八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2 a2 b2 c2 ,即2R Ja2 b2 c2 ,求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（C ）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为73,则其外接球的表面积是9解：（1） V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 , S 24，选 C;（2） 4R2 3 3 3 9, S

2、4 R2 9（3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SG BC的中点，且 AM MN，若侧棱SA 2石，则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：题-1如图（3） -1 ,取AB, BC的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD ,AC(3)题-2(4)在四面体S ABC中，SA 平面ABC ,的外接球的表面积为(D ) A11BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体

3、B.7c.103AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2, AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 禽)2 (273)2 (273)2 36,即 4R2 36,正三棱锥S ABC外接球的表面积是362(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3,那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示， 方形，则该几何体外接球的体积为解析

4、：(4)在 ABC 中，BC2 AC2BC J7 , ABC的外接球直径为2r三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正2AB 2AB BC cos120 7 ,BC7 2 7sin BAC33(2R)2 (2r)2 SA22440 c4 ，S340，选D3（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c ( a,b,c Rab 12bc 8 , abcac 624, a 3, b 4, c2, (2R)2b2c2 29, S 4 R2 29 ,(6) (2r)2 a2 b2c2 3，R2 j R4343.3V - R -338类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5

5、, PA平面ABC解题步骤:第一步：将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点,圆的直作小径AD ,连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：Oi为ABC的外心，所以OOi平面ABC,算出小圆Oi的半径OiD r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a bsin A sinBcsinC2r)1,OOi PA； 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2R JPA2(2r)2 ; R2 r2 OOi2R . r2 OO；2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点

6、P点也是圆锥的顶点解题步骤: 第一步：确定球心。的位置，取 ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆Oi的半径AOi r,再算出棱锥的高POi h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2 R2 (h R)2 r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA. 3B. 2 C. 16D .以上都不对3解：选 C, ( .3 R)2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2 3R 0 ,163类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)1 .题设：如图9-1 ,平面PAC 平面ABC，且

7、AB BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心 。必是PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 一a- -b-2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如图9-2 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)3 .如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心。的位置，取 ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线；第二步：先

8、算出小圆Oi的半径AOi r,再算出棱锥的高POi h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2R2 (h R)2 r2 ,解出R4 .如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且 PA AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2R)2 PA2 (2r)22R PPA2 (2r)2 ; R2 r2 OO12R . r2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为273,则该球的表面积为。(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为V2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正

9、弦定理或找球心都可得2R 7, S 4 R2 49 ,（2）方法一：找球心的位置，易知r 1, h1, h r ,故球心在正方形的中心 ABCD处,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，2R 2 , R 1 , V433（3）在三棱锥P ABC中，PAPB PCV3，侧方稔PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.B. 3C. 4D. 3解：选D,圆锥A, B,C在以r 、的圆上,2（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC 2,则此棱锥的体积为（A -

10、16b 3 cB.CD.解：OO-R2 r21（ ；）21Sh 3类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图10-1 ,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心。的位置，Oi是 ABC的外心，则OOi平面ABC;11第二步：算出小圆01的半径AO1 r, OO1 1AAih ( AA h也是圆柱的局)；22第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 (h)2 r2 R Jr2 (h)2 ,解出 R222例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

11、上，且jg六棱柱的体积为 9,底面周长为3,则这个球的体积为 81解：设正K边形边长为a ,正K梭柱的图为h ,底面外接圆的关径为r,则a -,h ® R2 弓)2 g)2 M23 ,1、2 3.3、，3.3,9底面积为S 6 (一), V柱 Sh h - ,42888R 1 ,球的体积为V 3AC AA 2, BAC 120 ,(2)直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB 则此球的表面积等于。解：BC 2a 2r2n4, r 2, R 典，S 20sin 120(3)已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB

12、60，则多面体 E ABCD的外接球的表面积为。 16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为1 V3, OO1 1,.3R 5 3 2 ;法一：01M ,2o2d43-2413_ _13 4, R 2, S 164(4)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB4, AC 6, A -,AA1 34则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的表面积为1603解析：BC2 1636«2 7BC 2,7 , 2r =-=-3T4. 7廿r27廿R2 r2 争2840c 160S3类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 (如图11)ABD的外心H1和第一步：先画

13、出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和H2；第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连 接 OE,OC ;第三步：解 OEH1,算出OH1,在Rt 0cHi中，勾股定理：OH 2 CH 12 OC2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC和 ABC均为边长为2的正三角 形，则三棱锥P ABC外接球的半径为2421斛析：2rl 2r2 ,r1r2, O2H,sin 60. 3、33R2 02H 2,153法二:02HAH1,2222R2 AO2 AH2 01H2Q0215R 321r13类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

14、题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB CD , AD BC ,AC BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c ,AD BC x ,ABCD y, AC BD z,列方程组,2 ab22 cb22 c2 a2 x2 y2 z22(2R) ab2补充:VaBCDabc 1abc63abe图12D第三步:根据墙角模型，2R2R2 22222厂'R J厂,求出R'例如，正四面体的外接球半径可用此法题例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角

15、形(正四面体的截面)的面积是(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(_34_312(1)题解答图解：(1)截面为 PCO1 ,面积是22 ;(2)高h R 1,底面外接圆的半径为R 1,直径为2R 2,设底面边长为a,则2R 2, a也，S近a2 3 sin 6044三棱锥的体积为V 1Sh会 34(3)在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2, ADBC 3, AC BD 4,则三棱锥A BCD外接球的表面积为292解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,则 a2 b2 9,

16、.22.222.222.22、b c 4 , c a 162(a b c ) 9 4 16 29 , 2(a b c ) 9 4 16 29 ,a2 b2 c2 292929222(4)如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5,AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外 接球的表面积为解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,222222_ 22(a2b2c2)25 36 49 110, a2b2c255, 4R255, S 55【55 ;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为、泛，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，

17、但也是对棱相等的模式，放入长方体中,12512963类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：APB ACB 90 ,求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接1OP,OC,WJOA OB OC OP 1AB, 。为二棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP 2中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要 不是平角球半径都为定值。例7 ( 1)在矩形 ABCD中，AB 4 , BC 3 ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为(125125解：（1

18、） 2R AC 5, R V - R3 -125 125-,选 C23386（2）在矩形ABCD中，AB 2, BC 3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥A BCD的外接球的表面积为.解析：（2） BD的中点是球心O, 2R BD t13, S 4 R2 13 ；类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1 第一步：求DH BD , PO PH r, PD是侧面 ABP的局； 3第三步：由 POE相似于PDH ,建立等式：-OE- EO ,解出r DH PD图152.题设

19、：如图15,四才8锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半 径第一步：先现出内切球的截面图，P,O, H三点共线；1 _第二步：求FH -BC , PO PH r , PF是侧面 PCD的局； 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 里，解出 HF PF3.题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为r ,建立等式:VpABCVoABCVoPABVoPACVoPBC第三步：解出r3VpABCSo abcSo pabSo pacSo pbc习题：1 .若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2, SB SC 4,则该三棱锥的外接球 半径为（）A. 3 B