数值计算课后习题答案--石瑞民

1、习题一解答1.取3.14,3.15,竺，丝作为冗的近似值，求各自的绝对误差，相对7113误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：(1)绝对误差：e(x)=兀一3.14=3.14159265,3.14=0.00159,=0.0016。相对误差：e

2、r(x)e(x)0.0016：0.51103.14有效数字：因为兀=3.14159265,=0.314159265,X10,3.14=0.314X10,m=1而九-3.14=3.14159265,3.14=0.00159,1c1所以|九一3.14|=0.00159,00.005=0.5X102=M10/=M10.22所以，3.14作为冗的近似值有3个有效数字。(2)绝对误差：e(x)=兀一3.15=3.14159265,3.14=0.008407,一0.0085。相对误差：e=(x)e(x)x-0.00853.15f."0.2710有效数字：因为兀=3.14159265,=0.314

3、159265,X10,3.15=0.315X10,m=1而九-3.15=3.14159265,3.15=0.008407,1,1,所以|九一3.15|=0.008407,00.05=0.5X101=父1。=父10122所以，3.15作为冗的近似值有2个有效数字。(3)绝对误差：22e(x)=二-一=3.14159265-3.142857143=-0.001264493：-0.00137相对误差：e(x)-0.00133er(x)=-0.4110一x227有效数字：因为兀=3.14159265,=0.314159265,X10,22.=3.142857143=0.314285714310,m=1

4、7h22而二一一二3.141592653.142857143=-0.0012644937所以22.3-=3.14159265-3.142857143=0.001264493<0.0057212113=0.510一=10-10-22所以，丝作为冗的近似值有3个有效数字7(4)绝对误差：355e(x)=二-=3.14159265-3.14159292=-0.0000002705一3-0.000000271113相对误差:er(x)e(x)x_-0.000000271355：一0.86310113有效数字：因为兀=3.14159265,=0.314159265,X10,355=3.141592

5、92=0.314159292M10,m=1113一355而二-=3.14159265一3.14159292=-0.0000002705113所以3553=3.14159265-3.14159292=0.0000002705<0.000000511361_611-7=0.510=-10二-1022所以，晒作为冗的近似值有7个有效数字。113指出：实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300解：346.7854=346.79,7

6、.000009=7.0000,0.0001324580=0.00013246,0.600300=0.600300指出：注意0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。X1=0.0315,x2=0.3015,x3=31.50,x4=5000。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是；(x1)=0.00005,；(x2)=0.00005,；(x3

7、)=0.005,；(x4)=0.5由绝对误差和./；(x1).：;(x1)-、函)x1"2)相对误差的关系，相对误差限分0.000050.16%,0.0315别是(x3)x2八3)0.000050.02%,0.30150.0050.002%,31.5'(x4)；(*4)x4有效数字分别指出：本题显然是直0.50.01%.5000有3位、4位、4位、4位。接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。4.计算M的近似值，使其相对误差不超过0.1%。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%,则1 1qX10<0.1%,2 al而3<710-<4,显然

8、a1=3,止匕时，10231-0<0.1%,11H10=2a1.1，即10<106也即610n.10所以,n=4。此时，M化3.162。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对Xi=0.14281X103与X2=0.314159X101,试求它们的机器浮点数fl3)(i=1,2)及其相对误差。解：3333fl(X1)=0.142810,e(fl(X1)=X1-fl(xj=0.1428110-0.142810=0.0000110,110_11_1fl(X2)-0.314210,e(fl(x2)=x2fl(x2)-0.31415910(0.314210)=0.00041其相对

9、误差分别是10.00004110一一一一1-0.314210:-0.013%30.0000110e1;:0.007%,e20.1428106、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4x=0.2337125810,y=0.33678429父102,z=-0.33677811父102,试按x+y+z的值，并将结果与精确结果比较。(x+y)+z,x+(y+z)两种算法计算解：_4_2_2fl(xy)z)=(0.23371258100.3367842910)-0.3367781110_2,_22二(0.00000023100.3367842910)-0.336778111022=0.336784

10、5210-0.3367781110_2=0.0000064110_422fl(x(yz)=0.2337125810(0.3367842910-0.3367781110)A00.23371258100.000006181022=0.00000023100.0000061810_2=0.0000064110精确计算得：422xyz=0.23371258100.3367842910-0.33677811102.2.2二(0.00000023371258100.3367842910)-0.336778111022=0.3367845237125810-0.3367781110_2=0.00006413

