延长退休年龄的数学模型

1、延长退休年龄的数学模型摘要 本文通过分析我国现阶段人口老龄化问题，通过查阅相关的资料，从人口结构转变引起的养老金支付压力，我国已具备延长退休年龄的必要条件，人口寿命延长加大养老金支付压力，人口红利进入收割期这四个方面分析，提出了有必要延长退休年龄的观点。随之建立了Leslie离散模型，通过编写程序，运用matlab软件计算预测出了2001年至2100年我国各个年龄段的人口数量，通过画图，来说明未来一百年老龄化的严重程度。在Leslie离散模型预测出的数据的基础之上，以养老金保险基金为切入点，建立了养老保险基金财务平衡模型，以五年为一个间隔，当退休年龄分别为60岁和65岁时，计算出从2010年到

2、2100的赡养率和基本养老金的平均替代率，通过对数据的分析和多方面的比较，提出了我国应该将退休年龄延长到65岁的建议。在退休年龄为65的基础上，针对如何公平公正确定退休金的发放和何时开始延长退休年龄这些问题，我们提出了分步骤，分阶段实行退休年龄延长的建议，应该实行弹性退休政策，应该根据不同地区和不同的人群制定合适的退休年龄，而不是实行一刀切的退休政策。最后我们对建立模型的过程中没有考虑到的问题进行了优化，写出了优化方案，补充完善了模型，最后，我们对模型的优缺点进行评价。关键词 老龄化 Leslie离散模型 matlab软件 养老保险基金财务平衡模型 一、 问题重述： 随着我国计划生育实施30年

3、，以及老龄化社会的来临，社会中所需的劳动力短缺和养老保险资金储备的压力，我国自二十一世纪初以来，社会人口结构进入老龄化阶段的表征日益显现，人均寿命延长和劳动年龄人口数量的增长速度不断递减。进入“十二五”期间后，我国更将是进入人口的快速老龄化阶段，劳动年龄人口的抚养比逐年上升，从而对我国经济发展方式的转变和产业结构升级带来巨大的压力，也对现行的社会养老保险基金的可持续运作提出了严峻的挑战。针对这种现状，我们面临以下几个问题：1、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要延长退休年龄。2、如果延长，延长时间如何确定，根据查阅的资料和建立模型说明说明延长的依据和时间。3、延长退休年龄大约需

4、要持续的时间段大致多久，如何才能保证公平公正确定退休金的发放。二、问题分析： 针对此问题，应该通过有关的资料及对数据的分析，首先确定是否应该延长退休年龄。运用leslie人口增长模型，以2001年为开始年，对以后一百年的人口结构进行预测，通过作出60岁以及65 岁以上的人口分布折线图，来说明人口老龄化的严重程度，借此来说明延长退休时间的必要性。我国人口年龄结构的变化给养老保险制度带来严峻的挑战。养老保险制度的出路成为目前紧迫的课题。如果我们能从养老保险制度本身的机理出发，分析我国养老保险体系改革可以采取的一些措施，将有助于养老保险基金财务平衡和转制成本的消化。根据基础养老金在现收现付制下的财务

5、平衡，当期的养老保险收入等于支付当期养老保险支出。建立养老保险基金财务平衡模型，由此来判断延长退休年龄的时间，通过预测未来的赡养率来决定退休年龄延长的时间。三、符号说明与模型假设3.1 模型说明3.1.1模型一的符号说明：1：在时间段第年龄组的人口总数2：第年龄组的生育率3：第年龄组的死亡率4：第年龄组的存活率5：Leslie矩阵6：2001年全国人口总数7：2001年城市总人口8：2001年镇总人口9：2001年乡总人口10：2001年第年龄段的人口总数11：时分别表示市、镇、乡的女孩出生率12：时段具有劳动能力的人口13：社会的抚养比指数14:总和生育率15：时段年龄组中女性所占的百分比3

6、.2.1模型二的符号说明：为个人账户养老金目标替代率的缴费率为当期养老保险缴费人数为当期养老金领取人数为养老保险缴费率为基础养老保险的平均替代率为在工作t期的总工资收入DB为赡养率个人账户养老金的平均替代率k为工资增长率m为工作年限n为退休后领取养老金的年限职工退休后平均余命为年为退休后第一年领取的养老金工作第一年的工资收入为 K为社会平均工资的增长率工资随职工工龄的增长率 为工资随年度的增长率表示这个人退休时社会中分别处于j岁职工的人数r为基金的收益率b为退休年龄a为平均开始工作的年龄3.2模型假设3.2.1模型一的假设：1、 首先，基本养老保险覆盖全体城镇职工。扩大覆盖面成为完善基本养老保

