河南省中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

1、专题八二次函数综合题类型突破类型一新定义问题(»1 (2017-河南)如图，直线y= 2x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y= - x2+ 33bx+c经过点A, B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m, 0)为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P, N.点M在线段OA上运动，若以B, P, N为顶点的三角形与 APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点 M,巳N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M,巳N三点为“共谐点”.请直接写出使得M巳N三点成为“共谐点”的 m的值.例1

2、题图用图【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标，由点A, B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由M点坐标可表示点 P, N的坐标，从而可表示出 MA MP PN, PB的长，分/ NBP= 90°和/ BNP=90。两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出点 M P, N的坐标，由题意可知有 P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM 的中点，可分别得到关于 m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) .4= 2x + c过点A(3, 0),与y轴交于点B, 30= - 2+c,解得

3、c=2, .B(0, 2). .抛物线 y=$2+bx+c 经过点 A, B,-12+3b+c=0, 解得c= 2,10 bF抛物线的解析式为 y =c= 2,4 2 10.x +x+ 2.33（2）由（1）可知直线的解析式为y = -|x+2,3,M（m 0）为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P, N. P（m, - -2m3+ 2) , N(m)一 不m Tmr-F 2), PM= mi-1- 2,AM= 3m>PN= m Tmi-1-2 ( mi-1- 2)= 3m +4m33333331 . BPN和APM相彳以，且/ BPN= Z APM

4、，/BNP= /AMP= 90° 或/ NBP= Z AMP= 90°当/BNP= 90° 时，则有 BNL MN2 .N点的纵坐标为2,4 210.，一§m+ mi+ 2=2,解得 m= 0(舍去)或 m= 2.5 ,.M(2.5, 0);当/NBP= 90°时，过点N作Ndy轴于点C,例1题解图则/NBCF / BNC= 90 , NC= m BC= 'm2+卫mi+ 2 2= 'mf+m) 3333 . /NBP= 90° , /NBCF Z ABO 90° , ./ABO= / BNC RtANCB-

5、 RtABOANC CBOF OA，、11m= 0（舍去）或m=.8-4mf+-m 33-，解得11町，0);11综上可知，当以 B,巳N为顶点的二角形与 APM相似时，点 M的坐标为（2.5 , 0）或（丁，0）；824 2 10由可知 M(m 0), P(m, §m+ 2), N(m, - 3m + -3 2),M巳N三点为“共谐点”， 24 0 10. 一一.一 .1，当P为线段MN的中点时，则有 2（一正 2） =-3m2+ym+ 2,解得m= 3（三点重合，舍去）或m= 2;当M为线段PN的中点时，则有一 |m+ 2+ （ -4n2+m+ 2）=0,解得 m= 3（舍去）或

6、01= 1; 333当N为线段PM的中点时，则有一|m+ 2= 2（ -4m + m+ 2）,解得 m= 3（舍去）或m=一：. 33341 ,1综上可知，当 M P, N三点成为“共谐点”时，m的值为5或一1或一4.针对训I练1. （2015 河南）如图，边长为8的正方形OABC勺两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点 A,点P是抛物线上点 A, C间的一个动点（含端点），过点P作PHBC于点F,点D, E的坐标分别为（0, 6）,（ 4, 0),连接 PD, PE, DE.（1）请直接写出抛物线的解析式;（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜

7、想：对于任意一点巳PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由;（3）小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整数”的点 P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使 PDE的周长最小的点 P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE 周长最 小时“好点”的坐标.备用图9 / 352. (2018 崇仁一中二模)如图，若抛物线 Li的顶点A在抛物线L2上，抛物线 L2的顶点B在抛物线Li上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线 Li, L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.(1)抛物线Li： y = x2+ 4x3与抛物线L2

