[高三数学]小升初几何题

1、主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址： 09年寒假小升初总复习-答案版小升初总复习 几何专题典型例题【例1】【分析与解】(1)用标数法得0+1+2+3+9=45，或者排列组合法（2）因为AOB内角分线OC1、OC2OC9共有9条，即9+1=10个基本角.总共有角：10+9+2+1=55（个）.（3）要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，

2、先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.(4)AB边上的线段有：5+4+3+2+1=15. BC边上的线段有：3+2+1=6. 长方形：15×6=90(个),含的长方形有2×2×2×4=32（个）(上下左右的线段数相乘)(5)长宽高三个方向线段数相乘,分别为=1680（个）含的长方体的个数2×6×2×3×1&#

3、215;3=216(个) (上下左右前后的线段数相乘)（6）几何中的线、面、体计数问题常用组合知识，任意两点可以组成一线段，任意两线段可以组成一矩形，任意三线段可组成一个立方体。【评析】 在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法【拓展】【分析与解】若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.所以为111.【例2】【分析与解】长方形个数：(个)为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.以三条基本线

4、段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.以五条基本线段为边的正方形个数共有： 2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）.【评析】若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（nm）：mn+(m-1)(n-1)+（m-2）（n-2）+（m-n+1）·1【例3】【分析与解】分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适

5、合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？根据图中三角形的形状和大小分为六类：.与ABE相同的三角形共有5个；.与ABP相同的三角形共有10个；.与ABF相同的三角形共有5个；.与AFP相同的三角形共有5个；.与ACD相同的三角形共有5个；.与AGD相同的三角形共有5个；所以图中共有三角形5+10+5+5+5+5=35（个）。【例4】【分析与解】利用图形的对称性，可得出以下剪拼方法：【例5】【分析与解】从A出发的第一步共有6条路线，每条线有9种方案，共54种方法。【例6】【分析与解】应用标数法，可得A到B有10种，B到C有3种，所以A经过B到C有3×10=

6、30 种。B处不能走，则B处标0，由标数法可得26【例7】【分析与解】教师要帮助学生理解三天路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有，是什么？仍然用对角线法求解第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8 条；第三天（必须不经过公园）共有8条【例8】【分析与解】(1)设登上n级楼梯共有an种不同走法，n1，2，.把上到第n级楼梯的情形分为两种走法.一类是先上到第n-1级楼梯，然后再上一级，共有an-1种走法.另一类是先上到第n-2级楼梯，然后再上两级，共有an-2种走法.由加法原理，上到第n级楼梯的走法an满足下列递推关系式：an=an-1an-2。又a1=1，a2=2，故

7、上楼梯方法数an依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.上到第12级楼梯共有233种不同走法。(2)如果一次可以走1级、2级、3级则依次为1,2,4,7,13,24,，即前三数的为等于下一个数。(3)如果有一级坏，就标0处理。【教师点评】上面的数列叫兔子数列，也叫斐波那契数列.【例9】【分析与解】为了便于理解，可以将本题转化为：上16级楼梯，每次上2级或3级，共有多少种不同方法？如下图所示，后一级的走法等于前2，前3级的走法数之和，最后得37.【补充】【分析与解】图中只有E、D是奇点，从E或D出发可以不重复地走过每条棱，而从B点出发不可能不重复地过每一条棱再到

8、D，至少要多走一条棱，所以从E点出发的蚂蚁获胜图中只有A与C两个奇点，从A点出发的人可以不重复地走遍每一条路从B点出发的人至少有一条路要重复走又两人速度相同，所以从E点出发的人快【补充】【考点分析】一笔画问题，三年级，四年级，五年级，六年级【分析与解】(方法2)胡先友老师推荐方法：8个奇点，要8÷2=4笔才能画成。其中3笔最少画3条4分米的线段，所以它最多爬过的距离为(456)×4-3×4=48分米。【评析】一笔画问题三大结论的应用。【补充】【分析】一层：周长=（2012)×2二层：三层：周长=（3×20+3×12）×2依此

