中学数学教育学概论课后习题及答案

1、中学数学教育学概论课后习题及答案第一章课后习题答案1. 你认为目前我国中小学数学课程存在的突出问题主要表现在那些方面？答：（ 1）不注重数学的应用性和实用性；（ 2）不注重学生主体的活动性；（ 3）过于强调接受学习，死记硬背，机械训练；（ 4）过分强调甄别与选拔的功能（ 5）过于注重知识传授；（ 6）教师水平不高，不够专业化2. 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）的基本理念和课程总体目标是什么？ 答：标准 1的基本理念：（ 1）数学课程应突出体现基础性普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现- 人人学有价值的数学， 人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展；（ 2）数学是人

2、类生活的工具，用于交流的语言，是一种人类文化，能赋予人创造性；数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；（ 3）数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；（ 4）评价的目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和教师的教学；（ 5）现代信息技术的发展对数学教育的价值目标内容以及学与教的方式产生了重大的影响。标准 1中确定的的义务教育数学课程的总体目标是，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：（ 1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必须要的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及

3、基本的数学思想方法和必要的应用技能（ 2）初步学会运用数学的思维方式去观察，分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；（ 3）体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；（ 4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。（具体可看41 页下面的表格）3. 普通高中数学课程标准（实验）的基本理念和课程总体目标是什么？ 答：标准 2的基本理念：（ 1）构建共同基础 , 提供发展平台；（ 2）提供多样课程 , 适应个性选择；（ 3）倡导积极主动 , 勇于探索的学习方式；（ 4）注重提高学生的数学

4、思维能力；（ 5）发展学生的数学应用意识；（ 6）与时俱进地认识双基；（ 7）强调本质，注意适度形式化；（ 8）体现数学的文化价值；（ 9）注重信息技术与数学课程的整合；（ 10）建立合理、科学的评价体系.标准 2中确定的普通高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。4. 你认为数学课程标准下的数学教师的主要任务有哪些？答：（ 1）为学生创设适宜的问题情境；（2）鼓励学生争论数学问题，展开思维活动，帮助学习解决疑难（ 3）组织学生小组活动，发展学生合作学习的互动意识；（4）帮助学生建构数学知识，掌握科学

5、的思维方法（ 5）指导学生数学应用，增强学生对数学的体验和感受；（6）根据学生的年龄特征和认知特点组织教学5. 确定数学课程目标的依据主要有哪些？答： 教育的性质，任务和目标和数学学科的特点是确定初中数学课程目标的主要依据。6. 谈谈你对“情感与态度”这一课程目标的认识答： 数学课通过“经历（感受） ，体验（体会） ，探索”等活动来实现情感与态度这一目标，以往的数学课程过分重视数学学科自身体系的完整和学生对基础知识技能的理解和掌握，在很大程度上忽视了学生情感态度的培养。就在进行第 10 页 共 10 页中学数学教育学概论课后习题及答案新的一轮课程改革的今天，知识技能教学为主的传统教学理念仍然在

6、影响数学课堂教学，情感态度这一目标依然没有被大多数老师重视。我们在重视学生认知目标的达成和知识技能的形成时，不要忽视了对学生情感与态度的培养。提出了数学课堂上实现情感与态度目标的做法和要求：（ 1）重视情境引入，让学生感受数学与现实生活的密切联系，逐步形成乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论数学话题，并能在数学活动中发挥作用。（ 2）在生活中学习和运用数学知识，让学生认识到数学是人们解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用（ 3）加强课堂上学生的操作实践，丰富学生的情感体验（ 4）鼓励学生在课堂上积极进行交流与合作培养学生的集体意识和团结协作的精神，强

7、调重视培养学生学习数学的情感与态度，更有利于学生学好数学知识和形成数学技能，它们是相辅相成的。实践中需要提高对国家基础教育课程改革的认识，深刻理会新课程的理念。真正认识数学课不仅要实现知识技能和数学的思想方法的掌握，还要体验数学知识形成的过程，培养学生数学的情感态度。7. 谈谈你对数学文化的认识答： 我觉得可以从以下几点说明数学是文化：（ 1）数学是工具，生活和社会科学中必不可少的工具（ 2）数学是方法，对生活社会科学中各个问题合理解析和联系（ 3）数学是创造性活动，数学来源与创造，更好的为社会生活服务（ 4）数学是对美的追求，例如：对称性，黄金比例等无一不体现数学是一门具有其特有完美性的艺术

