二阶常系数线性微分方程的解法word版

1、第八章 8.4 讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如ypyqy=f(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数，f(x)为已知的连续函数.如果f(x)三0,则方程式(1)变成ypyqy=o(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程，把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 .解的叠加性定理 1 如果函数 y1与 y2是式(2)的两个解，则 y=C1yl+C2y2也是式(2)的解淇中 C1,C2是任意常数.证明因为 y1与 y2是方程(2)的解,所以有ypy；qy1=0y2py2qy2=0

2、将 y=c1yl+C2y2代入方程(2)的左边，得(C1yC2y2)p(C1y1C2y2)q(Gy1C2y2)=C1(y1py1qy1)CzMpy?qy?)=0所以 y=ay1+C2y2是方程(2)的解.定理 1 说明齐次线性方程白解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有 C1,C2两个任意常数，但它不一定是方程式(2)的通解.2 .线性相关、线性无关的概念设y1，y2，yn，为定义在区间 I 内的 n 个函数，若存在不全为零的常数ki,k2,，kn,使得当在该区间内有kiyi+k2y2+knyn三0,则称这 n个函数在区间 I 内线性相关，否则称线性无关.例如1,cos2x,sin2x在实数范

3、围内是线性相关的，因为22_1-cosxsinx三02又如l,x,x在任何区间（a,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使2ki，kzx，k?x三0必须ki=k2二卜3二0.对两个函数的情形，若=常数，则 yi,y2线性相关，若#常数，则 y2y2yi,y2线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果乂与 y2是方程式（2）的两个线性无关的特解，则y=C1yl+C2y2（a,C2为任意常数）是方程式（2）的通解.例如，y+y=0是二阶齐次线性方程，丫=sinx,y2=cosx 是它的两个解，且幺=tanx#常数，即 yi,y2线性无关，所以V2y=C1ylC2y2-CisinxC2

4、cosx（Ci,C2是任意常数）是方程 y*+y=0的通解.由于指数函数y=6（为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，根据指数函数的这个特点，我们用y=e”来试着看能否选取适当的常数r,使y=erx满足方程（2）.将 y=e求导，得.rx.2rxy二re,y二re把y,y,y”代入方程（2），得因为erx00,所以只有r2十pr+q=0只要r满足方程式（3）,y=erx就是方程式（2）的解.我们把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程，其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程（2）y：y：y的系数.24-p二.p-4q特征方程（3）的两个根为r12=,因此方程式（2

5、）的通2解有下列三种不同的情形.2（1）当p4q0时，虫2是两个不相等的实根.-p丁Jp2-4qri=,r22y1=erix,y2=er2x是方程（2）的两个特解，并且幺=e（ri）x常数，即y2yi与V2线性无关.根据定理 2,得方程（2）的通解为y=Cierix+C2er2x2（2）当p-4q=0时，r1,r2是两个相等的头根.pri=r2=-上，这时只能得到方程（2）的一个特解yi=erix，还需求出另2一个解 y2,且力。常数，设上=u（x）,即2(rrx-pr-q)e=0_p-.,p-4q2yiyijxy2=eu(x)y2:erix(u-r1u),y；=er1x(u-2rlur12u

6、).将 yz.yLy；代入方程（2）,得erix(u，2hu-r12u)-p(u，riu)，qu1=0整理，得rix2_eu(2rl-p)u(ri-priq)u=0由于ex#0,所以u+(2rl+p)u因为 r1是特征方程（3）的二重根，所以r1xy2=xe那么，方程（2）的通解为rix=(Ci-C2x)ei-4q0时，特征方程（3）有一对共轲复根L=：.i：,r2一：一 i：(匚1；0)(Q-胃：)xyi=e,y2(.-工:叱，：*i)?=e=ee=e(cosxisin-x)(二一：)x二xUx二x:.x=e=ee=e(cosx-isin-x)2(ri.pj.q)u=02ri-priq=0,

7、从而有u”=0因为我们只需一个不为常数的解个解，不妨取 u=x，可得到方程（2）的另x=Cie1Cqx2xe利用欧拉公式ixe=cosx+isinx把 y1,y2改写为Viy2y-y2之间成共轲关系，取2-1-x-y2=（yi-y2）=e-sin-x2i方程（2）的解具有叠加性，所以y1,y2还是方程（2）的解，并且y=ex（C1cosPx+C2sinPx）综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下（1）写出方程（2）的特征方程2r-pr-q二0（2）求特征方程的两个根 J,G根据 r11r2的不同情形，按下表写出方程（2）的通解.特征方程r2+pr+q=0的两个根 r1,r2方程y+p

8、y+qy=0的通解两个不相等的实根1手2r1x.xy=C1e+C2e两个相等的实根 r1=r2.qxy=(C1+C?x)e一对共轲复根0,2=口士 iPy=ea(C1cosBx+C2sin%例 1 求方程y+2y+5y=0的通解.解：所给方程的特征方程为r22r5=0r1-12i,r2-1-2i-1x-yi=(yi丫？)=e-cos-x,y2yieasinPxeacosPx=tanPx#常数，所以方程（2）的通解为所求通解为y=e*(C1cos2xC2sin2x).例 2 求方程 d_S+2dS+S=0 满足初始条件 S=4,S，=2dtdtt-t-的特解.解所给方程的特征方程为2r2r1=0