8、是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4,求抛物线L2的表达式;(2)若抛物线y=ai(xm)2+n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y= a2(x - h) 2+ k,请写出ai与a2的关系式，并说明理由;(3)在图中，已知抛物线 Li： y=m)2-2mx- 3m(m>0)与y轴相交于点C,它的一条“伴随抛物线”为L2,抛物线L2与y轴相交于点D.若CD= 4项 求抛物线L2的对称轴.3. (2018 郑州模拟)如图，已知点C(0, 3),抛物线的顶点为 A(2, 0),与y轴交于点B(0, 1),点P是抛物线上的一个动点，过点P作PMLx轴于点M.(1)求抛物线的解析式;

9、(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1,连接PF, PCCF,求证：对于任意点常数. 记(2)中的常数为a,若将“使 PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个的周长最小的点 P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出 PCFP, PF与PM的差为巧点”，且使4PCF的周长最小时“巧点”的坐标.一，,，3 . 一， 1 。4. (2017 焦作一模)如图，直线y=ax+m与x轴、y轴分别交于点 A和点B(0, 1),抛物线y=2x2 + bx+c经过点B,点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图，点D在抛物线上，DE/y轴交直线AB于点E,且四边形

10、DFE的矩形，设点 D的横坐标为x(0 vx<4),矩形DFEG勺周长为1,求l与x的函数关系式以及l的最大值；将4AOB绕平面内某点 M旋转90°或180° ,得到 AOB1,点A, Q B的对应点分别是点 A, O, B.若AA 1OB的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.图图类型二线段、角度数量关系探究画后(2016 河南)如图，直线y=x + n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y=-|x2+bx + c 33经过点A,交y轴于点B(0, 2).点P为抛物线上一

11、个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDLPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当4BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图，将4BDP绕点B逆时针旋转，得到BD P',且旋转角/ PBP = / OAC 当点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.图图例2题图备用图【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由4BDP为等腰直角三角形，判断出BD= PD建立m的方程计算出 m,从而求出PD;(3)分点P'落在x轴和y轴两种情况计算即可.当点 P'落在x轴上时，过点 D

12、9;彳D' Nl±x轴，垂足 为N,交BD于点M先利用互余和旋转角相等得出/ DBD = /ND P' = / PBP ,进而表示出ND的长度，通过构造方程求解；的思路同.【自主解答】解：(1) .,点 C(0, 4)在直线 y = 4x + n 上，3 n= 4, y= - -x+ 4.34当 y=0 时，0= .x+4,3解得 x=3,，A(3, 0).2 2,抛物线y=x+bx + c经过点A,父y轴于点B(0, 2),36+3b+c=0,c= 2,4 b=- q, 解得 3c= - 2,，抛物线的解析式为 y=2x2-3x-2.（2） .点p为抛物线上一个动点

13、，且横坐标为 m，P(m, |mf 4m- 2) , D(m, 2), 33 .BA |m| ,PA |2mf4m- 2+2| =| 2n24m. 3333BDP为等腰直角三角形，且 PD£ BD .BA PD.当点P在直线BD上方时，PD- 1mgm. 33（i）若点P在y轴左侧，则 m<0 BD- - m.Imi ?mi= - m,33'1人,解得1 = 0（舍去），mt=2（舍去）.（ii） 若点P在y轴右侧，则 m>0 BD- m.翁-m= m 33解得3 =0（舍去），mt=7.2 2 4当点P在直线BD下方时，m>0, BA m, PD -m +

14、 -m. 33. . 2n2+4m= m,解得 5= 0（舍去），m6 = 1. 332八，一7,1,一一一，,7,1综上所述，m= 2或2.即当 BDP为等腰直角三角形时，PD的长为万或2.P 1（一小,中）,P2（V5,勺）,p4 小33832提示：.一/ PBP=Z OAC OA= 3, OC= 4,.AG= 5,.sin / PBP =4, cos/PBP = 3. 55当点P'落在x轴上时，过点D'作D N±x轴，垂足为点 N,交BD于点M,/DBD = /ND P'/ PBP如解图,. ND MD =2,例2题解图口3,2 24、，4、八即 5（3

