数学教学的基本策略附中讲座

1、数学教学的基本策略涂荣豹(发表于在南京师大附中听讲座2007.9. 江苏教育出版社)我今天报告的题目是“数学教学的基本策略”。关于教学的基本策略，我还没有很深入成熟的思考。讲到教学策略，究竟有哪些教学策略，或者说教学的策略究竟是什么，我在概念上还不是很清楚。但是，我想有关教学的一些基本的东西，总是可以作为基本策略的。在我头脑的概念里，策略应该比原理要具体，原理的理论性应该更强一些，策略应该介于操作和原理之间。策略可以指导操作，但是它又没有固定的程式或具体步骤可循，所以策略比操作要抽象一些，但是比原理具体一些，或者说是原理的具体化。关于教学策略这个问题，我想谈三个方面的策略。第一是教什么的策略，

2、第二是怎么教的策略，第三个是解题教学的策略。这些都是中学教学重要的基本问题。关于教什么的问题，记得去年11月初，附中搞了一次高一新课程公开课活动，当时我对公开课作了一个点评，我在点评记录稿基础上形成了一篇文章，发表在中学数学教学参考今年第一、二期合刊上，反响比较好。我对教学的认识与对教学一般的认识不太相同。一般认为教学就是 “教师教”，“学生学”；我认为教学是“教师教学生学”，更强调教师“教学生学什么”。我提出这样的想法，与这几年深入中学数学课堂进行了实践研究有关系。把“教学”理解成教师“教”，学生“学”，很容易形成“教师教什么，学生就学什么”的一种局面，学生往往就处在被动学习的地位。如果把“

3、教学生学什么”换在“教什么”的位置上，那么就不是具体的“教他什么”，而是教他“你学什么”。他很可能不知道学什么，但是通过你的引导，让他发现要学什么。这就是教“学什么”。“教学生学什么”呢？第一是教学生“学习建构新概念、新方法”。不是我把概念、方法拿出来你来学，而是教你“建构新概念、新方法”。这时可能新概念或者新方法还没有呢，而是通过我的教学，你来建构这个“新概念、新方法”。第二是教学生“学习科学研究一般方法”。数学是一门科学，它的研究方法与其它科学的研究方法应该是相通的，尽管它的对象是抽象的形式化的思想材料，我们仍然可以借鉴实验科学的研究方法，只不过数学主要是进行头脑里的思想实验。我们的教学除

4、了要求学生掌握知识以外，可能真正要学生掌握的就是这种“科学研究的一般方法”了 。因为掌握了一般方法就可以利用一般方法去学习任何东西。这是“教”的一个内容。“教”的另一个内容是，“教学生怎么学”。“教学生怎么学”就是教学生“用科学研究的一般方法去学”。现在你要学生学习构建新概念和新方法，那怎么建构呢？就要用一般的科学研究的方法来建构，这当然就要教学生学习一般科学研究方法。教他学习一般科学研究的方法，并不是一般意义上的“教”，而是引导他在用的过程中学，也就是在用科学研究的一般方法建构新概念、新方法的过程中，学习一般科学研究的方法。这同“在游泳中学游泳”，“在做数学中学数学”是一个道理。这个过程同时

5、就在教他怎么学了。那么，什么是科学研究的一般方法？数学研究一般可以概括为四个组成部分，或者是四个研究阶段。第一个阶段就是提出问题，这个是毫无疑问的。在数学课里如何提出问题，总体有两种。一种是教师提出问题，另一种是学生提出问题，最好是学生提出问题。但是进入高中阶段以后的数学，它的问题往往不是学生能够直接提出来的，即使是初中阶段，依赖学生有限的生活经验要提出数学问题，还是有困难，所以主要是教师提出问题。当然，教师提出问题的方式是多种多样，一种是构建一个数学问题的情境，就是问题；另一种是设计一些实际情境，比如说生活的一些画面情景，来提出问题。提出问题，这个是最重要，因为问题是数学的心脏，继而发生的一

6、切数学活动都是围绕问题来展开的。提出问题，其目的是为了要解决问题，但并不是一步就能解决。因此在提出问题以后，接着要提出解决问题的假设和思想。怎么样才是解决问题，或者说问题解决以后它是一个什么状况呢？要假设，要猜想。这个问题被解决以后应该是什么样子，要假设。这样你就有了一个目标，就要设法实现这个假设，或者去验证这个假设，或者是修正这个假设，当然也可能否定这个假设。这样一来，数学研究的活动就开始了，先提出问题，再提出解决问题的假设和猜想。提出假设以后，就要建立这个研究对象的数学模型。要实现这个假设的话，我可能现有的知识和方法不够用了，那就要在中间不够的地方增加一些东西。这个增加的东西往往是概念。概

7、念是怎么提出来的呢，有一个宗旨，不是为概念而概念，是为了解决问题而提出必要的概念。在解决这个问题的过程中，很可能现有的概念不够用，因为现有的概念不够用，所以我就来提出新概念，因而就来引导学生去建立新概念。这样一来，就是引导学生学什么了，学什么学习建立新概念。所谓建立新概念也好，新方法也好，新的公式也好，在数学里都是建立一种模型。于是你就提出所研究对象的一个模型了。对于这个模型或者是概念，或者是关系，或者是一些定理和公式，从数学上来讲，还要尽可能用数学语言来描述它们，就是用数学语言来描述这个概念，或者说用数学符号建立这个数学模型，给出一个数学符号的表达式。这个过程，是一个建构的过程，是学生经历了

