2020年中考数学压轴题专题3相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)

1、专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题， 一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快.【解题攻略】相似三角形的判定定理有 3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件， 因此 探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解 方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨

2、论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为 AB6 DEF,则对应线段已经确定。2、若题目中为 ABCW 4DEF相似，则没有确定对应线段， 此时有三种情况： ABS DEF,AB6 FDE 4 AB6 EFD3、若题目中为 ABCW 4DEF并且有 ZA / D(或为90。)，则确定了一条对应的线段， 此时有二种情况：、 ABCoADEF,、 AB(C34DFE需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】1 1典例指引1. (2019贵州中考

3、真题)如图，抛物线 y -x2 bx c与直线y - x 3分另2 2相交于A, B两点，且此抛物线与 x轴的一个交点为 C,连接AC, BC .已知A(0,3) , C( 3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M ,使MB MC的值最大，并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA ,过点P作PQ PA交y轴于点Q ,问：是否存在点 P使得以A, P , Q为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】(2019海南模拟)抛物线 y=ax2+bx+3经过点A (1, 0)和点B (5, 0

4、).(1)求该抛物线所对应的函数解析式；3(2)该抛物线与直线 y -x 3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于 x轴 5下方，直线PM/y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N. 连结PC PD,如图1,在点P运动过程中，/PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB,过点C作CQ/PM,垂足为点 Q,如图2,是否存在点 P,使得归NQ与/PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2.(2019年广东模拟)如图，在矩形 OAB阱，AG10, AB=8,沿直线 CD折叠

5、矢I形 OABC勺一 边BC使点B落在OA&上的点E处，分别以OC OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线 y ax2 bx c经过Q D, C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点 C运动，同时动点Q从点C出 发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点 O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动， 设运动时间为t秒，当t为何值时，以P, Q C为顶点的三角形与 ADEf似？(3)点N在抛物线对称轴上，点 M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点N使以M N, C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出点 M与点

6、N的坐标(不写求解过程)； 若不存在，请说明理由.【举一反三】(2019湖南模拟)如图，已知直线 y=-x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- x2+bx+c经过A, B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀 速运动；同时，点 Q在线段AB上，从点A出发，向点B以J2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式;(2)问：当t为何值时，ZAPQ为直角三角形；(3)过点P作PEW轴，交AB于点E,过点Q作QF/y轴，交抛物线于点 F,连接EF,当EF/PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为 M,连接BP, BM, MQ,

7、问：是否存在t的值，使以B, Q, M为顶点的三角形与以 。，B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由.类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3. (2019江苏中考真题)如图，二次函数y x2 4x 5图象的顶点为 D,对2称轴是直线1, 一次函数y - x 1的图象与x轴交于点A ,且与直线DA关于l的对称直 5线交于点B .(1)点D的坐标是;(2)直线l与直线AB交于点C , N是线段DC上一点(不与点 D、C重合)，点N的 纵坐标为n .过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P , Q ,使得 DPQ与DAB 相似.-27.,一

8、当n 时，求DP的长；5若对于每一个确定的n的值，有且只有一个 DPQ与 DAB相似，请直接写出n的取值范围【举一反三】(2018武汉中考)抛物线 L： y=- x2+bx+c经过点A (0, 1),与它的对称轴直线 x=1交于点 B.(1)直接写出抛物线 L的解析式；(2)如图1,过定点的直线 y=kx- k+4 (kv 0)与抛物线L交于点M、N,若4BMN的面积 等于1,求k的值；(3)如图2,将抛物线L向上平移m (m0)个单位长度得到抛物线 L1，抛物线L1与y轴 交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线 Li于另一点D. F为抛物线Li的对称轴与x轴的交 点，P为线段OC上一点.若4P

9、CD与POF相似，并且符合条件的点 P恰有2个，求m的值 及相应点P的坐标.【新题训练】1. (2019长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考)如图 1,已知抛物线；O: y=-1一(x+2) (x-m) (m0)与x轴父于点B、C (点B在点C的左侧)，与y轴父于点E.m图1备用图(1)求点B、点C的坐标；(2)当4BCE的面积为6时，若点G的坐标为(0, b),在抛物线 G的对称轴上是否存在点H,使得4BGH的周长最小，若存在，则求点 H的坐标(用含b的式子表示)；若不存 在，则请说明理由；(3)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B、G F为顶点的三角形与BCE相似？若存

