儿童学习数学

1、1. 儿童学习数学就是学习数数和加减吗？ 经常在公共汽车上看见一些年轻的妈妈，在耐心地教孩子学数学。然而仔细听来，她们的方法无非就是不断重复地问孩子：“1加3等于几啊？2加2等于几啊？”遇到这样的情景，我总会不由得对这样的家长摇摇头。其实，也怪不得这些家长。我们每个人都经受了十几年的教育，也学了十几年的数学。然而，在很多人的心目中，数学无非就是计算。因此，教孩子数数以及简单的加减运算似乎也在情理之中了。这不禁令人想起2002年8月，在北京召开世界数学家大会期间，我国著名数学家陈省身先生曾对记者说过，我们每个人一生中都接受了十几年的数学教育，然而很多人却只是学会了计算，而没有理解什么是真正的数学

2、。那么，数学究竟是什么？简单地说，数学是一种思维方式，是一种“数学化”的思维方式。数学的魅力，不仅仅在于它的精确计算，而在于它是一种思维方式?它把具体问题上升为抽象的数学问题，再通过解决抽象的数学问题，将其应用到具体的问题解决中。这个过程也被称为“数学建模”。因此有人提出，数学思维就是一种模式化的思维方式，数学就是关于“模式”的科学。举例而言，两个人要平分一堆（10块）糖果，可以采用不同的方法：我们可以通过“尝试错误”的方法，先把糖果分成两份，然后比较它们的多少并作调整，直到看不出谁多谁少为止；我们也可以一块一块地轮流分给两个人，这样可以保证两个人分到的一样多但是若借助于数学这个工具，我们则可

3、以脱离具体的情节来解决一个抽象的数学问题（10的一半是多少），然后将结果应用于这个具体的问题，最终解决这个实际问题。总之，数学知识具有两方面的特点：一方面，数学具有抽象性，它不同于具体的事物，而是从具体的事物中抽象而来；另一方面，数学又具有现实的有效性，它能够解决实际的问题。儿童学习数学，其意义决不在于简单的数数和计算。他们所获取的数学知识是有限的，但数学对儿童思维方式的训练却是其它任何学习所不具备的：由于数学本身就是抽象的过程，学习数学实质上就是学习思维，特别是抽象逻辑思维的方法。同时，数学还能够培养幼儿解决问题的能力，特别是用数学方法解决问题的能力。“数学是思维的体操。”让我们和孩子一起在

4、数学的世界中遨游，享受数学给我们带来的独特魅力吧！2.学前儿童可以学习哪些数学内容？当我们说到数学的时候，往往就把它和“数”联系在一起。固然，数和运算是数学的重要内容。但是除此之外，学前儿童学习的数学内容还很多呢！恩格斯说过，“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”现实生活中普遍存在的数、量、形，都可以成为学前儿童学习的数学内容。除此之外，由于学前儿童的数学学习和他们的逻辑思维发展密不可分，我们也将数理逻辑经验作为数学学习内容的一部分。本书中，我们将学前儿童数学学习的内容大致分为以下三个部分：“数和量”、“几何与空间”、“数理逻辑经验”。“数和量”部分的学习内容主要包括?10以内自然

5、数的认识；10以内数的加减运算；各种连续量的差异比较和简单计量。“几何与空间”部分的学习内容主要包括?常见几何图形的辨认；空间方位和空间关系的认识。“数理逻辑经验”部分的学习内容主要包括?两个集合中元素的一一对应关系及对应活动；序列关系及排序活动；类包含关系及分类活动；各种守恒关系及相关经验。各部分的具体学习内容及指导方法将在后面详细介绍。3.数学能够开发儿童的智力吗？回答是肯定的。数学本身具有逻辑性和抽象性的特点，因此它对于儿童抽象逻辑思维能力的发展，具有独特的促进作用。前面提到，数学是一种独特的思维方式。这种思维方式的特点就是将具体的问题归结为模式化的数学问题，并用数学的方法寻求解决。它将

6、具体的事物和问题加以模式化，使之成为抽象的问题。它帮助我们透过具体的、表面的现象，揭示事物的本质的、共同的特征。因此，儿童学习用数学的方法解决问题，就是学习一种抽象的思维方法。数学也是人类的一种独特的语言。这种语言完全不同于其他的表达方式。比如，文字的语言讲求意义的明了，艺术的语言讲求意境的深远，而数学的语言则讲求简练和逻辑。数学以简单的符号代替复杂的事物，以抽象的逻辑推理代替具体的关系。一个简单的数字“1”或算式“11=2”可以表示许许多多的具体含义，而“如果ab，bc，则ac”的式子，则完全是在抽象层次上的逻辑推理，而隐含了具体事物之间的比较。数学语言的抽象性和逻辑性，同样也给儿童一种抽象

7、逻辑思维的锻炼。学前儿童思维发展的特点是：具体形象思维逐渐取代直觉行动思维而成为占主导地位的思维方式特点，同时抽象逻辑思维开始萌芽。也就是说，学前儿童（特别是幼儿园阶段）的思维虽然还不能完全摆脱具体的动作和形象的束缚，但已经开始了向抽象逻辑思维过渡的漫长时期。对于某些具体的问题或情境，儿童已能够用逻辑的方法进行思考和推理，而且也能概括出具体事物的共同特征，进行初步的抽象。这说明学前儿童已具有发展初步的抽象逻辑思维的可能性，或者说，他们已具有学习数学的心理准备。反过来，早期的数学学习又能促进儿童抽象逻辑思维的发展，帮助其思维方式实现从具体到抽象的过渡。以儿童学习“数的组成”为例。老师为了让6岁的