9、1i=1通解为S=(Ci-C2t)e将初始条件 S|y=4 代入，得 C1=4,于是S=(4+C2t)e上,对其求导得S=(C2-4C2t)e将初始条件 Sq 代入上式，得tC2=2所求特解为S=(42t)e例 3 求方程y+2y3y=0的通解.解所给方程的特征方程为r2+2r-3=0其根为 r1=-3,r2=1所以原方程的通解为y=C1exC2ex二、二阶常系数非齐次方程的解法1. 解的结构定理 3 设y”是方程(1)的一个特解,Y是式所对应的齐次方程式(2)的通解，则y=Y+y*是方程式(1)的通解.证明把y=Y+y*代入方程(1)的左端：(Y-y,)-p(Yy)q(丫-y)=(YpYqY

10、).(y，：+py：+qy)=0-f(x)=f(x)y=Y+y*使方程(1)的两端恒等，所以y=Y+y*是方程(1)的解.定理 4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端f(x)是几个函数之和，如ypyqy=Z(x)f2(x)(4)而y与y2,分别是方程 ypyqy=f1(x)与 ypyqy=f2(x)的特解，那么 y；+y；就是方程(4)的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.f(x)=e/xPm(x)型的解法f(x)=exPm(x)，其中九为常数，Pm(x)是关于 x 的一个 m 次多项式.方程(1)的右端f(x)是多项式Pm(x)与指数函数ex乘积的导数仍为同一类型函

11、数，因此方程(1)的特解可能为 y*=Q(x)e九淇中Q(x)是某个多项式函数.把y州=Q(x)e五y：=Q(x)Q(x)e”y-=?Q(x)+2九Q(x)+Q(x)e*代入方程(1)并消去e匕得Q(x)+(2儿+p)Q(x)+(九2+p儿+q)Q(x)=Pm(x)(5)以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q(x)的确定方法：(1)若九不是方程式(2)的特征方程r2+pr+q=0的根，即九2+p 九+q#0,要使式(5)的两端恒等，可令Q(x)为另一个 m 次多项式Qm(X):Qm(x)=bObiXb2X2+bmXm代入(5)式，并比较两端关于 x 同次哥的系数，就得到关于未知数b0,b1，bm

12、的m+1个方程.联立解方程组可以确定出bi(i=0,1，m).从而得到所求方程的特解为y*=Qm(x)e的(2)若九是特征方程r2+pr+q=0的单根，即片+p九+q=0,2%+p0，要使式(5)成立，则Q(x)必须要是 m 次多项式函数，于是令Q(x)=xQm(x)用同样的方法来确定Qm(x)的系数(i=0,1，m).(3)若九是特征方程r2+pr+q=0的重根，即入2+p 九+q=0,21p=0.要使(5)式成立，则Q(x)必须是一个 m 次多项式，可令2Q(x)=xQm(x)用同样的方法来确定Qm(x)的系数.综上所述，若方程式(1)中的f(x)=Pm(x)e,则式(1)的特解为k-xy

13、=xQm(x)e其中Qm(x)是与Pm(x)同次多项式，k按人不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0,1 或 2.例 4 求方程y+2y=3e2K的一个特解.解f(x)是pm(x)e型，且Pm(x)=3，九=2对应齐次方程的特征方程为r2+2r=0,特征根根为 r1=0,r2=-2.九二-2 是特征方程的单根，令y*=xb0e，代入原方程解得bo3y-2例 5 求方程y“2y=(x-1)ex的通解.解先求对应齐次方程y-2y+y=0的通解.特征方程为r2-2r7=0,r1=r2=1齐次方程的通解为丫=(Ci-C2x)ex.再求所给方程的特解*=1,Pm(x)=x-1由于

14、九=1是特征方程的二重根，所以2xy-二x(axb)e把它代入所给方程，并约去ex得6ax2b=x-1比较系数彳导11a=b=-62千日“2/x1、x于zEy=x（1一）e61c1所给方程的通解为y=.vv=(C1C2x-x7-x8)ex266274斛得a=一一，b=55故所求特解为xe3.f(x)=Acos句x+Bsinujx型的解法f(x)=Acosx+Bsinox,其中A、B、CO均为常数.此时,方程式(1)成为ypyq=AcosxBsin-x(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式(7)的特解 yW 也应属同一类型，可以证明式(7)的特解形式为y=xk(acosx，bs

15、in，x)其中a,b为待定常数.k为一个整数.当士 COi不是特征方程r2+pr+q=0 的根，k取 0;2当士COi不是特征方程r+pr+q=0的根，k取 1;例 6 求方程y+2y-3y=4sinx的一个特解.解 8=1,士8i=i不是特征方程为r2+2r-3=0的根，k=0.因此原方程的特解形式为y=acosxbsinx于是y-=-asinx，bcosxy,=-acos-bsinx将y*,yj,y代入原方程，得-4a+2b=0-2a4b424原方程的特斛为：y.二-cosx_sinx55例7求方程y_2y_3y=ex+sinx的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为2r一2r-3=01-1,r2=3_x3xY=C1eC2e再求非齐次方程的一个特解y.由于f(x)=5cos2x+e”,根据定理 4,分别求出方程对应的右端项为fi(x)=ex,f2(x)=sinX