工程流体力学-2

1、 平衡1流体对固结于地面的坐标系无相对运动,称为重力场中的流体平衡2流体对运动坐标系无相对运动,但盛流体的容器却相对地面上的固定坐标系有相对运动,称流体相对平衡 流体静压力的定义:从平面中取一微元面积 O是该面积中点 移去部分作用在微元的力 微元面积上的平均流体静压力 O点的流体静压力 流体静压力的两个特性a.静压力始终沿作用面的内法向方向b.静压力的大小与作用面方位无关APAPPdAdPAPPpA0lim 静压力始终沿作用面的内法向方向证明:采用反证法.如图所示,假定某点o的静压力为任意方向,它可分解为法向及切向应力,由于切应力的存在,流体必然产生流动;而实际流体平衡,与假设矛盾.若Pa沿外

2、法向方向,与流体不能承受拉应力的特征相矛盾. 静压力的大小与作用面方位无关证明:如图所示,过任意一点任取一微元四面体,其三条边dx,dy,dz分别与x,y,z重合,则体积设斜面ABC外法线方向的单位矢量 ,它与三个坐标轴正向夹角分别为dxdydzV61,ndxdyABCdxdzABCdydzABC21cos21cos21cos 设密度为 ,单位质量力为则微元流体上的质量力为设四面体每个面上任一点压强,则作用在微元四面体上的表面力为kfjfiffzyx)(61kfjfifdxdydzFdzyxQnzyxpppp,kdxdyppjdxdzppidydzppkABCpdxdypjABCpdxdzpi

3、ABCpdydzpdFnznynxnznynxs21)(21)(21)()cos21()cos21()cos21( 流体平衡 可得 上式中第一项与第二项相比为高阶无穷小量,略去,可得*静止流体中,任一点处的静压力值与作用面的方位无关.若以p表示静止流体中某处的压强,p仅是空间坐标的函数p=p (x,y,z).因此,此处压强为标量.SQFdFd021)(6021)(6021)(6dxdyppdxdydzfdxdzppdxdydzfdydzppdxdydzfnzznyynxxnzyxpppp 欧拉平衡方程式:为了求解流体平衡的规律,在静止流体中取边长为 的微元六面体,其中心点M(x,y,z), 静

4、压力为p 在B,C点的静压强分别为 上式相加则x轴方向流体的表面力的合力为 流体的质量在x轴上的分力为 微元体在x轴方向平衡可得dzdydx,22dxxpppdxxpppCBdxdydzxpdydzpppdAdFCBxSx)(xxQxdxdydzffdmdF0dxdydzxpdxdydzfx 同理可得 该方程式表明,在静止流体中,当微元六面体以M点为极限时,作用在该点单位质量流体上的质量力与静压力的合力相平衡010101zpfypfxpfzyx 将欧拉的流体平衡微分方程式的三个分式分别乘以 dx, dy, dz,并相加有 因为 所以上式即为 上式表明,当点的坐标增量为dx, dy, dz时,相

5、应的流体静压力增加,静压力的增量决定于质量力.将上式(压强微分方程)积分即可得流体静压力.0)(1dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxdzzpdyypdxxpdp)(dzfdyfdxfdpzyx 存在一个势函数W,使得压强微分方程可写为 满足上式的坐标函数称为质量力的势函数 符合上面关系的质量力则称为有势的质量力dWdpdWdzzWdyyWdxxWdzfdyfdxfzWfyWfxWfzyxzyx)()(, 等压面:液体中压强相等的各点组成的平面叫等压面 等压面的微分方程式 等压面三性质a.等压面也是等势面b.等压面与单位质量力矢量垂直c.两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面0d