8、若干具体的对象，然后抽取它的本质特征而形成的。 有了新概念以后，在这个概念的基础上，要想解决问题，还要研究解决问题的工具，就是设计工具，或者改造已有的工具，或者是创造一个工具。在高中数学里，创造的部分还是比较多的，后面我会用一些例子来说明。创造一个工具，然后用这个工具来解决问题，用这个工具来解决问题的过程中，将形成说明这个对象及其活动变化规律的一整套理论，那就是知识。最后再利用知识去解决具体的问题，形成解决问题的方法，因为解决问题的过程中，还需要一套方法。我举一个计数原理的课例。我研究课例的方式，是摄像以后把全部学生、老师的对话全部记录下来，其中个别的有点不一样。然后把记录稿分为两栏，左边是上

9、课老师的教学文字记录，右边是研究的评注，就是对整个的教学过程做一些研究性的说明。我着重于研究的，并不是评价这个课上的怎么样，我觉得应该从研究的角度，这节课应该怎么上，这节课得到了什么，或者还有可以再提高的地方。这节课一开始，教师就给出一个问题情境：一个学生考上了北京大学，要从南京去北京上学，去的过程就有交通工具和路线的选择，这样就把两种计数原理的模型具体化，用现实生活的实例作为数学模型一个具体模型，“模型”一般指理论上的抽象模型，抽象模型的实际原形常常也叫做“模型”，例如生活原形。这节课所创设的情境是以实际生活为背景提出的数学问题，是这节课要解决的数学模型的生活原形。 这两个数学问题情境，暗示

10、了两种数学模型。一个是分类计数的模型，一个是分步计数的模型，就是这两个数学模型。我们常讲“数学是模型科学”，怎么来理解？实际上每天我们都在接触模型，大大小小，有的直接，有的间接，但是我们在中学阶段大多是直接接触。通过这两个问题，学生对这两个模型有了初步的感知体悟，但是，这个模型的数学本质究竟是什么？这个问题核心的思想是什么？还需要深入思考和探究，于是在提出两个模型以后，要学生思考两个小问题：第一个情境中这两个问题有什么异同；第二个你能不能够把这个问题解决，能不能把解决方法一般化。 这个时候，学生就要带着这两个问题来回顾两个模型，就会针对教师提出的思考题，对应情境中间的两个问题提出一些质疑和思考

11、。实际是让学生进入孔夫子讲的“愤”“悱”状态，让他自己质疑，释疑。他产生疑惑了以后，你教师不直接去告诉他是什么，而是要他去寻找一般的规律。这已经是一种启发，表面上没有结论，实际上在暗示，暗示你要去寻找规律。要寻找这个规律，你就要把本质的东西异同提炼出来，同在什么地方，不同在什么地方。为了让学生理解和提炼模型的本质，更合适的是向学生提出这样的要求：“我提出了两个问题情境，代表了两种模型，你能不能举出类似的问题。”这个要求的用意是，学生如果能举出类似问题，那就表明他对这个问题的本质有所感悟。他如果不能，就说明他对这个问题的本质理解还有欠缺，还没有抓到本质。这时候正好，不同的举例就把学生在对本质理解

12、方面存在的问题反馈给你。等到学生都提出各式各样问题以后，拿出来一比较，一分析，哦，这个举例大家公认，反映出来的与模型中问题的本质是一致的；那个举例呢，有所不同，与模型中的问题有差异，实际是对模型中问题的本质没有把握住。这时候大家来一起分析，一起修正，这样学生就会经历既寻找共同属性，又寻找不同属性的这样一种过程，从而把共同的本质属性提取出来。学生独立编制反映模型的不同问题的好处，就是能够进行情境迁移。刚才你提的两个问题是这个学生到北京上学，是交通工具和路线的问题。学生想到的可能就不是交通工具的问题。课堂上实际举例时，有学生举的例子是中午到食堂买饭配餐，是买饭，还是面条；然后买什么菜；再买什么汤。

13、这样就形成了一个类似的问题。这时，他涉及的情境就和交通工具完全不是一个事件，但是他能够把模型的本质迁移到这个事件上来构造问题，表明他对这个模型本质的认识已经很好。所以我主张，要让学生在情境上进行大范围迁移。 今天我上午也听了一节课，有个学生利用的生活经历就是吃麦当劳，买什么套餐，有哪几种套餐，套餐里面配什么主食，配什么饮料，配什么点心。更有学生提出CBA篮球联赛场次的问题，更复杂一些。学生们一听这些非常熟悉的东西，讨论积极，气氛活跃。这样学生就把模型问题的本质迁移到其他的一个个情境中了。通过不同情境的迁移来编制问题，从而抽取问题的本质，用这种方式所把握的本质的迁移性就高，迁移的价值就大。学生越

