2022中考数学复习方案 考场抢分36计

1、精品文档考场抢分36计第1计真题中考指南针一、为什么要研究中考真题研究中考真题可以让我们体验中考考试方式,掌握题型分布、难度、重难点等.中考试卷的模式根本是固定不变的,如选择题、填空题和解答题的数量和分值,每道题涉及的知识范围以及出现的顺序等,这些都有规律可循,有些内容每年必考,有些内容那么几年出现一次,周期中变化.二、如何研究中考真题研究范围:研究当地或邻近地区近三年中考真题.研究方法:(1)将所有内容分成实数及其运算、整式与因式分解、分式与二次根式、方程(组)、一元一次不等式(组)、一次函数、二次函数、反比例函数、图形的初步认识、三角形、四边形、视图与投影、圆、图形变换、相似、锐角三角函数

2、、数据的收集与整理、概率初步等,以表格的形式进行粗略统计,从分值和出现顺序、难易程度上找规律;(2)对于以上几大块内容,假设感觉某些块掌握较好就略过,对那些每年必考又掌握不到位的内容,进行细化研究;(3)通过研究,找出考查重点中掌握不到位的内容,有针对性地找些题目进行强化训练.如果找不到适宜的材料,可以将一轮、二轮复习资料拿出来进行强化,效果也是不错的,这样更容易理解和掌握,见效更快.这就是所谓:知己知彼,百战不殆.第2计运算快而准的绝招运算能力是中考必考内容,要求快速准确,到达快速准确需要一定的技巧性,写出关键步骤.运算快而准就能为其他题目的解答节省时间,提高解题效率.1.实数的混合运算一定

3、要用好运算律,注意平方差公式、完全平方公式等在简化运算中的应用.2.先化简后求值是代数式求值的根本方法,常见的有整式、分式、二次根式的化简求值.3.熟记一些结论可以提高运算速度,特别是选择题、填空题,比方记住120的平方、19的立方、勾股数、特殊角的三角函数值等.例 计算:12-2-(-7)0+3-2+4sin60°.解:原式=4-1+2-3+4×32=5-3+23=5+3.【点悟】 (1)实数的混合运算常涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等,分别计算,然后按照实数的运算法那么计算结果.(2)对算式中各局部进行准确计算,就能减少结果的失误. 计

4、算:4-(-2022)0+|3-2|+2sin60°.第3计因式分解的代数工具要解决好整式的化简、分式的化简、二次根式的化简或求值、一元二次方程的解、二次函数图象的交点问题等这些初中数学的代数问题,就必须要掌握好因式分解这个工具.例 分解因式:(1) 9bx2y-by3=; (2) 5x3-10x2+5x=. 答案 (1)by(3x+y)(3x-y)(2)5x(x-1)2解析 (1)9bx2y-by3=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).(2)5x3-10x2+5x=5x(x2-2x+1)=5x(x-1)2.【点悟】 因式分解的步骤:一提(提公因式

5、),二套(平方差公式、完全平方公式),直到不能再分解为止.1. 因式分解:a3-a=. 2. 分解因式:2x2-4x+2=. 3.如图3-1,将4个长、宽分别均为a,b的长方形摆成了一个大的正方形,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是()图3-1A.a2+2ab+b2=(a+b)2B.a2-2ab+b2=(a-b)2C.4ab=(a+b)2-(a-b)2D.(a+b)(a-b)=a2-b2第4计分式中常见的陷阱分式中常见的陷阱:(1)分式易错点为分母不为0;(2)在运算过程中常见错误有违背运算顺序,或无视分数线的括号作用,或把“分式运算与“解方程相混淆,或违背分式的性

6、质随意约分,或误用运算律,或顾此失彼考虑不周等.例 假设代数式x2-5x+62x-6的值等于0,那么x=. 答案 2解析 由分式的值为零的条件,得x2-5x+6=0且2x-60,由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,由2x-60,得x3,x=2.【点悟】 (1)求解分式的值为0的题目时,一定要验证分母不为0,即要保证分式有意义.陷阱隐藏并不深,只要细心就能防止失误;(2)由于无视了“0的存在而致错的运算较多,比方:零指数幂的底数不能为0,不等式整数解中的0,二次根式被开方数中的0,一元二次方程中二次项系数不为0,二次函数中二次项系数不为0,反比例函数中的比例系数不为0等.1. 要使

