高中数学 排列组合及二项式定理 知识点和练习

1、排列组合及二项式定理【基本知识点】1.分类计数和分步计数原理的概念2.排列的概念:从n 个不同元素中,任取m (m n 个元素(这里的被取元素各不相同按照一定的顺序.排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.3.排列数的定义:从n 个不同元素中,任取m (m n 个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示4.排列数公式:(1(2(1m n A n n n n m =-+ (,m n N m n * 5.阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘0!1=.6.排列数的另一个计算公式:mn A (!n m -7.组合概念:从n

2、个不同元素中取出m (m n 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合8.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m (m n 个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号mn C 表示. 9.组合数公式:(1(2(1!m m n nm m A n n n n m C A m -+=或!(!m n m n C m n -=,(n m N m n *且10.组合数的性质1:mn nm n C C -=.规定:10=n C ;11.组合数的性质2:mn C 1+=mn C +-m nC C n 0+C n 1+C n n =2n12.二项式展开公式

3、:(a+bn=C n 0a n+C n 1a n-1b+C n k a n-k b k+C n n b n13.二项式系数的性质:(n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,n n C .rn C 可以看成以r 为自变量的函数(f r ,定义域是0,1,2,n ,(1对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(mn mn nC C -=.(2增减性与最大值:当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC-,12n nC+取得最大值.(3各二项式系数和:1(11n r r nn n x C x C x x +=+ , 令1x

4、=,则0122n r nn n n n n C C C C C =+【常见考点】一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数(1有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(143(234 (334二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元

5、素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.(4,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种(53位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A.360 B.188 C.216 D.96【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144,符合

6、条件的排法故共有288三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.(6七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种(7书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答 【解析】: 111789A A A =504(8马路上有编号为1,2,3,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,

7、求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四.元素分析法(位置分析法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 素;再排其它的元素。 (92010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 【解析】:方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。2333A 36A

8、=方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A.(101名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?【解析】:老师在中间三个位置上选一个有13A 种,4名同学在其余4个位置上有44A 种方法;所以共有143472A A =种。.五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。(11 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 (12把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为 (A 510515A A(

9、B 3355510515A A A A (C 1515A (D 3355510515A A A A ÷24331212=A C C 122322=A A(138个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?【解析】:(1前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共66720A =种,选C .(2答案:C(3看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有1254455760A A A =种排法.

10、六.定序问题缩倍法(等几率法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.(14,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻那么不同的排法种数是( 【解析】:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种 (15书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?【解析】:法一:39A 法二:99661A A 七.标号排位问题(不配对问题把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定 排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.(

11、16 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种 【解析】:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .(17编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是(A 10种B 20种C 30种D 60种答案:B八.不同元素的分配问题(先分堆再分配:注意平均分

12、堆的算法(18有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?(1分成1本、2本、3本三组;(2分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;(3分成每组都是2本的三个组;(4分给甲、乙、丙三人,每个人2本;(5分给5人每人至少1本。【解析】:(1332516CCC(233332516ACCC(333222426ACCC(4222426CCC(52111115554321544C C C C C CAA(19四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有24C种,再排:在四个盒中每

13、次排3个有34A种,故共有2344144C A=种.九.相同元素的分配问题隔板法:(20把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?【解析】:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有120216=C种。(2110个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案

14、,故共有不同的分配方案为6984C=种.十.排数问题(注意数字“0”(22由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有(A、210种B、300种C、464种D、600种【解析】 ：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 A5 个， 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个，合并总计 300 个,选 B . 5 十一染色问题：涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论;高考资源网 （3）将

15、空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。 （23）将一个四棱锥 S - ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色， 如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两 种涂 A、B、C、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有 C5 A4 = 60 种方法。 1 2 (2若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜 色中任选两种染 A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 A4 种

16、染法；再从余下的两种颜色中 任选一种染 D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 1 2 1 1 C5 A4 C2C2 = 240 种方法。 2 (3若恰用五种颜色染色，有 A5 = 120 种染色法高考资源网 5 综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420. 十二 几何中的排列组合问题: （24）已知直线 x y + = 1 （ a，b 是非零常数）与圆 x 2 + y 2 = 100 有公共点，且公共点的 a b 横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条 【解析】 圆上的整点有： ( ± 6

