高中数学--空间中的垂直关系复习过程

1、目录目录高中数学-空间中的垂直关系目录目录教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基1直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义直线直线l与平面与平面内的内的_直线都垂直，就说直线直线都垂直，就说直线l与平面与平面互相垂直互相垂直任何任何目录目录(2)直线与平面垂直的判定定理及推论直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理一条直线与一个平面内一条直线与一个平面内的的_都垂直，则都垂直，则该直线与此平面垂直该直线与此平面垂直相交直线相交直线lalbabOa，b目录目录(2)直线与平面垂直的判定定理及推论直线与平面垂直的判定

2、定理及推论文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言推推论论如果在两条平行直线中，有一如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直条垂直于平面，那么另一条直线也线也_这个平面这个平面垂直垂直aba目录目录(3)直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性性质质定定理理垂直于同一个垂直于同一个平面的两条直平面的两条直线线_平行平行ab目录目录2平面与平面垂直平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理一个平面过另一个一个平面过另一个平面的平面

3、的_，则这两个平面垂直则这两个平面垂直垂线垂线ll目录目录(2)平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性性质质定定理理两个平面互相垂两个平面互相垂直，则一个平面直，则一个平面内垂直于内垂直于_的直线垂直于另的直线垂直于另一个平面一个平面交线交线llaa目录目录3线面角和二面角的概念线面角和二面角的概念(1)直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行当直线与平面垂直和平行(含直线在

4、平面内含直线在平面内)时，规定直时，规定直线和平面所成的角分别为线和平面所成的角分别为90和和0.目录目录(2)二面角的有关概念二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的二面角：从一条直线出发的_所组成的所组成的图形叫做二面角图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作两个半平面内分别作_的两条射线，这两的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角条射线所成的角叫做二面角的平面角两个半平面两个半平面垂直于棱垂直于棱目录目录课前热身课前热身1.如图，如果如图，如果MC菱形菱形ABCD所在平面，那么所在平面，那么MA

5、与与BD的位置关系是的位置关系是()A平行平行B垂直但不相交垂直但不相交C异面异面D相交但不垂直相交但不垂直答案：答案：B目录目录2若若m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线，是三个不同的平是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是面，则下列命题中的真命题是()A若若m，则，则mB若若m，m，则，则C若若，则，则D若若m，n，mn，则，则答案：答案：B目录目录3(教材习题改编教材习题改编)ABC中，中，ABC90，PA平平面面ABC，则图中直角三角形的个数是，则图中直角三角形的个数是_答案：答案：4目录目录4已知平面已知平面、和直线和直线m，给出条件：，给出条件：m；m；m；.(1)当满足条件

6、当满足条件_时，有时，有m；(2)当满足条件当满足条件_时，有时，有m.(填所选条件的序号填所选条件的序号)答案：答案：(1)(2)目录目录考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1目录目录【解解】(1)证明：由于证明：由于AB平面平面PAD，PH平面平面PAD，故故ABPH.PH为为PAD中中AD边上的高，边上的高，故故ADPH.ABADA，AB平面平面ABCD，AD平面平面ABCD，PH平面平面ABCD.目录目录目录目录(3)证明：如图，过证明：如图，过E作作EGAB交交PA于于G，连接，连接DG.E为为PB的中点，的中点，G为为PA的中点的中点DADP，故，故DPA为等腰三角形，为等腰三角形

7、，DGPA.目录目录目录目录【名师点评名师点评】(1)在证明垂直关系时，要注意线面垂直在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化这种转化(2)解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理问题都可转化为线线垂直来处理目录目录跟踪训练跟踪训练目录目录证明：证明：(1)在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，CD平