10、在，求 m的值；若不存在，请说明理由.2. (2020浙江初三期末)边长为 2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且 DE DC , DE DC .以直线AB为对称轴的抛物线过 C, E两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF CD于点F ,当t为何值时，以点 P, F, D为顶点的三角形与COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点 N为抛物线上一动点，是否存在点M , N ,使得以点M , N , D , E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出

11、满足条件的点的 坐标；若不存在，请说明理由.3. (2020长沙市长郡双语实验中学初三开学考试)如图，抛物线y=ax2-2ax+c的图象经过点C (0, - 2),顶点D的坐标为(1, - 8),与x轴交于A、B两点.3(1)求抛物线的解析式.AE(2)连接 AC, E为直线AC上一点，当 那084AEB时，求点E的坐标和 占 的值.AB5一1. )点C关于x轴的对称点为H,当 FCfBF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存5在点Q,使4QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4. (2019贵州初三)如图，已知抛物线y=1 x2+bx+c经过 BC的三个顶点，其中

12、点 A3(0, 1),点B (-9, 10), AC/ x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形 AECP的面积最大时，求点 P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线 AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三本资料由教学信息分享网()收集整理全网最具性价比的资源网角形与 那BC相似，若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由.4 25. （2020河南初二）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 3X bx c与x轴父于A、D两点，与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形，点 A的坐标为（1,

13、 0）,点B的坐标为（0, 4）,已知点E （m, 0）是线段DO上的动点，过点 E作PE x轴交抛物线于点 P,交BC于点G,交BD于点H.（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含 m的代数式表示 PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与 ADEH相似？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明理由.2 .y = x的对称轴为直线746. （2020浙江初三期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线l ,将直线l绕着点P 0,2顺时针旋转的度数后与该抛物线交于 AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点图图(1)若 4

14、5 ,求直线AB的函数表达式(2)若点p将线段分成2:3的两部分，求点 A的坐标(3)如图，在(1)的条件下，若点 Q在y轴左侧，过点p作直线l /x轴，点M是直线l上一点，且位于 y轴左侧，当以P, B, Q为顶点的三角形与PAM相似时，求 M的坐标7. (2020 上海初三)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 1 x2+mx+n经过点B3(6, 1), C (5, 0),且与y轴交于点A.(1)求抛物线的表达式及点 A的坐标；(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQLOA,交线段OA的延长线于点 Q,如果/ PAB= 45.求证：APQAs ACB;(3)若点F是线段AB

15、(不包含端点)上的一点，且点 F关于AC的对称点F恰好在上述抛物线上，求FF的长.8. (2019江苏初三期末)如图，抛物线 y=ax2+5ax+c (a0)与x轴负半轴交于 A、B 两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过 D作DHL x轴于点H,延长 DH交 AC于点 E,且 Smbd： Sxaca9: 16,(1)求A、B两点的坐标；(2)若4DBH与ABEH相似，试求抛物线的解析式.9. (2019湖南中考模拟)如图，顶点坐标为(2, - 1)的抛物线y=ax2+bx+c (aw。与y轴交于点 C (0, 3),与x轴交于 A、B两点.(1)求抛物线的表达式；(2

16、)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC AD,求 CD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点 E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点 F.问是否存 在点E,使彳#以D、E、F为顶点的三角形与 ABCO相似？若存在，求点 E的坐标；若不存 在，请说明理由.10. (2019西安市铁一中学中考模拟)如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标为(2, 1),并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式.(2 )如图1,设抛物线的对称轴与直线 BC交于点D ,点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF ,与抛物线交于点 F ,问是否存在点 E

17、,使得以D、E、F为顶 点的三角形与VBCO相似.若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由.1一11. (2019广东中考模拟)如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y x 2与x轴交于23点A,与y轴交于点 C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x 且经过A、C两点，与x轴2的另一交点为点 B.(1)直接写出点 B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上白一点，连接PA, PC.求APAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点 M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与AABC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，

18、请说明理由.4 2812. (2019江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟)如图，抛物线 y x - x 12与x轴交于 93A、C两点，与y轴交于B点.(1)求AAOB的外接圆的面积;(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线 AC方向运动；同时，点 Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点 P到达点C处时，两点同时停止运动.问 当t为何值时，以 A、P、Q为顶点的三角形与 4OAB相似？(3)若M为线段AB上一个动点，过点 M作MN平行于y轴交抛物线于点 N.是否存在这样的点 M,使得四边形 OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点 M的坐 标；若不存在，请说明理由.当点M运动到何处