9、类推，摆好十二层后周长为(12×20+12×12）×2【解】（12×20+12×12)×2=768（厘米）答：摆好后图形的周长是768厘米【例10】分别求出图中各图形的面积（的面积为2）求下右图ABC的面积（的面积为3） 【解】(方法一：图形分割法)图分解成1个梯形1个正方形图的面积=梯形面积正方形面积=（1+3）×1÷2+1=3，3×2=6图分解成4个小三角形，2个长方形和一个平行四边形图的面积=三角形面积长方形面积十平行四边形面积=2+8+1=11,11×2=22图分解成4个小三角形，1个长

10、方形和1个平行四边形图的面积=三角形面积长方形面积平行四边形面积=2+3+1=6,6×2=12图的面积(4÷2+4-1)×6=30(方法二：公式法)【小结】顶点都在格点上的多边形叫格点多边形，有正方形格点多边形和三角形格点多边形。求格点多边形面积可以统一用：，表示最小的平行四边形的面积。(记忆提示：边2内1。妈妈配在儿子旁边学奥数的格点面积，好累咽)【例11】【分析与解】连结AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEFSABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1【评析】同时加一块在

11、面积计算中的应用。或都说梯形蝴蝶定理中双腰相等结论的应用。【例12】【解】ADBEEC=869，=, -=-，=10，=40【例13】【分析与解】 方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:(平方厘米).方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形（梯形蝴蝶定理中两腰相等） 有DFB、DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,DBC的面积(平方厘米)阴影部分DFB的面积为50平方厘米【拓展】【分析与解】（方法一）两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG

12、和三角形AMB同高，所以SBAG=SABM=××1÷2=，所以阴影面积为×2=（方法二）利用梯形蝴蝶定理，设AMG的面积为X，则BCG面积为4X，BGA的面积=MCG的面积=2X，阴影面积=(1-1×0.5÷2)÷9×4=1/3【补充】【分析与解】在ABB与ABC中，ABB+ABC=180°因为 AB=AA，所以AB=2AB，又因为BB=BC，所以SABB=1×2×SABC=2SABC=2同理SBCC=2×1×SABC=2SACA=2×1×SAB

13、C=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7。【补充】【分析与解】连结AG、CG，如图所示， AF=EC，有SAGF=SCGE，又ED=BG，有SAED=SABG,且 SCDE=SBCG，由此可见：EFG的三个部分中SABG补到了SEAD，SAFG补到了SCEG之后，又将其中的SBCG补到了SCDE而SAEG的位置不变，由此一来相当于将EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：SEFG=1【评析】见到线段相等或者成倍数关系，应该立刻想到“线段关系转化为面积关系”。【例14】【解】 连结对角线AE(如图)，三角形AEC的面积16÷24=4 因

14、为ACF与AEC有相同的高线AF，且它们的面积都等于4，所以CF=CE同理，ABE的面积是16÷235，所以BD/BE=3/5，即BE=5/8DE=5/8AF又因为BCE与ACF有相等的高(CE=CF)，故BCE的面积是ACF面积的5/8，即为 4×5/8=2.5从而ABC的面积等于16(3+4+2.5)=6.5【点评】本题还可以从长方形的宽一定，通过面积比确定长的比。如图，DBBE=长方形ADBM长方形MBFE=（3×2）（16-3×2）=35，所以长方形OBEC的面积=长方形NDEC的面积×=（16-4×2）×=5所以三

15、角形BCE的面积为5÷2=2.5，所以三角形ABC的面积为16(3+4+2.5)=6.5【例15】【分析与解】阴影面积=R2-r2=50，环形面积=（R2-r2）=50=157【例16】【分析与解】从图中可以看出PBC和ABC是同底的两个三角形，它们的面积之比等于它们对应高的比，所以同理可得，所以。又，因此【例17】 【分析】 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC 的面积已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比。【分析与解】 连结AE 、BF 、CD 如下图所示由EB2BC ，得2 , 同理可得2 , 6, 3，所以12