15、m3m尸（5m）=2；m= 5（舍去）或 m=一邓;如解图,例2题解图. ND + MD = 2,即 5（3而一gm）十4.5诈2,miF 亚或 mp=45（舍去）， 4-J5+4 一 厂-45 + 4 P（- 5J5,3）或 P、5,3）.33当点P'落在y轴上时，如解图，过点D'彳D' Mix轴，交BD于点M,过点P'彳P'y轴，交MD的延长线于点 N,例2题解图./ DBD = /ND P' = / PBP . P' N= BM即 5(3m24m)= 3m2525 11E 百，“(5'32) 针对训I练1. (2014 河南

16、)如图，抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于点 A( 1, 0), B(5, 0)两点，直线y=-3x+34与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF，x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE= 5EF,求m的值；(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E'落在y轴上？若存在，请直接写出相应 的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11/352. (2018-洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax2+bx 2(a W0)与x轴交于A(1 , 0), B(3, 0

17、)两点，与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0, 1),该抛物线与 BE交于另一点F,连 接BC.BM设运动时P的坐标；若(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与 y轴平行的方向向上运动，连接 OM 间为t秒(t >0),在点M的运动过程中，当t为何值时，/ OMB90° ?(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P,使得/ PBF被BA平分？若存在，请直接写出点不存在，请说明理由.3. (2018-新野一模)已知抛物线 y=ax2+bx+2经过A(-1, 0), B(2 , 0), C三点.直线 y=m杆2交抛物线于A, Q两点，点P

18、是抛物线上直线 AQ上方的一个动点，作 PF，x轴，垂足为F,交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)如图，当点 P运动到什么位置时，线段 PN 2NF,求出此时点P的坐标;(3)如图，线段 AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G,使CMG勺周长最小？若存在，请求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由.图图4.如图，抛物线 y=ax2+bx + 3(a W0)与x轴交于点A(-1, 0), B(3 , 0),与y轴交于点C,连接BC.(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线上是否存在点 M,使得 MBC的面积与 OBC的面积相等，若存在，请直接写出

19、点M的坐标；若不存在，请说明理由;(3)点D(2, m府第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点巳满足/ PBC=/DBC如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.第4题图备用图37 / 35类型三特殊图形判定问题(23 (2018 河南)如图，抛物线y= ax2+6x+c交x轴于A, B两点，交y轴于点C,直线y=x5经过点 B, C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线 BC于点M.当AML BC时，过抛物线上一动点 P(不与点B, C重合)，作直线AM的平行线交直线 BC于点Q.若以点A,M P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐

20、标；连接AC当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB的2倍时，请直接写出点 M的坐标.例3题图备用图【分析】(1)利用一次函数解析式确定0(0, 5), B(5, 0),然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先解方程x2+6x5=0得A(1 , 0),再判断 OCB为等腰直角三角形得到/ OBC= / OCB= 45° ,则 AMB为等腰直角三角形，所以AM= 2也，接着根据平行四边形的性质得到PQ= AM= 2f2, POL BC作PDLx轴交直线 BC于D,如解图，利用/ PDQ= 45°得到 PA 2PQ= 4.设P(m, R+6m- 5),则D(m, m- 5)

21、, 讨论：当P点在直线 BC上方时，PD= m2+6m- 5- (m5) = 4;当P点在直线 BC下方时，PD= m- 5-(- n2 + 6m- 5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标；作ANLBC于N,NHLx轴于H,彳AC的垂直平分线交BC于M,交AC于E,如解图，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到/AMB=2/ACB再确定 N(3, 2), AC的解析式为y = 5x-5, E点坐标为(' 5),利用两直线垂直的问题可设直线EM的解析式为y=-1x+b,把E(1,1)代入求出b得到直22522y = x 5,线EM的解析式为y= 1x ，则解方程组112 得M点的坐标