7、分式x-2(x-1)(x-2)有意义,x应满足的条件是()A.x1B.x2C.x1或x2D.x1且x22. 先化简,后求值:1+1x÷x2+2x+1x,其中x满足x2-x-2=0.第5计列方程解应用题的关键列方程解应用题的关键是设未知数列方程,列方程的关键是找等量关系.列方程解应用题的一般步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案.在列方程时,选择题中的一个量,然后用两种不同的方式加以表达,用等号连接,即得方程.1.如何设未知数?一般直接设未知数,即求谁设谁,也可以间接设未知数.2.如何选择等量关系?利用题目给出的等量关系,如果是明显的等量关系,那么列出的方程相对简单;如果

8、不存在明显的等量关系,那么可自行选择.3.列方程解应用题的类型有一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等.例 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售,局部蔬菜批发价格与零售价格如下表:蔬菜品种西红柿青椒西兰花豆角批发价(元/kg)3.65.484.8零售价(元/kg)5.48.4147.6请解答以下问题:(1)第一天,该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg,用去了1520元,这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱?(2)第二天,该经营户用1520元仍然批发西红柿和西兰花,要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元,那么该经营户最多能批发西红柿多少千克?解:(1)设批发西红柿x

9、kg,西兰花y kg,由题意,得x+y=300,3.6x+8y=1520,解得x=200,y=100.200×(5.4-3.6)+100×(14-8)=960(元).答:这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元.(2)设批发西红柿x kg,由题意,得(5.4-3.6)x+(14-8)×1520-3.6x81050,解得x100.答:该经营户最多能批发西红柿100 kg.【点悟】 此题的等量关系有两个:(1)西红柿和西兰花两种蔬菜共重300 kg;(2)西红柿和西兰花两种蔬菜共花1520元钱.此题的不等关系有一个:当天全部售完后所赚的钱“不少于1050元.这些等量关系

10、或不等关系一般在题中很容易找出来.第一问所设未知数是间接设未知数. 某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.(1)这两次各购进这种衬衫多少件?(2)假设第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,那么第二批衬衫每件至少要售多少元?第6计如何快速准确解一元二次方程一元二次方程是中考的重要考点,是学习二次函数的根底.解一元二次方程的根本思想方法是通过降次转化为两个一元一次方程.一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.在解题中,一

11、般先选择直接开平方法,其次是因式分解法,再次是公式法,最后考虑配方法.根据一元二次方程的特点选择适当的方法,既能节省时间,降低运算量,又能保证准确率.解一元二次方程,应当根据方程的结构和特点灵活地选择方法,才能快速地抢分.(1)当方程为(mx+n)2=p(p0)的形式时,使用直接开平方法简单;(2)当二次项系数为1且一次项系数为偶数时,使用配方法简单;(3)如果方程能化为(x-a)(x-b)=0的形式,那么选择因式分解法;(4)不能运用以上方法的用公式法.例1 解方程:x2-5=2(x+1).解:整理,得x2-2x-7=0,这里a=1,b=-2,c=-7,=4+28=32>0,x=2&#

12、177;322=1±22,x1=1+22,x2=1-22.【点悟】 所给的方程不符合一元二次方程的一般形式,而且不能用因式分解法来解,因此首先要化为一般式,再用公式法解.运用公式法时要注意不能代错系数,特别是符号.例2 解方程:x2-6x-4=0.解析 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把等号左边配成完全平方式,右边化为常数.解:移项,得x2-6x=4,配方,得x2-6x+9=4+9,即(x-3)2=13,开方,得x-3=±13,x1=3+13,x2=3-13.【点悟】 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中阶段掌握的三种重要的数学方法

13、(换元法、配方法、待定系数法)之一,一定要掌握好. 解以下方程:(1)用配方法解方程:2x2+5x+3=0;(2)用公式法解方程:(x-2)(x-4)=12.第7计借助数轴解含参不等式(组)中考中常常出现不等式(组)的解集(或特殊解)求不等式(组)中某些字母的取值范围的问题.这些不等式(组)是动态的,要研究它就要让它静下来、定下来,把它变成一个确定的不等式(组)来解.借助数轴,利用数形结合思想是行之有效的方法.例 假设关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解,那么b的取值范围是()A.-3<b<-2B.-3<b-2C.-3b-2D.-3b<-2解析 D在数轴上表示

