怎样建立数学模型

1、怎样建立数学模型 一、什么是数学模型和数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似的)描述. 而数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程, 数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工具, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具. 许多重要的物理现象, 常常是从某个实际问题的简化数学模型的求解中发现, 并给予明确的数学表述, 例如, 混沌、孤立子、奇异吸引子等. 数学建模本身并不是什么新东西. 纵观科学技术发展史, 我

2、们可以看到数学建模的思想和方法自古以来就是天文学家、物理学家、数学家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主要方法. 不过数学建模这个术语的出现和频繁使用是20世纪60年代以后的事情. 很重要的原因是, 由于计算的速度、精度和可视化手段等长期没有解决, 以及其他种种原因, 导致有了数学模型, 但是解不出来, 算不出来或不能及时地算出来, 更不能形象地展示出来, 从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性, 数学建模的重要性逐渐被人“淡忘”了. 然而，恰恰是在20世纪后半叶，计算机、计算速度和精度，并行计算、网络技术等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展, 给了数学建模这一技术以极大的推动, 不

3、仅重新焕发了数学建模的活力, 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力. 而且，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域. 现在数学建模以及相伴的计算和模拟(Simulation, 有人也译作“仿真”)已经成为现代科学的一种基本技术 数学技术. 在各种研究方法, 特别是与应用电子计算机有关的研究方法中, 占有主导地位. 在科技、经济和政府部门的一部分人中, 在某种意义下, 甚至已经成为一种生活方式(way of life), 数学建模无处不在. 在抵押贷款买房和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和方法. 人们越来越认识到数学和数学建模的重要性. 在大、中学的教材中经常出现各种各样的数学模

4、型, 因此, 学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生, 以至生活在现代社会的每一个人, 必须学习的重要内容.在部分中学, 都开设了数学建模课; 自1992年开始举办的“中国大学生数学建模竞赛(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 CUMCM)”已经成为我国大学生课余最大的科技活动. (想了解CUMCM更多细节的读者可以访问网站 ). 于1985年开始举办的“美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 MCM)”以及与1999年起开始增加的“美国大学

5、生跨学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling, 缩写为 ICM)”也是我国大学生非常乐于参加的数学建模竞赛, 近年来这两个竞赛有一半以上的参赛队来自中国. (想了解MCM和ICM更多的细节的读者可以访问网站 ).对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型(数学问题). 实际现象通常都是极为复杂的, 不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1. 对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面); 2. 对实际问题进行必要的抽象、简化，作

6、出合理的假设(往往是很不容易的); 3. 确定要建立的模型中的变量和参数; 4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题; 5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法; 6. 数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等) 来验证结论是否合理、正确, 这也是很不容易的; 7. 如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就

7、要回到第 1 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。因此，如果要对数学建模下定义的话, 那就是: 数学建模就是上述7个步骤的多次重复执行的过程. 或用框图来表示如下：观察、分析实际问题 抽象、简化，确定变量和参数 利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系（数学问题, 这个层次上的一个数学模型） 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型）解释、验证 通不过 通过可应用该数学模型由此可见, 数学建模过程中最重要的三个要素, 也是三个最大的难点是: 1. 怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而得到可以执行的合理的数学模型; 2. 怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是非常困难的问题; 3.

8、怎样验证模型的结论是合理、正确、可行的. 所以, 当你看到一个数学模型时, 就一定要问问或者想一想它的假设是什么,是否合理? 模型中的数学问题是否很难, 数学上是否已经解决? 怎样验证该模型的正确与可行性? 当你在学习有关后继课程或参加具体的数学建模活动时牢记这三条, 一定会受益匪浅. 另外, 在建模过程中还有一条不成文的原则: “从简单到精细”, 也就是说, 首先建立一个比较简单但尽可能合理的模型, 对该模型中的数学问题有可能解决很彻底, 从而能够做到仅仅通过实验观察不可能做到的事情, 甚至发现重要的现象. 如果在求解该模型的结果不合理, 甚至完全错误, 那么它也有可能告诉我们如何改进的方向