8、（ 5）数学是精确而简练的语言，数学语言，符号表达和研究数学思想有助于思维的效率（ 6）数学是一门有丰富内容的知识体系，更是一种精神（ 7）数学与人类文明共同发展，数学史追溯到最原始的部落（ 8）数学的发展和特色受环境文化的影响，体现罗马希腊数学史的发展总之，数学文化作为一种特定的文化研究，体现了其超自然性，社会性，广阔性，发展继承延续性等。第二章课后习题答案1. 谈谈你对数学教育价值的认识答： 关于数学教育价值的认识，一般从以下几方面展开：（ 1）工具价值数学教育追求的宏伟目标之一就是，使学生能够在日常生活中和工作中，把数学作为生活的基础，认识世界的工具和交往的媒介，数学教育本身也是一种选择

9、好的教育的工具，是认识数学的一种工具，也是一种交流的工具。（ 2）文化价值通过数学教育培养学生求真，求实，客观的精神，合理怀疑，批判，创新的精神，民主，平等，合作的精神，不断探索顽强执着，锲而不舍的科学精神等等，是数学教育文化价值的一个重要方面。富有特色，充满活力的数学教育本身就是人类文化的重要组成部分。（ 3）育人价值育人是数学教育教师的根本：通过数学教育是学生树立辩证唯物主义世界观，锻炼求真，严谨，刻苦的良好品质；通过数学教育激发学生学习数学的兴趣，让学生感受数学学习成功的喜悦，建立良好的自信心；通过数学教育培养学生正确的审美观。成功的数学教育应使学生在德智体美全面发展。从上面我们可以知道

10、，数学教育的价值，其根本就是通过数学教育促进人的发展，但是在价值层面上它的内涵还需要更新与丰富，整个数学教育的价值理念还需要提升，数学教育的功能还需要进一步拓展。2. 在数学教学中如何弘扬数学文化的作用答： 随着新课程改革的进一步发展，数学文化在数学教学中的价值在逐步得到确认，它不仅是在数学中穿插一些数学史的小故事，或者数学家的趣闻轶事，还在于如何更好地发挥数学文化的内在价值，特别是通过具体数学知识的学习， 帮助学生逐步形成一定的思维方式与品质，培养学生勇于探索，积极进取的精神，从而具有一定数学美学意识和正确 的价值取向。那么如何在数学课堂教学中渗透数学文化，让数学文化点亮学生的数学学习的热情

11、呢？我们可以从以下 三方面在课堂教学中渗透数学文化：（ 1）通过创设情境，展现数学知识的产生背景和寻找数学家的足迹，渗透数学文化。（ 2）课中解决问题，通过数学学习让学生感受到思维的乐趣，使学生领悟到数学思考的美妙，数学方法的精巧，数学思想的博大，这样就可以触摸到数学文化的脉搏。（ 3）课尾归纳小结，让学生体会共性的数学文化3.20 世纪我国数学教学观有什么重要变化？答：（ 1）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”（ 2）从“双基”与“三大能力”观点的形成发展到更宽广的能力观和素质观（ 3）从听课，阅读，演题，到提倡实验，讨论，探索的学习方式（ 4）从看重数学的抽象和严谨，到关注数学的文化

12、，数学探索和数学应用4. 你认为我国大学教学教育面临哪些挑战和问题？答： （ 1）高等教育的生存与竞争问题我国高等教育在总体实力上远低于欧美等国高等教育的总体实力。使得我国在 wto 的框架和游戏规则内， 在与欧美高等教育的生存竞争中处于“历史性的弱势地位”。（ 2）高等教育的公平与效率问题当前，我国高等教育无论是从起点、过程之中，还是从结果上都是不公平的。如果处理不好，就可能给高等教育的健 康发展带来不可预见的损失。而高等教育资源利用效率的低下，也无疑加剧了有限的高等教育的资源紧张和匮乏程度； 另一方面，在公平第一还是效率第一的争论上，还没一个很好的定论，也是高等教育发展不稳的一个诱因。（