11、7125810第一种算法按从小到大计算，但出现了两个数量级相差较大的数相加，容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减，容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。*在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数0.33677812,谛按42x=0.2337125810y=0.336784910Z=,-(x+y)+z,x+(y+z)两种算法计算x+y+z的值，并将结果与精确结果比较。解：fl(xy)z)=(0.2337125810工0.3367842910-)-0.33677811102222=(0.00233713100.3367842910一)-0.336778

12、111022=0.3391214210-0.3367781110_2_2=0.0000339110-0.3367781110_2=-0.336744210-_4fl(x(yz)=0.2337125810(0.3367842910-0.3367781110)422=0.2337125810一(0.0000336810-0.3367781110)=0.23371258104-0.33674742102_2_2=0.0000002310-0.33674742102=-0.3367471910第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：_4_22xyz=0.23371

13、258100.3367842910-0.3367781110=0.0000233712580.0033678429-33.677811=0.003391214158-33.677811=-33.6744197858422=-0.3367441978584210显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U),用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01试比较所得结果。解：从左到右计算得10.40.30.20.040.030.020.01=0.1100.04100.03100.02100.00100.0

14、0100.00100.0010=0.1910=1.9从右到左计算得10.40.30.20.040.030.020.01=0.010.020.030.040.20.30.411111=0.110-0.210-0.310-0.410-0.20.30.41=0.10.2-0.30.41=0.1101=0.1100.110=0.210二2从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数x1=3.105,x2=0.001,x3=0.100，估计下列算式的相对误差限x2V1=x1x2x3，y2=x1x2x3,y3二x3分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。

15、求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。解：因为x1=与.105x2=0.001x3=0.1端是有效数，所以；(x)u0.0005,；x2尸0.0005,x3(I)0.00050.00050.00050.0005二(x1)=0.16%,、.(x2)=50%,、.(x3)=0.5%3.1050.0010.100贝U;(x1x2-x3)=;(x1);(x2)-；(x3)=0.00050.00050.0005=0.0015、(x1x2.4：4.9910=0.05%；(x1x2x3)0.00150.0015X3)=-j=%+x2+x3-3.105+0.001+0.1003.004二

16、(x1x2x3)=二3)-二(x2)-c.(x3)=0.16%50%0.5%=50.66%x。'.()='；(x2)-(x3)=50%-0.5%=50.5%x3指出：如果简单地用有效数字与误差的关系计算，则不够精确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差=1表示x充分11-x1一x1xx,八1-cosx(4),x丰0且x=1；x1(5)-cotx,x-JQl.x-1ox分析：根据算法设计的原则进采用泰勒展开的方法。行变形即可。当没有简单有效的方法时就解：(1)lnx1-lnx2=In；x2211-x1x-(1-x)1-x1x(1-x)(1x)221x

17、-(1-2xx)3x-x(1-x)(1x)(1-x)(1x)9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中接近0,x=1表示x充分大）。(1)lnx1一lnx2,x1归x2；(x-)-(x-)1-：x2-1)xJ('x24xx1-(1-1-cosx2!4!(-1)2nnx(2n)!-"(-1)2!4!(2n)!2n_12!4!(_1)n1(2n)!(5)2n、1111132Bn2nAcotx=(xx-x")xxx345(2n)!11322nB2n二一x一xx345(2n)!(Bn是贝努利数)近似计算中的误差并不是无别可能恰恰是影响精度的因水平比较低的结论。指出：采

18、用等价无穷小代换的方法一般不可行。穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度例如2xx22sin2(一)1-cosx22x11cosxsinx-xcosxcotx=xxsinxxsinxxxcosx&(x=1,sinxtx)xsinx1 -cosxsinx1-1ft(x=1,cosxft1)sinx=0试与上例比较。有时候这种方法可以使用，例如因为cos(x+6)=cos(cos-sinxs®,当6=1时，cos5&1,sin§&0cos(x-，5)=cosxcosc.-sinxsin、.：cosx-sinx；.

