩-1二0的对称点为2 -2),所以园 6 的Ubb为j半径为1,所tAIC1(x-2)3+ (y + 2)1= 1故选B.2.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】过点A 1,-1、B -1,1, 且圆心在x y -2 =0上的圆的方程是()17【答案】C2 2圆的方程是(X 1 ) +(y 1

23、 ) =4，选 C.3.【2018 届吉林省长春市普通高中高三一模】已知圆一”仁 ； ： .；-一二的圆心坐标为，则 - ()A. 8 B. 16 C. 12 D. 13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即/卜/二匸:.故选D.4.【2018 届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】已知圆 C:八八亠-； (a0)的圆心在直线”B上，且圆C上的点到直线的距离的最大值为一| ,贝 y 的值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】圆的方程为抚严 4 ,圆心为叭辰 -b+心Q耳h耳圆 C 上的点到直线苗尤 4 y = 0 的距离的最犬值为丘=1 +眶西二扫* h -济不

24、| = 2V3占由得 |2a 4-1| = 2 , a0?故得厲=*fa24-&:=4- 3(a4-1)2=3.2 25.【2018届黑龙江省大庆市大庆实验中学高三上学期期初考】若圆(x_a)+(y_b)=1(aER,bR)关2 2于直线y =x +1对称的圆的方程是(x 1 ) +(y 3 )=1,则a+b等于()A. 4 B. 2 C. 6 D. 8【答案】A【解析】圆心(1,3)关于直线 y=x+1 的对称点为(2,2 )aW2,b2,a - b4，选 A.2 22八22A.x -3y 14B.2 2C.x -1 亠y -14D.2 2X 1 I亠y 1【解析】AB 中垂线方程为

25、y二x，所以由y = x,x y-2=0的交点得圆心1,1，半径为2，因此5.【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期入门诊断】已知圆 “:宀-与直线19:-讥有两个交点，则正实数-的值可以为（A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】圆Y+-匸化为标准方程即：:广心仝丁-!寸，由题意，圆心到直线的距离,结合选项，可得 D 正确，故选 D.6. 【2018 届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】已知圆 C:厂：”I|；（a|V35H=州=2V3 由得 |2a + 1| - 2 ,aQ,故得a 二一号,宀护=+ 3（-F 1）2=3.277. 【2018 届陕西省榆林市第二中学高三上学期

26、期中】圆: :- 截直线 - 二所得弦长为 2，则实数。二_ .【答案】-4【解析】圆iJ _ 1 1- 1: ,化简得：辽= m.圆心为：.圆心到直线的距离为由垂径定理得:=、：上，解得广=.答案为：-4.8.【2018 届天津市实验中学高三上学期期中】已知直线l : x m,m R.若以点M2,0为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为 _【答案】x-22y2=8【解析】由题意可得，点P 0,m，且MP的斜率为一1,即；一，求得m = 2，可得点P 0,2, 故圆的半径MP=2j2，故圆的方程为（x2, + y2=8，故答案为（x 2$ + y2=8.9.【2018 届

27、河南省新乡市延津县高级高三 9 月月考】动直线I:mx_y=1,则直线I被圆C:x22x十y28 =0截得的最短弦长为 _.【答案】2、7【解析】因为直线I : y =mx -1恒过点A 0, -1，圆C:x2-2x y2- 8 =0的圆心为C: 1,0，半径为3，由平面几何知识，得当直线I与线段AC垂直时，所截得的弦长最短，最小值为2 .32-| AC |2=2.厂2 =2.7;故填2.7.10. 【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试（一模）】已知直线 ：与圆:一/ -今交于，川两点（其中。是坐标原点），则圆心匚到直线的距离为 _ ，点川的横坐标为 _ 【答案】1 3|2-0|1【解析

28、】 圆：=；,由点到直线的距离公式可得 到直线 的距离为，（x -由，得，的横坐标为，故答案为 1 , 3.11. 【2017 届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次检测】已知圆01和圆O2都经过点A 0,1，若两圆与直线4x3y+5=0及y+1=0均相切，贝U |OO_.21【答案】.5【解析】如團所示：丁原点。到直线4X-35=O的距离d =网=1,到直线 y=-l 的距离为 1,且到 1)的距离为 1,二圆 0 和圆 6 的一个圆心为原点匕不妨看作是圆 Q 设 Oa(b),则由题意： + 1 = 7(-1/站+勻届得仁 J二|qo=孙+卩二屁2【解析】因为圆O : x2 y2=1的弦AB长为2，

29、且线段AP是圆O的直径，所以PAB =45，则APAB=2 222=2；不妨设乎H也APAB,y2 212.2018 届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】已知直线匚与圆*: 一小_交于不同的两点入、n EN ，数列心满足：的=1 , %+ 1 =丿九，则数列亀的通项公式为 _ .a 71111答案】【解析】试题分析：圆心 0）到直线 h 的距离为 4 =愕=妮半径 rn=72aTn,%切=*%呂 J =時一昵=站* n - 口=2 电，即鴛二何 J 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，.，.an=2n-1.13. 2017 届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟一】L 二丨|丨与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率 ,若直线L，点P（-1,2卿直线I的最短距离为r，则以点P