16、3126318 . 【评析】 解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解【例18】【分析与解】S阴影（S正方形ABCE+S半圆-SADE）÷2=32.125【拓展】【解】 解法1 ：下图中，阴影面积整个面积一空白面积（正方形ABCD半圆）一（）（10×10×5×5×2一15×5÷2(515）×5÷251.75 . 解法2 ：下图中一圆5×5 一××5×5 ，上面阴影面积三

17、角形APE 一15×5÷2 一5×5××5×5 , 下面阴影面积三角形QPF一10×5÷2 一（5×5 一××5×5）. 所以阴影面积（15×5÷2 一5×5××5×5）（10×5÷2一5×5十××5×5）51. 75, 解法3 ：下图中，半叶形圆一小正方形××5×5一×5×5 上面阴影面积三角形ADP10&

18、#215;5÷2××5×5×5×5下面阴影面积三角形QPC5×5÷2××5×5×5×5阴影面积（10×5÷2××5×5 一×5×5）（5×5÷2×5×5一×5×5）51.75 【评析】 阴影面积的“加减法”因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形面

19、积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意半叶形和圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形【例19】【分析与解】连接BM， BE=AB/3 BD=CD, 【评析】用方程来解决比较复杂的几何问题也不失为一个好方法。本题非常典型，常用方法x,y,并利用燕尾定理巧解此类总量。【例20】【分析与解】连接AF，如下图，三角形ADF的面积用a表示，三角形AEF的面积用b表示。由燕尾定理可得：a÷2=(b+3)÷4,b÷3=(a+2)÷4,解得a=18/5，b=21/5，所以四边形ADFE的面积为39/5。【附加题】【分析】 四边形AFHG可以看做是由三角

20、形ABC 去掉三角形BEC 、三角形BFH 和三角形AGE得到的如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题【解】为了强调相关部分，下面各幅图去掉了部分不相关线段. 解法1 ：如右图所示首先求出BFH的面积由已知可以得到3：1；而和的面积之和为1 , 于是可以得到×1；同样的可以得到×1；而BF：AF1：3，AE：EC1 : 2 ，如果设x，y ，则3x；2y；于是有两组等量关系式：3y3x,4xy；可列出方程组解得x；所以BFH 的面积为运用类似的方法，再把BPH 的面积求出来如下图，我们设a，b ，则2a, 4b； 于是有等量关系式ab,2a5b,可列

21、出方程组解得a，所以AGE；这样，解法2 : 如下图所示BH : HE：（）1：2,所以； 如下图所示，同理得AG : GD5：8 ,所以，AG : GD5:(58)5:13,所以，【评析】解法l 通过找等量关系，列二元一次方程组分别解出 与的面积，解法比较自然。解法2 运用到的考点比较多，但基本解题思路和解法1 相似，都是通过关系式得到答案，但解法2 在求及过程中运用了线段比和三角形面积比之间的常用比例关系。求解过程简洁，计算也比较方便。【注】鸟头定理和蝴蝶定理的应用可是重要考点。【例21】 【解】 设三角形以AB为底的高为h,FGAB=23; ED:FG=1:2 三角形OGF以GF为底的高

22、是h×=h;又三角形CFG以FG为底的高是h, 三角形OGF的面积三角形CGF的面积=hh=13;所以三角形CFG的面积=24×=18(平方厘米)而三角形CFG的面积占三角形ABC的（×=），所以三角形ABC的面积是18÷=40（平方厘米）。【评析】相似三角形面积、边长关系在小学竞赛与升学中也常常用到，如2007年的EMC，三帆考试，迎春杯，全国小奥。【例22】【分析与解】转化为ABCD的面积比BCE的面积大20，20+20×16÷2=180,CF=180÷20=9【评析】凡是面积存在大小关系的题，必然是同时加上一块或同时减

23、去一块，变成面积可求的图形。【例23】【分析与解】把BCF旋转上去，BF与BE重合，转化成等底同高的两个三角形，所以BCF的面积为5.【评析】两个三角形，如有一个角相等或互补，面积比等于此角两边边长积之比。【例24】【分析】 阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积【解】 画FH垂直BC 于H；GI垂直BC 于I.根据相似三角形定理CG:CFCI：CH1：3又 CHHB , CI：CB1：6 ，即BI：CB（61）：65：6，. 【评析】利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积【例25】 【分析与解】如图：设上底为a,下底为2