19、在这个计算中，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开f(x+5)之f(x)+&fY)(x<W<x+5),当怜=1时，就有f(x、.)：f(x)、.f.(x),因此cos(x-cosx-c.sinx和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小(趋于零的变量)，因此近似计算是不能

20、采用极限方法的。转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。所以，11-x11-0-=1-1=01-x1x1-01-0是错误的。极小的数做除数，实际上是0型的不定型，要转化为非不定型。010、用4位三角函数表，怎样算才能保证1-cos2二有较高的精度？解：根据1_cos2，=2sin21,先查表求出sin1'再计算出要求的结果精度较高。指出：用度数就可以。不必化为弧度。11、利用屈1*27.982求方程x256x+1=0的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解：由方程的求根公式，本方程的根为X1,256_562_456.2282-1=28_78

21、3因为.,783x1=28,783*：2827.982=55.982如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理x1x2=1,在求出x1fc：55.982后这样计算111x2=0.01786=0.178610x155.982这样就保证了求出的根有四位有效数字。11n二e12、试给出一种计算积分nxJxedx(n=0,1,2,3,.),近似值的稳定算法。解：当n=0时，Iedx=e(e-1)=1-e1=e-1)0运用分部积分法budva=uvb-fvdu)得a1.1nxIn=exedx0ee(xe1-n.0n-1x.1xedx)=e(e

22、-0-nix0nxedx)1二=1-nen4xxedx=1-nIna由此得到带初值的递推关系式.110=1-e-In=1-nInl(n=1,2,3,.)由递推公式In=1En1解得I.。一nIn的值作估计，有In),这是逆向的递推公式，对11nxIn=e-xedx0111n1_eexdxon1另有1nx1n=exedx_exdx00取e的指数为最小值0,将ex取作111e-<In<。nTnTe0=1作为常数即可简化公式)。那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取In11(e1)2n1可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似

23、值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)止匕时,en1=In1In-1=(InIn)=en,|e0|=|en|,计算是稳nnn!定的。实际上，如果我们要求I9,可以先求出I20,这样求出的I9的误差是比I20的误差小得多的，而I20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I9比直接计算出来的精确得多。补充题(一)1、给出数系F(10,4,-5,5)中的最大数、最小数和最小整数。解：最大数：0.9999X105;5最小数：0.9999X10；5最小正数：0.0001X10。2、已知e=2.71828182845904523536028747，求它在F(10,5,5,5)和F(10,8,5,5)

24、中的浮点数。解：在F(10,5,-5,5)中，fl(e)=0.27183黑仙在F(10,8,5,5)中，fl(e)=0.271828181013、已知数e的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多少？x0=2.7182,x1=2.7183,x0=2.7182818。分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个近似数和准确数之间的误差关系。所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。解：因为13114e-xo=0.00008181<一父10-=一父10一221 4115ex1之0.00002<父10-=父10一，2 217118e-x2定0.0000000

25、3M一黑10一=一乂1022所以，x°=2.7182x1=2.7183,02.71828分押有4、5、8个有效数字。其相对误差分别是e（x。）e-x0x0110J2.71821310-4e一x1e-x21人:二一1044、(3一、：8)3(3.：8)3与下述各式在实数的意义上是相等的,(1)(176而)3,(2)(17_6而)3。(3)(3括，(4)(3+厢6，（5）196016920瓶,（6）（19601+692078）。试说明在浮点数系F（10,4,毋8）中，用哪个公式计算出的结果误差最小。分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论。解

26、：在本例中,显然3和正在浮点数系中是相近的数。进一步地，17和6点、19601和6920点也是相近的数。因止匕：为避免相近的数相减，不应采用（1）、（3）、（5）三种计算方法。在余下的三种计算方法中，（2）需要进行4次乘除法，（4）需要进行7次乘除法，（6）需要进行1次除法。从减少运算次数来说，应采用（6）所以，采用（6）计算，计算结果误差最小5、f(x)=xe2+ln(1x)/x3,当x=1时，如何计算才能获得准确的结果?解：当x=1(即很小时)，f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变形。由泰勒展开得xe22!3!4!+23n

27、xxxln(1-x)-x-一一一一一23n因此1131141153f(x)=()x，(-)x，(-)x上/x83484162455113972-xx24481920此处最后略去部分的第一项为1136393(一)x二一x1203263840当x=1时，这一部分是相当小的值，可以略去指出：如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。补充题(二)(一)1、计算e的近似值，使其误差不超过106。2、利用n叫12nxf(x)=1，x，x，x-(0:：1：二1,x:1)1-x(1-”)“计算f(0.1)的近似值，其误差不超过102,求no3、3.142和3.141分别作为冗的近似数，各有几位有效数字？4、