14、出不等式的解集,根据负整数解只有-1,-2,确定出b的取值范围即可.【点悟】 化动为静巧解含参不等式(组),即把关键之值(不等式中等号成立的情况)代入题中来验证是否满足条件.1.不等式组x>-1,x<m有3个整数解,那么m的取值范围是. 2. 关于x的不等式组5x+2>3(x-1),12x8-32x+2a有四个整数解,求实数a的取值范围.第8计“一次函数与一次方程牵手二元一次方程与一次函数是数与形的两个方面,是同一个问题的不同表达方式.联姻解决问题也就是利用数形结合思想,事半功倍.解决一次函数问题时,可以转化为二元一次方程解决;解决二元一次方程问题时,又可以借助于一

15、次函数图象来解决.例 如图8-1,过点(0,-2)的直线l1:y1=kx+b(k0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m).(1)写出使得y1<y2的x的取值范围;(2)求点P的坐标和直线l1的解析式.图8-1解:(1)根据图象分析,得当y1<y2时,x<2.(2)由图象可知点P的横坐标为2,把横坐标代入y2=x+1,得y2=3,所以点P的坐标为(2,3).把点P(2,3),点(0,-2)的坐标代入y1=kx+b,得2k+b=3,b=-2,解得k=52,b=-2.所以直线l1的解析式为y1=52x-2.【点悟】 (1)由同一直角坐标系中的两个函数图象比拟两个函数值的大小,

16、直接观察这两个函数图象的交点的横坐标,在交点的同侧,函数图象在上面的函数值大,在下面的函数值小.(2)两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足这两个一次函数的解析式,也是联立这两个一次函数的解析式组成的方程组的解.这样交点问题可以转化为方程组问题,图的问题转化为数的问题.1. 一次函数y=kx+b(k0)的图象经过点A(0,2)和点B(2,-2).(1)求出y关于x的函数解析式为; (2)当-2<y<4时,x的取值范围是. 2. 如图8-2,直线y=kx+b经过A(-2,-1)和B(-3,0)两点,那么不等式-3-2x-5<kx+b的解集是. 

17、图8-2第9计“反比例函数与一次函数、图形面积联姻中考试题中反比例函数是重要的考点,常见的题型有两种:第一种是反比例函数图象与几何图形的面积问题,第二种是考查反比例函数的定义、图象、性质、解析式确实定,以反比例函数与一次函数的综合问题为主.图9-1例 如图9-1,点B1在反比例函数y=2x(x>0)的图象上,过点B1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为C1和A,点C1的坐标为(1,0);取x轴上一点C232,0,过点C2作x轴的垂线交反比例函数的图象于点B2,过点B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1,依次在x轴上取点C3(2,0),C452,0,按此规律作矩形,那么第n(n2,n为整

18、数)个矩形An-1Cn-1CnBn的面积为. 答案 2n+1【点悟】 反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=kx的图象上任取一点,过这一点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|,这一点与原点及任意一个坐标轴上的垂足所围成的三角形面积等于12|k|.这是反比例函数的一个重要的性质,它在解与反比例函数图象有关的面积问题时有着广泛的应用,尤其是填空题、选择题,利用结论可以减少很多计算.图9-2 如图9-2所示,反比例函数y=kx(k0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.假设矩形OABC的面积为8,那么k的值为. 第10计“

19、用函数观点看一元二次方程的妙用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间联系密切.二次函数的图象与x轴相交的“瞬间就是一元二次方程,一元二次方程的根就是它对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标.二次函数图象的“片段(在x轴上方或下方的局部)就是一元二次不等式,一元二次方程、一元二次不等式是二次函数的特殊情况.只有明确了三者之间的关系和区别,才能灵活运用.例 如图10-1所示,二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.图10-1(1)求m的值及点B的坐标;(2)求ABC的面积.解析 (1)先把点A的坐标代入函数解析式,求出m的值,进而求