22、；在直线BC上作点M关于N点55y=-5x-的对称点 M,如解图，利用对称性得到/ AMzC= /AMB=2/ACB设M(x , x-5),根据中点坐标公式得13太+x 6到3=2,然后求出x即可得到点 M的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标.【自主解答】 解：(1)当 x=0 时，y = x5= 5;当 y = x 5= 0 时，x = 5，B(5, 0) , C(0, 5).将B, C两点的坐标代入 y = ax2+6x+c中，得° 25a+30+c'解得a 1, c = 5,c= - 5,，抛物线的解析式为 y = x2+6x 5. 2(2)解万程一x+6x5=0 得

23、xi=1, x2=5,则 A(1 , 0),. B(5, 0) , C(0, - 5),OCB为等腰直角三角形，/OBC= /OCB= 45° .,.AML BCAMB为等腰直角三角形，AM= -22AB= "22 X 4 = 2 2.以点A, M,巳Q为顶点的四边形是平行四边形，AM/ PQ.PQ= AM= 2小,PQL BC作PDLx轴交直线BC于D,如解图，则/ PDQ= 45° , .PD=啦PQ= 4,设 P(m, R+6m- 5),则 D(m, m- 5).当P点在直线BC上方时，PD= nf+ 6m- 5 (m 5)=n2+5m= 4,解得 m=1,

24、 m>= 4.当P点在直线BC下方时;PD= m 5 ( ni+ 6m- 5) = n2 5m= 4, 解得 m = -2, n2 = 2综上所述，P点的横坐标为4或5+的或5严作ANLBC于N,NHLx轴于H,彳AC的垂直平分线交BC于M,交AC于E,如解图. .MiA= M1C, ./ACM=/ CAM, ./AMB=2/ACB. ANB为等腰直角三角形,，AH BHk Nk 2, ，N(3, 2), 15易得AC的斛析式为y=5x 5, E点坐标为（,，2）,设直线EM的解析式为y= 1x+b,5，一 15 15 -12把E份,一寸代入，倚行+b= 2,斛倚b=一二,直线EM的解析

25、式为y = 1x K,解方程组512y = x 5, 112得y=-5x 十13x=-6,17y一百，皿 1317,则 m(6，6);作直线BC上作点M关于N点的对称点M,如解图，则/ AM2C= 2/ACB设 M(x , x-5),13T + x63= -2- ,23. x 6 '、,，237、RM互，6）图图例3题解图针对训陈一,、11. （2013 河南）如图，抛物线y=-x+ bx + c与直线y = 2x+2交于C, D两点，其中点 C在y轴上，点D的坐标为(3, J),点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点 P作PUx轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若点

26、P的横坐标为 m当m为何值时，以O, C, P, F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由;若存在点P,使/ PC已45° ,请直接写出相应的点P的坐标.备用图2 . (2017 河南名校模拟)如图，二次函数 y = x2+bx+c的图象经过 A( 1, 0)和B(3 , 0)两点，且交 y轴于点C, M为抛物线的顶点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在BOC的内部 (不包含边界)，求m的取值范围；(3)点P是抛物线上一动点，PQ/ BC交x轴于点Q当以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行

27、四边形时, 求点P的坐标.3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2+bx + c与x轴交于A(-1, 0)、B两点，其顶点为(1,4),直线y = x 2与x轴交于点D,与y轴交于点C,点P是x轴下方的抛物线上一动点，过 P点作PFx 轴于点F,交直线CDT点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式； (2)若PE= 3EF,求m的值；(3)连接PC,是否存在点 巳使4PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案类型一针对训练1.解：(1)二边长为8的正方形OABC勺两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A, .C(0, 8)

