初中中考数学真题难题 汇编勾股定理

1、第7章 勾股定理第1节 勾股定理及其逆定理1.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值【考点】矩形的性质；角平分线的性质【分析】（1）由折叠性质得MAN=DAM，证出DAM=MAN=NAB，由三角函数得出DM=ADtanDAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出DMA=MAQ，由折叠性质得出DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出MAQ=AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则

2、AQ=MQ=1+x，证出ANQ=90°，在RtANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出ABN的面积；（3）过点A作AHBF于点H，证明ABHBFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明ABHBFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果【解答】解：（1）由折叠性质得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN=NAB，四边形ABCD是矩形，DAB=90°，D

3、AM=30°，DM=ADtanDAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折叠性质得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，ANM=90°，ANQ=90°，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=32+x2，解得：x=4，NQ=4，AQ=5，AB=4，AQ=5，SNAB=SNAQ=×ANNQ=××3×

4、;4=；（3）过点A作AHBF于点H，如图2所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，HBA=BFC，AHB=BCF=90°，ABHBFC，=，AHAN=3，AB=4，当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，AD=BC，AH=BC，在ABH和BFC中，ABHBFC（AAS），CF=BH，由勾股定理得：BH=，CF=，DF的最大值=DCCF=4【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩

5、形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键2.（2016黄冈）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG=CH A E DG H B F C（第17题）【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据E，F分别是AD，BC的中点，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形BEDF是平行四边形，从而得到BED=DFB，再运用等角的补角相等得到AEG=DFC；最后运用ASA证明AGECHF，从而证得AG=CH.

6、【解答】证明：E，F分别是AD，BC的中点，AE=DE=AD，CF=BF=BC. 又ADBC，且AD=BC. DEBF，且DE=BF. 四边形BEDF是平行四边形. BED=DFB.AEG=DFC. 又ADBC， EAG=FCH. 在AGE和CHF中AEG=DFCAE=CFEAG=FCHAGECHF. AG=CH3.（2016泰安）如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则BOF的面积为【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明BOFBCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可【解答】

7、解：四边形ABCD是矩形，A=90°，又AB=6，AD=BC=8，BD=10，EF是BD的垂直平分线，OB=OD=5，BOF=90°，又C=90°，BOFBCD，=，即=，解得，BF=，则OF=，则BOF的面积=×OF×OB=，故答案为：【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键4.（2016烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为【考点】勾股

8、定理；实数与数轴；等腰三角形的性质【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCAB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数【解答】解：ABC为等腰三角形，OA=OB=3，OCAB，在RtOBC中，OC=，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，OM=OC=，点M对应的数为故答案为5.（2015浙江台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；（2）如图2，在ABC中，FG是中位线，

9、点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DEBD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AMBN，AMC，MND和NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由第2节 勾股定理的应用1.（2016德州）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗

10、新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：son42.4°0.67，cos42.4°0.74，tan42.4°0.905，sin45.5°0.71，cos45.5°0.70，tan45.5°1.02 ）【考点】勾股定理的应用【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得

11、出LR=ARcosARL求出答案即可；（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LRtanBRL，再利用AL=ARsinARL，求出AB的值，进而得出答案【解答】解：（1）在RtALR中，AR=6km，ARL=42.4°，由cosARL=，得LR=ARcosARL=6×cos42.4°4.44（km）答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；（2）在RtBLR中，LR=4.44km，BRL=45.5°，由tanBRL=，得BL=LRtanBRL=4.44×tan45.5°4.44×1.02=4.5288（km），

12、又sinARL=，得AL=ARsinARL=6×sin42.4°4.02（km），AB=BLAL=4.52884.02=0.50880.51（km）答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键2.（2016济宁）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】（1

13、）由新坡面的坡度为1：，可得tan=tanCAB=，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；（2）首先过点C作CDAB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案【解答】解：（1）新坡面的坡度为1：，tan=tanCAB=，=30°答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除过点C作CDAB于点D，则CD=6，坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，BD=CD=6，AD=6，AB=ADBD=668，文化墙PM不需要拆除3.（2016聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天