19、时，四边形 CBNA的面积最大？求出此时点 M的坐标及四边形 CBAN 面积的最大值.213. (2019陕西中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线L： y ax c a x c经过点A (-3, 0)和点B (0,-6), L关于原点O对称的抛物线为 L .(1)求抛物线L的表达式；(2)点P在抛物线L上，且位于第一象限，过点 P作PD)y轴，垂足为D.若HOD与AOB相似，求符合条件的点 P的坐标.14. (2019湖南中考真题)如图，抛物线 y ax2 bx c与x轴交于点A( 1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2, 3).点P、Q是抛物线y ax2 bx c上的动

20、点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求 POD面积的最大值.(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当 OBE与 ABC相似时，求点 Q的坐标.图1图215. (2018四川中考真题)如图，抛物线y=1x2+bx+c与直线y=1x+3交于A, B两点，交22x轴于 C D两点，连接 AC、BC,已知 A (0, 3), C ( - 3, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使| MB - MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA,过点P作PQ，PA交y轴于点Q,问：是 否存在点P使得以A,巳Q为顶点的三角形与

21、 9BC相似？若存在，请求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由.16. (2019湖南中考真题)如图 1,9OB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线 Fi：1 27y -x x的图象上，点 A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-2.(点A在点B的左侧)3 3求点A、B的坐标；2(2)将评OB绕点O逆时针旋转90得到评OB,抛物线F2： y ax bx 4经过A、B两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点 A恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、AM,求OAM 的面积；(3)如图2,延长OB交抛物线F2于点C,连接AC,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与 OA

22、C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由副图2专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快.【解题攻略】相似三角形的判定定理有 3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件， 因此 探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解 方程并

23、检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为 AB6 DEF,则对应线段已经确定。2、若题目中为 ABCW 4DEF相似，则没有确定对应线段， 此时有三种情况： ABS DEF,AB6 FDEAB EFD3、若题目中为 ABCW 4DEF并且有 ZA / D（或为90。），则确定了一条对应的线段， 此时有二种情况：、 AB。 DEF,、 ABC DFE需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐

24、标】1 21典例指引1. (2019贵州中考真题)如图，抛物线 y x2 bx c与直线y x 3分别22相交于A, B两点，且此抛物线与 x轴的一个交点为 C,连接AC, BC .已知A(0,3) , C( 3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M ,使MB MC的值最大，并求出这个最大值;(3)点p为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA ,过点P作PQ PA交y轴于点Q ,ABC相似？若存在，请求出所问：是否存在点 P使得以A, P, Q为顶点的三角形与有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.1)时，MB MC 取21 2 5-5【答案】(1) y x x 3；

25、(2)点M的坐标为(一，222最大值为J2 ; (3)存在点P(1,6).【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解即可；(2)根据三角形的三边关系可知：当点 B、C、M三点共线时，可使|MB MC的值最大，据此求解即可；(3)先求得 ACB 90 ,再过点P作PQ PA于点p ,过点p作PG y轴于点G ,如图，这样就把以 A, P, Q为顶点的三角形与ABC相似问题转化为以 A, P,G为顶点的三角形与 ABC相似的问题，再分当毛 -BCAG AC11匕PG AC-时与3 AG BC3时两种情况，分别求解即可.解：(1)将 A(0,3) , C(3,0）代入bxc得:【详解】3；（2）解方程

26、组:1 2x21x2XiyiX2y29,解得:-3b c 02力抛物线的解析式是/A(0,3) , /B( 4,1)当点B、C、M三点不共线时,根据三角形三边关系得MBMC当点B、C、M三点共线时,MBMC/当点B、C、M三点共线时,MBMC取最大值，即为BC的长,如图，过点B作BE/x轴于点E,则在Rt BEC中，由勾股定理得：BC JbE2 CE2 V2/ MB MC 取最大值为 历；55易求得直线BC的解析式为：y=-x- 3,抛物线的对称轴是直线 x 3,当x 3时,1 51、y = - -，/点m的坐标为（ 一，一）；2 22/点M的坐标为（5 ,1）时，MB MC取最大值为 近；2

27、2(3)存在点P,使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似. 125设点P坐标为 x, x - x 3 (x 0),22在 Rt BEC 中，/BE CE1 , / BCE 45 ,在 Rt ACO 中，/AOCO 3, / ACO 45 ,/ ACB 180 45 4590 , AC 3应，过点P作PQPA于点P,过点P作PG y轴于点G ,如图,/ PGA/ PGAACBPG/当一AGxBCACPGA / BCA,/点P的纵坐标为PGAGxACBC3 ,解得x11 , x20 ,(舍去)123时,PGA /解得x16,/点P为。；ACB,13一(舍去)，*20 (舍去)，3APQ 90

