常微分方程试题库

1、常微分方程一、填空题1 .微分方程(曳)n曳y2x20的阶数是dxdx答：12 .若M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则3)方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只与y有关的积分因子的充要条件是(y)3 .称为齐次方程.答：形如曳g(2)的方程dxx4 .如果f(x,y)M,dyf(x,y)存在dx唯一的解y(x)，定义于区间xxh上,连续且满足初始条件y(x)，其中答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件b、hmin(a,)m5 .对于任意的(x,y1)，(x,y2)R(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N0)使则称f(x,y)在R上关于y

2、满足利普希兹条件.答：f(x,y1)f(x,y2)Ny1y26 .方程曳x2y2定义在矩形区域R:2x2,2y2上，则经过点(0,0)的解的dx存在区间是由11答：-x-447 .若x)(i1,2,.n)是齐次线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程答：wa1(t)w08 .若x(t)(i1,2,.n)为齐次线性方程的一个基本解组，X(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为n答：xcixixi19 .若(X)为毕卡逼近序列n(x)的极限，则有(X)n(x)答：金心(n1)!10 .称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换,可化为

3、伯努利方程.答：形如dyp(x)y2q(x)yr(x)的方程yzydx11 .一个不可延展解的存在区间一定是区间.答：开12 .方程dy61满足解的存在唯一性定理条件的区域是.dx答：D(x,y)R2y0,(或不含x轴的上半平面)13 .方程曳x2siny的所有常数解是.dx答：yk,k0,1,2,14 .函数组i(X),2(x),n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等于零.答：充分15 .二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是.答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)16 .方程y2yy0的基本解组是xxe,xe1

4、7 .若y(x)在(,)上连续，则方程曳(x)y的任一非零解与dxx轴相交.答：不能18 .在方程yp(x)yq(x)y0中，如果p(x),4屋)在(,)上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上与x轴相切.答：不能19 .若yi(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.答：没有20 .方程曳小y2的常数解是.dx答：y121 .向量函数组Y(x),Y2(x),Yn(x)在其定义区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W(x)0,xI.答：必要22 .方程型x2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是.dx答：xoy平面23 .方程x(y21)dxy(x21)dy0所有

5、常数解是.答：y1,x124 .方程y4y0的基本解组是.答：sin2x,cos2x25 .一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.答：2二、单项选择题1 .n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A)个.(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+22 .如果f(x,y),f(X，y)都在xoy平面上连续，那么方程？f(x,y)的任一解的存在ydx区间(D).(A)必为(，)(B)必为(0,)(C)必为(，0)(D)将因解而定13 .方程在x3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(D).dx(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面4 .一阶线

6、性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(C).(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解5 .方程以vly2过点(一,1)共有(dx2(A)一6 .方程曳xxydx(A)有三个(B)无数7 (B)奇解.(B)无7 .n阶线性齐次方程的所有解构成一个(A)n维(B)n1维8 .方程曳3y3过点(A).dx(A)有无数个解(B)只有三个解B)个解.(C)两(C)有一个A)线性空间.(C) n1维(C)只有解y(D)三(D) 有两个(D)n2维0(D)只有两个解9 .fy(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条

7、件的(B)条件.(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分C).(B)构成一个3维线性空间(D)构成一个无限维线性空间10 .二阶线性非齐次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间11 .方程电/7的奇解是(D).dx(C) y1(D) y0(A)yx(B)y112 .若y1（x）,y2（x）是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（C）.(A) 1(x)2(x)(B) 1(x)2(x)(C) C(1(x)2(x)1(x)(D) C1(x)2(x)13 .fy（x,y）连续是方程曳f（x,y）初值解唯一的（D）条件.dx（A）

8、必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分14 .方程dy1（C）奇解.dx（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个15 .方程dy3y3过点（0,0）有（A）.dx（A）无数个解（B）只有一个解（C）只有两个解（D）只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1 .曳dxxy,3113解：dxx-xyx1(x)0xx2(x)0x，则xey(y2eydyc)所以xcydyyy2另外y0也是方程的解2 .求方程生xy2经过（0,0）的第三次近似解dx解：0（x）020(x)dx2,、，1(x)dx12一x21215x一x2203(x)o2,2(x)dx1511118一xxx2044001603

9、.讨论方程dydxy(i)1的解的存在区间解：dyydx两边积分所以方程的通解为故过y(i)1的解为通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到2,所以解的存在区间为(，2)4.求方程(曳)2y210的奇解dx解：利用p判别曲线得p2y2102p0消去p得y2所以方程的通解为sin(xc),1是方程的奇解5.，1、，(cosx)dxy(;x.一)dy0y解:N,所以方程是恰当方程.cosx-xsinx一y(y)yx2y2xy(y)所以(y)lny故原方程的解为sinxlny2-.26. yy2ysinxcosxsinx解：yy22ysinxcosxsin2x故方程为黎卡提方程.它的一个

10、特解为zsinx,则方程可化为dz1即ysinx,故yxcsinxdx1_2_3_27. (2xy23y3)dx(73xy2)dy8.解:2xdxdx2所以dydx两边同除以y2得3ydx工dyy3xdy0d3xy3xyxy2x也是方程的解0时，分离变量得dyy等式两端积分得lnyln(1x2)InC即通解为yC1x29.dydx解2x3ye齐次方程的通解为3xyCe令非齐次方程的特解为yC(x)e3x代入原方程，确定出C(x)1e5xC5原方程的通解为3x12xyCe+-e5dy510.yxydx解方程两端同乘以y5,得5dy4yyxdx令y4z,则4y5电主，代入上式，得dxdx1dzzx