14、轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°0.65，tan21°0.38）（）A169米 B204米 C240米 D407米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】过C作CDAB于D，在RtACD中，求得AD=CDtanACD=CDtan33°，在RtBCO中，求得OD=CDtanBCO=CDtan21°，列方程即可得到结论【解答】解：过C作C

15、DAB于D，在RtACD中，AD=CDtanACD=CDtan33°，在RtBCO中，OD=CDtanBCO=CDtan21°，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33°CDtan21°=55m，CD=204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m故选B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键4.（2016泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西

16、偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A22.48B41.68C43.16D55.63【分析】过点P作PAMN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PAMN于点A，MN=30×2=60（海里），MNC=90°，CPN=46°，MNP=MNC+CPN=136&#

17、176;，BMP=68°，PMN=90°BMP=22°，MPN=180°PMNPNM=22°，PMN=MPN，MN=PN=60（海里），CNP=46°，PNA=44°，PA=PNsinPNA=60×0.694741.68（海里）故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键5.(2016烟台）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的

18、影长CD为3米，ABBC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：sin72°0.95，cos72°0.31，tan72°3.08）【考点】解直角三角形的应用【分析】如图作CMAB交AD于M，MNAB于N，根据=，求出CM，在RTAMN中利用tan72°=，求出AN即可解决问题【解答】解：如图作CMAB交AD于M，MNAB于N由题意=，即=，CM=，在RTAMN中，ANM=90°，MN=BC=4，AMN=72°，tan72°=，

19、AN12.3，MNBC，ABCM，四边形MNBC是平行四边形，BN=CM=，AB=AN+BN=13.8米6.（2016枣庄）如图，已知ABC中，C=90°，AC=BC=，将ABC绕点A顺时针方向旋转60°到ABC的位置，连接CB，则CB= .第17题图【答案】.考点：旋转的性质；勾股定理.7.（2016巴中）如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影

20、响问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】根据题意，在ABC中，ABC=30°，BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CDAB于D点【解答】解：过点C作CDAB于D，AD=CDcot45°=CD，BD=CDcot30°=CD，BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），CD=250，250米200米答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响8.（2016达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5

21、km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据：1.4，1.7）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE海岸线l于点E，过点A作AFl于F，首先证明ABC是直角三角形，再证明BAC=30°，再求出BD的长即可角问题（2）求出CD

22、的长度，和CN、CM比较即可解决问题【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE海岸线l于点E，过点A作AFl于F，如图所示BEC=AFC=90°，EBC=60°，CAF=30°，ECB=30°，ACF=60°，BCA=90°，BC=12，AB=36×=24，AB=2BC，BAC=30°，ABC=60°，ABC=BDC+BCD=60°，BDC=BCD=30°，BD=BC=12，时间t=小时=20分钟，轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线（2）BD=BC，BECD

23、，DE=EC，在RTBEC中，BC=12，BCE=30°，BE=6，EC=610.2，CD=20.4，2020.421.5，轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头9.(2016广安）如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶已知台阶总高1.5米，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的地段分别为D、C），且DAB=66.5°（参考数据：cos66.5°0.40，sin66.5°0.92）（1）求点D与点C的高度DH；（2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米）【考点】解直

24、角三角形的应用【分析】（1）根据图形求出即可；（2）过B作BMAD于M，先求出AM，再解直角三角形求出即可【解答】解：（1）DH=1.5米×=1.2米；（2）过B作BMAD于M，在矩形BCHM中，MH=BC=1米，AM=AD+DHMH=1米+1.2米1米=1.2米=1.2米，在RtAMB中，AB=3.0米，所以有不锈钢材料的总长度为1米+3.0米+1米=5.0米10.（2016资阳）如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A时，测得点B在A的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离（注：结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）根据题意得出：CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，进而求出答案；（2）根据题意结合已知得出当点B在A的南偏东75°的方向上，则AB平分CBA，进而得出等