13、3）高等教育大众化与质量监控问题高等教育质量问题总是伴随着高等教育发展的大众化而不断被人们关注，如果不能处理好由于高等教育的大众化导致的质量监控问题，我国高等教育的发展就有可能走别人走过的弯路。（ 4）教育部门的发展目标盲目追求高层次，偏离了社会需求。高等教育人才培养与社会人才需求不相适应，培养与需求相脱节，引发了人们对教育的怀疑，对社会的不满，甚至上升到对改革的抱怨，贫困地区新的读书无用论正在抬头，影响了我们这个民族整体素质的提高（ 5）是高等教育自身的道德与科学精神问题。一教育者方面，学术造假及学术腐败问题将直接影响到在校学生，进而影响到整个未来社会的道德水准及社会诚信。二学生方面，校园暴

14、力事件频繁发生，学生思想道德水平不断下降，法律意识淡薄，综合素质不高。5. 对弗赖登塔尔的教学理论谈谈你的想法答： 弗赖登塔尔的数学教学理论可以用三个词进行概括现实，数学化，再创造弗赖登塔尔的数学教学理论不是“数学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实” ，“数学化”“数学反思” ，“思辨数学” 等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辨性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究。6. 设计一个解决某类问题的解题表答： 第一步，

15、必须了解问题未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？ 可能满足什么条件？画一个图，引入适当记号。第二步，找出已知数和未知数间的关系。假使你不能找出关系，就要考虑辅助问题，最后应想出一个计划你以前曾见过它吗？你知道什么有关的问题吗？注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？你可以改述这问题吗？回到定义。你若不能解这问题，先解一个有关的问题。你用了全部条件吗？第三步，实行你的计划第四步，校核所得的解答7 根据你解题经历，选一个典型的例子，详细介绍其解题的具体过程答： 例：已知 k>a>b>c>0, 求证：

16、k2 -(a+b+c)k+ab+bc+ca>0（ 1）读清题目（ 2）抛物线 y=x 2-(a+b+c)x+ab+bc+ca 的判别式 =(a+b+c) 2-4(ab+bc+ca)（ 3）满足 <0（ 4）那么抛物线与x 轴没有交点，从而在x 轴上方，恒有 =x 2-(a+b+c)x+ab+bc+ca>0（ 5）检验8. 实践解题表，求解下题：如果3 个相同半径的圆过一点，则通过它们的另外3 个交点的圆具有相同的半径解：ao1o2bo3efcdo9. 举例谈谈你所感受的数学美答： 古希腊数学家普洛克拉斯说过，哪里有数学， 哪里就有美 .挖掘数学所具有的动态的神奇之美，给我们以

17、美的熏陶、美的启迪、美的享受，使我们不仅仅掌握数学，应用数学，而且还要鉴赏数学，品味数学. 下面就黄金分割之美举例供欣赏 .黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1 0.618 或 1.618 1，即长段为全段的0.618。0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字。例如我们的门窗宽长之比，舞蹈演员的腿和身体的比例近似等于0.618 的比值， 凡是有这个比值的图案，事物都会给我们一种美的感受10 你认为数学教育教学中应怎样加强数学审美教育？ 答：（ 1）提高数学教师的美学修养（ 2）挖掘教材中潜在的美学

18、因素，使学生自觉认识什么是数学美，数学教材中有许多潜在的美学因素，如集合论中关于交集的运算规律呈现出结构上的对称美（ 3）数学教学要为学生提供创造数学美的机会（ 4）提高学生的基本素质11. 建构主义数学教学理论你是否赞同？说说自己的看法答： 对于建构主义数学教学理论我对它持保留的态度，即不赞成也不反对！因为建构主义确实对人的认识过程，包括学生的学习过程进行了深入的分析，具有科学的价值。但是，建构主义也具有主观唯心主义的成分。在如何将建构主义运用到数学教学时，也有一些过分极端的提法。例如，在美国的数学论坛网站上对“什么是建构主义？”的回答是： “学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得,

19、教?的作用不再是演讲、解释，或者企图去, 传送 ?知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。”在这里，教师不要演讲了，也不能传送知识了，教师只要创设环境让学生去建构就行了。于是，教师在课堂上的“主导作用 ”不能再提了，教师只能是 “组织者、合作者、引导者 ”。这样的提法是有害的。我们主张 “学生是学习的主体 ”。俗话说 “师傅领进门，修行在个人 ”，就是这个意思。但是，教师有传承前人经验的任务，教师在课堂上赋有 “传授 ”知识的任务，也具有主导课堂教学的责任。所需