14、是在不同情境下认识问题的本质，就越能促进他对问题本质的把握。从教育心理学理论可以知道，迁移的能力越强，解决问题的能力就越强。因为解决问题，都是在新的一种情境下来解决的。 第二个你在让学生编题的过程当中，先要让学生自己编，然后交流，四人小组一交流就是四个问题，至少不会与你的问题相同。但这个前提是先独立思考，独立编题，然后再交流。这也就是现在独立思考与合作交流的一种关系。数学学习第一是独立思考，而且从培养和教育人的角度，首先是培养独立思考的能力。如果一个人经过教育的培养以后，不能独立思考，什么事情都要依赖别人，没有别人在旁边帮助他就做不了决定，那肯定不是我们教育所希望的人。所以独立思考，独立探究，

15、非常重要，通过这样一个独立思考，自己提出各种各样类型的问题，就是在建构这个问题的本质性东西。独立思考以后，把自己的意见拿出来与大家交流，交流的过程当中再进行交锋，“你同意不同意”，“你有什么新的补充”，“你能不能说得更准确一点”。这些语言都是一种带有鼓励激励的作用，暗示或者是提示。暗示和提示其实差不多，我教师始终没有告诉你这是什么，只是要你能不能改善一下，能不能说得更好一点，什么是改善，什么是好，你自己判断。说的过程中，你说他说，最后达成共识某一种说法最好。这样人人都参与了，大家都提高了。这样一来就把他们的意图概括提炼出来，这当中有本质的属性也有非本质的属性，在概括的过程当中非本质的属性舍去，

16、留下来就是本质属性。这个过程就是用启发或者暗示来帮助学生。到底模型中问题的本质属性是什么呢？他想要表达清楚，而表达的过程中总是表达不清楚，这时老师给他一点暗示或者提示。这就是“不悱不发”，他有所“悱”了，你老师点拨他一下，然后他“发”。在这个过程中舍弃了非本质属性，提取了本质属性。这是典型的数学活动过程，数学活动过程就是要把对象共同的属性概括出来，把非本质属性舍弃。同时，在这个过程中也学习了科学研究的一般方法。一般科学方法是先提出问题，然后提出问题的假设。提出问题的假设，就是提出问题本质属性的假设。实际上学生在构造自己的实例的时候，就在提出假设了，提出猜想了，然后通过讨论验证假设，通过对编制的

17、众多问题的概括提炼，把这个概念建立起来。建立了什么概念？分类的概念和分步的概念。这是新概念。这个新概念就是，从计数的角度有两个模型，分类计数模型和分步计数模型。这两个模型的本质是一个是分类，一个是分步。学生把它们的本质概括出来，新的概念就建立了。不仅建立新概念，还要求学生考虑能不能把刚才解决问题的具体方法一般化。前面学生编制的例子很多，每个例子都有一个解决方法，现在要求他把体现在各个例子中的方法的一般化。因为经历的例子很多，学生把方法一般化是可能的，只不过是语言的准确性、简练性可能一时难以达到完美。我们对语言的要求不必太高，只要感觉到他的意思对了就行，每个学生能够用自己的语言把数学的对象描述出

18、来，就行了。不是要他与书本上数学的定义一字不差，他用自己的语言描述出来就行，然后教师帮助他把语言精练一下。这样新的概念建立了，新的模型产生了，最后又创建了新的方法。 经历了这个过程以后，到这个时候，教师就教学生学到了分类和分步的计数两个数学原理。怎么学会的呢，是在一个过程经历中学会的。什么过程经历啊？这个过程经历，不是告诉他程序，第一步是提出问题，第二步是建立模型，第三步提出猜想。这些程序是老师需要清楚知道的，学生只要经历按程序进展的过程。如果学生在多年的学习中，经常经历这样的过程，通过长期这样的熏陶，就会自然而然地逐步的把这种研究问题的方法的铭刻在心，这比记住方法的程序步骤更重要。教师因为要

19、教，所以要搞清楚方法的这些程序步骤，但是对学生来讲是通过方法的运用，把方法变成他自己的东西。一旦遇到问题就随时拿出来，下意识地去运用这种方法。所以不是记住程序步骤，而是让他反反复复地经历、体验，到那个时候用这个方法，就是在无意识的按这个方法去解决了。 我想，这就是在教学生学什么。其实我们很多课里面都有学什么的问题和怎么学的问题，记得曾经有节课讨论过一个问题，03年两个新西兰的数学教育专家到南师大附中来参观听课，内容是“到角”公式的建立，就是“一条直线到另一条直线的所成的角”的公式。这个“到角”是俗称，并非科学名词。上课伊始，教师从已学习了直线平行和垂直位置关系的刻画，引导学生发现和提出课题任意

20、两条相交直线的位置关系如何刻画？在这之前只有“夹角”的概念，但是要刻画平面内的任意相交直线位置关系的时候，夹角的概念就不够用了，自然先要建立新的概念“到角”的概念。建立这个概念，不是老师告诉学生。假如告诉学生，那就没有什么意思。而如果由学生自己设法刻画，就发现用“夹角”刻画会出现矛盾，这说明原有的“夹角”概念不够用了。那怎么办？提出新的概念呀！提出什么样的新概念呢？大家讨论想办法，经过多次假设、争辩、验证、修改，提出可以用“到角”刻画，也就是用“以交点为中心，一条直线逆时针旋转到另一条直线时的角度”来刻画。这样一个新的概念就提出来了“一条直线到另一条直线所成的角”简称“到角”。那怎么来计算这个