8、面平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面平面PAC.而而AE平面平面PAC，CDAE.(2)由由PAABBC，ABC60，可得可得ACPA.E是是PC的中点，的中点，AEPC.目录目录由由(1)，知，知AECD，且，且PCCDC，AE平面平面PCD.而而PD平面平面PCD，AEPD.PA底面底面ABCD，PAAB.又又ABAD且且PAADA，AB平面平面PAD，而，而PD平面平面PAD，ABPD.又又ABAEA，PD平面平面ABE.目录目录例例2目录目录【证明证明】(1)因为因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以是直三棱柱，所以CC1平面平面ABC，又又AD平面平面ABC，所以

9、，所以CC1AD.又因为又因为ADDE，CC1，DE平面平面BCC1B1，CC1DEE，所以所以AD平面平面BCC1B1.又又AD平面平面ADE，所以平面所以平面ADE平面平面BCC1B1.(2)因为因为A1B1A1C1，F为为B1C1的中点，的中点，所以所以A1FB1C1.目录目录因为因为CC1平面平面A1B1C1，且，且A1F平面平面A1B1C1，所以所以CC1A1F.又因为又因为CC1，B1C1平面平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以所以A1F平面平面BCC1B1.由由(1)知知AD平面平面BCC1B1，所以，所以A1FAD.又又AD平面平面ADE，A1F 平面平面ADE，所以所以

10、A1F平面平面ADE.目录目录【名师点评名师点评】证明面面垂直时一般先证线面证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造添加辅助线来构造目录目录跟踪训练跟踪训练2.(2011高考江苏卷高考江苏卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，平中，平面面PAD平面平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是分别是AP，AD的中点的中点求证：求证：(1)直线直线EF平面平面PCD；(2)平面平面BEF平面平面PAD.目录目录证明：证明：(1

11、)如图，在如图，在PAD中，因为中，因为E，F分别为分别为AP，AD的中点的中点，所以，所以EFPD.又因为又因为EF 平面平面PCD，PD平面平面PCD，所以直线所以直线EF平面平面PCD.目录目录(2)连接连接BD.因为因为ABAD，BAD60，所以，所以ABD为为正三角形正三角形因为因为F是是AD的中点，所以的中点，所以BFAD.因为平面因为平面PAD平面平面ABCD，BF平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCDAD，所以所以BF平面平面PAD.又因为又因为BF平面平面BEF，所以平面，所以平面BEF平面平面PAD.目录目录例例3目录目录【解解】(1)证明：因为证明：因为D，E

12、分别为分别为AC，AB的中点，的中点，所以所以DEBC.又因为又因为DE 平面平面A1CB，所以所以DE平面平面A1CB.(2)证明：由已知得证明：由已知得ACBC且且DEBC，所以，所以DEAC.所以所以DEA1D，DECD，所以，所以DE平面平面A1DC.而而A1F平面平面A1DC，所以，所以DEA1F.又因为又因为A1FCD，所以所以A1F平面平面BCDE.所以所以A1FBE.目录目录(3)线段线段A1B上存在点上存在点Q，使，使A1C平面平面DEQ.理由如下：理由如下：如图，分别取如图，分别取A1C，A1B的中点的中点P，Q，连接，连接PQ，QE，PD，则则PQBC.因为因为DEBC，

13、所以，所以DEPQ.所以平面所以平面DEQ即为平面即为平面DEP.由由(2)知，知，DE平面平面A1DC，所以所以DEA1C.又因为又因为P是等腰三角形是等腰三角形DA1C底边底边A1C的中点，的中点，所以所以A1CDP.所以所以A1C平面平面DEP.从而从而A1C平面平面DEQ.故线段故线段A1B上存在点上存在点Q，使得，使得A1C平面平面DEQ.目录目录【名师点评名师点评】解答立体几何综合题时，要学会识图解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相间平行、垂直关系的证明

14、，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键目录目录目录目录2证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；利用定义：两个平面相交，所成

15、的二面角是直二面角；(2)判定定理：判定定理：a，a.目录目录4. 垂直关系的转化垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂面面垂直直”间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类问题的关键目录目录名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例目录目录【解解】(1)证明