20、要的是教学应当应用启发式，符合学生主体认识的规律。总之，对于建构主义学说，我们应当吸取精华，拒绝一些“极端的 ”、“唯心的 ”成分，以便真正有助于我国的教育改革。我们不应该以建构主义的教学理论来抹杀传统的、优秀的教学思想和教学方法。12. 收集关于建构主义数学教学理论的资料，比较全面的了解一下建构主义答： 建构主义对于数学教育的一些基本认识有：（ 1）数学知识是什么？数学知识是人们对客观世界的一种解析，假设或假说，随着人们认识程度的深入会出现新的解析和假说；数学知识是学习者自身基于自己经验背景而建构起来的（ 2）儿童如何学习数学：学习是由学生自己建构知识的过程；学习是根据自己的经验背景，对外部

21、信息进行主动选择加工和处理，从而获得自己的意义；学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。（ 3）教师如何开展课堂教学：教师要关注学生的思想以及他们对自己研究的问题建构的数学意义，鼓励学生提出多种解题的方式，寻求对别人解法的理解，承担发现和改正错误的责任，教师必须理解学生的数学现实，理解人类思考数学的现实13. 中国的双基数学教学是否能成为一种理论？如何才能使它成为一种科学的理论？ 答：“双基”数学教学即关注学生的“数学基础知识”和“数学基本技能”的培养我觉得中国的双基数学教学能成为一种理论。我国双基教学理论的特点是：1.运算速度； 2.知

22、识的记忆； 3.适度形式化的逻辑要求； 4.重复训练， 以上是关于数学双基教学的四个认识维度，已经有了一些研究成果，但是还需要进一步做分析研究，以求得更加科学的认识。要使它成为科学的理论，就应该做到在数学教学中既注意逻辑训练，又能用创新的思想驾驭逻辑方法；主义“基本程式”的掌握和加强“自主探究”之间的平衡等14. 阅读波利亚的怎样解题 ，写一篇心得体会答： 为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困扰的问题，波利亚专门研究解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表 的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表的

23、，也可以说是对该表的进一步阐述和注释。在这张包括弄清问题 拟定计划实现计划回顾四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划” 波利亚认为，“对你自己提出问题是解决你的问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你的问题” 。而“假使能适当地应用同样的问句和提示来问你的学生，你就可以帮他解决他的问题”他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23 个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解

24、题的思维过程看得见摸得着。仔细想想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也考虑过表中某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚用这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这个过程是比任何具体的数学知识重要得多的东西。第三章课后习题答案1. 什么是学习？现当代有哪几种代表性的学习观？答： 广义上讲：学习是人类和动物所共有的一种心理活动，是指经验的获得，以及比较持久的行为变化过程。狭义上讲：学习仅指人类的学习。现当代有三种代表性的学习观，分别是：行为主义学习观：认为学习就是通过强化建立刺激与反应之间

25、的联系； 认知论点学习观：认为学习是一种“领悟”的过程，强调知觉整体性；建构主义学习观：认为人们对客观的认识是一个主动建构的过程，是在已有知识基础上的“生成”过程，而不是思维对于外部事物或现象的简单的，被动的反应。2. 中学数学学习有何特点，试举例说明中学数学学习与数学发现区别？答： 中学数学学习是学生学习的重要组成部分，是指中学生通过获得数学知识经验而引起行为，能力和倾向变化的全过程。它呈现出以下的特点：（ 1）需要不断提高运用抽象概括思维方面的水平（ 2）数学学习中再发现的要求比其他学科高，需要教师的点拔与指导（ 3）数学学习中需要发展学生的逻辑思维能力，应突出解题练习这个环节学生的数学学

26、习很大程度上是表现为在教师指导下的数学再发现过程，例如在学校通过学习，我们可以知道11-5=6， 1+5=6 ；但是细心的同学会发现这样的规律：12-6=7 ， 1+6=73. 中学数学学习有哪些类型，你认为采取什么类型的学习为宜，为什么？ 答： 中学数学学习的类型：从认知过程出发，把学习分为三类：符号学习，概念学习和命题学习；根据学习水平的高低以及学习内容的复杂程度吧学习分成八类：信号学习，刺激反应学习，连锁学习，言语联合学习，辨别学习，概念学习，规则学习和问题解决学习按学习目标将学习分成六类：知识学习，理解学习，应用学习，分析学习，综合学习和评价学习从学习需要的智力不同的特点出发，可分为：