28、, A(-8, 0),设抛物线的解析式为：y = ax2+c,一 1c= 8,a= - q,则解得： 864a + c = 0,c= 8,故抛物线的解析式为：y = qX2+ 8.8(2)正确，理由：设 P(a, 8a2+8),则 F(a, 8), .D(0, 6),P* a+(8a2-2)2 =勺(8a2+2) 2 = 8a2+ 2.PF= 8 ( - -a2+ 8) = a2, 88 .PD- PF= 2; 在点P运动时，DE大小不变，则 PE与PD的和最小时， PDE的周长最小, . PD- PF= 2,PD= PF+ 2,.PE+ PD= PE+ PF+ 2,第1题解图，如解图，当 P

29、、E、F三点共线时，PE+ PF最小, 此时点P, E的横坐标都为一4,将 x = 4 代入 y = - 1x2 + 8,得 y = 6,8 .P(- 4, 6),此时4PDE的周长最小，且 PDE的面积为12,点P恰为“好点,.PDE的周长最小时“好点”的坐标为(一4, 6)由(2)得：P(a, - 8a2 + 8),点D、E的坐标分别为(0, 6), (4, 0),第1题解图如解图，当一4<a<。时,S>A PDE S>a peo+ Sa pod Sa doe= 2X 4X (1-8a+ 8)+2>< 6X( a) -X4X6=4a 3a+ 4= 4(a

30、 + b) +13,4V SapdeW 12.当 a=0 时，Sapde= 4；第1题解图如解图，过点 P作PNLx轴于点N, 当一8vav 4 时，Sa pde= S 梯形 PNOD SPNE- SDOE.1 211. 一 12 11 2 一 .1 一2 一=(8a + 8+6) X( a) X 2 2*4X6 ( a 4) X( 8a +8) X 2 = 4a 3a + 4=4(a+b) +13,12v SapdeC 13;当 a = 8 时，Sapde= 12 ,.PDE的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个，面积为整数时好点有 11个，经过验证周长最小的好点包含

31、这11个之内，“好点”共有 11个.综上所述，共有11个，“好点”，P(-4, 6).2.解：(1)由y=x2+4x3可得点A的坐标为(2, 1),将 x = 4 代入 y = x2+4x 3,得 y= 3,.B点的坐标为(4 , - 3),设抛物线L2的解析式为y=a(x4)23.将 A(2, 1)代入，得 1 = a(2 4)23,解得 a=1,抛物线L2的表达式为y=(x -4)2-3;(2)a 1= a2,理由如下：,抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，2.，可列方程组n = a1412yl (m- 2)+- (m- 2) 5 ( m- 2) +1 =白

32、(m- 2) 4+g (m- 2) 2+ 1 =-J； (m- 2) 2+12=4(m- 2) 2+ 1,.PF PM= 1.，对于任意点P, PF与PM的差为常数.解：设直线CF的解析式为y= kx+3,将点F的坐标代入，得 2k+3=1,解得k=1,直线CF的解析式为y=x+3.由两点间的距离公式可知CF= 2 2. (nn- h) + k,2k = ai (hnj) +n,整理，得(ai + a2)(m h)2= 0.“伴随抛物线”的顶点不重合, nm h, a. i = a2.(3)抛物线Li： y=mX2mx 3m的顶点坐标为(1, 4m),设抛物线L2的顶点的横坐标为 h,则其纵坐

33、标为 mK 2mh- 3m,抛物线 L2 的表达式为 y= m(xh) 2+mh 2mh 3mli化简，得 y=mX2+2mhx- 2mh- 3 m,.点 D 的坐标为(0, -2mh- 3m),又点C的坐标为(0 , 3m),|( 2mh- 3m) ( 3m)| =4m,解得 h=±2,，抛物线L2的对称轴为直线x=±2.3. (1)解：设抛物线的解析式为y = a(x 2)2.1将点B的坐标代入得 4a=1,解得a =4.，抛物线的解析式为 y=1x 2)2,即y = 1x2-x+ 1. 44(2)证明：设点 P的坐标为(m, 4(m- 2)2), PMk 4(m-2)

