椭圆大题中的向量问题—基础篇

1、同理，若点 P(0,t),则 PAPB=t2222222abm-abki_2mtb2212.2akb2.2,2akb特殊情况：当P为原点 O 时，OAOB=a2b2m2-a2b2k21椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题.1.向量的数量积问题记点 P(t,0 青x轴上的一点，A(Xi,yi卜 B(X2,y2)是直线l:y=kx+m(l 不经过椭圆22的顶点)和椭圆与+4=1(ab：0)的两个交点，则 PAPB 计算过程可分为以下三步：abI.写出向量的坐标(末-初)，并将 lAPB 表示成 f(XiX2，Xi十 X2)的形式PA

2、PB=Xi-t,yiiX2-t,y2=Xi-t,kxim)1X2-t,kx2m=(k2+1=x+(km-tkx+x2)+(m2+t2)X1X2=fi(k,m),Xi+X2=f2(k,m);2/22、2am-b2kma二k1-kmTakbakb2.a2b2m2-a2b2k212kmta22.2.22.2.2akbakb其中 I、II 两步可以互换顺序基础练习：请按照以下条件作答II.联立直线 l 和椭圆，得出联立y=kXm22222,2bxay-ab=0得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,22kma则Xi.长二一至2，akbXiX2222am-bIII .将 Xi+X

3、2,XiX2代入式中,得到 PA，PB=g(k,m),将 PAPB 转化为含 k,m 的式子PAPBm2t22X21.已知斜率为 k 的直线 l 经过点(1,0)与椭圆+y=1 交于 A、B 两点,(1)若点 o 为原点，请写出节 AOB 关于斜率 k 的关系式；(2)已知点 P(2,0)，请写出PAEB 关于斜率 k 的关系式；22xy、2.若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,2)与椭圆-y+5=1 交于 A、B 两点(注意 A0),(1)若点 O 为原点，请写出 OAOB 关于斜率 k 的关系式；(2)若点 P(1,0)，请写出 7AKB 关于斜率 k 的关系式；(3)若点 P(2,0)

4、,请写出 PA 彘关于斜率 k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题(给出点P的坐标)22例 1:已知椭圆 C:七+上=1,直线 l 经过 C 的右焦点F与椭圆交于43(2)若 pApB=22,求直线 l 的方程；(y=x1)7(3)若 OAOB=N,求贰 PB 的值；(k2=2,pA,PB9)11求 PAPB 的取值范围；(PA，PBW,51)_4(5)若 AP+PB11,PAPBP%I)7，471(6)记 D、E 分别为椭圆 C 的左右顶点，-1TTI90ADEB+AE，DB=一，求直线 l 的万程；(y=x1)7ADEB+AEDB 的取值范围.(ADEB+羡 DBW 尺,16I)_2A、

5、B 两点，点 P(3,0(1)写出PAPB 关于直线 l 的斜率 k 的关系式；(27k15、PA.PB=2)4k23D.练习 1.1x2231.已知椭圆 4+y=1 的离心率e e= =, ,右直线 l l: :y=kx+无与椭圆恒有两个不同的父点 A A、 B B 且 OAOB2,2,求 k k的取值范围.222 .已知椭圆之+工=1的左焦点为F,设 A A、B B 分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为 k k3 2的直线与椭圆交于 C C、D D 两点.，若品前+ADCB=8,求 k k 的值.1.2 动点分析问题(直线l过椭圆顶点的问题)22以 l 经过椭圆x2+y2=l(ab0)的左

6、顶点 A(-a,0)为例.ab设 l:l:y=k(x+a)且 l 过点A与椭圆交于点 B(x2,y2),联立222222bxay-ab=0动点分析问题的过程如下：I .分析问题中涉及的动点；II .按难易程度，通过联立的方法用直线斜率 k 表示出问题中所涉及的动点坐标;III .按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率 k 表示出来；IV .将向量的数量积运用含 k 的式子表示出来.,得(a2k2+b2)x2+2k2a4x+a4k2-a2b2=0,xx2ax2-2a422ak-abk2b2、，ab2-a3k2、，2ab2kx2=-2.2.2，y2=2.2,.2，akbakbab即点B箕2

7、-a3k22ab2k例 2:如图，椭圆 E:+y2=1,记 A、B 为椭圆的左右顶点，点 C 为椭圆的上顶点，直4线 l 经过点 C 与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线 AC 与BD相交于点Q.当点P异于点B时.(1)记 k 为直线 l 的斜率，用 k 表示点 P、D 的坐标;OPOQ=4)练习 1.2:21.已知椭圆 C C:x-+y2=1,若 F 为椭圆 C C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线 l 与椭圆2L 人、T另一个交点为 A,且满足 BA-BF=2(1)用直线 l 的斜率 k 表示点A的坐标；T-I(2)用含 k 的式子表示 BA 的坐标，同时表示出 BF 的坐标；(3

8、)用含 k 的式子表示 BABF,构建方程 f(k)=2;(4)解出 k 的值，写出直线 l 的方程.28k1-4k24k2+14k2+1(2)2k1用 k 表不出IBD的斜率；(kBD=)4k-2(3)用 k 表示出点 Q 的坐标；(Q(Sk,2k+1)用 k 表示出 OP、OQ的坐标，并求OPOQ.1(OP=_4k,2k1,22.2.已知椭圆2+y2=1若 C C、D D 分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足 MDJ_CDMDJ_CD, ,连接2CMCM 交椭圆于点 P,P,证明：OM*OP 为定值.(1)记直线1CM的斜率为 k,用含 k 的式子表示出点 M 的坐标；(2)用含 k 的式