28、已知近似数x的相对误差限为0.3%，问x至少有几个有效数字?5、已知x的下列3个近似数的绝对误差限都是0.005,问它们的有效数字各有几位？a=138.00,b=-0.0132,c=-0.86X10-46、设近似值x=1.234,且绝对误差界为0.0005,则它至少有几位有效数字？7、某校有学生6281人，通常说有6000人。下面哪个式子表示6000这个近似数合适?0.610_40.601040.6001040.600010分析与解答1、解：令f(x)=ex，而f的(x)=ex,f(k)(0)=e0=1o由麦克劳林公式，可知2xxe=1x2!当x=1时，e=1n7xe-n1,x(0：二八二1)

29、n!(n1)!11e?1一一(0:二：1)2!n!(n1)!蚀e"故Rn(1)=<。(n1)!(n1)!当n=9时，Rn(1)<106,符合要求。止匕时,e=2.718285解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在a,b上存在直至n阶的连续导函数，在色口)±存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,x0a,b,至少存在一点代(a,b),使得f(x0)2f(n)(x0)f(x)=f(x°)f(x°)(x-x0)(x-x°)(x-x0)2!f(n1)(')

30、n(x一x0)(n1)!其中,fRn(x)=一dx.x。)(n1)!当x0=0时将到麦克劳林公式。f(0)f(x)=f(0)f(0)x2!叫做拉格朗日型余项。n!(n1)f(ux)n1x(n1)!(0:二二：二1)2、解:n-10.1(1-0.1)n2n10.1n-20.91n-2二()9-210：二10Tn2)-39<10n-239-10所以，n=2o3、兀=3.14159265=0.314159265-X10,3.142=0.3142X10,m=1因为九一3.142=3.141592653.142=0.00040所以，I九3.142|=0.00040<0.0005=0.5义10

31、13114一10一=一10一22所以，3.142作为冗的近似值有4个有效数字。二-3.1415926，2121133.14159263.141=0.00059<0.005=0.5M10一=一M10一二一M1022小数点后几个0,10的指数的绝对值就是几。4、解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9,则311n11n1n1、.=0.3%=10一=1010一=n10002(91)2102210由上可得n6X10=1000,n=2.2,所以取n=2of125、解：xa=xb=x-c<0.005=一M102所以m-n=-2oa=138.00=0.13800X103,WJm

32、=3所以n=3-(-2)=5,即a有5位有效数字；b=-0.0132=-0.132X10-1,则m=-1,所以n=-1-(-2)=1,所以b有1位有效数字。c=-0.86X10,贝Um=-4,以n=4-(-2)=2<0,所以c没有有效数字。6、解：因为近似数x=1.234的绝对误差界为0.0005,*13所以x-x<0.0005=一尺102则m-n=-3o1而x=1.234=0.1234X10,m=1所以n=1-(-3)=4,所以，x=1.234有4位有效数字。7、解：哪个式子表示6000这个近似数合适实际上要看近似数6000有多少个有效数字。6281近似到十位、百位，千位分别是6

33、281：62806281：63006281：6000写成科学记数的形式分别是46281：6280=0.6281046281：6300=0.6310_46281：6000=0.610可见，上述写法中，第一种是合适的。实际上，446281=0.628110,6000=0.600010所以m=4,W33136281-6000=281=0.281M10<0.5X10=一父102所以m-n=3,贝Un=m-3=4-3=1,即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有0.6M104这种写法是合适的。（二）1、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。若Ia-a|00.1米），|b-b|

34、00.1（米），试求其面积的绝对误差限和相对误差限。2、已知三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1:则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。13、若X1=1.030.01,X2=0.45001,计算y=x12+-ex2的近似值并估计误差。24、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。若Ia-a|00.2米），|b|00.1（米），试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。5、如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是V=110±2（V）,I=20=0.5（A）试运用欧姆定律R=匕求这个电阻值R的近似值，并