34、2, M(m 0).依据两点间的距离公式可知PF=7 (m- 2) 2+4 (m- 2) 212=，2a= 2.1，设在 PCF中，边CF的上的高线长为x,则2><2V2x = 2,解得x=巾.如解图，过点 C作CGLCF,取CG= 2.则点G的坐标为（1, 2）.第3题解图过点G作GH/ FG设直线 GH的解析式为y=-x+b,将点G的坐标代入，得1 + b = 2,解得b= 1, 直线GH的解析式为y=-x+1,令一x+1 = 4（x 2）2,解得 x = 0, .PCF的一个巧点的坐标为（0, 1）.显然，直线 GH CF的另一侧时，直线 GHW抛物线有两个交点.F, C为定

35、点，二.CF的长度不变， 当PC+ PF最小时，N CF的周长最小. PF- P隹 1 , .PO PF= PC+ P 1 ,当C、P、M在一条直线上时， PCF的周长最小.，此时 P（0, 1）.综上所述， PCF的巧点有3个，4PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0, 1）.4.解：（1） ,直线 l : y=?x+m经过点 B（0 , - 1）,4''' m= 一 1,，直线l的解析式为y = |x-1.4.一3;直线1 ： y = x1经过点C,且点C的横坐标为4,3 ,一 . y= -X 4 1 = 2. 41 2.抛物线 y=2x+bx + c 经过点 C

36、（4, 2）和点 B（0, 1）,1 ,2,八.5X4 +4b+c=2b=一2 ,解得 4,c= 1c= 一 1，抛物线的解析式为 y = 1x2-4x- 1;人34(2)令 y=0,则X1=0,解得 x=-, 43点A的坐标为0), 3 41 1 OA=. 3在 RtOAB中，OB= 1 ,AB= OA+ OB = yj (3) 2+12 = 3.DE/y 轴， ./ABO= /DER OB 3_ OA 4 在矩形DFEGF,EF= DE-cos/DE曰 DE- = -DE,DF= DE-sin / DE曰 DE- -= -DE,AB 5AB 54 314 .l = 2(DF+EF) = 2

37、(-+-)DE= DE.5 55 点D的横坐标为t(0 Vt<4), D(t , 2t2-5t-1), E(t31 2 51 27 2 285y .DE=(不 T)(2 -4t -1)=-2t +2t,l = X ( 一 12+ 2t) =52 '1 = 5(t 2)2+g，且5O', 一 28，当t =2时，1有最大值石.(3) “落点”的个数为 4,如解图，解图，解图，解图所示.图图图第4题解图4如斛图)设点 A的横坐标为mi则点。的横坐标为m+",3酎5m- 1= ；(m+4)2 5(m + 4) - 1,242343解得m= 124如解图，设点 Al的横

38、坐标为 m则点Bi的横坐标为m+-, B的纵坐标比点Al的纵坐标大1,3. 1 2 5. 一 1, . 4、2 5, . 44 .2m 4m- 1+1=2(m+ 3) - 4(m+ 3)-1,解得 m= 3,，旋转180°时点A的横坐标为或*12 3类型二针对训练1 .解：(1)将点A, B的坐标代入抛物线解析式，得： 1 b+c=0,b=4,CL ,C 解得 L 25+5b+c=0,c=5,，抛物线的解析式为 y=x2+4x+5,2 2) ;点P的横坐标为mP(m, n2+4m+ 5), E(m, 4m+ 3), F(m, 0),PE= |y pyE| = |( m2+ 4m+ 5