21、“到角”呢，假如能够找到一个公式就好了，接着来探究这个公式。这个教学过程就把“教学生学什么和怎么学”的思想体现出来了。老实说，“计数原理”这节课上好不容易。老师一般觉得“分类和分步”的教学很简单，一下子就能够把学生讲懂。但是你把学生讲懂，与你让学生通过一系列类似于科学研究的活动，自己去真正把本质搞清楚，提取出来，并且建立新概念，这样一种搞懂完全不是一回事情。你告诉他，碰到这个问题就用乘法，碰到那个问题就用加法，他就把这些记住，那他就变成一个记忆的工具和实施的工具，而不是一个独立能动的思想者。所以这节课中的两个计数原理，就是两个新的数学模型。我们老师在教的时候，头脑里是不是这样的认识。可能很多老

22、师没有这样的认识，没有把它当作数学模型来认识。所以，这节课教学设计前提就是你对数学模型的认识，以及对数学模式本质的理解。如果你不这样理解，这节课的对象你就不可能把它作为学习数学模型去组织教学。那我就只要三五分钟讲一讲，把“什么是加法原理，怎么算；什么是乘法原理，怎么算”告诉学生，然后举两个例子，题目一布置，学生肯定会做起来，只要模仿嘛。那他就只能解解题，套用模式，而对模型的本质完全不知，对科学研究一般方法的学习更是全无。 你告诉他以后，他就不可能去意识这些，就不可能把今天要学的东西当作一个探索的对象来学习，不把它当作一个不知道的东西，不会如此这样的一种满怀求知欲望地去学习。他也不会知道，在这个

23、过程中我还能够获得科学研究的一般方法，因为没有这个过程嘛。如果是直接告诉，那我们就丢失了一个给予学生这两个方面培养的良好机会。 这是我讲的第一个问题，就是教学生学什么和教学生怎么学，学习任何知识都要把它当作学习建构新概念和新方法，还要学习科学研究的一般方法。但是这个科学一般方法的学习又不是机械的，而是把方法用到建构新概念和新方法的过程中来学。所以这个科学研究的一般方法，既是他要学的东西又是他要用的东西，他在用的过程中来学，在用的过程中不断领悟科学研究一般方法的本质，不断提高运用科学研究一般方法的水平。这是第一个问题。第二个问题就是“怎么教学生学”。既然要教学生学，当然就有一个“怎么教”学生学的

24、问题。实际上，刚才讲“教学生学什么和怎么学”的过程当中，已经蕴涵了“怎么教”学生学的问题。总体上来讲，你怎么教学生学呢？教师要作为一个课堂“教学向导”来教学生学什么和怎么学。我想，“教学向导”这个概念可能我们还第一次听说，这是一门新的学科“学习科学”提出来的观点，但是目前还没有引起我国教育界的重视。我对这个新概念非常感兴趣，为什么？因为我认为这就是“教师主导”的真正含义所在。平时我们讲“学生是主体，教师是主导”，总是分不清楚。原因在什么地方？教师的“导”是向导，不是领导，不是主宰，不是以权威自居。不过教师是向导的主角。课堂上“教学向导”有很多，不仅仅是老师，课本、教具、同学、环境等等都是教学向

25、导，但是在众多的教学向导中，教师是“主角”，是“教学向导的主角”。这样理解，我觉得更准确。原来，教师是课堂上“主要的教学向导”是这样的“教学主导”。否则的话，总是分不清楚主导和主体的关系，究竟哪个是“主”？我想，这个关于“教师主导”的认识可能会比较准确、清楚了。 教师怎样才能成为教学向导呢？就是把学生放在探究的地位上，让他自己去探究，自己去发现，让他成为一个主动的学习者。这个时候，教师就是一个向导和引导了：认不得路了，带一下；看不清楚方向，指一下；甚而至于不指，只是暗示一下，提醒一下而已。暗示和提示是杜威的著作思维与教学里提出来的。这个“暗示”，我觉得特别好，在我们数学教学中进行“暗示”最好，

26、我们不能告诉学生，但又不能完全不讲，那怎么办？我就给一个“暗示”，看你学生能不能获得这个暗示。我不明讲，让他自己感悟，这就有了一个学生感悟的过程。探究教学，要用“从无到有”的探究方法来解决。每个新的知识、新的问题提出来的时候，都要按照一个“从无到有”的过程来进行探究。这个新知识我还没有，或者这个新问题我还不会解，这不是“无”吗？然而这个“无”并不是真正的无，为什么呢，学生已经拥有一些知识、方法和经验，只不过这个新东西本身不知道。现在，我用已有的东西可以使它“从无到有”，使这个无变为有。为什么强调“从无到有”？因为必须是“从无到有”才是真正的探究。 之所以要强调“从无到有”就是要突出“探究”，没