6、pconstp0dzfdyfdxfzyx 由压强微分公式得当平面为等压面时因此可得所以,等压面也是等势面.dWdp)(dzfdyfdxfdpzyx0dp0dWconstW 由等压面的微分方程式 可得上述两矢量点积为零,说明两矢量相互垂直 是等压面上任意线段, 因而, 等压面与单位质量力必相互垂直0 sdf0dzfdyfdxfzyxsd两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面证明:采用反证法. 假设两种流体,有交界面 a-a, 设a-a面不为等压面交界面上的两点1,2的压强差可分别写成如下两个等式因为等式只有才同时成立,所以a-a面必为等压面或等势面210, 0dWdpdWdpdWdp21 作用

7、在流体上的质量力只有重力的情况在笛卡儿坐标,单位质量力的分力为欧拉平衡的综合表达式(压强微分方程)可写为对于连续,均质,不可压缩流体,对上式积分可得上式可以写成gfffzyx, 0, 0gdzdp1Cgzp1Cgpz 若在静止液体中任取1,2点,则上式可写成gpzgpz2211 盛有液体的容器沿与水平面成 角的斜面向下以匀加速 作直线运动,将运动坐标系取在容器上,并使坐标原点在自由液面, 轴垂直纸面 根据达朗贝尔原理,作用在液体上的力有重力,与运动加速度方向相反的虚构惯性力axmaI 因此单位质量力为 等压面方程为a.等压面为与水平面成常角度的一组平行平面b.此等压面与单位质量力的方向垂直kg

8、ajakfjfiffzyx)sin(cosgaagaadydzsincostantansincos 将单位质量力代入压强微分公式,并取边界条件为 积分后可得压强分布公式为上式即为流体静压强在不同点(y,z)上的分布规律oppzy,0, 0时)sin(cosgazayppo 由几何关系可知容器内水深H 将水深公式代入压强分布公式可得a.当液面压强和容器运动加速度都为常数的时候,液体下面的点的静压强的大小只与液深有关b.斜面角度为零度或90度时,可得容器水平或铅直匀加速直线运动的两种特例HyzyzHtantan)sin1 ()sin()sin(sincoscos)sin()sin(tancos)s

9、in()sin(tancos)(sin()sin)(tan(cosgagHpagHpgagaayayagHpgayayagHpgayayHgapgaHyayppoooooo 容器绕z轴以角速度 旋转,取运动坐标系固结在回转容器上,此时作用在液体上的质量力有: 重力 虚构离心惯性力 则单位质量力的分力为mgWrmF2gfyrfxrfzyx2222sincos 将单位质量力代入等压面方程中,可得 积分后可得 即a.等压面是绕z轴的一族回转抛物面b.当 时,所以022gdzydyxdxCgzyx222222Cgzr22200zr时0C 过r=0,z=0的自由液面方程为 自由液面上任一点的z坐标,也就

10、是自由液面上的点比抛物面顶点所高出的垂直距离称为超高 最大超高为grzgzr2022222gugrzh22222gRH222 在Oxy坐标平面以上的回转抛物体内的液体体积VHRgRRRgdrrgrdrgrrdrzVRRR2222420320220212214222 将单位质量力代入压强微分公式,可得 式中,C为积分常数,根据实际问题的不同边界来确定CgzrCgzyxpgdzydyxdxdp222)(22222222152 . fig162 . fig172 . fig例2-2 如图所示，直径为D高度H的圆柱形容器，装水2/3容量后，绕其垂直轴旋转。试求（1）自由液面到达顶部边缘时的角速度，（2

11、）自由液面到达底部中心时的角速度。 在工程中,测量某点的压强,可以采用两种不同基准表示,即绝对压强与表压强 不可压缩平衡液体的自由液面如果与大气相连通,则有a.绝对压强:以绝对真空为起点计算压强大小,它反映流体分子运动的物理性质b.表压强:以当地大气压为基准的压强ghppo 当地大气压一般用气压计测量,在不同地区不同季节,不同气象条件下, 它不是一个固定的数值,只有做精确实验,需要计算准确绝对压强数值时,才有必要记取气压计上的当地大气压数值. 但在一般通用性的工程计算中,用当地大气压计算反而不方便,因此在许多情况下都近似以标准大气压作为表压强和真空度的起点. 法定计量单位:以单位面积上的力表示