27、知识学习，技能学习和问题解决学习按不同层次数学内容的表现形态将数学学习分为：知识学习，数学活动经验学习和创造性数学活动经验学习按学习效果不同可分为：有意义学习和机械学习根据学习方式不同可分为接受学习和发现学习4. 你认为中学数学学习中应抓好那些环节，在每一环节中又要注意哪些方法？答： 我觉得中学数学学习应抓好以下五个环节：预习上课复习作业系统复习预习方法：（ 1）要认真读书，先将教材精读一遍，然后反复细读；（ 2）要认真思考； （ 3）虚心请教。上课要注意努力做到： （ 1）集中精力专心听讲，力图通过提高课堂学习效率来减轻课下负担（ 2）积极思考，努力把握获取知识的主动权（ 3）对老师未能讲清

28、或自己尚未理解的问题要善于及时提出（ 4）要理清老师的讲课思路复习一般是指学生在教师的指导要求下，对已学过的知识再一次学习，以强化记忆，加深理解，融会贯通，从而使知识系统化的学习方法。复习的方法有： （ 1）尝试回忆，即把老师上课所讲的内容重现一遍；（ 2）整理课堂笔记； （ 3）看参考书。作业：（ 1）在做各类习题时，要做到准确，规范，快速；（ 2）在教师指导下， 组织和参加一些有益的数学实践活动，是数学进入生活， 增强数学的应用意识和数学的创新意识； 系统复习：主要包括单元，其中和学年复习。一般的，系统复习可分为回忆，阅读，熟记，整理和练习五个阶段5. 什么是知识结构与认知结构，两者之间有

29、何关系？答： 所谓的数学认知结构，指的是学生头脑中的数学知识按照自己理解的深度，广度，结合着自己的感觉，知觉，记忆，思维，联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。简单的说就是学生头脑中的数学知识结构数学知识结构是由数学概念，公理，定理，法则和方法形成的知识体系，是一种客观存在。数学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物。6. 试举例说明，中学数学学习的大致过程，在此过程中的各个阶段中你认为应注意些什么问题？答： 我们认为数学学习的过程是一个数学认知过程，依据学生认知结构的变化，数学学习过程可以概括为如下的一般模式新 学 习 内容输 入阶 段原 数 学 认知结构相互作用阶

30、段产生新 的数学认识结构操作阶段形成新 的数学认知结构情境从上图可以看出数学学习过程包括三个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用和操作阶段，这三个阶段是紧密联系的， 任一阶段的学习出现障碍，都会影响学习的质量。其中第二阶段是关键，无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有数学认知结构，教学中，教师首先要考虑到学生知道了什么？掌握到什么程度？然后再考虑数学内容的难易程度和呈现序列等问题，促进学生原有认知结构和新知识互相作用的顺利进行。7. 简述中学数学课堂学法指导的基本要求答： 在课堂教学中对学生进行学法指导，是为了提高学法指导的技艺效果。对学生进行学法指导应遵循下列基本要求：（ 1）明确学法指

31、导的目的，调动学生学习的积极主动性；（ 2）学法指导要遵循学习规律，运用学习理论；（ 3）学法指导要与学情研究相结合，注意因材施教；（ 4）学法指导应渗透于课堂教学之中，使其经常化，具体化。8. 举例说明中学数学学习的方法有哪些？各有何利弊？ 答： 中学数学学习的方法有：（ 1）五环节学习法：预习上课复习作业系统复习；（ 2）四结合学习法：学与思的结合；学与问的结合；学与习的结合；学与行的结合；（ 3）自我激励学习法。第四章课后习题答案1. 什么是数学概念？数学概念是怎么产生的？举例说明答： 数学概念是从空间形式与数量关系方面揭示事物本质属性特征的思维形式。数学概念的产生，一般来说有两种情形：