9、. 要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题, 还要学习“双向翻译”的能力, 即能够把实际问题用数学的语言表述出来, 而且能够把数学建模得到的(往往是用数学形式表述的)结果, 用普通人(或者说要应用这些结果的非数学专业的人士)能够懂的普通语言表述出来. 二、可口可乐罐头为什么是这种样子?可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少? ” 实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的正圆柱体,

10、 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为多少? 表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则用微积分的典型的解法是.结论: 正圆柱体的直径等于高.测量一个可口可乐饮料罐:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高: 约为6厘米和12厘米. 中间胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米. 可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升(即 355 立方厘米). 实际的罐内体积为 365 毫升.怎样测量比较简捷? 简化模型分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上，饮料罐的形状是如下

11、平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。my = AbsoluteThickness2,Line2.3,0.4,2.3,0,2.7,0,2.7,0.8,3.3,0.8,3.3,11,3,12,3,12.4,2.7,0,-3,12,-3,12.4,-3,12,-3.3,11,-3.3,0.8,-2.7,0.8,-2.7,0,-2.3,0,-2.3,0.4mygrapg = ShowGraphicmy,AxesLabel->x,y,AspectRatio->Automatic, PlotRange->0,12.4用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉),

12、 假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作, 顶盖的厚度为 . 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积(或者每单位体积的材料的价格). F=AbsoluteThickness1,Line-3.1,0,3.1,0,3.1,12.4,-3.1,0,-3,0.1,3,0.1,3,12.1,-3,12.1,-3,0.1mygrapg = ShowGraphicF,AxesLabel->x,y,AspectRatio->Automatic, PlotRange-

13、>0,12.5 明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数. 饮料罐侧面所用材料的体积为 饮料罐顶盖所用材料的体积为 饮料罐底部所用材料的体积为 所以, SV 和 V 分别为, 因为 , 所以带 的项可以忽略(工程上用的近似方法, 是合理的假设或简化吗?). 因此记 . 于是我们可以建立以下的数学模型：其中 S 是目标函数，是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,

14、求罐的体积最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解：方法1: (从约束中解出一个变量，化约束极值问题为求一元函数的无约束极值问题)从 解出 ,代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使最小. 求临界点: 令其导数为零得解得临界点为 , 因此测量数据为 h/r=2, 即 , 即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 为验证这个 r 确实使 S 达到极小. 计算 S 的二阶导数所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临界点只有一个, 因此也是全局极小. 方法2: 利用算术几何平均值不等式：，当且仅当时等号

15、成立.(n = 2,3 时有明显的几何意义: 周长一定的矩形中正方形的面积最大; 三边长的和一定的长方体中立方体的体积最大.) 算术几何平均值不等式是一类等周不等式. 令 , 于是有 ，当且仅当 时等号成立，即在处达到极小值. 结果相同. 注意， 如果不忽略高级无穷小量，那么把 ,代入，得求临界点，得因此又因为 . 所以 是唯一的临界点，因而是全局极小点. 当, 即高等于2倍的直径时，制作饮料罐时所用的材料最省.验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为 按照计算, V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米.

16、 下面只是一种可能的考虑. 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的正圆柱体. 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米. 然后, 我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2

17、 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量. 由锥台和正圆柱体组成的容器的数学建模?(见习题)有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比例看起来最舒服, 最美? 此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或

18、材料方面的要求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 同学们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的经验紧密结合. 还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数学建模. 可以参看有关的阅读材料.习题(任课教师可以自行配置习题)1. 如果正圆柱形饮料罐, 上底的厚度为其它部分厚度的 3 倍, 饮料罐的总面积固定, 求能够使其体积最大的饮料罐的尺寸(直径和高之比). 2. 试证明, 在周长相等的矩形中, 正方形的面积最大. 试证明, 表面积相等的长方体中, 正方体的体积最大. (到市场上去考察各种箱包、容器的尺寸, 并给予一定的