28、, PAG QAP , II PGA / QPA,/此时无符合条件的点 综上所述，存在点P(1,6).【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中(1)题是基础题型，(2)题的求解需运用三角形的三边关系，(3)题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及元二次方程的解法.【举一反三】(2019海南模拟)抛物线 y=ax2+bx+3经过点A (1, 0)和点B (5, 0).(1)求该抛物线所对应的函数解析式；3(2)该

29、抛物线与直线 y -x 3相交于G D两点，点P是抛物线上的动点且位于 x轴 5下方，直线PM/y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N. 连结PC PD,如图1,在点P运动过程中，/PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB,过点C作CQ/PM,垂足为点 Q,如图2,是否存在点 P,使得归NQ与/PBM相似*存在，求出满足条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) y -x2 x 3； (2) 5555一).27【解析】【详解】 试题分析：(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2) 可设出P点坐标，则可表示出 M、N的坐

30、标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出/PCD的面积，利用二次函数的性质可 求得其最大值；PQ PM NQ BM 当归NQ与/PBM相似时有 或 两种情况，利用 P点坐标，可分CQ BM CQ PM别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程,可求得 P点坐标.试题解析：(1)砚物线y2axbx 3经过点A (1,0)和点B (5,0),25a 5b 35185/该抛物线对应的函数解析式为3y 5x(2)/点P是抛物线上的动点且位于2 18x5x轴下方,电t 3) (1vtv5), 5分别与x轴和直线CD交于点M、N,IM (t, 0),3),3/PN

31、-t53t2514720联立直线CD与抛物线解析式可得3- x53 2-x518一 x5解得36，/C (0, 3), D (7,36一)5分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F,A3则 CE=t, DF=7- t,“SVPCDSVPCNSVPDN1-177-PNgCE -PNgDF -PN 2222223t 714721t 71029102940522010240/当t 1时，/PCD的面积有最大值，最大值为存在./ CQN= /PMB=90 ,/当归NQ与/PBM相似时，有PQCQPM NQ 一或一 BM CQBMPM两种情况,心Q/PM,垂足为Q,/Q (t, 3),且 C (0

32、, 3), N (t, 3t 3 ), 5一一 3 一一 3心Q=t, NQ -t 3 3 -t, 55CQ 3/-,NQ 5 3,2 18沪(t, 一tt 3) , M (t, 0) , B (5, 0),553 2183218/BM=5-1,PM 0-t一t3-1t3,5555t PQ当一CQPM时,BMPM33,218,八 3，一 , 人一 BM ,即-t t 3 5 t ,解得 t=2 或 t=5 (舍5555去)，此时P (2,当NQCQBM 一时，则BMPM333 21834 PM，即5 t tt3 ,斛得t 或t55559(舍去)5527)；34，此时P ( 34 ,9综上可知存

33、在满足条件的点P,其坐标为9，、P (2,)或(534,955一)27类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2.(2019年广东模拟)如图，在矩形OAB阱，AG10, AB=8,沿直线 C所叠矢I形 OABC勺一边BC使点B落在OAa上的点E处，分别以OC OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角2坐标系，抛物线 y ax bx c经过Q D, C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点 C运动，同时动点Q从点C出 发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点 O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动， 设运动时间为t秒

34、，当t为何值时，以P, Q C为顶点的三角形与 ADEffi似？(3)点N在抛物线对称轴上，点 M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点N使以M N, C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出点 M与点N的坐标(不写求解过程)； 若不存在，请说明理由.【解析】(1)根据折叠图形的轴对称性， CED CBDir等，首先在 RtCEO求出OE的长，进 而可得到AE的长；在RtAAED, AD=AB BD ED=BD利用勾股定理可求出 AD的长.进一 步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)由于/ DEB90。，首先能确定的是/ AEH/OCE若以P、Q C为顶点

35、的三角形与 ADE 相似，那么/ QPC90或/ PQC90。，然后在这两种情况下， 分别利用相似三角形的对应边 成比例求出对应的t的值；(3)由于以M N, C, E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论:EC做平行四边形的角线，那么EC MN必互相平分，由于 EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；EC做平行四边形的边， 那么EC MN行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合 E C的 横、纵坐标差表示出 M点坐标，再将点 M代入抛物线的解析式中，即可确定 M N的坐标.试题解析：(1)二.四边形 ABCO；矩形， /OAB/AOC/B=90 , A