32、一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的，如自然数、点、线、面等；另一种是在已有数学概念的基础上，经过逐级的抽象概括而形成的，如“三角函数”、“平行四边形”等。2. 数学概念的内涵和外延是什么？指出方程，矩形，圆，无理数，根式等概念的内涵和外延答： 内涵是概念所反映的事物的共同本质属性，即确定的含义；而外延是概念所反映的事物的全体的总和，即确定的对象范围。3. 指出下列每对概念之间的关系答：质数和合数： 不相容关系，且是对立关系。无限小数和无理数：相容关系，且是属种关系。无限小数是无理数的属概念，无理数是无限小数的种概念。有理数和无理数： 不相容关系，且是矛盾关系。有理式和无理

33、式： 不相容关系，且是矛盾关系。大于与小于： 不相容关系，且是对立关系。直角三角形与等腰三角形：相容关系，且是交叉关系。幂与乘方： 相容关系，且是同一关系。方程与恒等式：相容关系，且是属种关系。方程是恒等式的属概念，恒等式是方程的种概念。三角函数与周期函数：相容关系，且是属种关系。周期函数是三角函数的属概念，三角函数是周期函数的种概念。4. 数学中常用的定义方式有哪些？正确的定义要符合哪些要求？答： 常用的定义方式有： （ 1）属加种差定义方式； （2）发生定义方式； （ 3）关系定义方式； （ 4）约定式定义方式； （5） 递归定义方式。要符合的要求： （ 1）定义要相称，即被定义项与定义项

34、的外延必须完全相同，否则定义项外延大于被定义项外，即犯定义“过宽”的错误，反之，将视为“过窄”。比如，无限小数叫无理数，就是定义“过宽”；开不尽的方根叫做无理数，则是定义“过窄” 。（2）定义不能循环，即定义项不能直接或间接地包含被定义项，否则，就犯了循环定义的错误。比如，既用两直线垂直来定义直角，又用直角来定义两直线垂直就是不允许的。（3）定义应当确切、简明、完整。确切就是定义不能似是而非；简明就是指定定义项既不能包括互相推出的本质属性，也不能有多余的词语；完整就是不 能漏掉必须的条件。 （ 4）定义一般不用否定形式。通常要求用肯定形式来表示被定义项具有的本质属性，但也有极特殊的情况，事物的

35、本质属性揭示的就是它缺乏某种特性，那就是只有用否定形式了，比如，同平面内不相交的两直线 叫做平行线。5. 下列定义符合要求吗？为什么？（ 1）大于 90 度的角是钝角；（2 ）最简单的根式叫做最简根式；（ 3）有理数开不尽的方根叫做无理数；（4）不能表示成分数的数叫做无理数。答：（ 1）不符合要求。因为角度是周期性变化的，每变化360 度，所确定的角与原来的重合，故变化后的角度大于90度，但可以不是钝角。 （ 2）不符合要求。此定义不确切。（3）不符合要求。定义“过窄”了。（ 4）6. 何为概念的划分？正确的划分符合哪些要求？答： 概念的划分（分类）是揭示概念外延的逻辑方法，就是将一个属概念根

36、据一定的标准（属性）划分为若干外延不相重合的种概念以达到明确概念的目的。一个正确的概念划分，通常由三个要素构成，即划分的母项、子项和根据。 要符合的要求： （ 1）划分应当是相称的，即各子项外延之和必须等于母项外延。例如，将自然数划分为质数与合数就是不相称的。（ 2）子项必须不相容，即各子项外延集不能有相容的情况，否则会出现母项中某个体落入两个以上子项外延的情况。（ 3）每次划分只能用一个根据标准，否则会造成混乱，甚至错误。（4）划分要逐级进行，不能越级。每次划分，母项与子项必须具有最邻近的属种关系。7. 指出下列划分错误的原因：（ 1）代数式分为整式、分式和无理式；（ 2）自然数分为质数与合

37、数；（ 3）凸四边形分为平行四边形与梯形。答：（ 1）违反划分要逐级进行不能越级的原则；（2）违反“划分应当是相称的”的原则；（ 3）违反“划分应当是相称的”的原则8. 举例说明什么是判断？数学判断有哪些形式？答： 判断是对客观事物的一种认识，是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，通常用一个陈述句表达。9. 命题的四种基本形式是怎样的？它们之间有什么联系？答： 四种基本形式分别是： （ 1）原命题；（ 2）否命题； （ 3）逆命题； （4）逆否命题。联系：原命题的真实性与其否命题和逆命题的真实性无必然联系，而原命题也逆否命题、逆命题与否命题是等价的， 它们必定同真或同假。10. 写出下列命题的