7、险的首要任务之一，为完成任务各省纷纷以“前补后延"的方法，把尚未参加基本养老保险范围的企业和个人纳入到制度中。2 、制度中的“新人”不承担转制成本，作为转制成本，“老人”的退休金和“中人"的过渡性养老金不应由“新人”承担，而由制度之外的措施解决。3、 不考虑国际间的人口迁出迁入。由于我国人口基数巨大，国际间的人口迁出迁入可以忽略。3.2.2模型二的假设：1 、不考虑大规模人口的迁入迁出，自然灾害，战争等因素。3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响4、 模型的建立与求解4.1问题一、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要

8、延长退休年龄。 通过查阅相关资料我们总结出了以下几点关于延长退休年龄的原因：一 、人口结构转变引起的养老金支付压力。中国实行计划生育政策以来，独生子女家庭层出不穷，出生率急骤下降，老龄人口相对迅猛增长，我国人口老龄化速度位居世界前列。通常认为人口结构对经济发展具有促进或消极的影响，而这种影响是通过储蓄增加、技术改进、劳动力供给三个因素而成的。伴着计划生育等原因，出省人口迅速减少，这种特殊的人口转变方式使儿童与老人之间的比例悬殊，代际转移压力大，老年与少儿抚养比相差时间缩小使我国总抚养比处于较低水平，在不断增长的总抚养比和不断减低的劳动力人口促进下很大程度阻碍经济增长，在目前退休年龄的演唱加长了

9、老年人口的工作时间也相应加长了老年抚养比之间的时间间距，从而相应减轻了社会养老基金的压力。二、延长退休年龄是大势所趋 ，我国已具备延长退休年龄的必要条件。随着经济社会的不断发展和生活水平质量的进步，人们的身体素质已经越来越好，不少人即使到了五六十岁仍然具备旺盛的工作精力和充沛的体能。三、人口寿命延长加大了养老金支付压力伴随着人口寿命的增长，老年人口相对增加，老龄话程度加大，人口老龄化日益严重，所以对养老金的要求也随之迅速增大，以现收现付制为主的养老金制度形势严峻，人口结构对现收现付制影响更为深厚，在很长的一段时间内，养老保险制度存在着巨大的挑战。例如，同样为60 岁退休，人口寿命从70 岁延长

10、至80岁，在同样的缴费制度、缴费比例下，赡养他的养老金将增加10年，中国正面临着严峻的人口老龄化，支付期延长，一个老人增加10 年，那么社会仰赖保险资金的给予是巨大的，所以延长退休年龄，缩短支付期才能有效的应对人口老龄化、养老金支付压力大的有效措施。四、“人口红利”即将进入收割期，新生代劳动力供给逐步减少人口红利是指出生育率、死亡率的降低和人口年龄结构的变化给绝大多数发展中国家提供了一个经济快速发展、生活水平迅速提高的机会窗口。人口负担的轻重是衡量人口红利与人口负债的惟一尺度，若以50%作为人口负担系数高低的一个门槛，那么中国的人口红利期大致是从1990 年开始，到2030 年左右全面结束，前

11、后持续大约40 年。我国从2010 年起，人口的少儿抚养比和老年抚养比开始分异，由老年抚养比的急速提升带动劳动人口总抚养比的提升。虽然就我国目前的劳动力供求结构状况来看，我国还处于供大于求的基本态势，然而随着人口老龄化的加剧，到2020 年左右，我国人口红利期基本结束; 到2030 年左右，我国的新生代劳动力供给更绝对减少，老年人口急剧增多。劳动力市场供求状况失衡，出现局部地区或部分就业岗位劳动力或人力资源短缺的现象。综上所述，延长退休年龄是非常有必要的。4.2 问题二，三：如果延长，延长时间如何确定以及如何公平公正发放退休金，根据查阅的资料和建立模型说明说明延长的依据和时间及发放方案。4.2

12、.1 Leslie离散模型模型建立与求解：我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，通过查阅相关数据，以一岁为间距对女性分组。4.1.1 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量：2001年中国人口抽样调查数据如表1表 1城市男147907城市女147465镇男80279镇女77976乡男394690乡女372242根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：我们由表2数据知2001年全国总人口（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：、根据2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性