8、儿童理解“5可以分成几和几”，就请他们尝试把5只苹果分给爷爷和奶奶，看看有哪些不同的分法。起初，很多儿童都感到为难，因为5只苹果无法平均分配，于是就分给爷爷和奶奶各2只，还剩1只则放在一边。儿童不是考虑自己有没有“把5分成两份”，而是关心自己分得是否公平。显然，他们没有认识到这是一个数学问题，而是把它当做一个真实的问题。因此就不关心一个数学问题必须遵守的逻辑规则?即“把5分成两份”，既不是把4只苹果分成两份，也不是把5分成3份，更不是追求一种公平或平等。通过成人的引导，儿童才能慢慢接受这个数学问题，学会用数学的逻辑来解决问题。儿童思维的抽象性也在数学学习中逐渐发展起来。同样是“数的组成”的学习

9、，儿童都必须经历一个从具体到抽象的过程。起初儿童在分5个苹果、5个梨子、5个玩具，他们把这些具体的操作都看成孤立的、不同的事情，而没有看到它们在本质上的共同点。在进行了一段时间的操作练习以后，儿童突然发现，分5个苹果和分5个梨子的结果是一样的，因为“它们都是分5”。再以后，只要遇到是分5个东西，儿童都知道怎样分了。在这个过程中，儿童不仅理解了数的组成的抽象含义，而且也发展了初步的抽象思维的能力。国内外很多心理与教育的实验和实践都证实，早期的数学教育能够促进儿童的初步抽象思维能力和逻辑推理能力的发展。可以说，在儿童的早期阶段，没有什么内容比数学更能发展儿童的抽象逻辑思维。4.儿童学习数学靠的是“

10、记性”吗？有些家长简单地认为儿童学习数学靠的是“记性”。但事实并非如此。曾有一位三岁孩子的家长问我，为什么自己的孩子数数时总是乱数，他教了很多次也没有用；还有一位四岁孩子的家长问我：“为什么我的孩子记性那么差？我给他讲过很多遍，他还是记不住这些加减题？”那么，儿童究竟是怎样理解数学知识的呢？要回答这个问题，我们必须了解数学究竟是一种什么样的知识。下面就让我们来分析一下这些在成人看来再简单不过的数学吧：首先，数是什么？自然数的序列?1、2、3、4、5看似一组需要幼儿记住的顺序，实质蕴涵了很多逻辑的关系。如前后数之间存在着递增的序列关系，每个数都比前面的数大又比后面的数小，而且这种序列关系是可以传

11、递的，也就是说即使不相邻的数我们也可以根据其在数序中的位置判断其大小关系。再如，数序中也蕴涵着包含关系，每个数都包含了它前面的数，同时也被它后面的数所包含，5包含了1、2、3、4，6又包含了5对幼儿来说，他们认识的1，2，3，4绝不是一些具体事物的名称，也不是这些具体事物本身所具有的特征，而是对事物之间关系的一种抽象。即使是最简单的数，也具有抽象的意义。比如“1”，它可以表示1个人、1条狗、1辆汽车、1个小圆片任何数量是“1”的物体。又如5只桔子，它是对一堆桔子的数量特征的抽象，和这些桔子的大小、颜色、酸甜无关，也和它们的排列方式无关：无论是横着排、竖着排，或是排成圈，它们都是5个。因此，幼儿

12、对数的认识就不像对大小、颜色的认识那样可以通过直接的感知获得，而要通过一个抽象的过程。5个桔子中的每一个桔子，都不具有“5”的性质，相反，“5”这一数量属性也不存在于任何一个桔子中，而存在于它们的相互关系中它们构成了一个数量为“5”的整体。儿童对于这一知识的获得，也不是通过直接的感知，而是通过一系列动作的协调，具体说就是“点”的动作和“数”的动作之间的协调。首先，他必须使手点的动作和口头数数的动作相对应。其次是序的协调，他口中数的数应该是有序的，而点物的动作也应该是连续而有序的，既不能遗漏，也不能重复。最后，他还要将所有的动作合在一起，才能得到物体的总数。由此看来，幼儿会数数只是一个表面现象，

13、在这背后，是幼儿的对应、序列、包含等逻辑观念和抽象思维能力的发展。只有理解了这些逻辑观念，幼儿才能正确地计数。再经过无数次具体的计数经验，幼儿对数的理解逐渐脱离具体的事物，最终达到抽象的理解。再来看看数的加减。同样地，加减运算也不可能通过记忆来学习，因为它需要幼儿对三个数之间的逻辑关系获得一种真正的理解，也就是说，幼儿要真正认识到加减就是将两个部分合并成一个整体或从整体中去掉一个部分的运算。幼儿在四岁左右能够借助于具体的实物和动作的摆弄来理解其中的加减关系，但要在抽象的数字层面进行加减运算，就必须要在头脑中建立起抽象的类包含的逻辑关系。而这则要到六七岁才能发展起来。所以我们就不难理解为什么有的

14、幼儿对于具体的问题（如“三块糖加三块糖是多少”）能够解决，而面对抽象的问题（如“3+3=?”）就无能为力了。和数数及加减一样，其他的数学知识也都是一种逻辑知识。对于学前儿童来说，抽象的逻辑知识的获得决不是一个简单的记忆过程，而是一个漫长的过程?在这个过程，儿童对数学知识的理解逐步摆脱具体事物的束缚并达到抽象的层次。5.儿童是怎样理解抽象的数学知识的？我们认识到，数学知识具有抽象性和逻辑性的特点，儿童要能理解这些具有抽象意义的数学知识，必须具备一定的逻辑观念的基础。那么，这些逻辑观念又是从哪里来的呢？心理学的研究告诉我们，儿童的思维起源于动作。抽象水平的逻辑来自于对动作水平的逻辑的概括和内化。儿

15、童在两岁前，就已具备了在动作层次解决实际问题的能力。但是，要在头脑中完全达到一种逻辑的思考，则是在大约十年以后。之所以需要这么长的时间，是因为儿童要在头脑中重新建构一个抽象的逻辑。这不仅需要将动作内化于头脑中，还要能将这些内化了的动作在头脑中自如地加以逆转，即达到一种可逆性。这对儿童来说，不是一件容易的事情。举一个简单的例子，如果我们让一个成人讲述他是怎样爬行的，他未必能准确地回答，尽管爬行的动作对他来说并不困难。他需要一边爬行，一边反省自己的动作，将这些动作内化于头脑中，并在头脑中将这些动作按一定的顺序组合起来，才能概括成一个抽象的认识。儿童的抽象逻辑的建构过程就类似于此，但他们所面临的困难

