极限的运算(1)

1、例：例：求下列极限求下列极限:（3） （4）（1） （2）xx1limxx21lim1)12(lim21 xxxx2lim1xxx212lim21 问题问题如何求如何求 ?1.11.11.011.011.0011.0011 10.9990.9990.990.990.90.9xxx2122 考察下表考察下表1.554551.505051.500501.51.49951.495051.455561.455561 2 3 21 23 观察该极限与上题极限之间存在关系吗观察该极限与上题极限之间存在关系吗?xxxxxxx21limlim212lim1121 xxxxxxx2lim)12(lim212li

2、m12121 000(1) lim( )( )lim( )lim( )xxxxxxfxg xfxg xAB0lim()xxgxB0lim( )xxf xA如果如果，那么那么000l i m()()( 3 ) l i m(0 ) .()l i m()xxxxxxfxfxABgxgxB函数极限运算法则函数极限运算法则：0 xx“时”000(2 ) lim ()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB注：注：上述运算法则对于上述运算法则对于xx的情况仍然成立的情况仍然成立由上面的第二个式子不难得到由上面的第二个式子不难得到: :00lim( )lim( )()xxxxkf xkf x

3、 k为常数)()(lim)(lim*00Nnxfxfnxxnxx lim(x)= lim(x)=(0)nnnffA nnA为正整数，且当 为偶数时，即即：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为为0 0）。）。注：注：使用极限四则运算法则的使用极限四则运算法则的前提前提是各部分是各部分极限必须存在极限必须存在. .00000lim(

4、lim ),li)m(1;nnnnnxxxxxxxxxxx即)(*Nn111limlim(2(lim)1im)00l0nnnnxxxnxxxxx即用上面的运算法则可求：用上面的运算法则可求：0(1)lim;nxxx1(2)lim.nxx利用函数极限的运算法则，我们可以根据已利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限数的极限. .232121(1) lim.21xxxxx3-2(1)lim(x -3x)x21(2)lim(x +2x+3)x221-2 +3(2)lim2+1xxxx2211lim2,.2xaxxax已

5、已知知求求实实例例数数. .的的值值3 3212lim1.xxxkkx练习：已知极限存在，试确定 的值，并求这个极限通过前面例题可见：通过前面例题可见：函数函数 在在 处有定义处有定义; ; 求这类函数在某一点求这类函数在某一点 处的极限值时，处的极限值时，只要把只要把 代入函数解析式中，就得到极限值代入函数解析式中，就得到极限值. .-代入法代入法( )f x0 xx0 xx0 xx.416lim24xxx例例4.4.求求分析：分析：当当 分母的极限是分母的极限是0 0，不能直接运用上面的极，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当限运算法则。因为当 时函数的极限只与时函数的极限只与x x无限

6、趋近无限趋近于于4 4的函数值有关，与的函数值有关，与x=4x=4时的函数值无关，因此可以先将时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式分子、分母约去公因式x-4x-4以后再求函数的极限以后再求函数的极限. .4x4x练习：练习：224lim2xxx例例5.5.求求 .121lim221xxxx解：解：) 12)(1() 1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx通过前面例子会发现：通过前面例子会发现：函数函数f f（x x）在）在 处无定义；处无定义；求求这类函数在某一点这类函数在某一点x=xx=x0

7、0处的极限值时，若用代入法，分子分母处的极限值时，若用代入法，分子分母都为都为. .因此，可对分子分母因式分解，约去为因此，可对分子分母因式分解，约去为0 0的公因式来求的公因式来求极限极限-因式分解法因式分解法0 xx 练习：练习：01+1limxxx221lim?1xxxx例6 求.2222111limlim1111xxxxxxxx解：注意注意: :当当 分子、分母中同除以分子、分母中同除以x x的最高次幂，利用的最高次幂，利用就可以求极限了就可以求极限了1lim0nxxx 1 011 0022+712(1)lim22xxxxx求232(2)lim+12xxxxx32+12(3)lim2x

8、xxxx1-1101-1100,0,+lim,+0,.nnnmnnnnmmxmmabmNnNanmba xaxa x anmb xbxb x bnm 当时，当当当3131(1)lim()11xxx11110(3) lim()xxxxxeeee3+sin(2) lim1+xxxx 二、本次课学习了三种计算函数极限的方法：二、本次课学习了三种计算函数极限的方法：（1）代入法代入法；对；对 型极限的求法可通过因式分解，型极限的求法可通过因式分解，（2）根式有理化）根式有理化约去约去“零因式零因式”；（3）对）对 的极限的计算，通常是分子、分母的极限的计算，通常是分子、分母同除以分母的最高同除以分母的最高次幂次幂.00一、函数极限运算法则一、函数极限运算法则练习：2122122232322024231.lim212.lim1443.lim484.lim2425.lim3226.lim54xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22324232322217.lim21