24、a,梯形ABCD的高为h；所以×（a+2a）h=297,ah=198(平方厘米)作BHAD，则OF=（2a-a）×=a 所以EF=EO+OF=a+a=aAB：EF=a: a=3:5 EF:CD=a:2a=5:6 所以h1 =×=h h2 =×=h SEFM=×a×h=×××198=68.75(平方厘米)SEFN=×a×h=×××198=25（平方厘米） 阴影部分面积=68.75+25=93.75(平方厘米)【例26】【分析】 矩形被分割成9 个小矩形，马上

25、可以联想到矩形等积变形的两个重要结论【 详解过程】 矩形PFMD 中，矩形OHND 的面积等于2×4÷38÷3 , 矩形ABCD 中，矩形IBLH 的面积等于（l2）×（164）÷（8÷3）45÷2 , 所以矩形ABCD 的面积12416(8÷3)(45÷2) 289÷6 . 【评析】矩形对乘相等结论的应用。【例27】【分析与解】从第一排与第二排看，五个小纸片的长等于三个小纸片的长加三个小纸片的宽，也就是二个小纸片的长等于三个小纸片的宽已知小纸片的宽是12 厘米，于是小纸片的长是12×

26、3 ÷2 = 18厘米，阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差1812 = 6 . 于是，阴影部分的面积是6×6×3=108 平方厘米【例28】【分析与解】比较大长方形的长与宽，18=2号的边长+1号的边长，14=2号的边长+3号的边长，可知1号的边长比3号的边长多4。再由图知，2的边长比3的边长多5的边长，1的边长比2的边长也多5的边长，所以1的边长比3的边长多2个5的边长。所以5的边长为4÷2=2，面积为4.【例29】【分析】 题目中阴影部分不规则但有边的倍比关系，BEEC, CF2PD ，可以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系【解

27、】 解法l ：连接CG, CH, AC交BD于O. 如上（2）图设a，根据燕尾定理得 , 有因为所以 ， 所以4×（a2a)12a , a2.5a0.5a4a,12a4a8a.所以阴影面积与空白面积的比4a:8a1:2 . 解法2 ：设a ，则a, 2a. 设b ，则2b , 设x ，则x ，【评析】 连接CG , CA , CH ，构造模型5，应用燕尾定理，分别求出3 个阴影三角形面积，再求出平行四边形ABCD 的面积，用四边形面积减去3 个阴影三角形面积即为空白面积亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比【例30】 【分析与解】玻璃杯中水的体积为80×8=640(立方厘米)

28、没有变，放人长方体铁块后水的底面积是8016=64(平方厘米)，用水的体积除以水的底面积就是水的高度。 解法一：80×8÷(80一16)=640÷64=10(厘米) 解法二：设水面上升了x厘米。根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为 80×x=16×(8+X) 解得X=2 所以8+2=10(厘米)【例31】【分析与解】设A、B每分钟的注水量分别为,升（立方分米）“18分钟后将整个水槽注满水”得：18+18=60×120×80=57600(立方厘米)=576(升)(1)由题意还可得：，所以可得20=5+5,=3。则=8

29、，=24其实本题中的“18分钟后将整个水槽注满水”是多余的条件，与“9分钟后右侧水面和隔板一样高”是重复的。【例32】【考点分析】欧拉定理，本题比较难，因为很多培训班不讲解，甚至很多教师也不了解此定理。三年级，四年级，五年级，六年级【分析与解】这个多面体中间一段是六棱柱，上面和下面一样，都是由3个正方形和3个三角形相间斜立着，再由1个三角形连在一起。【评析】平面欧拉定理：面数（即区域数）+顶点数=边数（棱数）+1 立面欧拉定理：面数（即区域数）+顶点数=边数（棱数）+2【补充】【考点分析】找规律，几何想象能力与推测能力的考查，三年级，四年级五年级六年级，教师讲评时请用纸现场演示操作一次，操作二