20、出点B的坐标;(2)根据二次函数的解析式求出点C的坐标,进而求出ABC的面积.解:(1)函数图象过点A(3,0),-18+12+m=0,m=6,该函数解析式为y=-2x2+4x+6.当-2x2+4x+6=0时,x1=-1,x2=3,点B的坐标为(-1,0).(2)点C的坐标为(0,6),SABC=4×62=12.【点悟】 (1)由于x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0,所以只需要分别令x=0,y=0就可以把二次函数转化为方程,从而通过解方程求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标,以解决与坐标轴围成的图形的面积问题.(2)一元二次方程根的判别式可以用来判断抛物线与x轴的交点个数,

21、具体见下表:一元二次方程根的情况二次函数的图象与x轴的交点b2-4ac>0两个不相等的实数根有两个不同的交点b2-4ac=0两个相等的实数根只有一个交点b2-4ac<0没有实数根无交点图10-2二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图10-2所示,以下结论:b<0;c>0;a+c<b;b2-4ac>0,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4第11计庖丁解牛破解二次函数综合题二次函数综合题是由一些常见的、根本的题目组合而成.解题时,我们就可以采用庖丁解牛的方法,把二次函数的综合题分解成假设干个基此题目,逐一解决,也就是我们在中考复习方案中的分层分析

22、法,解答了这些简单的问题,复杂的问题就迎刃而解了,这也是一种化难为易,化繁为简的解题思想.但要注意这些基此题目之间的联系,寻求科学的最正确解题方案.例 在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.如图11-1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;如图11-1,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,假设PEOE=38,求k的值.图11-1解:(1)直线y=x+4经过A,C两点,且点A在x轴上,点C在

23、y轴上,点A的坐标是(-4,0),点C的坐标是(0,4).又抛物线过A,C两点,-12×(-4)2-4b+c=0,c=4,解得b=-1,c=4,抛物线的解析式为y=-12x2-x+4.(2)如图11-2,抛物线y=-12x2-x+4,抛物线的对称轴是直线x=-1.以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,PQAO,PQ=AO=4.点P,Q都在抛物线上,点P,Q关于直线x=-1对称,点P的横坐标是-3,当x=-3时,y=-12×(-3)2-(-3)+4=52,点P的坐标是-3,52.如图11-2,过点P作PFOC交AC于点F,PFOC,PEFOEC,PEO

24、E=PFOC.又PEOE=38,PF=32.设点F(x,x+4),那么点Px,-12x2-x+4,-12x2-x+4-(x+4)=32,化简,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.当x=-1时,-12x2-x+4=92;当x=-3时,-12x2-x+4=52,即点P的坐标是-1,92或-3,52.又点P在直线y=kx上,k=-92或k=-56.图11-2【点悟】 这是一道中考压轴题,总分12分.题目涉及待定系数法求函数解析式,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,题目综合性较强,但是如果我们采用庖丁解牛的方法来分解此题,然后求解,你就发现不是我们想象的那么

25、难了.分解过程如下:在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.(1)求点A和点C的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)假设以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,那么PQAO,求点P的横坐标;(4)过点P作PFOC交AC于点F,求证PEFOEC,求PF的长;(5)设点F(x,x+4),利用PF的长列方程,可求出x的值,从而可得点P的坐标,代入y=kx即可求出k的值. 如图11-3,抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)求证:

26、ABC是直角三角形;(3)假设点N为x轴上的一个动点,过点N作MNx轴与抛物线交于点M, 那么是否存在以O,M,N为顶点的三角形与ABC相似?假设存在,请求出点N的坐标;假设不存在,请说明理由.图11-3第12计“三数“四图定统计统计初步是初中数学的重要考点,必考内容.中考中主要考查“三数(平均数、中位数和众数),“四图(条形统计图、折线统计图、扇形统计图和频数分布直方图).平均数、中位数和众数用于描述一组数据的“平均水平和“集中趋势.1.众数是对各数据出现的频数的考查,指出现次数最多的数据,而不是出现的次数.一组数据可以有多个众数.假设一组数据存在众数,那么众数必在这组数据中.一组数据的平均