19、解释.) 3, 假设饮料罐的剖面图如下图所示 上半部分是一个圆锥台, 下半部分是一个圆柱体. 如果顶盖半径为3厘米, 圆锥台的高为1厘米. 设圆柱体的半径为r厘米, 高为h厘米.求罐内体积固定时,表面积最小的罐的尺寸. 4在正圆柱形饮料罐的最优设计中, 你有没有发现什么规律性的事实？5正椭圆柱形状的饮料罐的设计. 求长轴为短轴K倍的正椭圆柱体积一定时能使其表面积最小的短轴和高的比. (提示: 长轴为 a，短轴为 b (a> b>0)的椭圆的面积为，它的周长为 .虽然它不能用初等函数表示, 但是当给出 a 和 b 的具体数值时, 可以用数学软件来计算它的值. 若令 称为第二类不完全椭

20、圆积分, 或Legendre第二类椭圆积分, 是一类重要的特殊函数.) 4. 太空船(航天飞机, Space Shuttle)里的水箱的外形是由半径为 r 的球放在一个正圆锥上形成的, 形如我们通常吃的冰淇淋的样子. (其中心纵断面的图形见下图).圆锥体的底部直径等于球体的半径(见上图). 如果球体的半径限定为正好为6英尺, 设计的水箱表面积为460平方英尺, 请确定球拱高和圆锥体高的尺寸, 使得水箱容积最大. 试着从约束中解出一个变量, 化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题, 手算容易吗？再用数学软件试试, 体会数学软件的优势. 什么情况下数学软件是可以信任的, 什么情况下会出问题.圆

21、锥部分的体积 被圆锥所截后的球体部分的体积水箱的总体积 圆锥的表面积被圆锥所截后的球体部分的表面积水箱的总表面积 . 问题为从约束条件解出 代入, 这些都还可以手算, 手算求临界点可行吗? 为什么要用数学软件包就成为必须考虑的问题. 考试题目1. 什么是数学模型和数学建模; 数学建模的难点是什么? 2. 如果圆柱形饮料罐(易拉罐)顶盖的厚度是其他部分厚度的两倍. 罐内体积一定时, 能使材料最省的罐的直径和高之比为多少? 研究性课题(或数学实验题, 自由结成小组来做)如下图所示的碗状容器. 若体积和高一定, 能使表面积最小的上、下底的半径为多少? 阅读材料 一、 关于数学模型和数学建模 从各种不

22、同的角度论述数学模型和数学建模THE ENCYCLOPEDIA AMERICANA International Edition. 2001, Volume 18. M to Mexico City, Complete in Thirty Volumes, First Published in 1829, P486.Mathematical Model, a mathematical representation of a physical system, in which the variables are assigned values and the relationships betwe

23、en the variables are expressed in mathematical form.A mathematical model is different from a physical model. For example, we can make a physical model of the solar system by setting spheres, representing planets, at various distances from a large sphere at the center, representing the sun, and movin

24、g them in orbits around the sun by a motor drive of some sort. In contrast, a mathematical model of the solar system would be concerned with the masses of the sun and planets and the distances between them; would describe the force between bodies as varying directly as their masses and inversely as

25、the square of the distance between them; and would predict the elliptical planetary orbits that are in fact found in the solar system.In the edition we have, the entry for “Mathematical Model” is in Volume 3 (of 6) and spans two columns total from pages 784-785 - probably a total of 1½ pages of

26、 text. Hazewinkel, Mochiel, Encyclopaedia of mathematics, an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Ecyclopaedia, v. 3, pp. 784-785. 共6卷.Dordrecht; Boston, Kluwer Academic Publishers, c1995. ISBN: 1556080107 (ed. compl.) 数学百科全书第三卷，科学出版社，1997，pp. 647-648.原为 , v. 1-5, . 主编, ，1977

27、 1986. 英译本名 Encyclopaedia of mathematics, an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Ecyclopaedia, (Hazewinkel, Mochiel ), v. 3, pp. 784-785. (共6卷). Dordrecht; Boston, Kluwer Academic Publishers, c1995. 数学模型 Mathematical model; 对外部世界某类事件用数学符号体系表示的一种(近似的)描述. 数学模型既是认识外部世界的有力工具也是预测

28、和控制的有力工具. 数学建模(Mathematical Modeling)的过程, 也就是借助数学模型对现象进行研究(的过程), 可以分为四个阶段. 把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法, 特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中, 占有主导地位. 数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段, 并且能预测新的现象. 数学模型已被证明是一种重要的控制方法. 他们已应用与非常不同的知识领域, 并且已经成为经济规划中必要的工具以及自动控制系统中的基本组成部分. . . 撰 A (rough) description o