30、次的实验。【分析与解】(方法一)每操作1次都使正方形1变4。第1次操作后剪了4层展开合为一个洞（40），第2次操作1*4=4(41)个洞，第3次4*4=16(42)，第4次16*4=64(43)，第5次64*4=256(44)。不信的同学可以看我挖的效果图：） 操?次挖出黑洞1个，2次挖出橙洞4个，3次黄洞16个，4次绿洞64个，5次蓝洞256个.（方法2）主动学习网推荐方法：5次操作共折了10次，每折一次面数增加2倍。共有个面，而一个圆（洞）由4个1/4个圆组成，所以共有圆1024÷4=256个。【例33】【考点分析】各种长方形的长与宽之和都是48÷2=24（厘米）。【分

31、析与解】由于各种长方形的长、宽都是整厘米数，并且和为24厘米，可以列表如下：因为23×1<22×2<21×3<20×4<19×5<18×6<17×7<16×8<15×9<14×10<13×11，所以最大的长方形面积是11×13=143（平方厘米）答：围成的最大一个长方形的面积是143平方厘米。【评析】和一定，差越小积越大的正确理解。【例34】【分析与解】每个羊圈尽可能大，5 个面积相同5a+6b =60 要使ab 最

32、大，则5 a×6b =30ab 最大，根据和一定，差小积大原则，5a = 6b =60 ÷2 = 30 ，所以a=6,b=a，所以个羊圈面积应为30 平方米 【评析】和一定，差越小积越大的正确理解。【例35】【分析与解】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°的扇形之和。所以答案是43.96m2。【例36】【分析】要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形.【解】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如下图因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图的面积为平方厘米.

33、研究AB 边的情况在整个AB 边上，距离C 点最近的点是B 点，最远的点是A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见下图中阴影部分 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形面积十三角形面积-三角形ABC面积一扇形面积扇形面积一扇形面积4 由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示用与前面同样的方法可以求出面积为扇形面积十三角形ADC面积-三角形面积一扇形面积扇形面积一扇形面积=.【评析】旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的先不去考虑具体数据

34、，一定要把思路捋清楚最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有我们可以做进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的【例37】【分析】首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围确定为4个正三角形两个半圆，两个半圆即一个整圆实际绿化面积大圆面积一（4个三角形小圆面积）. 【解】实际绿化面积×20×20 一（×10×104×42.5) 1200一（300170) 1200一470730 (). 【评析】 本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范

35、围为两个5/ 6 圆减去其重合部分，即一个菱形一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解【例38】【分析】分析硬币滚动时圆心的轨迹【解】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由3个硬币的圆心构成一个等边三角形如下图，所以这枚硬币的圆心沿着半径相当于硬币2 倍的圆旋转了,所以硬币自身旋转了. 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2 倍的圆旋转了,所以硬币自身旋转了. 在整个过程中有8次沿边旋转，4次角旋转，所以120×8300×42160 ，所以自身转动了6 圈【例39】【解】 (1)一种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初

36、始位置和终止位置，可知圆滚动,所以圆半径=30÷÷3. 14÷26. 37（厘米）(2)一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了,所以圆的半径是30÷÷3. 14÷22. 73（厘米）【补充】【分析与解】学生自己思考，讨论求解。【例40】【分析与解】外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4-×

37、22)+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12(平方厘米)计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24所求几何体体积为：1O×1O×1O- (256+24)=668.64(立方厘米)【例41】【分析】 以CD为轴确定阴影部分旋转后的形状【解】 设三角形BCO以CD为袖旋转一

38、周所得到的立体的体积是V, V等于高为10cm 、底面半径是6cm 的圆锥的体积减去2个高为5cm、底面半径是3cm的圆锥的体积 即V×10×2×××5×90（）, 2V180540（） 【例42】【解】 12被3个整数整拆只有4种情况：1×1×12, 1×2×6, 1×3×4, 2×2×3。两面涂红的有28块，因为正方体长，宽，高都有4条，所以长宽高之和为 28÷47 符合条件只有2237 , 所以芯为2×2×3的长方体一面