27、有“从无到有”的过程就没有探究。“从无到有”就能够使得学生从不会到会，不懂到懂，不明白到明白。从我们中国目前的现实条件和现状来看，探究教学主要有两种形式：一种就是“以学生自主活动为主的探究”以“探”为主，另外一种是“教师引导下的学生主动探究”以“导”为主。两者有什么区别呢？实际上可以看到，前者教师引导是次要，是少量的，后者教师引导是主要的，引导是比较多的。在本质上来看，“以学生自主活动为主的探究”是学生自主活动，自己主宰自己的活动，那就包含一个寻找目标的过程。自主探究中，学生的目标还不清楚，需要在探究的过程中明确目标，要找，首先要把目标找到，然后再寻找新的目标，一个一个新的目标要靠自己寻找。“

28、教师引导下的学生主动探究”就是一种目标引导的探究，老师通过引导暗示他的探究目标，这个目标是不明确的，是暗示，但是仍然是一种目标，或明或暗，由暗到明。我比较提倡这种“由暗到明”的引导探究，这样能使一个班上不同思维层次的几十个人，各种水平的学生，都能获得探究的机会，得到相应的提高。因为学生获得暗示是与他的悟性有关，与他的能力有关，悟性高、能力强的学生，给一个隐蔽的暗示他都能获得。就像“计数原理”这节课的最后，教师问：“你们通过这节课有什么收获？”这似乎是一个无边无际的问题，但悟性大的学生有收获，他想到，当然是通过这节课的活动来总结有什么收获啰。但是一些悟性比较低的学生就想，我有什么收获啊？觉得这个

29、问题漫无边际，对他来说这个暗示太不明白了，他不知道要收获什么东西。这个时候，就把目标明确一下：“通过这几道题你有什么收获？”于是他就知道了，是解这几道题以后我收获了什么。但是也许还有学生觉得解这几道题能有什么收获？这时教师再进一步明确：“这几道题是用前面学习的原理解决的，那么你对这两个计数原理的运用有什么收获啊？”这样他就会明白了。这样一步一步地暗示，由暗到明，越来越多的学生就在不断的概括自己的收获，逐步的有少到多得到收获。最后当然可能还有少数学生概括不出收获，那么老师就让学生把自己概括的收获相互交流，汇合起来让所有的学生都明确，这样每个学生的收获就大了。但是我们这个概括收获的工作往往是老师来

30、做的。一节课完了，教师把规律、要点归纳一下，没有学生的思考，没有学生的归纳，这就叫告诉，还有一种变相告诉好学生告诉一般的学生。告诉学生是最不好的。用发问来引导学生探究的时候，每提出一个问题，都先不要回答。最初提一个远离目标的问题，悟性好学生明白了你的隐喻，就先行概括总结；然后靠近目标再提一个问题，又有一些学生感悟到你的隐喻；以后不断地接近目标发出一个个问题，实际是一个个由远及近的暗示，这使得不同层次的学生都能在相应的水平上感悟出你的隐喻。在交流心得的时候，让悟性最低的学生先说，最后让悟性高的学生说，这样所有的学生都有不断获得提高的感受。如果让悟性高的学生先说，无异于让他去告诉其他学生。你的启发

31、是由远及近，由对悟性高的学生到对悟性低的学生启发，而在概括心得的时候是由低到高，先让悟性低的学生概括，逐步到让悟性高的学生概括。这样一来，所有的学生或者说多数学生都会得到好处，多多少少都会得到，不论悟性高的、低的，都能得到提高，每个人都在自己相应的水平上获得提高。即使那些悟性低的学生，也可以在数学智力方面提高一点，当然不可能提高到最高水平，但是不要看不起他。他仅仅是对数学的悟性不高，他可能对其他的某些东西悟性高，根据多元智力理论，每个人有不同的智力强项嘛。数学悟性不高没关系，其他的悟性高也行啊，拉琴，唱歌、画画、运动等等，他这些方面悟性高，将来照样成材。这怎么说呢？数学好就是好学生，数学不好就

32、是差学生，这个不对。为什么呢，数学的悟性高的学生，对其他的悟性不见得高。我们国家重视数学，什么选拔考试都要考数学，为什么呢？因为一般认为数学好的人聪明，当然全世界都有这样一个共识。的确，数学学得好一点，表明抽象思维强一些，但抽象思维不能代替一切，进入21世纪，形象思维更重要，并不是抽象思维才至高无上。这两种探究方式在中国的情况下的数学教学是最合适的。为什么？一是我们中华民族思考方式，就是有一个孔夫子总结的“不愤不启，不悱不发”这样一个特点。他再怎么独立思考，也不是一想就成功的，我们也没有那么多的时间给他想，不像外国的学生，他有的是时间，这个问题想不好，可以什么事情都不干，光想这个问题。我们不行

33、，语文、物理这些课总要开，他可以其他课本都不学，今天我就学这个，他们学校允许，国家制度也允许。我们的教学总要围绕目标，规定进度，所以教学中必须学生的独立思考与教师的启发点拨相结合。 二是数学学习特点的要求。数学毕竟完全靠自己去探究发现的可能性不大，至少问题的提出不容易，像“负负得正”，学生无论如何也不会想到，要他从生活中找一个事例能够说明负负得正，他找不到，只有老师来帮他找，有时老师也找不出来。这两种探究模式实际上与两种启发方式有关系，或者说与两种启发策略有关系。我们探究的过程，教师的作用是向导，就是引导，怎么来做向导？怎么来做引导呢？靠启发。启发有两大策略，我把它概括成两大策略，一个是“愤诽