39、) ( -m+ 3)| = |m2+ 但m 2| ,44，33EF= |y E- yF| =|( -4m+ 3)-0| =| -4m+ 3 ,19315由题意，得 PE= 5EF,即 | m2 + m+ 2| = 5| -mm- 3| = | - -mm-15|.2 1915- 一 一 2右一m+”T+ 2 = - -m+ 15,整理，得 2m 17m+ 26=0,若一mi+ -4-m+ 2 = ( nn+ 15),整理，得 m2- mi- 17=0,解得m孑或“匕尹.，升一，131-69、一“人口1+ 692由题息，得 m的取值氾围为一1V m< 5,故mi= , my=2这两个解不符

40、合题息,- my= 2 或 m=假设存在.作出示意图如解图：点E、E'关于直线PC对称, / 1 = /2, CE= CE , PE= PE'.PE平行于 y 轴，/ 1 = /3,，/2=/3, PE= CE,.PE= CE= PE' =CE ,即四边形 PECE是菱形.当四边形PECE是菱形存在时，3由直线CD的解析式y=- x+3,可得OD= 4, OC= 3,由勾股定理，得 CD= 5,过点E作EM/F/x轴，交y轴于点M,易得 CEMh ACD(O器CD即*CE5了,斛信CE= 4附，一 5 一 一 2 19.PE= CE= 4|m| ,又由(2)可知：PE=

41、 | -m + mi+ 2| ,2 . 19 .5.-I - m+m+ 2| =4|m|.若一mf+fi+ 2 = 4ml 整理，得 2m27m 4=0,解得 m= 4或 m= 2; 21952右m+”T+ 2 = - 4ml 整理，得 m- 6m- 2=0,解得 m=3 + /71, m2 = 301.由题意，得 m的取值范围为1vm< 5,故m= 3+/这个解舍去，当四边形PECE是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0, E, C, E'三点重合于y轴上，也符合题意，.P(0, 5).1 11 综上所述，存在满足条件的点巳可求得点P的坐标为(0, 5)或(2或I)或(4,

42、 5)或(3/，2/11-3).第1题解图2.解：(1)二抛物线 y=ax2+bx2(a W0)与 x 轴交于 A(1 , 0), B(3 , 0)两点,a+b 2=0,9a+ 3b-2= 0,解得2 a=3,8 b=b 3,，抛物线的解析式为y = - 3x2+3x - 2 ；(2)如解图，由(1) ,.,D为抛物线的顶点,2- D(2, -) , 3 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与 y轴平行的方向向上运动,2，设 M(2, m)(m>-), 3.oM= R+4, bM=R+1,。甘=9. /OMB90° , .OM+ BM2=OB, 2.2 m +4+ m

43、+ 1=9,解得m= '2或 m=一42(舍去)， .M(2,巾),.MD=啦-2. -t = >/2-|； 3图图第2题解图 存在点P,使得/ PBF被BA平分，如解图，/ PBO= Z EBO E(0, 1),，在y轴上取一点 N(0, 1).B(3, 0),1_，直线BN的解析式为y=3+1.3点P在抛物线y = 2x2+8x 2上,33联立，得y = - 2x2 + 8x-2,333x = 3y = 0x= 2解得 ，或1y=23 1下(2, 2) .3.解：(1) .抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A(1, 0), B(2, 0),ab + 2=0,» a

44、= 1,，将点A和点B的坐标代入，得解得4a+2b+2=0,b=1,，抛物线的解析式为 y=- x2+x+2.11(2)直线y=mx+ 2交抛物线与A, Q两点，把A(-1, 0)代入解析式，得 m= 2,11，直线AQ的解析式为y=2x+2. 一211设点 P 的横坐标为 n,则 P(n, n+n + 2), N(n, 2n+2) , F(n , 0), .PN= n2+n + 2(1n+2) =n2+2n+|, NF= 1n+ 2.PN= 2NF, n2+ -n+ 3=2X ( -n + -),解得 n= 1 或.'22222当n = 1时，点P与点A重合，不符合题意舍去.一，,1