16、比成人更大。因为在幼儿的头脑中，还没有形成一个内化的、可逆的运算结构。所以他们的思维具有外化的、动作的特点。而抽象的逻辑思维，则是通过对这些动作的内化而获得的。这里要特别提出的是，我们通常以为，抽象逻辑思维是在具体形象思维基础上发展起来的，所以具体形象对于逻辑思维特别是幼儿的逻辑思维是很重要的。事实上，我们承认幼儿的逻辑思维对具体事物的依赖性，并不是说幼儿的抽象逻辑思维是借助于具体事物的形象和头脑中的心理表象发展起来的。虽然心理表象在幼儿的逻辑思维中起重要的作用，但儿童的逻辑思维并不是表象的产物。心理学家皮亚杰的研究指出，幼儿时期的心理表象几乎完全是静态的表象，而没有动态的表象。这恰恰是因为，

17、幼儿还不能将一个动作完整地内化于头脑中，而只能在头脑中保持一些静止的图象。显然，这些静止的图象并不能导致儿童的逻辑思维的产生。况且，我们还会发现，幼儿所反映出的事物表象往往是不精确的甚至是错误的。比如，皮亚杰曾发现，在让幼儿画出一个倾斜45度的杯子的水面时，他们不是画得和水平面平行，而是和杯底平行。再如，尚未达到数目守恒的幼儿对两排一样多但所占空间悬殊的物体，也容易形成错误的表象。这些都说明幼儿的表象是受其思维影响的，没有理解就不会产生正确的心理表象。总结以上的观点，儿童的抽象逻辑思维，是在具体动作的基础上发展起来的。同样，儿童对抽象的数学知识的理解，也要经历一个从动作性学习到抽象化理解的发展

18、过程。这从儿童学数数的过程就可以明显地看出来：儿童先要进行“点数”，然后才过渡到“默数”的阶段。6.儿童学习数学有什么好方法？认识到动作对学前儿童逻辑思维发展以及数学学习的重要性，我们就能够理解儿童学习数学的很多现象，如为什么他们要掐着手指做算术，却不能在头脑中进行抽象的计算。事实上，如果说儿童学习数学有什么好方法的话，那就是?“操作式的学习”。所谓操作式的学习，就是指儿童动手操作，通过与材料的相互作用过程中进行探索和学习，获得数学经验和逻辑知识的方法。前面我们提到，儿童抽象逻辑思维的发展依赖于具体的动作。而在具体的动作中，儿童可以积累丰富的逻辑经验，这是其抽象逻辑思维发展的基础。我们还是以数

19、目的比较为例。如果我们问一个四岁孩子：“五个多还是六个多？”我们得到的答案往往会很失望，孩子也许刚刚说是六个多，一会儿又会回答五个多了。这说明他还不具备在头脑中对这两个数目进行抽象比较的能力。在这个年龄，他要能做到在头脑中呈现出五个或六个物体的具体表象就已经很不错了，再要让他在头脑中比较这两组物体的多少则是一件很困难的事情。可是，如果在动作的水平上就不一样了。儿童可以把两组物体分别排成一排，并且通过一一对应的方法，来比较出谁多谁少。这就容易得多。心理学告诉我们，动作水平的操作是儿童抽象逻辑思维发展的途径。儿童在操作活动中，可以获得对应、多少等逻辑的经验，这些逻辑经验起初依赖于具体的、外在的动作

20、，逐渐发展到摆脱具体的动作而成为一种内化的动作，也就是在头脑中对这些物体的表象进行对应、比较等逻辑操作，最终发展成为一种完全抽象的逻辑关系。当然，这个过程是极为漫长的。而学前儿童尚处在动作学习的水平，其内化过程还远没有完成。因此，对学前儿童来说，他们需要在动作的水平上即通过操作活动来学习数学。7.家庭中教儿童学习数学要注意哪些问题？对家长来说，对孩子进行数学教育既要考虑到儿童思维发展的特点和数学学科知识的特点，又要充分利用家庭生活的优势。而树立以下三个观念对家长来说至关重要：第一，逻辑观念的重要性远甚于数字的记忆。不必担心幼儿不会数数、不会计算，这都是由于他们还没有获得相应的逻辑观念。家长与其

21、让幼儿死记硬背那些无法理解的数学，不如给幼儿提供有价值的逻辑经验。如，配对的活动可以发展幼儿的对应观念，排序的活动可以发展幼儿的序列观念，分类的活动可以发展幼儿的包含观念，等等。这些看起来和数学无关，却是幼儿学习数学所必备的基础。第二，立足具体经验，指向抽象概念。数学的本质在于抽象。但是幼儿的抽象数学概念不是凭空而来的，它必须建立在具体的经验基础之上。所以不要急于让幼儿进行抽象的符号化的数学运算，而要充分利用具体的实物，让幼儿获取数学经验。当幼儿有了丰富的数学经验之后，即便大人不教，他们也会举一反三。如幼儿经常有平分物体的经验（分蛋糕、分糖块、分苹果等），他就很容易理解数学中的“二等分”的概念

22、。遇到其它类似的问题，他也会主动迁移自己的知识。在幼儿阶段，不应强求计算的速度，而要注重给幼儿丰富的经验。第三，生活是幼儿数学知识的源泉。幼儿的数学知识来源于他的实际生活。幼儿在生活中遇到的是真实、具体的问题，真正是他“自己”的问题，因而最容易被幼儿所理解，解决起来也比大人给他的那些问题容易得多。同时，当幼儿真正有意识地用数学方法解决生活中的问题时，他们对数学的应用性也会有更直接的体验，从而真正理解数学和生活的关系。例如，数字可以表示什么意思？面对抽象的数字符号，幼儿很难理解“数字就是表示多少”。但我们可以和孩子一起去寻找：生活中哪里有数字？它们表示什么？这样幼儿就很会得到很多具体而丰富的认识