12、 液柱高:用液柱高度表示压强大小,比如mH2O,mmHg 大气压:标准大气压是根据北纬45度海平面上的15摄氏度测定数值PammHg51001325. 17601标准大气压 流体静压强的测量仪表主要有:金属式,电测式,液柱式1.金属式:使待测压强与金属弹性元件变形成比例,其量程较大,多用于液压传动中.2.电测式:将弹性元件的机械变形转化成电阻,电容,电感等电量进行测量压强的仪器,它便于远距离测量及动态测量3.液柱式:根据流体静压强求基本原理,利用液柱高来表示液体静压强的测量仪器,它精度高,量程小,一般用于低压实验场所 测压管,U形测压管,差压计,微压计 测压管 U形测压计 ghpghghppP

13、BA 差压计 微压计ghppAB)(12)sin()sin()(21AAgllAAlghhgppoo 工程上常遇见计算油箱,水箱,管道,大坝等结构的强度计算等问题,即流体静压力问题.流体静压力的大小,方向,作用点与受压面的形状及受压面上静压强的分布有关. 本节讨论受压面上各点静压强不同时,如何计算壁面上的流体静压力问题. 空间壁面上的微元淹没深度为h 微元面积 计示压强 微元上的流体静压力 静压力总和dAnAdghp)(dAnpFdAAAhdAngdAnghdAnp)()()(微元面积的方向角微元面积的三个投影面积作用在空间壁面上的流体静压力三个分量 上式前两个积分中,积分结果为微元面积对x,

14、 y轴的面积矩的积分,即 为投影面积 形心处的计示压强;第三式中因水深与微元面积 相垂直,因而积分式 为纯几何体积,称压力体体积,它由曲面A经由曲面外缘所作的垂直投影面及液面所围成,zyxdAdAdA,zyxzyxpdApdApdAkpdAjpdAipdAkdFjdFidFkdFjdFidFdFcoscoscoscoscoscosFAzAzzycAyAyyxcAxAxxgVhdAgpdAFAghhdAgpdAFAghhdAgpdAFzzyyxxyxAA ,cghzdAFV 如果 ，能交于一点,作用在曲面A上的静压力大小为 方向 力的作用点，即压力中心:静压力的矢量作用线与曲面A的交点称为压力中

15、心D222zyxFFFFFFFFFFzyxcoscoscosxFyFzF 平面 A与液面倾斜成 角 微元面积上的流体静压力大小为 可得平面A上的静压力为 为了求出压力中心在y方向的坐标,可将力对Ox轴求矩dAgyghdApdAdFsinApAghAygdAygdFFcccAA)(sinsinAyIAgyIgAghdAygFdFyycxcxcAADsinsinsin2 面积A对过形心C且与Ox平行轴的惯性矩 面积A对Ox轴的惯性矩 a.压力中心恒在平面形心下方b.压力中心和平面形心两点坐标差为偏心距CIxIcccDccxyAyIyAyII2AyIyycccD 柱面在坐标面O xz 上投影为一条曲线, 因而沿y方向没有作用力,从而有 于是合力大小为 合力方向为FAzAzzyxcAxAxxgVhdAgpdAFFAghhdAgpdAFzzxx022zxFFFxzFFtan 体积V的固体完全沉没在静止液体中 水平母线与物面接触点的连线将物面分割成左右两部分,左半部分曲面与右半部分曲面上受到的水平分压力大小相等,方向相反,而且作用在同一条直线上,因而整个潜体水平方向的流体静压力为零 铅直母线与物面接触点的连线将物面分割成上下两部分,上半曲面acb上的铅直分压力方向向下,大小等于压力体acbfe的液重;而下半曲面 adb上的铅直分压力方向向上,大小等于压力体adbfe 的液重 Fa