13、比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分别为。以城市为例，设2001年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第年龄段上的妇女总人数（见附录1）。4.2.1.1计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数 通过查阅相关文献给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则可以分别算出2001年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：。以城市为例计算：（镇、乡类似）。由所查阅的2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），

14、据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。由此就可以求出2001年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：，由于总和生育率： 经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正：具体计算结果见附录1。4.2.1.2 计算第年龄段的女性总存活率 记年龄段的女性的死亡率为。由城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：，于是总存活率为：见附录1。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，于是可以用此式进行预测。通过计算分析，可知人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国

15、60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：通过图形可以看出，因为老年人口的增多，若不延长退休年龄，将会给养老金支付带来很大的压力，上述数据可知，需要延长退休年龄。但是，需要延长多久呢？我们用下面的方法得出。4.2 养老保险基金财务平衡模型的建立与求解 根据现付制下的财务平衡，当期的养老保险收入等于支付当期养老保险支出。因此有： (式4-1)DB= （式4-2） （式4-3）式4-2可以表示为，缴费率=赡养率×替代率(式4-3)。赡养率是退休年龄、预期寿命和年龄别死亡概率的函数。因此，在一个老龄化程度不断加深的社会中，如果DB不变，就要对退休年龄进行相应地延长。如果DB提高，

16、或提高，或下降才能保障基础养老金收支水平平衡。因此，替代率、缴费率、退休年龄和预期寿命之间具有互动的关系。这几个参数中，除了预期寿命是不可控制的因素外，其余三个因素都是体系设计可以考虑的参数。改变这些参数将在一定程度上改变体系的平衡状况。下面建立一个养老保险基金财务平衡的模型，通过替代率、缴费率和退休年龄说明问题。新制度新规定缴费率下的基础养老金的平均替代率模型根据式4-3可得：4.2.1 新制度新规定缴费率下的个人账户养老金的平均替代率模型 个人账+户养老金属于完全基金积累制，体现养老保险制度的效率原则。它的资金来源完全来自职工个人缴费，以及积累基会的增值部分。在职职工缴费，缴费及其积累部分

17、的增值形成个人账户养老金的收入；退休后从个人账户领取养老金，形成个人账户支出。职工退休后活到平均余命的年龄时，个人账户储存额正好全部领完，实现了平均余命期限内个人账户养老金的收支平衡。根据这个平衡模型推导出新制度新规定下缴费率下的个人账户养老金的平均替代率。年缴费到退休时(m年末)基金积累总额如下：第一年缴费到m年末的基金积累总额：第二年缴费到m年末的基金积累总额：第m年缴费到m年末时的本息总额为：当rk时，该职工在m年末的个人账户养老金累计为：两边同时除以可得：经整理最后得出： （式4-5）当r=k时，即工资增长率等于基金的收益率时(意味着劳动报酬增长率等于资本报酬)，则有： （式4-6）当

18、职工领取养老金时，他要在年内正好领完个人账户上积累的养老金。设为退休后第一年领取的养老金，第二年领取，第三年领取，依此类推。则以后每年领取的养老金折为退休当年的现值为：第一年领取的养老金在m年末的现值为：第二年领取的养老金在m年末的现值为：第年领取的养老金在m年末的现值为：则 （式4-7）根据，且时，代入式4-5和46，则个人账户养老金收支平衡为当r=k时：则有=为个人账户养老金目标替代率的缴费率，由此可求出个人账户养老金目标替代率为：（式4-11）但我们需要得到的是平均替代率，它是社会平均养老金收入与社会平均工资收入之比，表示同一时期退休者退休收入相对在职收入的替代水平，反映的是同一时期社会

19、的退休职工和在职职工的收入对比关系，是一个横向比较的指标。所以把目标替代率转化为平均替代率，才能得到个人账户缴费率。根据定义，平均替代率为：为求出，可假设一个标准人，他在某一年的工资或养老金等于和他同龄的社会人的平均工资或养老金。他在r为基金的收益率，到法定退休年龄b岁时退休，则缴费年限m=ba年。根据人口生命表可得在b岁时的平均余命为。他在年内正好领完全部个人账户养老金。假设工作第一年的工资收入为，则。他的个人账户养老金的缴费率为，基金的年收益率为r，退休金第一年领取，第二年领取，第三年领取，依此类推。下面分别计算这个人在退休时的社会平均工资和平均养老金。在临近退休时这个人的工资为这一年b-