29、f some class of events of the outside world, expressed using mathematical symbolism. A mathematical model is a powerful tool for understanding the outside world and for prediction and control. The analysis of a mathematical model allows the essence of a phenomenon to be presented. The process of Mat

30、hematical Modeling, that is, the study of phenomena with the aid of mathematical models, can be divided into four stages. The method of Mathematical Modeling, reducing the investigation of the phenomena of the outside world to mathematical problems, occupies a leading position among methods of resea

31、rch, particularly in connection with the appearance of electronic computers. It allows one to design new technical means of working in optimal regimes for the solution of complex scientific and technical problems and to predict new phenomena. Mathematical models have been shown to be an important me

32、ans of control. They are applied in very diverse domains of knowledge and have become a necessary tool in economic planning and an important element in automatic control systems. (. . 是一位著名的应用数学家, 在1980年左右就已经有这样的见地, 是很有远见的.) * The mathematical description is called a mathematical model, and the proc

33、ess of obtaining it is called mathematical modeling. (p.3) mathematical modeling is the process by which a problem as it appears in the real world is interpreted and represented in terms of abstract symbols. (p. 4) D. N. P. Murthy, N. W. Page and E. Y. Rudin, Mathematical modeling: A Tool for Proble

34、m Solving in Engineering, Physical, Biological and Social Sciences, Pergamon Press, 1990, xvi + 339 pp. International Series in MODERN APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, Volume 20. * Without definite examples to focus our thinking, it is easy to get entangled in a quasi-philosophical discussi

35、on of just what a mathematical model might be. To avoid this, I present a dogmatic statement on modeling and proceed to consider an elementary example, returning later to the philosophical caveats and more general consideration. A mathematical model is a representation, in mathematical terms, of cer

36、tain aspects of a nonmathematical system. The arts and crafts of mathematical modeling are exhibited in the construction of models that not only are consistent in themselves and mirror the behavior of their prototype, but also some exterior purpose. Aris, Rutherford, Mathematical Modeling: A chemica

37、l engineers perspective, M, p. 3.Process systems engineering, v.1, San Diego: Academic Press, c1999. xxi + 479 pp. * A mathematical model is a representation, in mathematical terms, of certain aspects of a nonmathematical system. The art and crafts of mathematical modeling is the construction of mod

38、els that not only are consistent in themselves and mirror the behavior of their protptype, but also serve some exterior purpose. (p. 3) Rutherford Aris, Mathematical modeling: A Chemical Engineers Perspective, Volume 1 of PROGRESS SYSTEMS ENGINEERING A Series edited by George Stephanopoulos and John

39、 Perkins, Academic Press, 1999, xxi + 479 pp. * K. Borovkov(U. of Melbourne, Australia) Elements of Stochastic Modeling, World Scientific, 2003, xiii+342pp. 教材, 有习题解答model an “imitation(模仿，模拟)” of the system of interest, first studies and/or “simulates” that model. A mathematical model is a (rough)

40、description of a class of real world phenomena expressed using mathematical symbolism. It is a powerful tool not only for understanding the underlying laws, but also most importantly from the application point of view for predicting and controlling the behavior of the modeled systems. 数学模型是用数学符号对一类实

41、际问题或实际发生的现象的(近似的)描述。它不仅是了解基本规律，而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具。* Edited by Gravemeijer et al.,Symbolizing, Modeling and Tool Use in Mathematics Education, Mathematics Education Library, v. 30, Kluwer Academic Publishers, 2002, iv+306pp. From Preface: In recent years, the role of symbols and mod

42、els has become a central topic of attention in (research on) mathematics education. * Tibor Müller, Harmund Müller, Modelling in Natural Sciences Design, Validation and Case Studies, Springer, 2003, ix + 459 pp. From Preface: In fact we come to the conclusion that there are literally“model