39、涂红的为（2×22×32×3) ×232（个）, 原体积（22)×(32)×(22) 80（立方分米）. 【评析】立体染色问题。【例43】【解】首先根据俯视图，底层必有这么11个，这是不能再少的第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7 块第三步，再根据侧视图，说明另一侧至少要加上l 块最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如图所示以俯视图为标准，三行当中中间行至少有2块，上行至少6块，下行至少10块，此时才能满足正视图和侧视图即所堆的立体的体集至少应用18 块正方体的体集当然，这里的形状不唯一.【例44】【分析】表面积可根据上

40、、下、左、右、前、后分别求，最后再求和投影法的应用。【解】 立体图形的形状如下图所示从上面和下面看到的形状面积都为9 ，共18 ；从两个侧面看到的形状面积都为7 ，共14 ；从前面和后面看到的形状面积都为6 ，共12 ；隐藏着的面积有2 .一共有181612248 (）.【评析】这道题非常好，深刻考察学员对立体图形的认识。【例45】【分析】一个正整数×52另一个正整数，那么这个正整数必须能被25 整除大正方体的边长必须是5的倍数，才能保证切割后的小正方体的个数是25的倍数，所以，N可以取5, 10, 15， 【解】 当N5 时，正方体有5×5×5125 个小正方体

41、，涂色的小正方体有5×5×5×5265（个），不可能被涂色的小正方体3×3×327 （个, 2765 小于125 成立当有大正方形包含一组对面的任意3个面被涂色，即可成立 当N2×510 时，正方体有10×10×101000个小正方体，涂色的小正方体10×10×l0×52520（个），不可能被涂色的小正方体8×8×8512（个）, 512520大于1000 ，所以N10 的情况不成立 同理N 大于10 都不成立所以N5 .【例46】 【分析】 分析一下，在正方体上切

42、一刀时，表面积增加了哪一部分.每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.【解】 一共切了（3一1)(4一l)(5一l) 9刀，而原正方体一个面的面积l×l1（平方米），所以表面积增加了9×2×118（平方米）原来正方体的表面积为6×16（平方米）. 所以现在的这些小长方体的表面积之和为61824（平方米）. 【评析】1刀两面的应用。【例47】【分析】 分析每次往下挖一个正方形，立体图形增加的表面积是哪部分每往下挖去一个正方形，立体图形增加的表面积恰好为挖去的正方体的4个侧面积，所以所求表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积【解】 2&#

43、215;2×61×l×4××4××4 244129. 25（平方厘米）【评析】投影法的应用。几何天天练【1】 【分析与解】（1）在AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；（2）周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.【2】【分析与解】分析 这个正方形的面积是8×8=64（平方单位），切开后每一小块应是16平方单位（即由16个小方格组成），由于要求分成的四块形状、大小都相同，必定是由中心点分开的.而且其中一块若绕中心点旋转90°、180°

44、;、270°后必定和其他三块重合.解：将两个相同字母并列在一起的中间划出切分线，并将它们分别绕中心点旋转90°、180°、270°，得到相应的另三段切分线.如下左图所示.从最里层开始，沿着画出的切分线作设想分块，注意到题目的要求，找到满足要求题目的一块，如下右图中阴影部分将上面的阴影部分绕中心点旋转180°，可以得到符合条件的另一块，这样两块空白部分也符合条件，最后划分的结果如图所示. 【3】 【解】（方法一）图形（l）的面积=三角形面积十长方形面积=3+6=9,9×2=18图形（2）的面积=小三角形面积大三角形面积长方形面积=44+