34、术”，一个是“产婆术”。“产婆术”大家都知道，“愤悱”我们知道，“愤悱术”可能很少听说。数学讲究对称，我想既然有“产婆术”，也可以有一个“愤诽术”，它的核心内涵就是“不愤不启，不悱不发”。这两种启发的策略的本质需要搞清楚。很奇怪，“愤诽术”是以探为主，体现地道的建构主义思想，恰恰是我们中国的孔夫子提出来的，“愤悱术”启发策略是道道地地的建构主义思想。来自古希腊的“产婆术”倒是平时不被我们认为是彻底建构主义思想的策略，是反过来的。为什么呢？“愤诽术”是“不愤不启，不悱不发”，学生必须去独立思考，产生疑问了，但究竟质疑的是什么，或明或暗，达到“愤”的状态，你教师及时“启迪”，使他豁然开朗。对种种疑

35、问，他经过深思熟虑明白了其中的一些真谛，但说不清道不明，滞陷于“悱”的迷茫，这时候教师再启发他，使他拨云见日。这不是典型的学生在自主活动吗，所以“愤诽术”是适宜以学生自主活动为主的探究中的启发策略。当然并不是说其他的探究中就不适合用，其实以学生自主活动为主的探究有的大，有的小，有的是整节课进行这种探究，有的是在几分钟里进行这种探究。在几分钟的探究里，也可以是以学生自主活动为主的探究，那就使用“愤悱术”。像刚才我举的例子中，前面一段15分钟探究，既有老师引导的学生主动探究，又有以学生自主活动为主的探究。“产婆术”是古希腊哲学大师苏格拉底的启发模式。苏格拉底从来没有著作，他的思想是通过柏拉图的著作

36、流传于世的。他一生就是给学生提问题，教学生的方式就是提问，他提问题学生回答。但是，他只提问而不告诉你答案，那么学生就要主动去思考，主动去学习，所以是教师引导下学生主动探究。他提出问题，你必须自己去想，自己主动思考，思考以后你的想法有了，讲出来。他发现你的想法有问题，于是又提出问题，当然他主要是反诘，找出你想法的漏洞，你再去思考。问答就如此不断进行下去，所以“产婆术”又叫“问答术”。这样一来就是以教师引导为主，以教师启发为主。他每次发问就是给你一种暗示，或者一个目标。这就是一种目标引导的探究，教师设问提问，学生思考求答，这样的探究过程是一种“目标引导的探究”。每次设问都是给出了一个目标，尽管这个

37、目标有时是明确的，有时候是隐蔽的。 不论是“愤诽术”，还是“产婆术”，你的启发用提示也好，暗示也好，都是用发问的方式，并不是简单的告诉。不论“愤启”的关系，或者“诽发”的关系，你总归是发问。为什么要发问呢？发问能真正使学生独立思考，去解决问题。而且数学跟其他学科有不同的地方，数学教学中的启发，主要是提示或者是暗示。你用提示或者暗示来进行，实际目的在于要学生通过感悟获得这个提示或暗示。提示和暗示的最根本的特点，就在于你不告诉他结果，结果一定要他自己去寻找，自己得出来，不论学什么都要他自己去进行。 数学启发教学的方法主要是设计情境。设计情境有多种方法，一种是设计问题情境，一种是真实的生活情境，或者

38、能够揭示数学本质的多媒体的动态情境。创设情境来发问，可以使得这个发问很自然，不是很生硬地牵强的，是水到渠成。前一个问题解决的同时，新的问题很自然地跟出来。问题这样自然连贯地发生，学生的探究就以连续性的思维自然而然进行，知识就自然而然在头脑中“流淌”出来，而不是我们灌输进去。问题是自然地一个一个产生的，解决了前一个问题就自然产生后一个问题，这个问题在思维的延续的活动中自然地出现，然后自然地解决，知识也就自然地形成。数学教学中，主要的启发行为是教师引导下的学生主动探究，也就是这两种探究形式中的第二种，我想70%，甚至多于70%是教师引导下学生探究，因为数学的对象是抽象的思想材料，思想材料就必须要通

39、过大脑去想，完全要学生自己把今天要学的问题从生活中提出来，是不太现实的。比如说，有一次我听指数函数的教学，老师设计的情境是房地产价格问题，学生对这个情境熟悉，但是要他根据这个情境抽象出一个数学模型，就很困难。这个问题对应的是以指数函数为基础的数学模型，学生直接构建不太容易，那么就要进行教师引导下的学生主动探究。教师要进行引导性发问，这个发问我们叫提示，或者暗示。但是究竟什么样的发问是属于提示，还是属于暗示，我对它有一个大致的认识。关于“启发性发问”主要是利用三类提示语：一类叫“元认知提示语”，一类是“认知性提示语”，还有一种“方法论意义的提示语”。我认为“方法论意义的提示语”是最好的一种，本质