27、数和中位数是唯一的,而众数那么不一定唯一.2.个数为n的一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后,当n为奇数时,第n+12个数即为中位数;当n为偶数时,第n2和n2+1个数据的平均数即为中位数,因此中位数可能在这组数据中,也可能不在这组数据中.中位数是一组数据的“分水岭,在统计数据的个数时,相同的数据不能算为一个数据.3.平均数能较充分地反映一组数据的“平均水平,但它容易受极端值的影响.4.三数与统计图的结合是热点考题.例 某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图12-1所示的统计图.那么这组数据的众数和中位数分别是()图12-1A.7,7B.8,7.5C.7,7.5D.8,6

28、解析 C7出现了7次,出现的次数最多,所以众数为7.20个数据第10个为7,第11个为8,所以中位数为7.5.应选C.1. 某小学校园足球队22名队员年龄情况如下:年龄(岁)1211109人数41062那么这个队队员年龄的众数和中位数分别是()A.11,10B.11,11C.10,9D.10,112.2022·梅州 假设一组数据3,x,4,5,6的众数是3,那么这组数据的中位数为()A.3B.4C.5D.6第13计善用“图表求概率求随机事件的概率是近几年中考的热点.在具体的情景中,理清随机事件,利用列表法或画树状图法找准、找全事件的结果,在这个过程中注意做到不重不漏.在解决摸球试验时

29、,注意取出后是放回还是不放回;在判断游戏公平性时,要先获得事件发生的概率,然后根据概率是否相等来判断.例 在一只不透明的袋中,装着标有数字3,4,5,7的质地、大小均相同的小球.小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球,并计算这两球上的数字之和,当和小于9时小明获胜,反之小东获胜.(1)请用画树状图或列表的方法,求小明获胜的概率;(2)这个游戏公平吗?请说明理由.解:(1)画树状图如下:图13-1或列表如下:小明和小东34573781047911589127101112所有等可能的结果共有12种,其中数字之和小于9的有4种,P(小明获胜)=412=13.(2)不公平,理由:P(小明获胜)=13,P

30、(小东获胜)=1-13=23>13,这个游戏不公平.【点悟】 此题可以使用列表法或画树状图法寻找所有可能的结果.在列举事件发生的可能性时,对于一次试验涉及两个因素或两步试验的问题,列表法比画树状图法更直观;当一次试验涉及三个或多个因素或多步试验的问题时,画树状图法优于列表法. 如图13-2,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.图13-2如图13-2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规那么为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.如:假设从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;假

31、设第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;设游戏者从圈A起跳.(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?第14计巧构等腰三角形妙解题等腰三角形是一种特殊图形,由于其两腰相等,两底角相等,所以可以进行线段或角的转化.由于等腰三角形独有的三线合一的性质,因此成为中考的重要考点,是热点考题.它往往与三角形全等的判定相结合,也经常现身特殊四边形中,掌握一些构造等腰三角形的方法,能为我们解题提供一些思考方法和技巧.遇到以下几种情形,可以考虑构造等腰三角形:(1)题中有线段垂直平分

32、线;(2)出现角平分线和平行线;(3)出现一个角是另一个角的两倍;(4)出现图形由平移、对称、旋转或折叠得到.例 如图14-1,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PEAC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于点D,那么DE的长为()图14-1A.13B.12C.23D.不能确定图14-2解析 B如图14-2,过点P作PFBC交AC于点F.PFBC,ABC是等边三角形,PFD=QCD,APF是等边三角形,AP=PF=AF.PEAC,AE=EF.AP=PF,AP=CQ,PF=CQ.在PFD和QCD中,PFD=QCD,PDF=QDC,PF=QC,PFDQCD(

33、AAS),FD=CD.AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=12AC.AC=1,DE=12.【点悟】 (1)PA=CQ是解决问题的关键.一般地,如果题目中有线段相等的条件,那么可以考虑构造等腰三角形,构造的方法可以作平行线.(2)PEAC也是解决此题的一个题眼.因为在等腰三角形中,常常出现垂线的踪影,利用三线合一的性质.(3)作平行线后,利用三角形全等,得CD=DF.如图14-3,ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.图14-3第15计边定全等,角定相似判定三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS

34、,所以判定两个三角形全等至少要有一边相等.判定两个三角形相似的方法有两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似,关键是要找到角相等.抓住“边定全等,角定相似这一解题的关键,相关的题目就会迎刃而解.例 (1)如图15-1,ACB=DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,CAE=45°,求AD的长;(2)如图15-1,ACB=DCE=90°,ABC=CED=CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.图15-1解析 (1)连接BE,根据“边定全等的思路可证明ACDBCE,得到AD

35、=BE,在RtBAE中,AB=62,AE=3,求出BE;(2)连接BE,根据“角定相似的思路可证明ACDBCE,得到ADBE=ACBC=33,求出BE的长,得到AD的长.解:(1)如图15-2,连接BE,ACB=DCE=90°,ACB+ACE=DCE+ACE,即BCE=ACD.在ACD和BCE中,AC=BC,ACD=BCE,DC=EC,ACDBCE,AD=BE.AC=BC=6,AB=62.BAC=CAE=45°,BAE=90°.在RtBAE中,AB=62,AE=3,BE=9,AD=9.图15-2(2)如图15-2,连接BE,在RtACB中,ACB=90°

36、,ABC=30°,ACBC=tan30°=33.在RtCDE中,DCE=90°,DEC=30°,CDCE=tan30°=33,ACBC=CDCE.又ACB=DCE=90°,BCE=ACD,ACDBCE,ADBE=ACBC=33.BAC=60°,CAE=30°,BAE=90°.又AB=6,AE=8,BE=10,AD=1033.【点悟】 (1)证明全等或相似要注意结合图形,挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、同位角、内错角以及中点、中线、角平分线等等量关系求解.(2)证明两边相等的方法有三角形全等,等腰三角

37、形(等腰三角形的定义或三线合一),线段的垂直平分线的性质,角平分线的性质,特殊四边形的性质,圆的有关性质,等量代换,比例线段以及计算线段的具体长度等.(3)证明角相等的方法有运用平行线的性质,三角形全等的性质,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质定理及逆定理,和圆有关的角等. 四边形ABCD中,AB=AD,ABAD,连接AC,过点A作AEAC,且使AE=AC,连接BE,过A作AHCD于H,交BE于F.(1)如图15-3,当E在CD的延长线上时,求证:ABCADE;BF=EF;(2)如图15-3,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.图15-3第16计测量高

38、度方法多锐角三角函数的魅力在于应用,它起到了工具的作用,通常用来解决有关测量、航海、工程技术等生活中的实际问题,它往往与三角形、四边形的内容综合.测高(或宽)问题是中考热点考题,解决的方法是通过作高,构造直角三角形,在直角三角形中解决问题,这就是化斜为直的思想.(1)作高构造直角三角形的根本方法有三种(如图16-1):在三角形的内部作;在三角形的外部作;延长四边形相对两边得到直角三角形.图16-1(2)构造直角三角形测高、测距的根本图形(如图16-2)和解题过程如下:图16-2因为CDAD=tan,CDBD=tan,所以CDtan=AD,CDtan=BD,所以AB=AD-BD=CDtan-CD

39、tan=CD(tan-tan)tan·tan.AB可求CD,CD可求AB,在做选择题、填空题时可以将此结论当作公式,将此过程当成万能步骤,相信会为你节省不少时间.例 如图16-3,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A与地面的距离为420米,求这栋楼的高度.图16-3图16-4解:如图16-4,作AMCB,交CB的延长线于点M,那么四边形ADCM为矩形,MC=AD,MA=DC.由题意,得MAB=30°,MAC=60°,AD=420.在RtADC中,DAC=90°-MAC=

40、90°-60°=30°,tanDAC=DCAD,DC=AD·tan30°=420×33=1403.在RtABM中,tanMAB=MBMA,MB=MA·tan30°=1403×33=140,BC=MC-MB=420-140=280(米).答:这栋楼的高度为280米. 芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图16-5),图是从图引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米

41、,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,31.732)图16-5第17计“四边形化归为“三角形将四边形(平行四边形、特殊平行四边形)化归为三角形来求解就是化复杂为简单,化生疏为熟悉.作辅助线是转化的桥梁,它可以帮助我们把条件集中或构成根本图形,便于解题,注意辅助线的目的性和方向性.常见作辅助线的方法:四边形的常见辅助线是作对角线;当题中有平行线时,常常构造平行四边形;如果题中有中线,常加倍延长构造平行四边形.例 阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图17-1,在ABC中,DEBC分别交AB于点D,交AC于点E.CDBE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.小