45、 9点P的坐标为(2 4).(3) y=x2+x + 2, =(x2)2+4，.1 9、 m(2，4) 如解图所示，连接 AM交直线DE与点G,连接CG CMt匕时， CMG的周长最小.1 93 k=2,设直线AM的函数解析式为 y = kx+b,且过A( - 1, 0), Mg, 4),-k + b=0,根据题意，得 19-k+ b=直线AM的函数解析式为y=2x+2.D为AC的中点, d(-2，1).设直线AC的解析式为y=kx+2,将点A的坐标代入，得一 k+2 = 0,解得k= 2, 直线AC的解析式为y=2x+2.设直线DE的解析式为y = - -x + c,将点D的坐标代入，得-+

46、 c= 1,解得c = ,24413，直线de的解析式为y=7+4.b = 2,将y = 1x+3与y=3x+ 15在直线 DE上存在一点 G,使CMG勺周长最小，此时 G(-,).4.解：(1)二抛物线 y=ax2+bx+3(a W0)与 x 轴交于点 A(-1, 0), B(3 , 0),a b + 3= 0, 9a+ 3b+ 3= 0,a = - 1,解得联立，解得 x=-3, y = 1|, 2422816，抛物线的表达式为y=x?+2x+3;(2)存在.,抛物线的表达式为y=x2+2x+3, 点C的坐标为(0 , 3), - C(0, 3), B(3, 0), ,直线BC的解析式为y

47、=- x+3,过点O与BC平行的直线y = -x,与抛物线的交点即为M,y=- x,解方程组y-x，2x+3,3+ 21x=2,3 .21 x=2,可得-321一)，M(3)存在.如解图，设BP交y轴于点G.点D(2, m)在第一象限的抛物线上，2.当 x=2 时，m= 2+2X2+3=3,点D的坐标为(2 , 3),把 x = 0 代入 y = - x2+ 2x + 3,得 y= 3,点C的坐标为(0 , 3), .CD/x 轴，CD= 2,点 B(3, 0), .OB= OG= 3, /OBe /OCB= 45° . /DC品 /OBQ= /OCB= 45° ,又/ P

48、BG= / DBC BC= BQ .CGB2 CDB(ASA)CG= CD= 2.OG= OC- CG= 1,点G的坐标为(0,1),设直线BP的解析式为y= kx+ 1,将 B(3, 0)代入，得 3k+1=0,一 1解得k=一个3直线BP的解析式为y=-1x+1,3令-x+ 1 = x2+ 2x+ 3,3一 2 一斛得 X1= -X2= 3,3点P是抛物线对称轴X =2=1左侧的一点，即XV 1 , 2a2x=-3把x = 2代入抛物线y=-x2 + 2x + 3中，3-11斛得y =,9，当点P的坐标为( 3, 191)时，满足/ PBO /DBC.类型三针对训练1，人1.解：(1)在直

49、线解析式 y=2x+2中，令x=0,彳导y = 2,0(0, 2).点 0(0, 2), D(3, 2)在抛物线 y=x2+bx+c 上，c= 2,79+3b + c=2，,7b- Q ,解得 2c= 2,，抛物线的解析式为 y=- x2+|x+2.(2) PF/ OC且以 Q C, P, F为顶点的四边形是平行四边形，PF= OC= 2,，1， ，、，r 一，将直线y=x+2沿y轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点即为所求,由解图可以直观地看出，这样的交点有 3个，11将直线y = 2x+2沿y轴向上平移 2个单位，得到直线 y=2x + 4,1 ,y= 2x+ 4,联立解得x1= 1 , x2 = 2;y=- x2 + 2x + 2,一八、11将直线y = 2x+ 2沿y轴向下平仃移2个单位，得到直线 y = 2x,2y=2x，联立7y=- x2+2x + 2,解得x3=W, x4=(不舍题意，舍去),，当m的值为1或2或3+ 27时,以O C, P, F为顶点的四边形是平行四边形.存在.2 7_1理