40、上它也一种元认知提示语，但更具方法论意义，我就把它单独列为一类。元认知提示语是给出了一种提示，但不涉及具体知识，这样的提示语就是元认知提示语。解决某个问题要怎么思考，我给你提示，但是并不涉及具体知识或具体方法。认知性提示语就涉及具体知识。这样才会有由远到近的提示。距离目标远，是元认知提示，不涉及具体的知识，但是到你最后要去启发那些感悟能力比较弱的学生的时候，就是运用认知性提示语了。启发只用元认知提示语，是不科学的。不是对所有的学生都用一种提示语，对不同的学生应该用不同的提示语，根据学生悟性的高低用不同的提示语。对悟性高的学生，用元认知提示语就可以让他产生感悟；对悟性稍低一些的学生，减少一些元认

41、知成分，多一些认知成分，实际是与目标接近一些，他也能感悟；以后提示的认知成分越来越多，越来越靠近目标，一直到揭示目标。这叫做“分级提问”。不要怕他不能感悟目标，就直接揭示目标。你必须让他经历这个过程，经历由元认知到认知性提示的过程，最后他会想到，噢，你从元认知发问到认知性发问实际只是同一个问题，这就使所有学生的悟性在他的层次上都能得到一定的提高，他这个悟性的发展就明显。 这就是“教师引导下的学生主动探究”。有人可能要问，教师引导为什么还是学生主动探究呢？因为教师提出问题还是要学生去思考，去回答嘛。苏格拉底只提问，柏拉图必须回答问题嘛。我还是用一个例子来说明吧。 我用“对指、对函数关系”这节课为

42、例来说明。 这节课里，教师有很多提示语，他自己可能不一定有意识。但可以说明他在平时教学中有所感悟，才会提出一些问题类似于启发性提示语。比如说，他这儿有一段，“学习完了一段知识以后我们要有一个习惯，就是能不能把这些知识横向联系起来。”这虽然不是一个问题，但是一个有方法论意义的提示语，提示你要横向联系所学的知识。这个提示虽然提到了知识，但它是泛指所有的知识，不涉及某个具体知识，所以是元认知提示语。 “你有没有想法了？你打算怎么研究？”这个是元认知提示，是与研究的方法相关的提示。然后学生进行横向对比，对比结束后，教师说“对比完了，有什么样的发现？”这还是元认知提示，他没有问“对它们的定义域有什么发现

43、啊？对它们的值域有什么发现啊？”这样发问就涉及具体知识，那就没有什么意思了，你相当于直接告诉他“你在定义域上、值域上去寻找吧”，那学生还能学什么思想方法呢？“我们其他同学还有没有别的想法，你是怎么研究的？”这个地方教师不明说，而是用元认知提示语暗示学生可以通过另一种方法研究，研究函数除了用解析式就是用图像。学生获得了暗示，提出可以画函数图像来研究。教师就用几何画板画出图像来，让图像运动起来并反复演示，然后提示学生：“你们觉得这两个图像成什么关系？”更好的可以先暗示：“你不是要通过图像研究吗？现在研究出什么来了？”这样又是“由远及近”的发问。然而他那个暗示比较明白，两个图像“成什么关系”，只能是

44、“成对称关系”。其实“成对称关系”正是你启发的目标，你的暗示明显指向目标，离目标很近，所以是认知性提示语。后面那个发问没有明确提出“成什么关系”，只是“研究出什么来了”，暗示指向不很明确，离目标就远一些，这个发问元认知成分就多一些，认知成分少一些了。如果你发问指向很明白，学生无须思考探究，当然不假思索地嘴里蹦出“两个图像对称”。这样的发问，学生几乎无须经历“从无到有”，因而不能达到启发探究的目的。“两个图像对称？那你能证明吗？你打算怎么想？”“你能证明吗？”认知性发问；“你打算怎么想？”元认知提示语。学生做了一番阐释，根据何在呢？虽然这里并不要求进行严格意义上的证明，但总得有一些理论依据吧。所

45、以教师降低要求，并靠近目标进行一些发问：“那我想问一下，当A点运动的时候，C点是不是我们所谓的对数函数图像上的点，我们可以来验证一下吗？”“验证一下”方法论意义的提示。学生对两个图像的关系提出了猜想对称，按照科学研究的一般方法，提出了猜想，就要验证猜想。这就蕴涵了学研究一般方法的引导。刚才学生的阐释不能看作严格的几何证明，两个函数图像关于直线y=x对称的严格证明，必须包含完备性和纯粹性两方面，当时没有证明这两个方面。不是严格的证明怎么办呢？我们可以来验证一下，于是把图像运动一下，发现果然两个函数图像完全重合。这个启发性提问如果改成：“两个图像对称？那你能验证吗？你打算怎么想？”那么由证明改成验

46、证的弯路可能就少走或不走了。这个探究过程结束后，教师概括说：“我们研究一个问题，可能有两种方法，一个从纯代数的角度出发，一个可以从形的角度出发。”这是典型的方法论意义的提示语。然后把代数的角度怎么样，形的角度怎么样，就把这两个之间的关系总结了。这个概括过程和结论如果也通过启发，由学生探究出来可能更好。不过如果问题不分巨细都要启发，时间就不够了。这节课里面有很多认知性提示，元认知提示。比如，“为什么你叫它反函数？为什么不叫别的名称？你觉得这个反到底反在什么地方？”这就与前面的问题联系起来了：前面我们把函数y=ax叫做指数函数，这是大家起的名称，大家为什么给它起这个名称？是因为自变量x在指数上，所

