含参数二次函数最值探究

1、引言引言 新课改前，二次函数在初中教材中，只是新课改前，二次函数在初中教材中，只是让学生掌握些基本知识，没有作过高的要求让学生掌握些基本知识，没有作过高的要求 。现在，新课程改革把二次函数列入了高一数学现在，新课程改革把二次函数列入了高一数学必修中，足以看出其重要性。但是，对于二次必修中，足以看出其重要性。但是，对于二次函数的深入学习，依然是现在高一新生学习数函数的深入学习，依然是现在高一新生学习数学的一大学的一大“心病心病”，感觉到不好把握，特别是，感觉到不好把握，特别是含参数二次函数的最值，更是让许多学生感到含参数二次函数的最值，更是让许多学生感到迷惑。所以这节微课的就是起到了和高中的衔迷

2、惑。所以这节微课的就是起到了和高中的衔接作用，让学生对含参数的二次函数最值问题接作用，让学生对含参数的二次函数最值问题有个基本了解。有个基本了解。 上饶市五中上饶市五中 周霞周霞什么叫做含参的二次函数什么叫做含参的二次函数? 一般是含有参数的二次函数一般是含有参数的二次函数,而参数可以是而参数可以是已知的常数已知的常数,也有可能是未知的符号也有可能是未知的符号,例如在含例如在含有参数的二次函数式有参数的二次函数式y=ax+2abx+b中中,a、b是未知参数是未知参数,x是二次方的未知数是二次方的未知数,a、b的位置也的位置也可以是常数的可以是常数的.一、开口方向、对称轴、自变量范围都确定一、开

3、口方向、对称轴、自变量范围都确定22 313yxx已知函数已知函数 , -1x ,求函数求函数y的最大值与最的最大值与最小值小值 ?3小结：先配方，结合函数图象和增减性，二次函数最值容易求出；小结：先配方，结合函数图象和增减性，二次函数最值容易求出；由于二次函数最值总是在给定区间的端点或抛物线的顶点处取到，由于二次函数最值总是在给定区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将给定区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，也可以将给定区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出最值。计算出最值。解析解析： 所以 时， 234()33yx33x min4;13yx max2 33y时，

4、二、对称轴位置、自变量范围确定，开口方向不确定二、对称轴位置、自变量范围确定，开口方向不确定221(0)ykxkxk求求 ，-4x3的最值的最值 解析：解析： 二次函数开口方向不确定，对称轴和自变量范围确定，对称轴方程为x=-1.2221 ( 1 ) 1 ,y kxkxkxk 当k0时, minmax( 1)1,(3)1 15 ,yyk yyk 当k0时,maxmin( 1)1,(3)1 15 ,yyk yyk 小结：当二次函数对称轴位置、自变量范围固定，开口方小结：当二次函数对称轴位置、自变量范围固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。向不确定时，只要讨论开口方向向上和向

5、下两种情况。三、开口方向、自变量范围确定，对称轴位置不确定开口方向、自变量范围确定，对称轴位置不确定已知函数 ,求y在-1x1上的最大值和最小值 ()1yx xt 解析：解析：函数注意：注意： ，不能由此得到最大值为 ，因为这里x取值范围不是一切实数）函数图象的对称轴为：x ，对称轴的位置分四种情况讨论： 11 0 0 1如图所示：214t2t2t2t2t2t22()124ttyx 图1 t 2 x 0 y 1 -1 t 2 x 0 y 1 -1 图2 图3 -1 1 y 0 x 2 t 图4 -1 1 y 0 x 2 tmax( 1)yyt 1)由图可得：当 1，即t1，即t2时， 2tma

6、x(1)yytmin( 1)yyt 图1 t 2 x 0 y 1 -1 t 2 x 0 y 1 -1 图22max( )124ttyy3)当1 0，即2t0时 2tmin,(1)yyt2max( )124ttyy4)当 0 1， 即0t2时2tmin,( 1)yyt 小结：结合二次函数的图象，考虑对称轴与所给自变量范围区间小结：结合二次函数的图象，考虑对称轴与所给自变量范围区间之间的关系，先讨论对称轴在给定自变量范围区间左右两侧，再之间的关系，先讨论对称轴在给定自变量范围区间左右两侧，再讨论对称轴在给定区间中间，由易到难。讨论对称轴在给定区间中间，由易到难。 图3 -1 1 y 0 x 2 t

7、 图4 -1 1 y 0 x 2 t四四、开口方向、对称轴位置固定，自变量范围不确定开口方向、对称轴位置固定，自变量范围不确定设a为实数，函数 xa时，求y的最小值21yxxa ，解析：解析：由已知 213()24yxa若 ，则12amin13()24yya若 ，则 12a 2min( )1yy aa小结：按对称轴与自变量的范围的位置关系合理分类，利小结：按对称轴与自变量的范围的位置关系合理分类，利用数形关系结合增减性解出，最后再将结论进行综合。用数形关系结合增减性解出，最后再将结论进行综合。 以上以上4个例题从个例题从4个方面介绍了二次函数最值问题个方面介绍了二次函数最值问题常见题型，二次函数是学生比较熟悉的内容，是中常见题型，二次函数是学生比较熟悉的内容，是中考的热点，也是与高中的衔接内容。把含参数二