20、1岁职工的平均工资，以下分别列出退休时b-1岁，b-2岁时的情况，直到a岁职工的社会平均工资：b-1岁职工的平均工资：b-2岁职工的平均工资：a岁职工的平均工资：用表示这个人退休时全社会分别处于i岁职工的人数，i=a，a+l，a+2，b-1。则这个人退休时社会的职工平均工资为： （式4-12）下面计算这个人退休时整个社会的平均养老金。假设r=k时，这个人退休时，各年龄段的退休者领取的平均养老金数额分别为：b岁退休者的平均养老金：b+l岁退休者的平均养老金：b+2岁退休者的平均养老金：岁退休者的平均养老金：岁退休者的平均养老金表示这个人退休时社会中分别处于j岁职工的人数，则j=b，b+l，。那么

21、他退休时全社会的平均养老金为：（式4-13）根据定义可得个人账户的平均替代率为：（式4-14），代表基本养老金的平均替代率。基本养老金的平均替代率，,，根据式4-4、式4-14、和第一问中预测出的人口，可得退休年龄为60岁时的基本养老金的平均替代率退休年龄为60岁时养老金的平均替代率表格 (单位：) 年份赡养率社会统筹部分的缴费率C0基础养老金的平均替代率RR1个人账户部分的缴费率C1个人账户养老金的平均替代率RR2个人账户养老金的平均替代率RR220101856 2010774 805110825201522502088888077896520202619207635810877432025

22、3061206534815566892030361620553082395769203541722047948314510820404518204427834047672045457720437083644734205047622042008407460720555008203994844245362060481220415684454601206545172044278446487320704478 2044668420488620754545 204401843648372080465020430284874789208546852042698494476320904618 2043318

23、475480620954532204413844248552100453620440984344843，代表基本养老金的平均替代率。基本养老金的平均替代率，,，根据式4-4、式4-14、和第一问中预测出的人口，可得退休年龄为65岁时的基本养老金的平均替代率退休年龄为65岁时养老金的平均替代率表格 (单位：) 年份赡养率DB社会统筹部分的缴费率C0基础养老金的平均替代率RR1个人账户部分的缴费率C1个人账户养老金的平均替代率RR2基础养老金的平均替代率RR320101348 2014837 80191485620151600201250080241252420202012209941803999

24、8020252320 208619805786762030346720708280807162203528242067698118688720403970206038825863762045400920598982706259205040152059818266624720554427205818828461022060435820579082166006206539482060668212627820703880 206155 83006455207538642061778286646320804001 20599883096307208541382058338333616620904077

25、2059068336624220953949206064831863822100389420613683006436由计算结果进行对比，随着，退休年龄为61岁时的基本养老金平均替代率到本世纪的30年代降到60以下，而退休年龄如果延长到66岁时，本世纪的基本养老金平均替代率都维持在60以上，赡养率平均在34.79%。不同年龄段的人口数量的变化最直接的影响是赡养率，通过赡养率影响基础养老进的替代率，由此可看，退休年龄应延长五年。通过上面一系列的计算可以看出，从人口预测表中可以看出， 现今至本世纪20年代处于中国人口红利期，这个阶段劳动力丰富，正常就业对社会更有益，若延长退休年龄将会使这一优势转化为

26、社会负担。而到本世纪50年代，人口老年化达到峰值，而这一时期，人口预期平均寿命达到85岁，延长空间大，但若一步到位势必会影响养老金公平发放，可以分部分阶段完成，从2040-2055年，用15年的时间完成，每三年延长一岁，每一年延长四个月，到2055年，实现退休年龄为65岁这一目标。养老金替代率维持在60%以上，实现基本养老金的平衡。八、优化方案：这前面的论述中，只考虑到延长退休年龄对社会的影响，并没有考虑到延长退休年龄对体力劳动者造成的伤害，如果普遍实施延长退休年龄的政策，将不利于他们的身体健康，因此，应实行弹性退休政策，制度设计时不能一刀切，延长退休年龄不但要分步骤还要区分不同人群。可以先在