17、, ± 8 ,( ± 8, ± 6,( ± 10,0,(0 ± 10 ： 2 C12 =66 1 12 个 ， 其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C12 =12 其中平行于坐标轴的有 14 条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60 【练习】 1、4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共 有 （A）12 种 （B）24 种 （C）30 种 （D）36 种 1 【解析】分两类：取出的 1 本画册，3 本集邮册，此时赠送方法有 C4 = 4 种；取出的 2 本画 册，2

18、本集邮册，此时赠送方法有 C4 = 6 种。总的赠送方法有 10 种。 【答案】B 2 6 2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么 一个正五棱柱对角线的条数共有（ A20 B15 ） C12 1 D10 【解析】先从 5 个侧面中任意选一个侧面有 C 5 种选法，再从这个侧面的 4 个顶点中任意选 一个顶点有 C 4 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对 角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共 8 个点，还剩下 2 个点，把这个点 和剩下的两个点连线有 C 2 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复

19、了一次， 所以最后还要乘以 择 A. 3、 (4 - 2 ( x Î R 的展开式中的常数项是 x -x 6 1 1 1 1 1 1 1 , 所以这个正五棱柱对角线的条数共有 C5 · C 4 · C 2 · = 20 ,所以选 2 2 （A） -20 【答案】C （B） -15 （C） 15 （D） 20 【解析】 Tr +1 = (-1 C6 (4 ： r r 4 4 x 6-r r (2- x r = (-1 r C6 2 x (12-3r 令 x(12 - 3r = 0 Þ r = 4 ，于是 展开式中的常数项是 (-1 C6 = 15

20、 故选 C 5 4、 已知 ( x cosq + 1 5 的展开式中 x 2 的系数与 ( x + 4 的展开式中 x 3 的系数相等，则 4 cosq = 【答案】 ± 5 5 2 r 解： ( x + 4 的通项为 C 4 × x 4- r × ( r ，Q 4 - r = 3, r = 1 ， 2 4 4 5 4 5 1 的展开式中 x 3 的系数是 C 4 × = 5 , 4 4 (x + ( x cosq + 1 5 的通项为 C5R × ( x cosq 5- R ，Q 5 - R = 2, R = 3 ， 3 ( x cosq +

21、 1 5 的 展 开 式 中 x 2 的 系 数 是 C5 × cos2 q = 5, cos2 q = 1 ， 2 cosq = ± 2 . 2 7 5、已知 (1 + kx （ k 是正整数）的展开式中， x 的系数小于 120，则 k = 2 6 8 【解析】 (1 + kx 按二项式定理展开的通项为 Tr +1 = C6 (kx = C6 k x ，我们知道 x 的 2 6 r 2 r r r 2r 8 系数为 C6 k = 15k ，即 15k < 120 ，也即 k < 8 ，而 k 是正整数，故 k 只能取 1。 4 4 4 4 4 6、若Cn +

22、 3Cn + 3 Cn + L + 3 1 2 2 3 n-2 n Cn -1 + 3n -1 = 85 ，则 n 的值为 答案 4 7、已知 (1 + 2 x = a0 + a1 x + a 2 x + a3 x + a 4 x ，则 a1 - 2a2 + 3a3 - 4a4 =-8 4 2 3 4 8、 对任意的实数 x ， x = a0 + a1 ( x - 2 + a2 ( x - 2 + a3 ( x - 2 ， a2 的值是 有 则 （ B ） 3 2 3 A3 B6 C9 D21 9、设 a1 , a 2 , L , a n 是 1 , 2 , L , n 的一个排列，把排在 a

23、 i 的左边且比 a i 小的数的个数称 为 a i 的顺序数（ i = 1 , 2 , L , n ） 如：在排列 6，4， 5， 3，2，1 中，5 的顺序数为 1， 3 的顺序数为 0则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足 8 的顺序数为 2，7 的 顺序数为 3，5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( C A48 B96 C144 D192 10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数” 现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120 个 【答案】C 11、 现有 4 种不同颜色要

24、对如图所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同 一种颜色，则不同的着色方法共有 A24 种 B30 种 C36 种 D48 种 B.80 个 C.40 个 D. 20 个 【答案】D 12、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一 个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （ ） 8 A24 【答案】C B30 C36 D42 13.从 8 名女生 4 名男生中，选出 3 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不 同的抽取方法数为 ; 【答案】112 14、现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ 3 5 8 6 3 3 3 8 4 （A） A6 × A5 （