9、子表示出点 P 的坐标；(3)用含 k 的式子分别表示出 OP、OM 的坐标；(4)证明 OMOP 为定值.2X23.已知椭圆一+y=1,点A-2,0,设直线 l l 过点A与椭圆交于另一点 B,点 Q(0,y0)在4线段AB的垂直平分线上，且 QAQB=4,求 y0的值.(1)设直线 l 的斜率为 k,用含 k 的式子表示点B的坐标；(2)用含 k 的式子表示出AB的中点坐标，并写出AB的中垂线方程；(3)用含 k 的式子表示出点 Q 的坐标；e 人心一八一rT(4)用含 k 的式子分别表不出 QA,QB;(5)运用QAQB=f(k)=4,求直线 l 的方程，并求出点 Q 的坐标.2.数量积

10、问题的延伸一一垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题.记点 P(t,0 声x轴上的一点，A(xi,yiB(x2,y2)是直线l:y=kx+m 和椭圆22xy二十嘉=1(ab0)的两个交点，由之刖的讨论可知，a2b2m2-a2b2k212kmta2OTTTT若PA1PB,则 PA7B=0.22例 3：如图，记A为椭圆x2+与=1(ab0)的上顶点，Fi、F2ab为椭圆的两焦点，BPB2分别为 OF。OF2的中点,(1)求椭圆的标准方程和离心率;(2)过点 B,作直线 l l 与椭圆相交于 P、Q 两点，若 PB2IQB2,求直线 l l 的方程.练习 2.

11、121.已知椭圆 C：x+y2 2= =1,FpF2分别为椭圆的左、右焦点，若过点 F2的直线 l l 与椭圆 C C2一_rT相父于 P、Q 两点，且 FF_LFQ,求直线 l l 的万程.2PAPB 二 tAB1B2是面积为4的直角三角形.22 .已知椭圆 G G：x-+y2=1,短轴上、下顶点分别为A、B,B,若 C、D 是椭圆 G G 上关于y轴2对称的两个不同点，直线 BCBC 与 x 轴交于点M,判断以线段MD为直径的圆是否过点A,并说明理由.223.如图，已知椭圆士+上=1，设点 P、Q 分别是椭圆和圆 O O 上42位于y轴两侧的动点，若直线 PQ 与 x 轴平行，直线 APA

12、P、BPBP2.2 角度问题与y轴的交点记为M M、N N,试证明 ZMQN 为直角.点P在以AB为直径的圆外点P在以AB为直径的圆上点P在以AB为直径的圆内判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系.若.APB：:90,贝 UcosZAPBUcosZAPB0,即PAPB=PA!PBcosAPB0.若.APB=90；,贝 Ucos/APBUcos/APB即PAPB-PA后cosAPB=0.若.APB90；,贝 Ucos.APBUcos.APB即PAPB-PA点cos/APB:二02.2.1角度判断2X2例 4：记E、F2分别是椭圆了+y=1的左、右焦点，设过定点M(0,2)的直线 l

13、与椭圆交于同的两点 A A、B B, ,且/AOB/AOB 为锐角，求直线 l l 的斜率 k 的取值范围.练习 2.2.1221.已知点F是椭圆人+L=1的右焦点，O为坐标原点，设过点F,斜率为k的直线l交43222椭圆于AB B 两点，右 OA+OB,b0）的两交点,点 P（x3,y3底椭圆上，且四边形 OAPB 为平行四边形，如下图.114m2x3=1（X1+X2）,vfy）,进而彳到久干二九,这也是一个很有用的结论椭圆Iy=kxm 联立2222bxay=1子日22222222付(ak+b)x+2kmax+a(m-b)=1)c.22kma,xx=222akb,-2132m，yy2=k用长

14、2m=22，akb再由平行四边形的性质可得温=OA+OB,1-X3=x+x2,y3=yi+丫2,则点 P22kma22bm(1)(2)(3)将点P代入椭圆中可得在椭圆方程已知的情况下2244kma2222akb42工4bmb22222bakb4m22222=1,倚4m=ak+b.akb当直线 l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；若直线 l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到 k,m 的关系，结合 A0,我们可以求出 OP、AB、点 O 到直线 l 的距离 d,4AOB 或平行四边形 OAPB 的面积等几何量的取值范围.若点P在以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线上，则

15、KOP=OA+OB,可以得出BP例 6:6:已知椭圆 C:x_+=1,C:x_+=1,直线 l l 经过点 P P( (0,10,1) )交椭圆于 A A、 B B 两点， 以 OAOA、 O OB B 为邻边做平行四边形 OAPBOAPB, ,其中顶点P在椭圆上，O O 为坐标原点.(1)验证当直线 l 斜率 k 不存在时，是否存在这样的点 P;(2)记直线 l 的斜率为 k,用含 k 的式子表示 x1+x2,y1+y2；(3)由 OA+OB=OP,将点 P 的坐标用含 k 的式子表示；(4)将点 P 代入椭圆方程，得到方程 f(k 尸 1；(5)(5)解方程，求出直线方程.练习 3:221.1.已知椭圆 C C：/+/+ =1,=1,点 F F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点 P P, ,使得当 l l 绕32点F转动到某一位置时， 四边形 OAPBOAPB 为平行四边形？若存在， 求出点P的坐标和直线方程； 反之，请说明理由.2X2.已知椭圆 C C：一+y2=1,直线 l l 过点M2,0酌椭圆