35、估计所求出的近似值的I绝对误差和相对误差。6、已知近似值a=2.21，&=4.63,%=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误差界都是0.005试估计电9+a3和皿-电3的相对误差界。a3a2分析与解答1、S=ab,8(S)=(ab)<as(b)十bw(a)=19.1(m2)；(ab)19.1二(S)=、.(ab)=-0.00217=0.217%ab110802、提示：内角和为180°,而且180是准确数，没有误差。3、由已知，X1=1.03,x1=0.01,X2=0.45,、2=0.01。所以,1fx1(x1,X2)=2X1=2.06,fx2(x1,X2)=e、2=

36、0.7842,2e(X=AX1=0.01,£(X)=ZX2=0.01。所以，y的绝对误差限为Ky)<fJ(Xi,X2)w(x1)+fx2(x1,X2)名两)=2.060.010.78420.01=0.028将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为21X2y=x1e=1.8452则y的相对误差限为，八；(y)0.028,(y)=：1.5%y1.845进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05,那么计算结果中只需要保留到百分位就可以了，即最终结果取1.8,那么计算过程中各数只需要取到千分位。）4、（。6、略解。X1X2f(X1,X2,X3)-X3X3,f(a1,a2,a

37、3)咤+a3则a3X1X2f(X1,X2,X3)-f(a1,a2,a3)=(X3'X3)-(a1a2a3)a3所以,；(f(a1,a2,a3)-e(f(a1,a2,a3)f(x1,X2,X3)-f包凡)a2a3a3M(a?a3(e(a1)e(a1)-e(a1)-a1a3a1a3a1a3e(a2)-e(a2)-aa22a3=e(a?)=e(a3)a.2a3a1a22a3+1e(a3)1e(a3)1.2102-2=-10)2则相对误差限为、.(f，a2,a3)=；(f(a1,a2,a3)f(a1,a2,a3)下略。解二：根据函数y=f(X1,X2，Xn)的函数值的绝对误差nff，、e(y)

38、=e(f(X1,X2,X3，Xn)=Ze(Xi)。一区相对误差n:干e(y)=e(f(Xi,X2,X3,%)="Xi一三Xif(XX2，X3，,Xn)e(X)公式计算。1、用秦九韶算法的多项式格式乘法计算多项式P(x)=x7-2x6-3x4+4x3-x2+6x-1在x=2处的值p(2)02、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。11-X1)。3、指出下列各题的合理计算途径(对给出具体数据的，请算出结果)31cos1°(三角函数值取四位有效数字)ln(30J3021)(对数函数值取六位有效数字)上喀二(其中X的绝对值很小)sinx127X100'n土n(n-1)4

39、、设近似值T0=S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式十1+=51142.8和ST=-Si142.85计算T20和S20所得结果是否可靠。5、计算p6(x)=2x6-3x4+x2-4x+1的值p6(3)o分析与解答1、p(2)=9一2x22、(12x)(1x)3、2x._011-cosx=2sin,sin0.5=0.0087230-.302-11=0.01667,30302-1ln(30-J302-1)=-4.0941431 co>ssirx4 x127sxnx二tan-1oos2=xx2x4x8x16x32x645由小到大依次相加。100ZnX10011

40、1一=(_n(nF)1100)=1-=101101那么计4、设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*-Ti,其中计算To的误差为j，、一、:.、，一*._.,._.一*算T20的误差为e(T20)=T20*T20=(5%142.8)(59142.8)=5(%T19)=5e(T19)=52e(T18)=520e(T。)显然误差被放大，结果不可靠。同理，e(S2°)=15!0e(S0),误差缩小，结果可靠。5、解：将所给多项式的系数按降幕排列，缺项系数为0020-301-416184513540812122615451364041213所以p6(3)=1213。习题二解答1.用二分法求方

41、程1。差不超过一黑10O2x3-2x2-4x-7=0在区间3,4内的根，精确到10-3,即误分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。,bnf2解：因为f(3)=-10<0,f(4)=9>0,所以，方程在区间3,4上有根由1 1=:-10_n_2 2有2n-1>1000,又为210=1024>1000,所以n=11,即只需要二分11次即可。列表讨论如下:nanbnxnf(xn)的符号1343.500一23.50043.750十33.5003.7503.625一43.6253.7503.688十53.6253.6883.657十63.6253.6573.641十73.