23、。 8.我孩子的数学能力为什么会比同龄的孩子差？ 很多家长会因为自己孩子“数学能力差”而苦恼。他们会因此而给孩子“补课”，但往往又发现，自己怎么教都教不会孩子！应该承认，这样的现象确实存在。从儿童发展的整体来看，个别差异的存在显然是一个正常现象。而在数学学习领域，这种个别差异性似乎表现得更为明显。这是为什么呢？我们认为，这和数学知识的特点是分不开的。如前所述，儿童的数学学习和他的逻辑思维能力发展的关系密切。换言之，数学这个学习领域也就最容易表现出儿童思维发展水平的个别差异。因此我们就会看到，即使是年龄相仿的两个孩子，他们的数学能力也会有差异。如果自己的孩子数学能力“差”，作为家长应该怎么办呢？

24、请注意：在这里我们给“差”加了引号！之所以这样做是因为，我们认为儿童数学能力在发展过程中所表现出来的“差”，并不能简单地断定他就一定是“差”，更不能给他贴上一个“数学能力差”的标签。否则，不仅对孩子的发展不利，对家长的心态也不利。作为家长，应该认识到：每个孩子数学能力的发展，都遵循着同样的规律和步骤，即从动作水平的操作到抽象水平的运算。而在发展的具体过程中，则会表现出一定的差异，即有的孩子需要比别人更长的时间的时间来实现这一“飞跃”。对于这样的孩子，用“拔苗助长”的方法显然是不能奏效的，反过来，成人应该采取承认、跟随和等待的策略。具体地说：首先，承认孩子的发展水平。有的家长看到别的孩子能够算“

25、几加几”，而自己的孩子却还要借助于手指，就觉得很恼火，甚至粗暴地阻止孩子用手指算，这样做是不合适的。事实上，孩子这样做，恰恰说明他的发展水平还处在一个依赖于动作的阶段。其次，跟随孩子的发展过程。也就是要提供适合孩子现有水平的学习内容和学习方式，并密切注意其发展的表现。在适当的时候，我们可以向孩子提出更高的要求。最后，我们还应该拥有一份等待的心情。要相信，数学不是教会的，而是孩子自己的“发明”。我们的任务是为他们创设适宜性的学习和发展环境，等待他们的发展。按照心理学家皮亚杰的观点，儿童在较低的发展水平上停留较多的时间并不是一件坏事。它可以给孩子提供更多的具体经验，使得他今后的发展建立在更为坚实的

26、基础之上。9. 怎样发现孩子是否具有数学方面的潜能？我们常常听到家长或老师报告，某某孩子的数学能力超群。真的有这样的事情吗？不可否认，会有少数数学能力超常的孩子存在。事实上，每个孩子都是一个独特的个体，有其独特的发展表现。儿童之间的个别差异，既表现为发展速度和水平上的差异，也表现为发展的优势领域不同。有的孩子具有较好的数理逻辑能力，也有的孩子具有较强的空间方位能力，还有的孩子具有人际交往方面的天赋，等等。这正是每个人的独特性所在。只是由于我们的文化较多关注人们的数理逻辑能力，所以才导致具有这方面能力倾向的孩子被贴上“聪明”的标签。在我们这个重视“数理逻辑能力”的文化背景下，几乎每个家长都希望自

27、己的孩子具有较好的数学能力，希望知道自己的孩子究竟是不是具有数学方面的潜能。那究竟应该如何看待数学潜能的问题呢？首先，应该以一种“平常心”来看待儿童的数学潜能。如果把所以的儿童看成是一个整体的话，那些“不教自会”的“数学超常”的孩子只是其中很少一部分。而对于绝大多数孩子来说，他们也同样具有发展的潜能。其次，要用科学的方法来发现和鉴别“数学超常”的孩子。不能仅仅凭这个孩子会算很多题目就断定他的数学能力超常，事实上这样的孩子很可能是父母教出来的。而对于那些父母没有教过的问题，他们的反应和平常孩子并没有什么两样。我们所指的具有超常数学能力的孩子，通常具有一种对逻辑关系的敏感性，以及较强的抽象能力。他

28、们能够很快地领悟事物之间的逻辑或数学关系，并进行抽象的思考。而这种能力是很难直接教会的。第三，对于数学能力超常的孩子，我们要为他们提供适宜的学习环境，以促进其进一步发展，同时也要关注其非智力因素的协调发展。既要为他们提供需要抽象思考的具有挑战性的问题，又要帮助他们体会到数学的乐趣在于不断地思考，避免他们产生一种智力上的优越感。10. 为什么我的孩子对于学数学没有兴趣？怎样培养孩子对数学的兴趣？ 很多家长抱怨自己的孩子对数学没有兴趣：“每次我教他数学，他都不愿意听！”甚至有的家长担心自己的孩子不爱学习，以致忧心忡忡。究竟是怎么回事呢？殊不知，与音乐、舞蹈、绘画乃至科学等内容相比，数学知识的确有它

29、的特殊之处。数学既不像自然物那样具备外在的形象，也不像科学现象那样发生奇幻的变化，更不像艺术作品那样富于动人的旋律或鲜艳的色彩，儿童一般不会自发地对事物背后抽象的数学属性产生兴趣。他们感兴趣的多是那些色彩鲜明、形象生动、变化多端的事物。但是，如果我们选择恰当的教育内容，采用得当的方法，并加以适当的引导，同样可以激发儿童对数学的兴趣。以下方法可供参考：第一，从色彩鲜明、形象生动的具体物体入手，逐渐引导孩子认识事物背后抽象的数学属性。例如，引导孩子从具体的事物形象中寻找有哪些几何图形，或从一堆物体中发现其中的数量属性。第二，从孩子生活中熟悉和感兴趣的事物、事件入手，而不是从抽象的数学问题入手。如果

