高三复习理科数学三角函数学案-简单地三角恒等变换

1、实用标准文案简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用 .2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 _；(2)cos 2_11_；k(3)tan 2_ ( 2且 k4)22公式的逆向变换及有关变形 sin 2(1)sin cos _? cos ； 2sin 2 2(2) 降幂公式： sin _，cos _；升幂公式： 1cos _ ，1cos _；2 2变形： 1±sin 2sincos ±2sin cos _.自我检测1(2010 陕·西)函数 f( x)2sin

2、 xcos x 是 ( )A 最小正周期为 2的奇函数B最小正周期为 2的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数2函数 f(x)cos 2x2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A 3,1 B2,232C3，32D2，3函数 f(x)sin xcos x 的最小值是 ( )A 1 B1 12 C.2 D14(2011 清·远月考 )已知 A、B 为直角三角形的两个锐角， 则 sin A·sin B ( )A 有最大值12，最小值 0B有最小值12，无最大值C既无最大值也无最小值D有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简2x4cos4x 的最大值

3、和最小值 例 1 求函数 y74sin xcos x4cos4cos4x2cos 2x1变式迁移 1 (2011·泰安模拟 )已知函数 f(x ). x sin x sin4 4精彩文档实用标准文案11(1) 求 f 的值；12(2) 当 x 0，时，求 g(x)412f(x)sin 2x 的最大值和最小值探究点二 三角函数式的求值例 2 已知 sin( 2) ·sin(42)1 ，( ，4 4 42tan 11 的值)，求 2sin2 tan 变式迁移 2 (1)已知 是第一象限角，且 cos 5，求13sin 4的值cos 2435(2) 已知 cos(4)， 3 &l

4、t; ，求 cos(22 24)的值探究点三 三角恒等式的证明例 3 (2011·苏北四市模拟 )已知 sin(2 )3sin ，设 tan x，tan y，记 yf(x)(1) 求证： tan( )2tan ；(2) 求 f(x)的解析表达式；(3) 若角 是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域变式迁移 3 求证： 1cos x .sin xsin 2xsin xcos x1 sin xcos x 1转化与化归思想的应用例 (12 分)(2010 ·江西)已知函数 f(x)112xmsin xtan x sin4 sin x4 .(1) 当 m0 时，求 f(x

5、)在区间，83上的取值范围；4(2) 当 tan 2 时，f()【答题模板】35，求 m 的值解 (1)当 m0 时， f(x) 1cos x2xsin x sin精彩文档实用标准文案2xsin xcos xsin1cos 2xsin 2x2122sin 2x 1 ，3 分4由已知 x3，得 2x8 45 0， ，4 分4 4所以 sin 2x 42，1 ，5 分21 2从而得 f(x)的值域为 0，2.6 分(2) f(x)sin2xsin xcos xm2 cos 2x1cos 2x 1 m 2sin 2x 2 cos 2x 2 1 1 sin 2 x(1m )cos 2x ，8 分 2

6、22sin cos 2tan 由 tan 2，得 sin 2 2 2 2sin cos 1tan 2sin2 2cos 1tan 3cos 2 .10 分 2sin2 2cos 1tan 545，所以35124 35 51m 12，11 分解得 m2.12 分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是： (1)能求出数值的要求出数值； (2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少； (3)分式中的分母尽量不含根式等1 求值中主要有三类求值问

7、题：(1) “ 给角求值 ”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2) “ 给值求值 ”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于 “ 变角 ”，使其角相同或具有某种关系(3) “ 给值求角 ” ：实质是转化为 “ 给值求值 ”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则： (1) 在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元

8、素法， “1”的代换法等(2) 常用的拆角、拼角技巧如： 2( )( )，( )，( )，2 ， 是 2 2 2的二倍角等4(3) 化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异精彩文档实用标准文案(满分： 75 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分)1(2011 平·顶山月考 )已知 0<<，3sin 2sin ，则 cos( )等于 ( )A.13 B1 13 C.6 D1625，tan 2已知 t

9、an( )41 ，那么 tan 4 4等于 ( )A.1318B.13223C.2216D.3(2011 石·家庄模拟 )已知 cos 212 (其中 ，0 )，则 sin 的值为 ( )4A.12 B12 C.32 D322x 212sin，则 f4若 f(x)2tan x x xsin cos 2 212的值为 ( )A 4 33B8C4 3 D4 3 5(2010 福·建厦门外国语学校高三第二次月考 )在ABC 中，若 cos 2B3cos(AC)20，则 sin B 的值是 ( )A.12B.22C.32D1题号 1 2 3 4 5答案二、填空题 (每小题 4 分，

10、共 12 分)3，则 tan 2_. 6(2010 全·国 )已知 为第二象限的角，且 sin 5 27函数 y2cos xsin 2x 的最小值是 _8若cos 2sin 42，则 cos sin 的值为 _2三、解答题 (共 38 分)9(12 分)化简： (1)cos 20 co°s 40 c°os 60 c°os 80 ；°(2)34cos 2cos 4.34cos 2cos 410(12 分)(2011 南·京模拟 )设函数 f(x) 3sin xcos xcos xsin(1) 求 f(x)的最小正周期；x 1.2 2(2

