利用导数判断函数的单调

1、利用导数判断函数的单调（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 2.导数的运算导数的运算法则（1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数的商的导数

2、）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。uv2u vv uv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u.函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数；上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数；上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严

3、格的单调性。G 称为单调区间称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们

4、用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0 时时,函数函数y=f(x) 在区间在区间(2, +)内为增函内为增函数数. y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜切线的斜率为负率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在为在为这个区间内这个区间内 的增函数的增函数;如果在这个区间内如果在这个区间内 0,解得解得x1,因此因此,当当 时时,f(x)是增函是增函数数;), 1( x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,当当 或或 时时, f(x)是增函数

5、是增函数.), 3( x)1 ,( x令令3x2-12x+90,解得解得1x0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf )(xf 练习练习1 1:求函数求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间的单调区间.答案答案:递增区间是递增区间是 和和 ;递减区间是递减区间是(-2,1). )2,( ), 1 ( 四、综合应用四、综合应用:例例1:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x)

6、.(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是: 递减区间是递减区间是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间的递增区间是是(1,+);由由 解得解得-1x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+)

7、., 0)( xf说明说明:(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩大所以递增区间可以扩大 到到0,100)(或或0,100).(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调区间时但在写单调区间时, 都可以把都可以把100包含在内包含在内.例例2:设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间恰有三个单调区间,试确定试确定a的取值的取值 范范 围围,并求其单调区间并求其单调区间.解解:. 13)(2 axxf若若a0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一

8、个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a()0只是函只是函数数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不函数的充分不必要条件必要条件.)(xf 6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导是导数几何数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用意义在研究曲线变化规律的一个应用,它它充分体现了数形结合的思想充分体现了数形结合的思想.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函则当函数数f(x) 时在闭区间时在闭区间a,b上连续上连续,那么单调区间可那么单调区间可以扩大到闭区间以扩大到闭区间a,b上上.4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构首先要根据题意构造函数