11、4dx通解为4xCe原方程通解为4Ce4x22、11. 2xydx(xy)dy0解因为龙2x龙，所以原方程是全微分方程.yx取(x,y)(0,0),原方程的通积分为xy2o2xydx0ydyCc1。即xyyC312. dyyInydx通积分为解：当y0,y1时，分离变量取不定积分，得dxCyinyinyCex2_2一13. yy(y)3x0解原方程可化为/2、(yyx)0于是yx2Cidx积分得通积分为1y2C1x1x3C22314. ?义dx.xx解：令yxu,贝Udydxduxdxdux-dx1u2,代入原方程，得dxInC分离变量，取不定积分，得(C0)通积分为：arcsin-InCxx

12、dy15.dx解令)x_yxtanxu,则包dxduux一dxux业，代入原方程，得dxduutanu,xtanudx当tanu0时，分离变量，再积分，得dudxInCtanuxInsinuInxInC即通积分为：sinCxx16.出乂1dxx解：齐次方程的通解为yCx令非齐次方程的特解为yC(x)x代入原方程，确定出C(x)lnxC原方程的通解为yCx+xlnx17. (x2eyy)dxxdy0解积分因子为(x)x原方程的通积分为xxyy1 (e4)dx0dyCix即ex-C,CeCix2 一18. yy(y)0解：原方程为恰当导数方程，可改写为(yy)0即yyCi分离变量得ydyC1dx积

13、分得通积分1y2CixC219. y(xIny)1解令yp,则原方程的参数形式为1.xlnpPyp由基本关系式dyy,有dx,11、，dyydxp(2)dpPP1(1)dpP积分得ypInpC得原方程参数形式通解为1x-lnppypInpC220.yyy2x0解原方程可化为(yyx2)0于是ydyx2C1dx积分得通积分为1213yC1xxC223322321.(xxy)dx(xyy)dy0解：由于网2xy,所以原方程是全微分方程.yx取(x,y)(0,0),原方程的通积分为x32、y3.人0(xxy)dx0ydyC1即x42x2y2y4C四、计算题1、1.求方程yy-e的通斛.2解对应的齐次

14、方程的特征方程为：特征根为:1,故齐次方程的通解为：yCiexC2ex因为1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为yi(x)xAxe代入原方程，有2AeAxeAxe故原方程的通解为CexC2e1-e21-xe42.求下列方程组的通解dxdtdydt3x2y4y方程组的特征方程为特征根为11对应的解为其中ab1是11对应的特征向量的分量，满足112al0341b0可解得a11,b11.同样可算出22对应的特征向量分量为a22,b13.所以，原方程组的通解为C1C22e2t3e2t3.求方程y5ysin5x的通解.解：方程的特征根为i0,25齐次方程的通解为yCiC2e5x因为i5i不是特征根。所

15、以，设非齐次方程的特解为y1(x)Asin5xBcos5x代入原方程，比较系数得25A25B125A25B0，11确止出A,B50501原方程的通解为yC1C?e(cos5xsin5x)504.求方程y5y5x2的通解.解对应齐次方程的特征方程为250,特征根为10,25,齐次方程的通解为yC1C2e5x因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1(x)x(AxBxC)代入原方程，比较系数确定出A原方程的通解为yC1五、证明题1cle2一,B一，C一3525c5x13122C2e-x-xx3525)上连续，且(1)1 .在方程dyf(y)(y)中，已知f(y),(x)在(dx证：对任意x0

16、和y01,满足初值条件y(xo)y。的解y(x)的存在区间必为()证明：由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y1是方程的两个常数解.任取初值(x。，y。),其中x。(,),y。1.记过该点的解为yy(x),由上面分析可知，一方面yy(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y1,下方不能穿过y1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为(，).2 .设y1(x)和y2(x)是方程yq(x)y。的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)C,其中C为常数.证明：如果y1(x)和y2(x)是二阶线性齐次方程yp(x)yq(x)y。的解，那么由刘

17、维尔公式有xP(t)dtW(x)W(x0)eX0现在，p(x)。故有x0dtW(x)W(x0)ex0W(x0)C3 .在方程yp(x)yq(x)y。中，已知p(x),4他)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(，).显然，该方程有零解y(x)0.假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x。处与x轴相切，即有y1(x。)y(x。)=0,那么由解的惟性及该方程有零解y(x)。可知yi(x)0,x(),这是因为零解也满足初值条件yi(xo)yi(xo)=0,于是由解的惟一性，有

18、yi(x)y(x)0,x(,).这与yi(x)是非零解矛盾.4 .在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x),4他)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式川(刈是(，)上的严格单调函数.证明：设yi(x),y2(x)是方程的基本解组，则对任意x(,)，它们朗斯基行列式在(，)上有定义，且W(x)0.又由刘维尔公式xp(s)dsW(x)W(x0)ex0,xO(,)xp(s)dsW(x)W(x0)ex0p(x)由于W(x0)0,p(x)0,于是对一切x(,)，有W(x)0或W(x)0故川)是(，)上的严格单调函数.5 .试证：若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解证明：设黎卡提方程的一个特解为dydzdy令yzy,工一又dxdxdxdzp(x)(zy)2q(x)(zy)r(x)dx由假设dyp(x)y2q(x)yr(x)dx此方程是一个n2的伯