数列的概念二数列的极限

1、数列的概念二数列的极限一、数列的概念定义2.1 按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列,.数列中的每个数称为数列的项. 第n项 称为数列或一般项. 中的n称为数列的下标. ，nxxx21nxnxnx11 11 , ,.3 1, 2nxnn，即例1 数列.,) 1( , 1 , 1, 1 ) 1(11 nnnx，即数列例2例3 数列11 21,.3 1, 2nnnxnn，即211,3,5,. nxn，例4 数列数列 可以理解为正整数n的函数，因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.nx , 2 , 1 )(nnfxn，, 121成立，若有对于数列 nnnxxxxx是则称数列nx单调增加

2、的；单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.是则称数列nx单调减少的. 121 nnxxxx若有定义2.2 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有nxMxn成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.nxnx容易验证例1、例2、例3数列是有界的，的和例4中数列是无界的. ,21nxxx在几何上，通常用数轴上的点列 来表示数列 .nx这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间M，M之内，表示无界数列的点列，无论区间M，M多么长，总有落在该区间之外的点. ,21nxxx二、数列的极限我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万

3、世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.的图形，) 1(1nxnn例如对于 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.nxnn1) 1( 1)1nnxn例如当n“充分大”时， “无限接近于1”;nxnn) 1(1的图形.21的图形例如nnx当n“充分大时”， “无限接近于0”.nnx21定义2.3 设有数列 和常数a，如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数N，使得当nN时，有那么就称数列 以a为极限，或者称数列 收敛于a，记作 或如果这样的常数a不存在，就说数列 没有极限，可表示为 或者说数列 是发散的. |axnax

4、nnlim ().nxan nxnxnxnxlimnnxnx数列收敛于a的几何意义如下：当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一个邻域 ，都存在一个序号N，使得点列 的第N个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点 落在区间之外.nx),(aa ,21nxxxNx ,21NNxxnx ,21nxxx),(aa 当我们把数列 看成是n的整标函数，即 其图形是在平面直角坐标系中的二维点列： 数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么小)，总存在正整数N，当nN时，二维点 都在直线 与直线 形

5、成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大. aynx),(nfxnnx.),( ,), 2(), 1 (21 nxnxx),(nxn ay; 1) 1(1 收敛于时，例如，当nxnnn; 021收敛于nnx . 是发散数列nxn例5 用定义验证1lim0.nn证 对于任意给定的0,1110,nnn 欲使只需1.n 因此取正整数1,N 则当nN时,都有10.n 从而知,当 时, 以0为极限,即n 1nxn1lim0.nn).1|(| 0lim qqnn用定义验证证 当q=0时，等式显然成立., |0| 成立欲使不等式nnqq|).|, 0|(lg |lglg ,lg|lg qqqnqn取即只需当0|q|1时，对任意给定的正数 (不妨设 1).例6,|0| |lglg成立时，都有，则当取正整数nqNnqN).1|(| 0lim qqnn. 0) 1(sinlim 2nnn用定义验证22) 1(sin0) 1(sin nnnn证 对于任意给定的正数 (不妨设0 N时，都有 ,则存在M0,使得对于一切n,都有axnnlimnxM取12max,1,Mxxa则