36、B=C(=8, AO=BC=10,由题意，得 BDa AEDC. . / B=/DEC90 , EC=BC=10, ED=BD由勾股定理易得EG6,.AE=10- 6=4,设AD=x,则BD=ED=8- x,由勾股定理，得 x2 42解得，x=3, AD=3,抛物线y2ax bx c 过点 D (3, 10),C (8, 0 ), O (0, 0),9a 3b 1064a 8b 023163抛物线的解析式为:OCE/OEC90 ,(2)/ DEA/ OEC90 , / DEA/OCE由(1)可得 AD=3, AE=4, DE=5,而 CRt , EP=2t ,PG=10-2t,当 / PQC/

37、 DAE=90, AD修 QPC,CQ CPt 10 2tAE DE解得t竺, 13当 / QPC/ DAE=90ADEo PQC. PC绘即102t tAE DE4025，当t 或t 时，以P、Q C为顶点的三角形与 ADEf似;137(3)假设存在符合条件的 M N点，分两种情况讨论:EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形 MENO平行四 一32边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M 4,323而平行四边形的对角线互相平分，那14么线段MN5被EC中点(4, 3)平分，则N 4, 3EC为平行四边形的边，则 EC/ MN EC= MN设 N (4,贝U M (48

38、, m+6)或 M (4+8, m- 6);将M( - 4, m+6)代入抛物线的解析式中，得:m=- 38,此时 N (4, - 38)、M( -4, - 32);将M (12, m- 6)代入抛物线的解析式中，得:m=- 26,此时 N (4, - 26)、M (12, - 32);综上，存在符合条件的 M N点，且它们的坐标为: Mi 4, 32 ,Ni 4, 38 ; M2 12, 32 ,心(4, 26);-32 M 3 4, ,N3 4,314【名师点睛】本题考查了二次函数综合题,题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识.后两问的情况较多，

39、需要进行分类讨论，以免漏解.【举一反三】(2019湖南模拟)如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- x2+bx+c经过A, B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀 速运动；同时，点 Q在线段AB上，从点A出发，向点B以J2个单位/秒的速度匀速运 动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，ZAPQ为直角三角形；(3)过点P作PEW轴，交AB于点E,过点Q作QF/y轴，交抛物线于点 F,连接EF,当 EF/PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为 M,连接BP, BM, MQ,问：是否存在t的值，

40、使以B, Q, M为顶 点的三角形与以 O, B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说 明理由.39【答案】(1) y=-x2+2x+3; (2) t=1 或 t= ； (3)点 F 的坐标为(2, 3) . (4)一.24【解析】【详解】试题分析：(1)先由直线 AB的解析式为y=-x+3,求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B 的坐标，再将A、B两点的坐标代入 y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析 式；(2)由直线与两坐标轴的交点可知：/QAP=45,设运动时间为t秒，则QA=J2t, PA=3-t,然后再图 、图中利用特殊锐角三角函数值列出关于

41、t的方程求解即可；(3)设点P的坐标为(t, 0),则点E的坐标为(t, -t+3),则EP=3-t,点Q的坐标为(3- t, t),点 F 的坐标为(3-t, - (3-t) 2+2 (3-t) +3),则 FQ=3t-t2, EP/FQ, EF/PQ,所以四 边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ,从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点 F的坐标;(4)设运动时间为t秒，则OP=t, BQ= (3-t) J2 ,然后由抛物线的解析式求得点 M的 坐标，从而可求得 MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值.

42、试题解析：(1) W=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,/当y=0时，x=3,即A点坐标为(3, 0),当x=0时，y=3,即B点坐标为(0, 3),将 A (3, 0), B (0, 3)代入 y=-x2+bx+c,3b3t 秒，则 QA=V2 t, PA=3-t./PQA=90时，设运动时间为在 Rt /PQA 中,QAPA, 22t,即：23 t2,解得：t=i；2如图所示:/QPA=90时，设运动时间为t 秒，则 QA=V2t, PA=3-t.碰物线的解析式为 y=-x2+2x+3;(2) /OA=OB=3, /BOA=90, / QAP=45 .如图所示:. PA .23 t

