9.-刚体习题课解析

1、刚体定轴转动习题课刚体定轴转动习题课1.刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：MJ2.刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：2iirmJdmrJ2平行轴定理：平行轴定理：2mdJJc3.刚体定轴转动的角动量定理：刚体定轴转动的角动量定理：zzdLMdt)( JLz4.角动量守恒定律：角动量守恒定律：12zzLL 恒量5.刚体转动的功和能：刚体转动的功和能：21 MdA221 JEkcpmghEkpEE当只有保守力矩作功恒量6.机械能守恒定律机械能守恒定律 Mz=03（1 1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考

2、虑。成一个刚体，不要分开考虑。a它们的 和 均相同，但不同半径处的 和 不同。orR处处：如如图图，在在 r2/tnrarar:R处处在在2/tnRaRaR（2 2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑。虑。说明：说明： 41o2o1R1M2M2R1m2m 加加速速度度和和线线速速度度相相同同；同同一一根根绳绳上上各各点点的的切切向向1ABCD tttta A =a B =a C =a D CD （2）跨过）跨过有质量的圆盘有质量的圆盘两边的绳子中的两边的绳子中的张力张力不相等；不相等；ABDTTTBCTT但（忽略绳子的质量）（3）两个圆

3、盘的）两个圆盘的角速度角速度和和角加速度角加速度不相等。不相等。12125例例1. 现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。令其现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。令其各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。设其角速度各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。设其角速度也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问：哪种质料也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问：哪种质料的圆板先停止转动？的圆板先停止转动？解：解： 铁质和木质圆板的转动惯量分别为：铁质和木质圆板的转动惯量分别为：221铁铁铁铁mRJ 221木木木木mRJ 木木铁铁RR 木木铁铁JJ 由角动量定理得：由

4、角动量定理得：tJtLM所所以以：也也相相同同相相同同，, M木木木木铁铁铁铁tJtJ铁铁铁铁木木木木tJJt 铁铁t 因此，铁圆板先停因此，铁圆板先停 6.ABo例2 如图，转轮 、 可分别独立地绕 轴转动。,2010kgmkgmBABA和和轮轮的的质质量量分分别别为为、分分别别拉拉系系在在轮轮上上和和。现现用用力力和和半半径径分分别别为为BABAffrr两两轮轮边边缘缘处处、滑滑动动。为为使使的的细细绳绳且且使使绳绳与与轮轮间间无无BA之比为多少？、的拉力切向加速度相同，相应BAffArBroAfBf解：解：A、B滑轮视为两个刚体滑轮视为两个刚体将将不不再再相相同同。和和它它们们的的由转动

5、定律由转动定律： AAAAr f = J1 BBBBr f = J2由题意：由题意：ABtta= a AABBr= r3则：则：FA : FB = 1 : 27例例3、一轻绳绕过一半径为、一轻绳绕过一半径为R，质量为，质量为m/4的滑轮。质量的滑轮。质量为为m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？重物上升的加速度是多少？解：选人、滑轮与重物为系统解：选人、滑轮与重物为系统对对O轴，系统所受的轴，系统所受的外力矩外力矩为：为：2m

6、MRmgRg Rmg21设设u为人相对绳的匀速度，为人相对绳的匀速度，v 为重物上升为重物上升的速度的速度, 则系统对则系统对o轴的角动量为轴的角动量为:oRm2m4mv 2mLRvRm u vJ 2R4m21JmRumRvL8138根据角动量定理：根据角动量定理：dtdLM mRumRvdtdmgR813210dtdugdtdva134oRm2m4mvRmgM21mRumRvL81390例例4、质量为、质量为m，半径为，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直的圆盘，可绕过盘中心且垂直于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻力为力为 ， 时，

7、圆盘的角速度为时，圆盘的角速度为 ，求盘在任，求盘在任意时刻的速度意时刻的速度 。kvf0t)(tordr解解:先求阻力力矩先求阻力力矩, )2(2rdrrfdMdrkvr24drrk34RdrrkM0344kR由转动定理：由转动定理：MdtdJdtdmR2214kRdtmkRd22tdtmkRd0220tmkRe220取半径为取半径为r宽为宽为dr的圆带的圆带10例例5. 质量为质量为M长为长为L的均质细棒静止平放在滑动摩的均质细棒静止平放在滑动摩擦系数为擦系数为 的水平桌面上。它可绕的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面点垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为的固定光滑轴转动。另有