27、广东上海深圳等一些经济比较发达且老龄化程度比较严重的地区进行试点工作。然后针对不同地区和不同人群实行新的退休制度时允许有时间上的差异。九、 模型优缺点：1、不同的模型在相应的时间段具有很高的预测能力，但一旦脱离这个时间阶段，模型的预测能力就会回落。2、在进行养老保险基金收支平衡中，养老保险基金忽略了投保人的数目。3、在对养老保险基金的分析中忽略了中年人与老年人之间的差异情况。十、参考文献：1、国家统计局中国统计年鉴(2004)北京：中国统计出版社，20042、贾智莲延长退休年龄对养老保险制度可持续性的影响分析J内蒙古财经学院学报，20053、罗元文养老保险制度中关于退休年龄的探讨J市场与人口分

28、析，2001(6)4、张运刚人口老龄化背景下的中国养老保险制度M成都：西南财经大学出版社，2005235、刘子兰养老金制度和养老基金管理M北京：经济科学出版社，200546、程毛林. Matlab软件在多元统计分析中的应用J. 数理统计与管理7、陈文权,赵兹,李得胜. Leslie修正模型在人口预测中的应用8、伦冠德. MATLAB曲线拟合工具箱在实验数据处理上的应用26号上午，看到题目后，我们首先进行讨论，说出每个人对这两道题的我看法和想法，接下来，我们查阅资料，等到下午，阅读查阅的资料，然后再次对这两题进行谈论，最后确立此次建模所做的题目有关退休年龄是否应该延长的题目。27 28号 在经过

29、一天的准备之后，我们开始进行建模，首先，针对如何预测为俩人口的问题，由丁慧萍进行建模和进行相关数据的处理，李健强查阅建模过程中所需要的资料和所需数据，何雪则负责在建模过程中所用到的程序。经过两天的时间，建立出了模型。在建立模型的过程中我们已经大概写出了，文章的主要部分。 29号 接下来，写完整的论文，先由丁慧萍和何雪分别对各自所负责的部分进行完善，李健强则负责论文的整合和排版。 附录表2 各年份全国总人口数（单位：千万）年份195419551956195719581959196019611962总人口60.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641

30、965196619671968196919701971总人口69.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980总人口87.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989总人口100.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998总人口114.333115.823

31、117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005总人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.756附录1： 年龄女性总人数（万人）出生婴儿数平均有孩子数女性死亡率存活率0680.8912721000.0250930340.9749069661584.5917197000.0006787690.9993212312584.5582068000.002275670.997724333692.2202166000.0007523840.9

32、992476164724.1102102000.0004325820.9995674185775.5360408000.0008193370.9991806636847.368918000.0001120520.9998879487834.4187027000.0006124040.9993875968917.9220422000.0003814140.9996185869951.4668194001.43283E-050.999985672101070.015717000.0006105660.999389434111249.256063000.0002756460.999724354121

33、199.263988000.0001982040.999801796131202.198525000.0003723740.999627626141274.218917000.0002952050.999704795151111.0508390.049752824.478E-050.0003603140.99963968616992.31442550.319692670.0003221690.0002715380.99972846217893.79754350.320199030.0003582462.54672E-050.99997453318874.65734670.8786842150.

34、0010046040.0008266730.99917332719984.35687724.6101047520.0046833670.0010458820.99895411820859.57677859.4649417930.0110111650.0005589330.99944106721852.153460128.64641020.0336164920.0006426080.99935739222908.644180352.588139950.0578753940.0007093250.99929067523897.944807567.230678280.0748717270.00100

35、08240.99899917624880.539323360.917476650.0691820060.0001183960.999881604251019.08672477.490478720.0760391410.0011036530.998896347261042.1866770.085959460.067248950.0016440610.998355939271114.82373158.449546110.0524294060.0008646610.999135339281192.86719952.167022110.0437324640.0009254730.99907452729

36、1203.56657241.343115860.0343505020.0011273480.998872652301272.97399531.356827930.0246327330.0008192060.999180794311328.51357630.891304070.0232525320.0010818410.998918159321254.99240323.021388240.0183438470.0009538880.999046112331333.81944519.608846380.0147012750.0009576460.999042354341103.18612312.1

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38、0.0009967260.99900327440646.6840691.1412091730.0017647090.0005565560.99944344441785.66062321.156212920.0014716440.0008585850.99914141542701.62759190.4749692440.0006769530.0012278990.99877210143910.42011230.2416948830.0002654760.0010594950.99894050544960.15764630.3854787950.0004014740.0020949950.9979

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