30、我们直接让孩子去答那些算式题目，他们当然会觉得厌烦，但是如果是生活中和他的利益休戚相关的问题（比如分糖果），孩子也许就会主动地去寻求解决了。第三，从可操作的活动入手，避免单纯的口头问答和数数。好动是孩子的天性。我们可以通过数数、摆放、排队、对应等具体的操作活动，来激发孩子动手操作的愿望。我们也可以设计一些纸笔活动（但不是写算式），完成作业单的任务也是孩子所喜欢的事情哦！总之，尽管数学没有吸引儿童兴趣的外在特征，我们也可运用各种方法，引导儿童参与到数学操作的活动中。当儿童在具体操作活动中真正体验到数学内在的魅力，就会使这种对数学操作活动的外在的兴趣转变成对数学本身的内在的兴趣。这种兴趣不仅是对数

31、学知识的兴趣，更是一种对理智活动和思维活动的兴趣。它会对儿童现在和今后学习数学的态度产生深远的影响。11.儿童是怎样学会数数的？ 我想你大概会认为数数是一件很简单、很容易的事。不错，在成人的眼里确实如此。但是你还记得小时侯学习计数的那段经历吗？你一定会说早就忘却了。那么就让我们从头开始，亲自把这个过程再做一遍并在头脑里细细地回味一下，你就能体会到孩子是怎样学会数数的了。去把你孩子放杂物的那个抽屉端来，假设里面有各种画片、扑克、数字卡还有识字卡。请你数数里面有多少张识字卡片。首先，你要在心中弄清楚要数的是什么样的卡片。于是你会撇开那些画片、扑克和数字卡，寻找那种正面是实物图画、反面是相应汉字的识

32、字卡片求同。然后，你开始把识字卡片挑出来放在一起，把不是识字卡片的留在了抽屉里分类。第三步，你发现识字卡片有的重叠在一起不便于清点，于是你将它们一张一张分开，或干脆把它们排成了一排。这样就不至于在数的时候漏数或重复地数了排列。第四步，你开始数那些识字卡了。你在数卡片时，早已知道用哪些数词来数并且知道这些数词的习惯顺序：“一、二、三”回忆数词。第五步，你在每念出一个数词时，就用手指点一下被数到的卡片，把数词和卡片一一对应起来配对。第六步，当你数到最后一张卡片时念出的数词假定是“17”，于是你就会说有十七张识字卡片。你有没有注意，原先你点到的最后一张卡是第十七张，可是当你说有十七张卡片的时候，这个

33、“十七”却包括了刚才数过的所有卡片！这是数数的最后一个步骤从序数到基数的转换。所以看起来简单的一件事情，却包含了这么复杂的过程，即：通过求同找出物体的共同属性。通过分类把物体分成具有某种属性和不具有某种属性的部分。将要数的物体进行排列。按习惯回忆数词。按顺序把物体和数词一一配对。把最后数到的一个数词当作基数来使用。事实上，儿童学习数数也是一个漫长的发展过程。根据心理学的研究，儿童大致经历了以下发展阶段：口头数数，按物点数，说出总数。口头数数阶段：儿童多数都像背儿歌似的背诵数字，带有顺口溜的性质，有时还会出现脱漏数字或循环重复数字的现象。他们并没有形成数词与实物间的一一对应关系，也不理解数的实际

34、意义。按物点数阶段：也就是一边数数、一边点物。起初，儿童的这两个动作往往是不一致的，逐渐发展到能够手口一致地点数。但是这一阶段的儿童还不能说出总数。说出总数阶段：这时儿童能理解数到最后一个物体，它所对应的数词就表示这一组物体的总数，也就是在数词与物体的数量之间建立起联系。一般来说，5岁左右的孩子，都能发展到这个阶段。12.儿童是怎样学会计算的？ 当你看到邻家与宝宝同龄的孩子能演算加减算式题时，是否也动了教教自家孩子做算式题的念头？但是结果也许会让你沮丧：你发现宝宝看着桌上的三块巧克力和又添上的两块巧克力，点一点数就说出有五块了，可他却不会做“？”的算式，即使你告诉了答案，过两天他又不会做了。于

35、是你不免会感到疑惑：儿童是怎样学会计算的？那就让我们一起来看看儿童加减运算概念发展的一般特点吧。儿童加减运算概念发展总的趋向是从具体到抽象，这与儿童思维发展的趋势是一致的。我们可将儿童加减运算概念的发展分为三个阶段或三种水平：动作水平的加减、表象水平的加减和概念水平的加减。孩子最初面临的加减运算问题都发生在日常生活中。例如：宝宝（4岁半）上午吃了两个果冻，下午又来要两个，妈妈只给了一个，并对她说不能吃得太多。于是宝宝把上午吃的和下午吃的果冻盒合在一块数了数，嘟着嘴嚷嚷：“人家才吃三个嘛。”像宝宝这样以实物等直观材料为工具，借助于合并、分开等动作进行的加减运算就是动作水平上的加减运算。动作水平的

36、加减能力是建立在初步的数概念基础和基本的计数能力基础上的运算水平。所有的孩子都将经历这一阶段，并在这一水平上停留相当长的一段时间。成人不可能也不必要人为地缩短孩子的这一进程。有句俗话说“磨刀不误砍柴工”，对儿童来说，没有积累丰富的动作水平的加减操作经验，孩子就难以进入到第二个水平?表象水平的运算。什么叫表象水平的运算呢？请看下面的实例：大山妈问5岁的大山：“咱家芦花鸡下了几个蛋了？”大山正剥着豆，他仰着脑袋转着眼珠嘀咕着：“前天数的时候是7个，这两天又下了两个，那就是（他低下头看着自己的两个手指）89，没错，妈应该有9个蛋了。”在这个实例中，大山不需要把鸡蛋箩拿出来看着数，仅在头脑里回忆出先有