8、一水平运动的质量为m的的小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为 和和 。求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？。求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？1v2v解：解： m与与M碰撞过程，碰撞过程， 系统（系统（m,M）对）对O轴轴角动量守恒角动量守恒o1v2vLmv1231MLJ （1）（2）碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用 JLmv 211 fM（3）由角动量定理由角动量定理 JdMdt0t0fdJdtM有：有：（4）由

9、以上四式解出：由以上四式解出：Mgvvm2t21 gdxxxdfLL 0 MgL 21 o1v碰后：碰后： 任意质点所受阻力：任意质点所受阻力：xdxdm dfdN gdm dxg 任意质点所受阻力矩：任意质点所受阻力矩： fdMxdf Lmv1（1） JLmv 2231MLJ （2）12例例6、质量为、质量为M，长为，长为 的均匀棒，如图，若用水平力的均匀棒，如图，若用水平力F打击在离轴下打击在离轴下 处，求：轴对棒的作用力。处，求：轴对棒的作用力。ly解：设轴的作用力为解：设轴的作用力为:xRyRxRyRyF由转动定律由转动定律:dtdJyF0yFtJt为作用时间为作用时间得到：得到：由质

10、心运动定理：由质心运动定理：切向：切向：dtdlmRFx2法向：法向：22lmmgRy于是得到：于是得到：FlyRx)231 ( mltyFmgRy32222)(913cARcRAFFyFxo解解(1)由转动定律由转动定律23ARLcFMa2ccLarAFRJ213ML14cARcRAFyo1v球打在球打在A点，点，轴间仍没有轴间仍没有x方向轴力方向轴力球和棒系统，水平方向动量守恒球和棒系统，水平方向动量守恒 1mv2mvcMV 系统角动量守恒系统角动量守恒1mvRA 2mvRA J 23122LVMLmvRcA Mm LRA32 弹性球碰撞，弹性球碰撞，机械能守恒机械能守恒2121mv222

11、1mv 2223121 LVMLcvVc76 yFccR/MVMg2 1515例例8、在半径为、在半径为R1,质量为质量为m的静止水平圆盘上，站一的静止水平圆盘上，站一质量为质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2的的圆周匀速地走动时，设它相对于圆盘的速度为圆周匀速地走动时，设它相对于圆盘的速度为v，问，问圆盘将以多大的角速度旋转？圆盘将以多大的角速度旋转？解：解：人走动前后角动量守恒人走动前后角动量守恒人相对于地面的角速度：人相对于地面的角速度：设圆盘的角速度为

12、设圆盘的角速度为 2Rv JJ0)(2122221 RvmRmRvRRR2221222 16例例9、质量为、质量为M、半径为半径为R的圆盘绕竖直轴的圆盘绕竖直轴O作以角速度作以角速度 0的匀速转动。人的质量的匀速转动。人的质量m=M。现有四个质量相同的。现有四个质量相同的人其中两人沿圆盘边缘顺着转盘的转向、相对于转盘以人其中两人沿圆盘边缘顺着转盘的转向、相对于转盘以速度速度v奔跑而另外两人在距轴心为奔跑而另外两人在距轴心为R/2处逆着转盘的转向、处逆着转盘的转向、相对于转盘以速度相对于转盘以速度2v奔跑。设原来四人的相对位置如图奔跑。设原来四人的相对位置如图示，四人相对静止，轴摩擦可略，求：示

13、，四人相对静止，轴摩擦可略，求：1、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速 2、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速 0 0v2v2vv17oR0v2v2vv解：选四人和转台为系统，对解：选四人和转台为系统，对O轴轴 合外力矩合外力矩 M=0,角动量守恒。角动量守恒。44332211 JJJJJ 其中：其中：221MRJ 41JJ 32JJ 04321 JJJJJ2mr2241 RM2161MR 2mr 2)41(RM 18人对地人对地 rv Rv41 2232Rv由由 以上各式解出：以上各式解出：0 Rv980 自自己己作

14、作台对地台对地人对台人对台 oR0v2v2vv第二问答案：第二问答案：19例例9、半径为、半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环面的点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径OA沿水平沿水平方向方向(如图所示如图所示)。环由此位置下摆，求。环由此位置下摆，求A到达最低位置时的速度到达最低位置时的速度解：以环、地球为系统，系统机械能守恒解：以环、地球为系统，系统机械能守恒设设O点为势能零点点为势能零点0MgRJ2122MRJJc RggR2R2A2222MRMRMR ROAA201r2r101o