43、.23在 Rt/PQA 中，2-,即：-= 解得：t = 3 .QA 2, 2t22/PQA是直角三角形; 3综上所述，当t=1或t=-时,2(3)如图所示：设点P的坐标为(t,点Q的坐标为(3-t,t),点 F 的坐标为(3-t, - (3-t) 2+2 (3-t) +3),则 FQ=3t-t2./EP/FQ, EF/PQ,/EP=FQ.即：3-t=3t-t2.解得：ti=i , t2=3 (舍去).将 t=1 代入 F (3-t, - (3-t) 2+2 (3-t) +3),得点 F 的坐标为(2, 3).(4)如图所示:设运动时间为t秒，则OP=t, BQ= (3-t) 近. /y=-x

44、2+2x+3=- (x-1) 2+4,味、M的坐标为(1,4).(3,整理得:t2-3t+3=0,/MB= .1 12 122当市OP/ QBM时，MB四即 OP OB . t/=2MX 1 K30,无解:当 /EOP/ MBQ 时，BM- BQ 即：显 (3 6 ,解得 t=-9OB OP 3t49/当t = 9时，以B, Q, M为顶点的三角形与以 O, B, P为顶点的三角形相似.4类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3. (2019江苏中考真题)如图，二次函数y x2 4x 5图象的顶点为 D，对2称轴是直线1, 一次函数y x 1的图象与x轴交于点A,且与直

45、线DA关于l的对称直5线交于点B .(1)点D的坐标是;(2)直线1与直线AB交于点C , N是线段DC上一点(不与点 D、C重合)，点N的纵坐标为n .过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P , Q ,使得 DPQ与DAB相似.-27.,一当n 时，求DP的长； 5若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ与 DAB相似，请直接写出n的取值范围.【答案】(1) 2,9 ； (2)DP 9新；9 n 部. 55【解析】【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可；(2)由对称轴可知点 C (2, 9), A (- , 0),点A关于对称轴对称的点( 短，0),借522助AD的直线解析式求得 B

46、(5, 3)；当n=27时，N (2, 27 ),可求DA=9Z5 , DN=55218 , CD=36 ,当 PQ /AB 时,QPQ/ DAB, DP=9j5；当 PQ 与 AB 不平行时,DP=9V5 ；DN=24,所以N (2, 21),则有且只有一个/DPQ当 PQ/AB, DB=DP 时，DB=3，5,与QAB相似时，9n0)个单位长度得到抛物线 Li,抛物线Li与y轴 交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线 Li于另一点D. F为抛物线Li的对称轴与x轴的交 点，P为线段OC上一点.若4PCD与POF相似，并且符合条件的点 P恰有2个，求m的值 及相应点P的坐标.【答案】(1) y

47、=-x2+2x+1; (2) -3; (3)当m=20T时，点P的坐标为(0*)和(0,手)；当m=2时，点P的坐标为(0, 1)和(0, 2).【解析】【分析】(1)根据对称轴为直线 x=1且抛物线过点A (0, 1)利用待定系数法进行求解可即得；(2)根据直线y=kx-k+4=k (x- 1) +4知直线所过定点 G坐标为(1, 4),从而彳#出BG=2,由Sabmn=Sbng- Sbmg=？BG?xn -：BG?xm=1得出xn - xm=1 ,联立直线和抛物线解析式求得x=宇T,根据xn - xm=1列出关于k的方程，解之可得；(3)设抛物线 L1 的解析式为 y=-x2+2x+1+m

48、,知 C ( 0, 1+m)、D (2, 1 + m)、F (1, 0),再 设P (0, t),分 HCg POF和PC2 4POF两种情况，由对应边成比例得出关于 t与m 的方程，利用符合条件的点 P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得.【详解】(1)由题意知,：一通二5 = 1,解得：=ik=1，抛物线L的解析式为y= - x2+2x+1;(2)如图1,设M点的横坐标为Xm, N点的横坐标为xn,y=kxk+4=k ( x 1) +4,当x=1时，y=4,即该直线所过定点 G坐标为(1, 4),. y=- x2+2x+1 = - (x1) 2+2,，点 B (1, 2),则 BG=2,=1,Szbmn=1,即 Sbng Szbmg=BG? ( xn 1)-二BG? (xm-1)x2+ (k- 2) x- k+3=0,解得:m.r . *一9 VT贝x xn =Z 、xM=由 xn - xm=1 得k = 一 8=1,，k=3.k0）与x轴父于点B、C （点B在点C的左侧），与y轴父于点E.m