11、) 当 0，时，求函数 f (x)的最大值和最小值211(14 分)(2010 北·京)已知函数 f(x)2cos 2xsin2x4cos x. (1) 求 f( )的值；3精彩文档实用标准文案(2) 求 f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理 2sin2 2cos2 2sin21(1)2sin cos (2)cos(3)2tan 21tan1 1cos 22. (1)sin 2 (2)2 21cos 2222cos222sin22(sin ±cos )自我检测1C 2.C 3.B 4.D课堂活动区例 1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好

12、不含分母，能求值的尽量求值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解 y74sin xcos x4cos2x4cos4x2x(1cos2x) 72sin 2x4cos2xsin2x 72sin 2x4cos226， 72sin 2xsin2x(1sin 2x)由于函数 z( u1) max(11)26 在1,1 中的最大值为 z 2610，最小值为 zmin(11)266，故当 sin 2x1 时，y 取得最大值 10，当 sin 2x1 时， y 取得最小值 6.变式迁移 1 解 (1) f(x) 22cos 2x11cos 2x x sin x

13、 sin4 4cos22x x cos x sin4 42cos 2cos22x 22x 2cos 2x，cos 2x2x sin211f 2cos 12112cos6 3.6(2) g( x)cos 2xsin 2x 2sin 2x4 .x 0， ， 2x 4 4，43，4当 x时，g(x)max 2，8当 x0 时，g(x)min 1.例 2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2) 如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数 解 由 sin( 2) ·sin( 2) 4 4 sin( 2) ·cos(

14、2) 4 41 4)sin(2 21 1 cos 4，2 4精彩文档实用标准文案cos 41 5，又 (， )，故 ，2 4 2 121 22sin 1 tan tan 2cos2 sin cos 2 sin cos cos 22cos 2sin 2 52cos 5 6 cos 6 5sin 65 3 2 .变式迁移 2 解 (1) 是第一象限角， cos 12sin 13.5，13sin 4 cos 2422 sin cos cos 22sin cos 22 2cos sin2 22 2cos sin 513121313 2 14. sin 2sin (2)cos(2 )cos 2cos4

15、4 42(cos 2sin 2)，2 3 < ， 2 23 4 74<4. 3又 cos(4)5>0，故可知3 7 << ，2 4 4sin()445， 从而 cos 2sin(2 2)2sin(4)cos(4)2×(45)×352425.sin 2cos(22(12cos4)32 712×(5) 25.)2cos(2)42(cos 2sin 2)22×(224 7 )25 25精彩文档实用标准文案31 2.50例 3 解题导引 本题的关键是第 (1)小题的恒等式证明， 对于三角恒等式的证明， 我们要注意观察、 分析条件恒等

16、式与目标恒等式的异同， 特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第 (2) 小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第 (3)小题则利用基本不等式求解即可(1) 证明 由 sin(2 )3sin ，得 sin( )3sin ( )，即 sin( )cos cos( )sin 3sin( )cos 3cos( )sin ，sin( )cos 2cos( )sin ，tan( )2tan .(2) 解 由(1)得tan tan 2tan ，即1tan tan xy2x

17、，1xyyx2，即 f( x)12xx2.12x(3) 解 角 是一个三角形的最小内角，0<，0< x 3，3设 g(x)2x1x，则 g(x)2x1x2 2(当且仅当 x2时取 “”)2故函数 f(x)的值域为 (0，24 变式迁移 3 证明 因为左边2sin xcos xsin x cos x1 sin x cos x1 2sin xcos xsin2x cos x1 22sin xcos xsin2xcos2x2cos x 1 2sin xcos x sin x 2x2cos x2cos1cos xsin x 1cos x1cos x 1cos xsin x 1cos x 1

18、cos x 2x 右边sin sin x所以原等式成立课后练习区1D 0<<，3sin 2sin ，16sin cos sin ，又 sin 0，cos ，6cos( )cos( )cos 16.2C 因为 ，4 4所以 ( ) 4 .4所以 tan tan 4 4精彩文档实用标准文案 tan tan 4 . 3 221tan tan 412 cos 212sin3B ，2sin 21214. 又 ，0 ，412sin . 2x12sin 22tan x4B f(x)2tan x12sin x2cos x sin x2 sin xcos x4sin 2xf124sin8.65C 由

19、 cos 2B3cos(AC)20 化简变形，得 2cos2B3cos B10， 1cos B 或 cos B1(舍)2sin B3.2624 7解析 因为 为第二象限的角，又 sin 3， 5所以 cos 4 sin ，tan 5 cos 34，2tan 所以 tan 221tan24 7.71 2 2xsin 2xsin 2x1cos 2x解析 y2cossin 2xcos 2x1 2sin 2x1，4当 sin(2 x4)1 时，函数取得最小值 1 2.128. cos 2解析 sin 422cos sin2sin cos 2 2(sin cos ) 1cos sin 2.2，29解 (1)sin 22sin cos ，cos sin 2， (2 分 )2sin