42、明发现,过点E作EFDC,交BC的延长线于点F,构造BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图).图17-1请答复:BC+DE的值为. 参考小明思考问题的方法,解决问题:如图,ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求AGF的度数.解析 (1)由DEBC,EFDC,可证得四边形DCFE是平行四边形,即可得EF=CD=3,CF=DE,所以BC+DE=BF,然后利用勾股定理,求得BC+DE的值;(2)首先连接AE,CE,由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABEF是矩形,易证得四边形DCEF是平行四边形,继而证得ACE是等边三角形,那么可求得答案.解:DEBC,

43、EFDC,四边形DCFE是平行四边形,EF=CD=3,CF=DE.CDBE,EFBE,BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=52+32=34.图17-2解决问题:连接AE,CE,如图17-2.四边形ABCD是平行四边形,ABDC,AB=DC.四边形ABEF是矩形,ABFE,AB=FE,BF=AE,DCFE,DC=FE,四边形DCEF是平行四边形,CEDF.AC=BF=DF,AC=AE=CE,ACE是等边三角形,ACE=60°.CEDF,AGF=ACE=60°.【点悟】 此题是阅读理解型问题,要求仔细阅读信息领悟数学知识和方法,运用这种方法解决新问题.此题就是通过作平

44、行线构造三角形来解决问题. 四边形ABCD是菱形,AB=4,ABC=60°,EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且EAF=60°.(1)如图17-3,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;(2)如图,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B,C重合),求证:BE=CF;(3)如图,当点E在线段CB的延长线上,且EAB=15°时,求点F到BC的距离.图17-3第18计七条辅助线让你轻松搞定圆圆是初中数学知识的大综合,不管是代数还是几何,所有的知识几乎都能在圆中表达.新课标以来圆的局部内容在中考中的地位有所下降,题目难度有所

45、降低,但是圆的命题还是中考的热点考题,在不少地区难度依然很大.只要掌握以下七条辅助线的作法,圆的问题就有规律可找了.(1)遇到有关弦的问题时,通常要作垂直于弦的半径,利用垂径定理求有关的量;还常常连接弦的两个端点和圆心,构造等腰三角形.(2)遇到直径时,常常添加直径所对的圆周角,得到直角三角形.(3)遇到90°的圆周角时,常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径.(4)遇到切线时,添加过切点的半径,得到垂直,即一切就垂.(5)遇到要证明切线时,假设有交点,那么连半径,证垂直;假设无交点,那么作垂直,证半径.(6)遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形各顶点,利用内心的性质.(7)遇到三

46、角形的外接圆时,连接外心和三角形各顶点,利用外心的性质.例 如图18-1,AB为O的直径,AC为O的弦,AD平分BAC,交O于点D,DEAC,交AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与O的位置关系,并说明理由;(2)假设AE=8,O的半径为5,求DE的长.图18-1图18-2解:(1)直线DE与O相切,理由如下:连接OD,如图18-2所示,AD平分BAC,EAD=OAD.OA=OD,ODA=OAD,ODA=EAD,EAOD.DEEA,DEOD.又点D在O上,直线DE与O相切.(2)法1:如图18-3,连接OD,作DFAB,垂足为F,图18-3那么DFA=DEA=90°.AD平分BAC

47、,EAD=FAD.在EAD和FAD中,EAD=FAD,DEA=DFA,AD=AD,EADFAD(AAS).AF=AE,DF=DE.AE=8,AF=AE=8,OA=OD=5,OF=AF-OA=8-5=3.在RtDOF中,OD=5,OF=3,根据勾股定理,得DF=OD2-OF2=4,DE=DF=4.法2:如图18-4,连接OD,DB,图18-4AB为O的直径,ADB=90°.又AED=90°,ADB=AED.又EAD=DAB,EADDAB,EADA=DABA.AE=8,BA=2OA=10,8DA=DA10,解得DA=45.在RtADE中,AE=8,AD=45,根据勾股定理,得D