15、2o例例10、两个均质圆盘转动惯量分别为、两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和和 J2 , 开始时第一开始时第一 个圆盘以个圆盘以 10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使 两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆 盘的角速度盘的角速度.1Ngm1ffgm22N解：受力分析：解：受力分析：无竖直方向上的运动无竖直方向上的运动gmfN11gmfN22以以O1点为参考点，计算点为参考点，计算系统的系统的外外力矩力矩)(2122rrgmNM0)(21rrf作用在作用在系统上系统上的外力矩不为的外力矩不为0，故

16、系统的，故系统的角动量不守恒角动量不守恒只能用转动定律做此只能用转动定律做此题题21盘盘1：111frdtdJdtJfrd1111r2r101o2o1Ngm1ffgm22NtfdtJr011110盘盘2：222frdtdJdtJfrd222tfdtJr0222于是有：于是有：22211011)(rJrJ不打滑条件：不打滑条件：2211rr可解得：可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ解：设两轮间摩擦力解：设两轮间摩擦力 f 例例11、两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度为、两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度为 , 求：对接后两轮求：对接后两轮无相对滑动

17、无相对滑动时的角速度时的角速度21 、01、 J2J111r2r2211 rr11222211221 JrJrJr 11222211212 JrJrJrr 111frdtdJ 222frdtdJ 21210121)( rJrJ212211rrdJdJ 212121 drJdrJ 2110212121 drJdrJ23ocAB例例11. 一半径为一半径为 R 的圆盘，可绕一垂直于圆盘面的转的圆盘，可绕一垂直于圆盘面的转轴作定轴转动。如果由于某种原因转轴偏离了盘心轴作定轴转动。如果由于某种原因转轴偏离了盘心O而在而在 C 处，如图所示。处，如图所示。A B 是通过是通过CO的圆盘直的圆盘直径上的两

18、个端点，则径上的两个端点，则 A B 两点的速率将有所不同。两点的速率将有所不同。现在假定圆盘转动的角速度现在假定圆盘转动的角速度 是已知的，而是已知的，而 、可以通过仪器测出，试通过这些可观测量求出偏心可以通过仪器测出，试通过这些可观测量求出偏心距距 。AvBv解：解：Ar = R+lBr = R-lrR BR2AB 2ABvv例例12. 质量为质量为M,半径为半径为R并以角速度并以角速度 旋转的飞轮，旋转的飞轮，在某一瞬时，突然有一片质量为在某一瞬时，突然有一片质量为m的碎片从轮的边的碎片从轮的边缘飞出。假定碎片脱离了飞轮时的速度正好向上。缘飞出。假定碎片脱离了飞轮时的速度正好向上。（1）

19、碎片上升的高度）碎片上升的高度 H=? （2）求余下部分的）求余下部分的 = ?角动量及动能各为多少？角动量及动能各为多少？ 0vRv10解解：gvH220 轴角动量守恒轴角动量守恒在碎裂瞬间对在碎裂瞬间对碎片和圆盘余下部分碎片和圆盘余下部分系统系统O2oR0v JgR222 mJJ 25 mJJJ 22222121mRmRMRMR 解解出出：动动动动能能：余余下下部部分分的的角角动动量量和和转转 2221mRMRJL2222212121 mRMRJEkTABmgcmgTma2123LmgmL 12caL14Tmg27一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在的匀质细杆，可绕通过

20、中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 处的处的杆上，昆虫落下后立即向杆的右侧端点爬行，如图所杆上，昆虫落下后立即向杆的右侧端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动，示。若要使杆以匀角速度转动，求昆虫沿杆爬行的速求昆虫沿杆爬行的速度。度。(辅导辅导P77. 题题7)rO4ld()dzzJMt ddzzJMt 使杆以匀角速度转动28tJMzzdd)121(22mrmlJzdcos2drmgrm rt dcoscos d22rggtt vcosmgr 代入得rO4l如图所示，一个高为如图所示，一个高为h，底部半径为，底部半径为R的圆锥体，可的圆锥体，可绕铅直的对称轴自由转动。锥体表面沿母线刻有一绕铅直的对称轴自由转动。锥体表面沿母线刻有一条细槽。若锥体以角速度条细槽。若锥体以角速度 0旋转时，有一质量为旋转时，有一质量为m的的小滑块从槽的顶端从静止开始沿槽下滑。已知圆锥小滑块从槽的顶端从静止开始沿槽下滑。已知圆锥体绕对称轴的转动惯量为体绕对称轴的转动惯量为J。求当滑块到达底部时的。求当滑块到达底部时的运动速度。运动速度。 hR 滑块下滑过程中，滑块和锥体组成的滑块下