42、6253.6413.633十83.6253.6333.629一93.6293.6333.631一103.6313.6333.632十113.6313.6323.632一x*=11=3.632。指出：(1)注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的(2)在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：nanbnxnf(xn)的符号1343.5000一23.500043.7500十33.50003.75003.6250一43.62503.75003.6875十53.62503.68753.6563+63.62503.656

43、33.6407+73.62503.64073.6329+83.62503.63293.629093.62903.63293.6310一103.63103.63293.6320十113.63103.63203.6315一(3)用秦九韶算法计算f(Xn)比较简单1*.求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间.解：令y=x3-2x2-4x-7,当y'=3x2_4x4=(3x+2)(x2)=0时，有x1函数单调区间列表分析如下:贝1y=3x2-4x-4=(3x-2)(x-2)x(-o°,一)3232(,2)32(2,+8)/y+0一0+y-一149_一27-15A12c一,x?=2

44、o321492因为y(-)=<0,y(2)=15<0,所以万程在区间(-*,2)上无根；3273一.21492因为y()=-<0,而函数在(口,)上单调增，函数值不可能变号，所以3273方程在该区间上无根；因为y(2)=15<0,函数在(2,+8)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。12 .证明1xsinx=0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于一尺102的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数

45、在指定区间有至少一个零点。解：令f(x)=1-x-sinx,因为f(0)=1-0一sin0=1a0,f(1)=1-1一sin1=一sin1<0,贝f(0)f(1):二0,由零点定理，函数f(x)在0,1区间有一个根。由x*-xnbn-an一2有2n-1>10000,又为210=1024,21/:二一10213=8192<10000,214=16384>10000所以n=15,即需要二分15次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3 .试用迭代公式xk+=20,x0=1,求方程x3+2x2+10x_20=0的k120xk-2xk-10kk根，要求精确

46、到10至。分析：精确到10立即误差不超过1102解：令f(x)=x32x210x-20列表进行迭代如下：xkf(xk)01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881_5.3.992父10151.36881_5.

47、3.992父10指出：精确到105可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到10乂位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到10,，当1 二xk+-xk<-10终止计算。2本题采用第一种方法。4.将一元非线性方程2cosx_ex=0写成收敛的迭代公式，并求其在x。=0.5附近的根，要求精确到10-0解：2cosxex=0改写为2cosx2cosx=e=1xe2cosx-1xeg(x)=x-1xeg(x)=1X-2sinxe-2cos(ex)2xxe二12(sinxjcosx)22sin(2cosxx=x+x-1,设e2cosx在x°=0.5处，因为2,2si

48、n(0.5)g(0.5)=1族-=0.9615.e所以迭代法g(x«)=xk+号巫-1在x0=0.5的邻域内收敛。ek列表迭代如下:止匕时2cos0.690.69-e=0.00614。5.为求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：,、11(1)x=1+二，迭代公式xk+=1+；xk(2)x312.2二=1+x，迭代公式xk+=(1+xk)3；(3)x21,1，迭代公式xk+=1x-19(xk-1)2xk00.510.7120.6930.694位有效数字的近试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有似值。解：(1)因为x

49、=1+12,所以迭代函数为g(x)=1十12xx123g'(x)=(0)'=(x-),=Nx,g(1.5)=x-2x1.5-21.53-<1满足局部3.375收敛性条件，所以迭代公式xk.1=1之具有局部收敛性。xk1(2)因为x=(1x12)3,所以迭代函数为g(x)=(1+x2)3，则2x23(1x2产12127-22ig(x)=(1xg(x)=-(x-i)22x=x(1x2)333g(1.5)=2父1.52"456<满足局部收敛性条件，所以迭代公式,2、33(11.5)31%1=(1xj“具有收敛性。,所以迭代函数为1(3)因为x=J(x-1)21g

50、(x)=r，则(x-1)2i-12313(x-1)2,2,、1,、g(1.5)=(i.5-i)2321320.52=1.414>1不满足收敛性条件，所以迭代公式Xk一L不具有收敛性。(xk-1)2用迭代公式x-=1七列表计算如下:xkxk01.511.44421.48031.45741.47151.46261.46871.46481.46791.465101.466111.465所以，方程白近似根为x*'1.46506 .设中(x)=x+C(x23,应如何取C才能使迭代公式Xk+=tp(Xk)具有局部收敛性？解：设C为常数，因为中(x)=x+C(x2-3),所以b(x)=1十2Cx,要使迭代公式具有局部收敛性，需叫x0)=1+2Cx0<1,此时即有1c1+2Cx0<1