37、了7个蛋，用两个手指代表又下的两个蛋，再以7为起点，看着手指逐一计数得到运算结果。这已与前面提到的宝宝的运算水平很不一样不需要用实物逐一从头点数，只借助物体在头脑中的形象即表象为依托。但大山运用的实际上是“顺接数”的方法（即在7的基础上继续接数），还不是用数群进行加减（即把7和2两个数群相加）。这种依托物体形象的运算就是表象水平的运算。学前期的孩子大多还处于上述两种运算水平上。而作为最高水平的运算?概念水平上的加减就是以数群与数群的直接运算为特征的。孩子在运算过程中已无需依靠实物的直观作用或以表象为依托，他们能够理解算式中每个符号的意义，知道同一道算式可以代表众多的类似情景（如“？”的算式可以

38、表示无数具体的事情），而且还能自如地运用算式进行运算。这是一种高水平的加减运算能力。孩子在经历了上述三个过程之后，我们就可以认为他学会了加减。这里要提醒你注意的是，不能以为孩子能够进行概念水平的运算就说明他不再需要动作水平和表象水平的运算了。在遇到较复杂的数量关系或较大数量的计算时，孩子仍需借助前两种运算方式。13.量和数有什么不同？儿童是怎样认识量的？平日里，我们经常是把“数”和“量”联系在一起使用的。这两个概念之间有什么不同呢？儿童是怎样认识量的？让我们一一来讨论。我们知道，数可以表示事物的多少或事物的次序。而说到对“量”的认识，却似乎不像对数的认识那样清晰。在我们身边，存在着各种各样的量

39、：你正拿着的这本书有长度、有宽度还有厚度，它与你看的其他一些书籍比较，封面也许正好一样大，也许比某几本杂志要小些。孩子跑过来了，要帮你把许多暂时不看的书抱到书橱里，你关照孩子一次少抱几本，因为你担心孩子的小胳膊承受不了书的份量。孩子抱了一趟很快折回来，你提醒孩子别跑，慢慢走从以上描述中，你可以体会到客观世界中的各种事物都具有量的特征。就像我们每天生活在数的世界中一样，我们每天也同样生活在量的世界中，数和量似乎没法分开。然而，量与数的确是有区别的。有人对“量”做了这样的规定：“量是事物存在的规模和发展的程度。量可以分为不连续量（分离量）和连续量（相关量）两种。”像书籍的本数、孩子的人数都是不连续

40、量，而长度、体积、时间、速度等都是连续量。量是可以通过测量等手段来加以认识的，事物具有的量的特征称量度，量度通常是用量数和单位量来表示的。”由此说来，如果说“数”（我们这里指的是自然数）是用来标示事物个数和次序的标记，那么“量”就是标示事物性状的单位。孩子其实从很小的时候就在日常生活中与量打交道了。最初，孩子对量的特征的认识更多凭借的是自己的感觉，他们能知觉到物体的大小差异，但对其他的量的认识还没有分化，因此他们把诸如长短、宽窄、厚薄等量的差别一概说成“大”和“小”。另外他们对量的认识也不具备相对性，常常把物体的“大”或“小”看成是物体的绝对特征而非比较的结果。 孩子到了45岁，随着思维水平的

41、提高和语言的迅速发展，他们能够比较精细地区分出物体的长短、高矮、粗细，会用不同的词语表达不同的量，能判断相等量，会按量的差异进行排序，但还不能达到量的守恒。56岁时，孩子对量的认识精确性进一步提高，对量的相对性也有了较好的了解，同时还能用一些简单的工具来帮助解决量的比较和测量任务。总之，孩子对量的认识表现出从直观感知到抽象概念的认识过程：对量的差异性感知从明显的差异到不明显的差异；对量的理解从绝对到相对；对量的语言表述从模糊、不精确到逐渐精确。14.要不要教孩子用尺子学测量？在回答这个问题之前，让我们先来了解一下测量的含义以及儿童学习测量需具备的心理准备。 测量又叫计量，就是把一个量同一个作为

42、标准的同类量进行比较的过程。作为标准的量可以是某种标准的计量单位，如公分、公尺、公斤、公升等，也可以是各种自然物，例如：火柴棒、回形针、笔套，小勺、小瓶，甚至是我们的臂长、脚印长、跨步等，我们不是常常用手来量一量为孩子织的毛裤有多长吗？那就是用手掌作为计量单位。用这些计量单位去计量某一个量，得到这个量是计量单位若干倍的结果，这就是测量的实质。通常我们会看到：孩子翻出了一根软尺或一根直尺，就到处去比划。他们竭力模仿着成人量物体的动作有的用手捏着软尺的两头，像系裤带似的在物体周围围上一圈，还打个结；有的在物体边一小段一小段地移动着直尺，还煞有介事地数着：“一尺、两尺”。这说明他们至少知道尺子是用来

43、量东西的。可他们却怎么也得不出正确的测量结果。看到孩子执着却徒劳的忙着，你一定很想教教他（她）。但是你知道吗？幼儿学习测量是相当困难的！这是因为，测量的过程中蕴含着一种逻辑运算。以长度测量为例，儿童要学会测量，必须具备三个基础的逻辑观念：第一，要能够很好地运用数来表示物体的量。（如：用五个手长来表示裤长等）；第二，要有长度守恒（用计量单位量得的长度与实物是等长的）与距离守恒（计量单位之间是等长的）的观念；第三，要能理解计量就是把一个整体单位划分为许多相等的小单位，而且这个整体单位和许多相等的小单位之间也是等长的。如果孩子的认知能力没有达到这三点，他就不能理解和学会我们所教的测量方法。所以，我们

44、就不难理解为什么学前儿童很难学会正确的测量方法了。正因为他们没有建立起上面所说的逻辑观念，在测量时，他们也就不会注意尺的起点是不是和测量对象的起点一致等等基本的问题了。根据心理学的研究，儿童要到小学阶段才有可能学习正式的测量（即用标准测量工具进行测量）。在学前阶段，我们则可以教儿童利用身边的自然物即非标准的工具来进行“自然测量”。孩子用吸管作工具来量一量桌子有“几根吸管长”，要比用尺子来测量容易的得多，也感兴趣得多。同时，孩子还有机会运用数概念，体验把一个整体分解成部分，以及部分与部分置换的运算结构，从而建立测量单位体系的观念，为日后学习计量做好准备。几何与空间15.儿童要学习几何吗？儿童要不