38、逆命题、否命题、逆否命题。(1) 全等三角形一定相似。22答： 逆命题：相似三角形一定全等；否命题：不是全等三角形一定不相似； 逆否命题：如果两个三角形不想似，那么这两个三角形一定不全等。（ 2）如果 a +b =0, 那么 a=b=0(a,br)。2答： 逆命题：如果 a=b=0(a,br)，那么 a222+b =0；否命题：如果 a +b0，那么 a0 或 b0(a,br)；22逆否命题：如果 a0 或 b0(a,br)，那么 a +b0。（ 3）如果 a 和 b 都是奇数，则 ab 也是奇数。答： 逆命题：如果 ab 是奇数，则 a 和 b 也都是奇数；否命题：如果a 和 b 不都是奇数

39、，则ab 也不是奇数； 逆否命题：如果 ab 不是奇数，则 a 和 b 不都是奇数11. 证明下列等价命题：（ 1） ( pp 1 )( pp 2 )p( p1p 2 ) ；（ 2 ） p(qr )( pq )r答：（ 1）（ 2）( pp1 )( pp 2 )p(qr )(pp 1）(pp 2）pqr(pp(p1）pp p1 )(pp2 p1）p 2 pqr( pq )rp(pp1 )(pp 2 )( pq )r(pp 1 )p( p 1p( p 1(pp 2 )p 2 )p 2 )12. 一下说法对吗？若不对，正确的说法应是什么？2a（ 1） a >4 是 a>2 的充分条件；

40、（ 2） a>b 是b>1 的必要条件；（ 3） a=b 是 ab 的充要条件；（ 4） cos >0 是 为锐角的必要条件。2答：（ 1）此说法不对。正确说法应是：a >4 是 a>2 的必要而非充分条件；a（ 2）此说法不对。正确说法应是：a>b 是>1 的不充分也非必要条件；b（ 3）此说法不对。正确说法应是：a=b 是 ab 的充分而非必要条件；（ 4） 此 说 法 正 确 。13举“分断式命题”两例（限于中学课本内容）。答：（ 1）（ 2） 14何谓推理？推理有哪些种类？答： 推理是由一个或几个已知判断得出一个新判断的思维形式。推理的种类：

41、（ 1）演绎推理，包括三段论和关系推理；（ 2）完全归纳推理； （ 3）不完全归纳推理； （4）类比推理。15. 证明如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。（用“三段论”证明，且不省略大前提和小前提）证明： 如图， l1 l2， l3 l1两直线垂直，其所成的角必为90°（大前提）1l 1l3l1（小前提） 1=90°（结论）2l 2两直线平行，同位角相等。 （大前提）ll1l2（小前提）3 2= 1=90°（结论） l3l2命题成立。第五章课后习题答案1. 你认为影响中学数学课堂实施的因素有哪些？ 答：（ 1）概念理解对中学数学课堂实

42、施的影响数学是一门基础学科，学生对定义，定理，概念把握不到位会影响数学课堂实施。（ 2）自主学习与有效学习对中学数学课堂实施的影响自主学习，是指学生个体在学习过程中一种主动而积极自觉的学习行为, 教师必须结合数学教学引导学生逐步理解和掌握获取数学知识的方法，使学生形成一种自主学习的技能。（ 3）例题与练习的安排对中学数学课堂实施的影响精选适量的例题与练习能使教师和学生在花费最少时间和精力的情况下获得最好的教学效果，从而提高课堂有效性。（ 4）情景创设与创新授课对课堂有效性的影响知识是学生在一定的情境，借助别人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。所以教师对课堂的情景创设与创新授

43、课也会影响到课堂实施2. 何谓中学数学的教学原则？确立中学数学教学原则的依据是什么？研究中学数学教学原则有何意义？答：（ 1）数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践（ 2）根据数学教学目的和数学学科特点，及学生学习数学心理特点来确定（ 3）数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自数学教学实践，反过来又指导数学教学实践，贯彻正确的数学教学原则，有利于提高教学质量，实现教学目的。3、五种基本数学教学原