43、s everywhere”. 二、有关饮料罐头的各种讨论James Stewart,微积分(上册) , 白峰杉 主译, 高等教育出版社, 2004年7月第1版, pp. 353-354. 微积分(上册)(面向 21 世纪课程教材)，同济大学应用数学系 编，高等教育出版社, 1999年9月第 1 版, pp. 352-353. “Aricrite公司在限制条件下怎样为制作圆桶下料”, (张燕勤 编译自 J.D.Huntley, D.J.G.James ed., Mathematical Modeling: A Source Book of Case Study, Oxford Universit

44、y Press, 1990, pp. 393-412.)数学建模教育与国际数学建模竞赛,工科数学专辑, 叶其孝主编, 1995, pp.292-298.三、等周问题(Isoperimetric Problem)经典等周问题 两曲线在它们的周长相等时称为等周.在给定长为L的Jordan曲线J中, 求所围面积为最大的曲线, 这就是经典等周问题, 也称为特殊等周问题(Special Isoperimetric Problem)或Dido问题(Didos Problem)等. 这个问题的解答是圆周. 对应于三维空间, 问题的解答是球面. 也就是说, 在具有给定的表面积的闭曲面中, 球有最大的体积. 把

45、它推广为变分法问题: 在积分值常数 的条件下, 求使得泛函(函数的函数) 为最大的曲线y = y(x). 这一变分问题. 有时也称为广义等周问题(Generalized Isoperimetric Problem). 求解经典等周问题的方法, 除变分法外, 也可以从图形的各种量之间的不等式来证明. 例如，关于Jordan曲线J所围的面积F和它的周长L，恒有而等号则仅限于圆的情形。这就是经典的等周不等式(Isoperimetric Inequality). 数学百科辞典，日本数学会编，科学出版社，1984，p. 767 - 768. (等周问题的)可以追溯到希腊以前的时代. 有一个故事说: 古代

46、腓尼基的提尔城(也称为推罗国)的公主狄多(Dido)被迫离开自己的家园定居在北非的地中海沿岸. 在那里她指望得到一块土地, 并同意付给一笔固定的金额来换取用一张公牛皮能围起来的土地. 精明的狄多把公牛皮切成非常细的条, 把条与条的端点结起来, 再去围出一个面积(一片土地), 其周长正好等于这些细牛皮条的总长. 而且她选的土地都是靠海的, 所以沿海岸不用牛皮条. 根据传奇所说, 狄多决定牛皮条的总长应围成一个半圆 围出最大面积的正确形状. 古今数学思想，美 M·克莱因 著，上海科学技术出版社，1979(2002)，第2册，p. 325. 思考题：你能不能给出上述问题的确切的数学描述？T

47、he Legend of Princess Dido. According to the epic Aeneid, Dido (pronounced “Dee Dough”) was a Phoenician princess from the city of Tyre (now part of Lebanon). Her treacherous brother, the king, murdered her husband, so she fled the city and sailed with some of her loyal subjects to Carthage, a city

48、on the northern coast of Africa. She wished to purchases some land from the local ruler in order to begin a new life. However, he didnt like the idea of selling land to foreigner. In an attempt to be gracious and yet still spoil Princess Didos request, the ruler said, “You may purchase as much land

49、as you can enclose with the skin of an ox.” Undaunted, Princess Dido and her subjects set about the task by slicing the ox skin into thin strips and then tying them together to form a long band of ox hide, and foiling the rulers malicious plan. (See, Hildebrand, Stefan and Thrombi, Anthony, Mathemat

50、ics And Optimal Form, Scientific American Books, 1985.) The Classical Isoperimetric Problem. Two curves are called isoperimetric if their perimeters are equal. The term curve is used here to mean a Jordan curve. The classical isoperimetric problem is to find, among all curves J with a given paramete

51、r L, the curve enclosed the maximum area. This problem is also called the special isoperimetric problem or Dido problem. Its solution is a circle. The analogous problem in 3-dimensional space has a sphere as its solution; that is, among all closed surfaces with a given surface area, the sphere has t

52、he maximum volume. The following variational problem can be regarded as a generalization of the classical isoperimetric problem: To find the curve C: y = f (x) that gives the maximum value of the functional under the subsidiary condition This is sometimes called the generalized isoperimetric problem. The classical isoperimetric problem can be solved by variational methods. 亚历山大里亚城在公元前332年建于埃及. 约在公元前290年