45、要学习几何？这也许是困扰很多家长的问题。之所以产生困惑，主要有以下几个可能的原因：其一，在很多家长的印象中，数学就是数数、加减、组成等有关数的知识，并不包括几何形体；其二，几何形体是人们用来确定物体形状的标准形式，是对物体形状的抽象概括，其难度远远超出了孩子的思维发展水平，在大多数父母的记忆中好象是从小学阶段开始接触几何形体，在初中阶段，几何才成为数学课程的内容之一。这么小的孩子怎么可能学习几何形体呢？事实上，数学学习的内容之广泛，不仅包括数与量，还包括逻辑以及几何空间等。几何形体是其中重要的组成部分。在孩子生活的周围环境中，处处可见不同形状的物体，如长方形、圆形的饼干，方方的手绢、圆圆的大眼

46、睛、皮球、圆柱体的杯子、长方体的书、各种形状的积木、方凳子等，因此，孩子不可避免地要接触到几何形体。我们认为，问题的关键不是学不学几何形体，而是学到什么程度和怎样学。是的，如家长所理解的几何形体知识，在孩子很小的时候确实并不能够掌握，但是孩子可以获得有关几何形体的一些最最初步的经验，这将为以后学习抽象的几何形体概念奠定感性基础。因此，家长可以在日常生活中结合具体的情景，引导孩子关注身边的几何形体，丰富孩子有关几何形体的经验。例如，圆圆的轮子就可以滚动，如果是方形的会怎样呢？积木的形状有各种各样，要搭一个房子需要哪些形状的积木呢？这些问题，其实对幼儿来说并不难。在儿童生活经验的基础上，他们完全能

47、够分辨不同的图形及其特征，理解几何图形之间的关系，甚至还能区别平面图形和立体图形。16.儿童对几何形体的认识是怎样发展起来的？任何事物的发生与发展都要遵循一定的顺序，儿童对几何形体的认识也不例外。我们可以从以下四个方面来看儿童对几何形体认识的发展过程：（一）儿童认识各种几何形体的难易顺序儿童对各种几何形体的认识，遵循着一定的先后顺序，主要表现为由二维空间向三维空间的过渡，即先认识平面图形，再认识立体图形。在平面图形中，一般是先认识圆形，然后正方形、三角形、长方形、半圆形、椭圆形和梯形等。而认识立体图形的顺序一般是：球体、正方体、圆柱体、长方体。儿童掌握几何形体的难易顺序与形体本身的复杂程度有关

48、。如菱形是邻边相等但没有直角的平行四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。这两种图形的特征对儿童来说就不易认识。但是，孩子认识几何形体的难易顺序，也与他们的生活经验及受到的教育训练有关。孩子对日常生活中经常接触的形状认识起来比较容易，同时如果成人适时地教导也会使他较早地掌握几何图形的特征。如一般的孩子对菱形、梯形不易认识，但是，在实践中我们也发现，若得到成人的悉心指导，他们也同样可能掌握。（二）儿童对几何形体名称的掌握过程儿童将对几何形体的感知与它的名称联系起来需要经过配对指认命名的过程。配对指找出与给定的范例形体相同的形体，它完全依赖于对形体的直接感知和模仿；指认指按成人口述形体的名称，找出

49、相应的形体，这一阶段形体知觉开始与相应的词汇建立联系；命名是指说出给定形体的名称，用抽象的词来称呼相应的形体。命名一般标志着初步认识某种几何形体的完成。配对、指认、命名逐层内化，因此，配对最容易，指认次之，命名最难。（三）儿童几何形体概念的形成过程儿童认识几何形体的过程实质上是概念形成的过程，如“三角形”不是指某个具体的图形，而是一个抽象的概念。儿童对几何形体的认识，则是要借助于实物形状，并遵循着从具体到抽象的过程。其中经过了几何形体与实物等同、几何形体与实物作比较、几何形体作为区分物体形状的标准等三个阶段。例如，第一阶段，孩子会指着圆形说：这是“饼饼”“太阳”，会把长方形称为“鱼缸”“火柴盒

50、”，第二阶段，会指着圆形说像“太阳”、像“饼干”，第三阶段，会说大盘子、小碟子都是圆形，皮球、苹果都是球体。17.儿童对几何形体的认识是“看出来”的还是“摸出来”的？儿童究竟是怎样认识几何形体的呢？也许你会以为儿童是“看出来”并且“记住”的，确实，很多成人都以为认识几何形体很容易，只要用眼睛看就能在头脑中留下有关几何形体特征的印象，剩下的就是记住它的名称了。然而事实并不完全是这样。如果我们希望孩子像你一样一“看”就能辨别出各种不同的图形，那就太难为孩子啦。在儿童认识几何形体的过程中，“看”和“摸”是两条必不可少的途径。通过“看”，儿童可以从整体上把握形体的特征，通过“摸”，儿童则可以较细致地感

51、知形体的特征，如形体是有棱角的，还是四周光滑的？是立体的，还是平面的？等等。儿童心理学研究表明，通过动作即操作摆弄物体来达到对事物的认识是儿童认识的必要途径。在认识几何形体的过程中更是如此。孩子认识几何形体需要通过视觉和触摸觉的联合活动，并辅之以语言，才能达到对形体的充分感知。视觉方面：起初是匆忙感知，或只注意到形体的某一个突出特征，如三角形是有“尖”的；然后发展到用眼睛观察形体的内部，好象在观察形体的大小；最后，眼睛能沿着形体的外部轮廓运动，能注意到形体的典型部分。触摸觉方面：起初是用手抓握物体，而非抚摸；然后发展到用一只手掌和手指的根部触摸，指尖不参加触摸过程；最后才是用指尖连续地触摸感知

