数学系毕业论文1

1、浅谈二面角的求解摘 要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、 背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识. 2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国全国北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题

2、分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10%8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 普通高中课程标准对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作

3、用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义. 根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法 定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，=60°（1）证明：在侧棱的中点

4、，（2）求二面角的大小.分析：从二面角中半平面上的一已知点向棱作垂线，得垂足,在另一半平面内过该垂足作棱的垂线（如），这两条垂线便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略 （2）由，有，所以是等边三角形. 过点作交于点，则点为的中点，过点在平面内作，交于，有.因为，所以，且是的中点，有，即，又为的中点，故是的中位线，点是的中点，则即为所求二面角.由，有，在中，所以所以二面角的大小为.2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上则通常用三垂线定理

5、法求二面角的大小.APBl最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角，过面内一点作于，作于，连接，由三垂线定理得，则为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱中，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 底面为等腰梯形，, 分别是棱、的中点.（1） 证明：直线，（2） 求二面角的余弦值. 分析：过二面角中半平面上的一已知点作另一半平面的垂线，得垂足,再过该垂足作棱的垂线，得垂足，连结起点与终点得斜线段，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线、垂线、射影）,再解直角三角形求二面角的度数.解: 证（1）略（2）因为是棱的中点,所以故为正三角形

6、,取的中点, 则又因为直四棱柱中,所以,有, 过在平面内作,垂足为,连接,则为二面角的一个平面角, 在为正三角形中, 在中,因为 所以 , 在中, ,所以二面角的余弦值为.3.垂面法 通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥中，底面是矩形，,，分别是的中点.（1）证明：,（2）求平面与平面夹角的大小.解：(1) 略(2) 因为,所以, 又是矩形，所以，故，. 又由（1）知,所以直线与的角即为平面与平面的夹角. 在中，,有,所以平面与平面的夹角为.4.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 ，求出二面

7、角的大小.ACBP例4（2008北京理）如图，在三棱锥中，（1）求证：,（2）求二面角的大小.ACBEP分析：本题要求二面角BAPC的大小，用射影面积法，需求出平面的，平面的,解法如下.解：（1）略（2） 因为，取中点，连结又，所以是等边三角形，有则在中，.所以是在平面内的射影.由此可有，,，. 则，.设二面角的大小为，有,所以二面角的大小为.5.补形法 将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角.例5（2010安徽） 如图，在多面体中，四边形是正方形， ， ，为的中点. (1)求证：平面，(2)求证：平面，(3)求二面角的大小.解：（1）（2）略（3）因为,所以. 在

8、平面内过点作交延长线于,连接 .则为二面角的一个平面角. 设则又,所以,即 . 故,所以,所以二面角为.6.向量法向量法解二面角是一种十分方便简捷，也是非常传统的解法，可以说所有的二面角求解都可以用向量法，用向量法解二面角时，首先要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，其次将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，最后利用向量计算解题.例6（2010湖北）如图, 在四面体中，,，且.(1) 设为的中点.证明：在上存在一点,使,并计算的值,(2) 求二面角的平面角的余弦值. 解：(1)略（2） 记平面的法向量则由,且 得 故可取，又平面的法向量为. 所以 ，二面角的平面角是锐角，记为，则 .7.补棱

9、法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线时，需将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的方法解题.例7（2008湖南）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，.（1）证明：平面平面,（2）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的所求二面角的两个半平面和平面没有明确的交线，则需补充完整（延长相交于点，连结），再在补充完整的图形中上找适合的点，形成二面角的平面角解答.解: （1）略ABCEDPFGH（2）延长相交于点，连结，取的中点，连接,过点作于,连结.由（1）有平面，即，. 在等腰中，有.由三垂线定理的逆定理有,所以是平面和平面所

10、成二面角的平面角（锐角）. 在中，因为,所以. 在等腰中， 在中， 所以，在中， 故平面和平面所成二面角（锐角）的大小是二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，也是历年来高考考查的重要内容之一. 二面角的求解有很多不同的方法，本文介绍了定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小，在求解过程中要根据题目的特点选择适当的方法.综合本文可知，首先只要能够比较顺利的做出二面角的平面角，还是选用定义法、三垂线法为好.而向量的优点是，无需作出二面角的棱，也无需做其它的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题，但这方法也有缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与

11、相应向量之间的关系.从计算量上讲，射影面积法相比其它七种方法要小，而且技巧性更高，免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转换.但题目是“万变”的，当我们面对无棱的二面角时，我们就要使用垂面法、补形法、补棱法找出所隐含的平面角. 总之，所有方法都需要面对不同的题型灵活运用. 参考文献1 全日制普通高级中学教科书(数学)M第二册（上）人民教育出版社，2007.2普通高中数学课程标准（实验）M.北京：人民教育出版社，2008，43最新五年高考真题汇编详解M天利全国高考命题研究组西藏人民出版社，20104黄星寿.二面角问题的解题方法探讨J，宜州民族师范学校，文章编号1005-765(2000)02-0076-04.5名师指津.二面角计算M，筱瑶工作室整理出品.