48、E=AD2-AE2=4.法3:如图18-5,连接OD,作OFAD,垂足为F,图18-5OA=OD,AF=12AD,AFO=AED=90°.又EAD=FAO,EADFAO,EAFA=DAOA.AE=8,OA=5,AF=12AD,812DA=DA5,解得DA=45.在RtADE中,AE=8,AD=45,根据勾股定理,得DE=AD2-AE2=4.【点悟】 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握性质及定理是解此题的关键.同时此题第二问利用了三种方法求解,注意运用一题多解的方法解题. 如图18-6,在ABC中,AB=AC

49、,点D在BC上,BD=DC,过点D作DEAC,垂足为E,O经过A,B,D三点.(1)求证:AB是O的直径;(2)判断DE与O的位置关系,并加以证明;(3)假设O的半径为3,BAC=60°,求DE的长.图18-6第19计图形变换中的变与不变平面图形的轴对称、平移、旋转和位似等变换是近几年中考的热点考题,常常以探究题形式出现,能较好地考查创新能力.解决这类问题,我们需要熟练掌握四种变换的性质,理解变换前后的变化量和不变量,才能不被千变万化的图形变换所迷惑.例 如图19-1,QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,QPN=,将QPN绕点P旋转,旋转过程中QPN的两边分别与正方形A

50、BCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).图19-1(1)如图,当=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是; (2)如图,将图中的正方形ABCD改为ADC=120°的菱形,其他条件不变,当=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=12AD,请给出证明;(3)在(2)的条件下,假设旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.解析 (1)易证得APEDPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD.(2)取AD的中点M,连接

51、PM,可得出MDP是等边三角形,易证MPEDPF,得出ME=DF,由DE+ME=12AD,即可得出DE+DF=12AD.(3)当点E落在AD上时,DE+DF=12AD,当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,即12AD<DE+DF<54AD.解:(1)正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,PA=PD,PAE=PDF=45°.APE+EPD=DPF+EPD=90°,APE=DPF.在APE和DPF中,APE=DPF,PA=PD,PAE=PDF,APEDPF(ASA),AE=DF,DE+DF=AD.(2)证明:如图19-

52、2,取AD的中点M,连接PM,图19-2四边形ABCD为ADC=120°的菱形,BD=AD,DAP=30°,ADP=CDP=60°,MDP是等边三角形,PM=PD,MPD=PME=PDF=60°.QPN=60°,MPE=FPD.在MPE和DPF中,PME=PDF,PM=PD,MPE=DPF,MPEDPF(ASA),ME=DF,DE+DF=12AD.(3)如图19-3,图19-3在整个运动变化过程中,当点E落在AD上时,DE+DF=12AD;当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,即12AD<DE+

53、DF<54AD.【点悟】 (1)此题是以四边形为背景,以旋转为工具探究新问题,我们知道旋转有三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角.万变不离其宗的是经过旋转,每一对对应点与旋转中心所连线段分别相等,并且它们的夹角相等,都等于旋转角,这些都是解题的题眼、关键之处.(2)解答此题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等,寻找所求线段与线段之间的等量关系. 在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如图19-4,假设点D关于直线AE的对称点为F,求证:ADFABC;(2)如图19-4,在(1)的条件下,假设=45°,求证:DE2=BD2+CE2;(3)如图19-4,假设

54、=45°,点E在BC的延长线上,那么等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.图19-4第20计审题需要咬文嚼字寻找突破口解决一个问题,审题是关键,当一个问题还没弄明白怎么回事就去解决它,会是什么结果?如何审题?审题时要注意什么?审题时需要做到一“咬二“抓三“挖.所谓一“咬,即咬文嚼字,看清看准每一个数字、符号,每一句话及图形中线段、角之间的联系,弄清楚条件、结论和全部题意;二“抓,即抓住题目中的关键词,制定初步的解题思路;三“挖,即挖掘隐含条件,当我们解题思路受阻时,往往是题目的隐含条件没有挖掘出来,造成条件缺乏的误解.但如果能仔细分析、推敲,就可以将其挖掘出来.特别是在审题过程中,假设能及时发现和运用隐含条件,不仅可以迅速找到解题突破口,还能使解题过程简单明了.例 如图20-1,直线y=-34x+3分别交x轴、y轴于点A,B,P是抛物线y=-12x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-34x+3于点Q,那么当PQ=BQ时,a的值是.&#