52、形体的整个轮廓。由此可见，在认识几何形体的过程中，视觉和触觉的经验都是必不可少的，而且它们是的发展具有同步性。因此，家长在教育过程中，应给孩子提供一些较为标准的几何形体的实物，同孩子一起操作、摆弄，一起探究发现几何形体的特征，必要时可以给予适当的讲解。如给孩子提供一些食品袋里的圆形、三角形的卡片（旋风卡等）让孩子顺着图形的边用手指摸一摸，问孩子有什么不同？若孩子说不出来，家长可以提示孩子着重摸摸三角形卡片上有棱角的地方，问你发现了什么？也可以请孩子拿笔顺着卡片的四周，画出卡片的轮廓，在画的过程中来感知圆形和三角形的不同。或让孩子试着滚动圆形和三角形卡片，问为什么圆形能滚动，而三角形却不能？也可

53、以把圆形卡片和三角形卡片重叠摆放，观察两者的区别。让孩子的多种感官都参与到其中吧！让它们充分地动起来，在做中感知，在做中学。实验研究也表明，当视觉、触觉、动觉相结合时，儿童对几何形体的感知效果是最好的。18.什么是空间能力？空间能力的发展和儿童学习几何有什么关系？空间能力，又叫空间意识，是指对于二、三度空间图形与其特征、图形之间的相互关系、和图形变化结果的内见与直觉，简言之，是个人对其周遭环境以及环境中物体的一种直觉。在数学与心理学文献中，空间意识通常被指为空间知觉或空间视象化，因为儿童是透过他们的眼睛看到了型式、图形、和物体的方位与移动。例如，美国学者霍佛把空间能力分为七项能力：眼与动作协调

54、能力，通俗地讲，就是心到眼到手到；图形背景知觉能力，即能从背景中分辨出图形（参见图1）；知觉恒常能力，即能辨别以各种方式呈现的图形以及能分辨其与类似之几何图形；空间位置知觉能力，即有能力去寻求空间中的一个物体与自己的关系，如在前、在后、在上、在下、在旁等；空间关系知觉能力，即有能力看出二、三个物体与自己的关系或这些物体间彼此的关系；视觉分辨能力，即能指认物体间相似或相异之能力；视觉记忆能力，即能正确回忆现已不在视线内的物体并且能将其特征联结于其他看得见或看不见的物体。之所以认为空间知觉能力是学习几何图形概念的基础，是因为：空间能力中的这几项能力是孩子在学习几何形体时必不可少的。例如，当要求孩子

55、画出几何形体或用面团、橡皮泥等捏出几何形体时，孩子必须具有“眼与动作协调的能力”；当要求孩子认识到转了30 度或45度的正方形仍是正方形时，或说出三角形的“尖尖的”不在上面时仍是三角形时，他必须具有“图形恒常知觉”。孩子在了解某种图形的概念时，他必须在“视觉”上理解该图形，以三角形为例，孩子要先认识它并且能从其他图形中分辨出来，接着他必须用手描其外形轮廓与学习看着图照画，最后，孩子从记忆中画出三角形，而以上这些均涉及空间知觉能力。可见，空间能力是儿童掌握几何形体概念的基础。19.儿童空间能力发展的规律是什么？空间是客观物体存在的形式，任何物体都存在于一定的空间之中，并且同周围的其他物体存在空间

56、上的相互位置关系，也就是空间方位关系，一般用上下、前后、左右等词语来表示。空间方位的概念具有相对性，如我在天花板下面，在地毯上面；可变性，如爸爸在我左边，妈妈在我右边，当我转身180度之后，原来的方位就变成：爸爸在我右边，妈妈在我左边；连续性，如玩具小猫在我的左前方、玩具小狗在我的右前方。空间方位的这几个特征，决定了孩子对空间方位关系的辨别，既有赖于空间知觉能力的发展，又有赖于思维能力的发展，特别是思维相对性的发展。可见，辨别空间方位对孩子来说是一个难点。 我们会发现孩子从很早开始，就能通过他的视觉、触觉等感官和周围世界中的物体相接触，探索它们的空间关系。孩子能够移动自己的身体，以接近目标物体

57、，或者伸手拿取特定位置的某个物体。尽管孩子不能用语言明示物体之间的关系，但他们已具备了在动作水平上处理空间关系的一定能力。随着孩子思维水平的发展，孩子的空间概念也逐渐发展起来。这表现为他们能将自己对周围物体位置的感知，逐渐转化为抽象的空间关系。一般来说，儿童空间能力的发展遵循着一下规律：第一，先认识自己身体部分的方位，然后到能以自身为中心来辨别空间关系，最后学会以客体为中心来辨别空间关系，即先认识上边是头，下边是脚，前面是脸，后面是背，左边是左手，右边是右手；然后认识自己的前面有电视，后面有衣柜自己的左边有小型自行车，右边有一个小朋友；最后才能认识桌子上面有杯子，桌子下面有皮球，电脑前面有书，

58、书后面有笔，妈妈的左边有毛衣，爸爸的右边有公文包； 第二，从绝对的空间概念过渡到相对的空间概念，即孩子最初会认定玩具在自己的左边，坚决否认同时同一个玩具在别人的右边，慢慢地开始认识到空间关系是相对的；第三，上下、前后、左右依次发展，即先认识上下、然后是前后，最后是左右；第四，随着年龄的增长，孩子辨别空间方位的区域也不断扩展，从只能认识靠近自己身体、并且正对着自己的物体的方位，逐渐发展为将前后左右两个维度的方位看成一个连续的整体。数理逻辑经验20.数理逻辑经验指的是什么？它对于儿童学数学有什么重要性？心理学家皮亚杰提出了“数理逻辑经验”这个概念，并指出它是儿童认知发展的重要条件。那么，什么是数理逻辑经验呢？这要从他对儿童经验（知识）的分类说起。他把儿童的经验分为三种：物理经验、数理逻辑经验和社会经验。所谓社会经验，就是依靠社会传递而获得的经验。在数学中，数字的名称、读法和写法等都属于社会经验，它们都有赖于教师的传授。如果没有教师的传授，儿童自己是无法发现这些知识的。物理经验和经验都要通过儿童