向量空间的定义教案(50分钟)

1、 向量空间的定义”教案 50 分钟) i 教学目的 1、 使学生初步掌握向量空间的概念。 2、 使学生初步了解公理化方法的含义。 3、 使学生初步尝试现代数学研究问题的特点 II 教学重点 向量空间的概念。 川教学方式 既教知识，又教思想方法。 IV教学过程 第六章向量空间 6.1 定义和例子 一、 向量空间概念产生的背景 I : 1) a + 目=0 +a I 数 a+b, ab;2 (-：山)，“，) = I 几何向量二 ,a- ; 3) 0 ：=： 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4) ： ： =0 函数 f(x)+g(x),af(x); 5) : a(卅亠) a： 矩阵 A+

2、B, aA; 6) (a； b)： -at 1 b： I . 7) (ab)：二 a(b： ) : i 8) 1-=- : 二、 向量空间的定义 定义 1 令 F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母 a, 个非空集合，V 中元素用小写希腊字母, -, 来表示。把 而把 F中的元素叫做数(标)量，如果下列条件被满足，就称 间：),c,来表示。令 V 是一 V 中的元素叫做向量， V 是 F 上的向量空 1 在 V 中定义了一个加法，对于 V 中任意两个向量：，：，有唯一确定的向量与 它们对应，这个向量叫做二:与:的和，并且记作一：。 即若二三 V J心 V,则（：）_.，: . V。 2 有

3、一个数量与向量的乘法，对于 F 中每一个数 a 和 v 中每一个向量有 v 中唯- 确定的向量与它们对应，这个向量叫做 a 与的积，并且记作。 即a三F,圧三V, （a,用）r ax三V。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）二亠- 2） - ； 3） 在 V 中存在一个零向量，记作 0,它具有以下性质：对于 V 中每一个向量， 都有 0 * = :； 4） 对于 V 中每一向量，在 V 中存在一个向量，使得* =0，这样的叫做的负 向量。 5） a（二亠 1）二 a 二 a -； 6） （a b） ： = a t ba ； 7） （ab） ： = a（b ：）； 8） 1：=：

4、。 注 1:定义 1 称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化 方法。 注 2:数域 F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例 1 解析几何里，V2或 V3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域 上的向量空间。 例 2 Mmn（ F）对于矩阵的加法和数乘来说作成 F 上的向量空间。 特别，F n =（印占2,，aj |色 F,i =1,2/ ,n关于矩阵加法和数乘构成的 F 上的 向量空间称为 F 上的 n 元列空间 乙1 F“=* a2E F,i =1,2,，n，关于矩阵加法和数乘构成的 F 上的向量空间称为 F 公理化方法 实质公理化方法 形式以理化方0 丿 ,

5、上的 n 元列空间。 例 3 复数域 C 可以看成实数域 R 上向量空间 C 二a b ； | a,b R 例 4 任何数域 F 都可以看成它自身上的向量空间。 例 5 Fx关于多次式的加法和数与多项式的乘法来说作为 F 上一个向量空间。 例 6 Ca,b关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域 R 上的向量空间。 f(x) g(x) af(x) 例 7 R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义 V 中两个元素的加法运算 为： a 二 b = ab, a, b V 定义 V 中元素与 R 中元素的数乘运算“”为 k a = ak, a v, R p 下面验证 V 对于这两种运算满足定

6、义中的八条规则： 1 a 二 b=ab=ba=b 二 a ； 2 (a 二 b)二 c = (ab)二 c = (ab)c = a 二(b 二 c)； 3 1 二 a=1a=a ； 4 a 的负元素是 a-1, a - a，=aa =1; 5 k (l a)二 k a二 alk =lk a; 6 (k I) a 二 ak =ak 二 a = (k a)二(l a); 7 k (a 二 b) =(a 二 b)k =(ab)k 二 akbk =ak 二 bk =(k a)二(k b); 8 1 a = a = a; 所以 V 是实数域上的向量空间。 向量空间的例子是大量的，仅从以上例子也是可以看出

7、，向量空间的涵义是多么 广泛！ 四、向量空间的简单性质 相容性 公理体系独立性 完备性 I n 1、 乂芒i =冷2肚-二n有意义且可以任意交换被加项次序。 i 4 证 由于向量空间中的加法适合结合律和交换律。 2、 在一个向量空间 V 里，零向量是唯一的；对于 V 中每一向量,的负向量是由 唯一确定的。 证 先证零向量的存在性，设 0 和 0都是 V 的零向量，那么 0=0+0=0 再证负向量唯一，设：和:都是的负向量，那么:=0, = 0 ,于是 屮=0（，+0 =ct*（a+口 ）=（口 ）+口 = 0+口 = 把唯一的负向量记作-:-，则有 （1） + 了-0. 即有移项变号法则成立 3、 对于任意向量和数域 F 中的数 a,有 （2） o 匚-0,a0 = 0 （3） a（ - ： ） = （-a）： - -a: （4） a 匚-0= a =0或:-0 证： 0 ： = 0 ：亠 O = 0：亠（0 ： - 0 ： ） =（0：亠 0 ： ） - 0- =（o o）： -o ： - 0 ： - 0： =0 同理可证 aO=O a： a（-： ） =a（： （-： ） =aO =0 同理可证 （-a）：二-a:- 设a二 0 但 a = 0,则 1 1 1 :=1： = （a） （a： ） 0=0 a a