44、则的关系如何？谈谈在教学实践中如何具体落实这些原则？答：（ 1）认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提在教学中，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。（ 2）应用理论与实践相结合的原则，要求我们在数学教学中遵循实践认识再实践再认识的规律，充分注意数学应用的广泛性，充分注意数学原理与数学应用的辨证关系，充分注意数学理论来源于实践又应用于实践（ 3）巩固与发展相结合原则这一原则是适合学生的心理发展规律的在数学学习中，学生心理发展既有连续不断的继承性特点，又有产生质变的阶段性特点以心理发展动力看，也产生于两方面，一是已

45、有的知识、智力水平或结构， 二是在一定智力水平上所产生的新的动机和需要，这两方面相互依存不具备一定的知识，智力水平就不可能产生新的动机和需要，而当已具备了一定知识，智力水平后，不及时加以引导、激发新的动机和需要，就会阻碍知识、智力水平的发展因此贯彻这一原则，对形成学生心理发展的内部动因，促进学生心理发展中“新质”的出现是有积极意义的4、简述五种基本数学教学模式的特点。谈谈数学教学模式与数学教学方法的关系。 （ p179）答： 依据教师在课堂上所起作用的强弱，学生参与程度的大小、数学教学模式可以分为五种基本教学模式：（ 1）讲解 传授模式：组织教学导入新课讲授新课巩固练习布置作业。讲授模式是一种

46、以教师单面活动为主要方式的教学模式，其主要特点是注重知识系统传授和教师的主导地位。（ 2）讨论 交流模式：提出问题启发引导学生分析思考问题鼓励学生讨论和争辩，对学生得出的各种想法及时纠正认可对学生所得结果进行评价，得出正确的问题解决方案。特点：教师变为教学活动的组织者，引导者， 学生由知识的被动接受者变成了某种程度的参与者，建构者。（ 3）活动 参与模式：指在教师的指导下，通过自主参与教学实验，数学游戏，问题解决等活动方式，来获取数学知识，培养数学能力的一种教学模式。特点：能直接利用感官和肢体活动带动思维，容易提高学生的学习兴趣。（ 4）引导 发现模式：提出问题，创设情境探究分析，发现猜想归纳

47、讨论，得出规律回归问题，形成新知。特点：注重知识的的发生，发展过程，让学生自主发现问题，主动获取知识。（ 5）自学 辅导模式：在教师辅导下，学生通过自学，自练，自改作业，自主获得知识技能，发展能力的一种教学模式 。特点：有利于培养学生的自学能力和习惯，是学生学会独立思考。关系：教师根据课堂教学的内容，组合所需运用的教学模式，制定出相应的教学策略和措施，即为教学方法5、何谓教学方法？研究中学数学教学方法有何意义？答： 教师依据课堂教学内容，组合所需运用的教学模式，制定出相应的教学策略和措施，称之为教学方法。意义：数学教学方法是教学过程中师生之间相互联系的活动方式。教学方式和性质多样化，决定了教学

48、方法也必然有 多种多样。随着新课程标准理念的逐步贯彻，数学教学实践的进一步发展，各种行之有效的数学教学方法会不断出现， 推动数学教育教学水平的提高。在教学实践中，教师必须根据自身的素质条件和学生实际情况，针对不同教学内容教 学目标不断做出选择和优化创新，教师在学习吸取别人优秀教学经验的同时，切勿机械模仿，死搬硬套，既要遵循教 学规范，又要因地制宜，扬长避短，逐步创造形成具有个性特征的教学方法体系。6、中学数学教学中传统的教学方法有哪些？各有哪些优缺点？答： 在长期的传统教学实践中形成的，以传授知识为主要目标的课堂教学方法，称之为传统教学方法。主要有讲解法、谈话法、练习法、讲练结合法、教具演示法、读书指导法等。这些方法各有优点和不足之处。由于传统教法都是相对基本的教学方法，具有操作性强的特点。需注意的是不论采用哪种教学方法，都要注意贯彻启发性教学原则，注意调动学生学习的积极性、主动性，启发学生的思维。另外，要注意对学生学法的研究，每一种教法都和相应的学法相联系，重视对学生学法的指导。7、你所了解的在数学教学改革中产生的新的数学教学方法有哪些？其核心