45、6=14,14×2=28,图形（3）的面积=上面三角形面积长方形面积下面三角形面积=2十8+6=16,16×2=32(4) 五边形的面积为（5÷2+61)×6=45（平方厘米）（方法二）公式法。【评析】顶点都在格点上的多边形叫格点多边形，有正方形格点多边形和三角形格点多边形。求格点多边形面积可以统一用：，表示最小的平行四边形的面积。(记忆提示：边2内1。妈妈配在儿子旁边学奥数的格点面积，好累咽)【5】【分析与解】 将在A处的孩子数目看成1份，那么可顺次标出各道口处走过的孩子份数可见B处有， C处有C处的孩子总数为60÷【6】【分析与解】应用标数

46、法可知共有55种不同的路线。【7】 【分析与解】ADBEEC=869，=。-=-，=10，=40。【评析】凡是两块面积存在大小关系的，必然是同时加上一块或者减去一块，简化关系。【8】【分析与解】解法一： ABC、ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，DFE、FAE面积相等，设则的面积也为x，而，解得.所以，阴影部分面积为解法二：设FBD为1份，则FED为3份，AFC为3份，共7份，而阴影总和相当于FCD，7份中占3，故3/7【9】【分析与解】解：在ABB与ABC中，ABB+ABC=180°因为 AB=AA，所以AB=2AB，又因为BB=BC，所以SAB

47、B=1×2×SABC=2SABC=2同理SBCC=2×1×SABC=2SACA=2×1×SABC=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7【10】【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则有：面积3的长方形与面积为2的长方形的公共边的长为所以，阴影部分的面积为 ××b=××10=(平方厘米)【解法2】如图，S阴影=SABH-SABG=S长方形A

48、BFP-S长方形ABOE长方形ABFP=×长方形ABCD=×10长方形ABOE=×长方形ABCD=×10S阴影=×（×10-×10）=(平方厘米)【评析】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。两个长方形宽相等，面积之间的倍数等于长之间的倍数。【11】【分析与解】连接MD,则SMBD=1×1÷2=0.5，则SAMD=SABD-SMBD=2×1÷1-0.5=0.5,在四边形AMDCK ,应用蝴蝶定理有,SMND=SMDC×1/5=2×

49、;1÷2×1/5=1/5所以SAMN=SAMD-SMND=0.5-0.2=0.3【12】【分析与解】25/441【13】分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）【14】【分析与解】提示：用差不变原理解题。长方形面积：4×6=24（平方厘米），三角形ABC面积：24-10.5=13.5（平方厘米），BC边长：13.5×2÷6=4.5（厘米）。【15】【分析与解】外圈三角形面积大。以为例，内外三角形面积相等（两边相等，夹角互补的三角形，面积相等），但外圈三角形多了两个，

50、所以外圈三角形面积大。【16】【分析与解】15平方厘米如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米， x=5所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米【17】【18】【分析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积。由于长方形ABCD的面积为15×8=120，所以三角形AOD的面积为120×=30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为70-30=40；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120×（）=30，所以四边形EFGO的面积为40-3

51、0=10。【19】【分析与解】 阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和，而E、F又是梯形两腰的中点，连接EF ，对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。【解】解法1 ：如上右图，设上底为a, 则下底为2a，梯形的高为h ，则EF( a + 2) a ,所以AB :EF a : a2:3 , EF : DCa:2a3 : 4 . 所以, , 阴影部分即54，ah140,梯形ABCD 的面积×（12)ahah×140210（平方厘米）, 解法2 ：如上右图，设上底为a ，则下底为2a，梯形的高为h , 则EF（a2a）a,所以AB：EFa:a2:3，EF:DCa:2a3:4,所以

52、，所以7：5，根据梯形中的面积关系，得下图因为9x:9y x:y 7 : 5 , 且xy 54÷96 （平方厘米）, 所以x6×3. 5（平方厘米）, y6 一3. 52.5（平方厘米）. 所以梯形ABCD 的面积3. 5×252. 5×49210 （平方厘米）. 【评析】 阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和求出两个三角形的高和底，根据梯形的面积公式，进一步求出梯形面积思考方法很简单，但要注意计算的准确性连接EF 以后，我们也可以把它看成是两个梯形叠放在在一起，应用模型3 梯形蝴蝶定理，可以确定各个小的三角形之中的比例关系，应用比例即可求出梯形AB

53、CD 面积注意应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算【20】 【分析与解】 上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC， 又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC,，所以，三角形AED的面积=×三角形AEC的面积=××三角形ABC的面积 =×三角形ABC的面积 【21】【分析与解】阴影面积是最小的正方形面积的一半，最小的正方形面积是第二小正方形面积的一半，依次类推，边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的16倍.【22】【分析】 连接. 设 、的面积分别为，分别解出.【解】 连结AMZ , BM3 ,

54、CM , . 设 、的面积分别为， 得， , 所以有,同理有,.,. 阴影部分面积为1) .【23】【分析】连接AF ，应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形AFD 和三角形AFE 的面积【解】 连接AF 设a , b，2a3b , 4b3 (2a), 解得a，b,所以, ab（）.【24】【考点分析】立体涂色问题【分析与解】总共有个正方体。无色的正方体在体内（上下去掉一层，左右去掉一层，前后去掉一层）共有。所以至少一面的共有：【25】【考点分析】立体涂色定理，三年级，四年级，五年级，六年级【分析与解】3面的（如下图红色）：1层有5×4=20（个），2层有4个，3层有4个，共20+

55、4+4=28（个）2面（如下图深黄色）：2层有3×4=12（个），3层有4个，共12+4=16（个） 3面红比2面红的多28-16=12（个）【评析】给学生讲解立体涂色问题常考知识点。【26】【分析与解】【27】【分析与解】从图前面的1开始分析，对面为6；挨着的面为2，对面为5；挨着的面为3，对面为4。转弯处1在上面，则6在底下，1的左右两面只能是2、5。如果右面为2，挨着的面则为6，对面为1，紧挨着的面为7，不符合要求。所以1的右面为5，挨着的面为3，对面为4，挨着的面为4，？处为3。【28】【分析与解】【29】【分析与解】连接AG，三角形ADG的面积是正方形ABCD的一半，也是矩

56、形FEGD面积的一半，4×4÷5=3.2【点评】三角形与平行四边形的关系。【30】【分析与解】连接AD，D为BC的中点，得三角形ADC是三角形ABC的一半，三角形BED是三角形ABD的1/3，是三角形ABC的1/6，则四边形EDAC是三角形ABC的5/6，所以角形ABC是35×(6/5)=42.【31】【分析与解】m=8【32】 【分析】 连接EO , AF ，应用燕尾定理作OMAE , ONEF , 【解】连接EO, AF，作OMAF, ONEF. 根据燕尾定理b : a , a : b , 所以 AEEF , OM：ON ， 1 : 8 . a : b1 :

57、2 . 【33】【分析】差不变原理：看见面积存大大小关系的，必然同时加一块或减一块巧妙求解。【解】解法1 ：由GC7 , GD10 ，推出HE3；BC4 , DE2 ，阴影BCM 面积阴影MDE 面积（阴影BCM 面积空白面积）一（阴影MDE 面积空白面积）三角形BHE 面积长方形CDEH 面积3×6÷2 一3×23 . 解法2 ：由GC7 , GD10 知CO3 ；BC4 . DE2 BC : DECM : DM ，所以CM2 , MD1 . 阴影面积差为4×2÷2 一1×2÷23 . 【34】【分析】 题中每一条阴影部分

58、面积可以看做是两个大小弓形的面积之差【解】设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，三角形GOI的面积××26.大弓形的面积×××26235.597.5138.小弓形的面××176.625112.564.125.所以，总阴影面积(138一64. 125）×3221. 625 （平方厘米）. 【评析】本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中等长的弧所对的弦也是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实3 个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都可以总阴影面积每块阴影面积×3 一（大弓形一小弓形）×3 ，关键在于大弓形中三角形的面积【35】【提示】 阴影部分可以看做一个整体，那么大圆由四个阴影部分组成【解】（1）大圆的面积恰好是4 个这种特殊图形，所以阴影面积：大圆面积1：4 . （2）设小圆半径为x，则大圆半径为2x,阴影周长小圆周长小圆周长十小圆周长大圆周长小圆周长