47、以叫它指数函数。那现在这个函数叫它“反函数”，为什么给它起这样的名字呢？追问“到底反在何处”？这个追问既有认知性成分，也有方法论意义的成分，同时把它跟原有的问题联系起来，和以前学过的问题联系起来。 这节课因为并不是有意识地按照启发性提示语进行引导，所以提示语不是非常准确，但是总体上看出，教师已经意识到要用一些提示语来进行启发，而不是直接告诉学生，这个是很重要的意识。老师一定要有这种意识，不是什么事情都告诉他，尤其是附中，在南京市几百个班中间，这16班的学生还是属于高层次，什么结论告诉他就没有意义了，而是启发，让他自己来探究。 元认知提示语、认知性提示语、方法论意义的提示语，实际上带有一定程度的

48、隐蔽性。利用提示语隐蔽性的强弱进行暗示和提示：隐蔽性强，这个暗示或提示就弱；隐蔽性弱，这个暗示或提示就强。最初给出的弱暗示，隐蔽性非常强，然后逐步向隐蔽性弱的方向过渡，过渡到强暗示。这个过程叫做“分级提问”。通过这样的分级提问来达到对不同层次的学生的启发引导。对不同层次的学生引导，是由弱暗示到强暗示实现的，是根据隐蔽程度的不同级别，由隐蔽到明显的不断发问而循序渐进发展的过程。 所以启发性提示语的暗示，有一个“暗”到什么程度的问题。暗示“暗”到什么程度，当然要根据学生具体的情况。教学策略里面有一个非常重要的策略，就是你对学生的认识和了解，今天来不及细讲了。因为你了解、认识了你的学生，你才能把握提

49、示语和暗示语应该“暗”到什么样的程度？这样的问题我要给他什么样的暗示？或者对这样一种提示语，这个班的同学会有什么样的反应？每个人接触到的班级和学生不一样，你就会获得不同的对暗示的把握。 暗示离目标越近，暗示就越透明，元认知成分就越少，认知的成分就越多。这就涉及到教育教学的理论，什么是元认知，什么是认知，我这里简单了说一点，你如果看一些理论性著作的时候就容易看懂，就是在你的认知结构里先扩充一些有关的知识。我们搞数学的人满脑袋数学，搞物理的人满脑袋物理，很多人看了一些教学理论的书籍总会问，这些东西跟我的专业怎么联系啊？原因就是原有认知结构里这方面的知识太少。有一些研究生刚进校时，看教育理论的书，他

50、不知道怎么看，看了以后究竟要学什么。书上的字都能看懂，最后收获到什么呢，不知道，就是头脑里原有知识结构当中缺少相应的东西造成的。 有一个重要问题是，人不会天生探究，教师要学生探究，就要教他怎么探究。怎么探究呢？也不是明白告诉他，怎么怎么探究，而是让他在探究的过程中潜移默化获得探究的方式方法，或者叫做获得默会知识、体验、经验这类东西。他经历得多了以后，探究的策略和方法就越来越多，越来越熟练，实际上跟我们很多人一样，比如说搞电脑，你搞多了你就清楚了，一开始连鼠标键盘都不清楚，一开始双击都不清楚，漫漫地经历多了就知道。所以你教他探究，是通过教师暗中引导，他来探究。你的引导一定尽量不让他觉察出来，这样

51、学生会认为是自己搞出来的。当然你越来越暗，越来越暗，最后你不暗示提示，他也能探究，那他就达到最高境界了。 启发和探究的关系，体现为用启发性发问来推动探究。启发性发问推动的探究，提示语不仅有元认知的，还有认知的、方法论意义的，启发是教师教学的基本功，启发的技巧和水平可以有高低，但是启发是必须的。你不能说我不会启发，我就不启发，我什么都告诉你。甚而至于：把书打开，看这段内容。然后问：看好啦？学生说：看好了。好，你来完成我黑板上两个题。这还有启发吗？没有启发，一点启发没有。用课本，我们怎么用，数学教学用课本和文科教学用课本可能有不同。如果你要他探究的东西他已经看过了，今天来探究，他探究什么？结论都知

52、道了，你问什么他都知道，一点探究的意思都没有。实际上他没有真正获得和提高学什么以及如何用一般科学研究方法来学习的认识。 刚才讲的是用问题进行启发。启发的时候，也可以用动态的画面来提示或暗示。比如说，新课程高一有一个求方程近似解的内容。要求方程的近似解，首先是把求方程解的问题转化为求函数零点的问题，这是第一步。然后，函数零点有一个性质，函数零点附近两边的函数值正好异号；这样问题就转化为寻找使函数值异号的自变量x两个取值，函数的零点总归在x的这两个数值之间；怎么能够找到精确到0.1水平的近似数呢？现在x的这两个数值是整数，要找到精确到0.1水平的近似数，这就要用逼近思想。但是这个思想要通过暗示，让

53、学生去发现要用逼近思想，而不是直接告诉他。我想起最近台湾抓捕一个要犯，抓他很困难，他躲到山上，警方来个大包围，然后缩小包围，缩小包围，最后把他抓到了。这就是应用逼近思想的。用通俗的事例，很容易启发学生想到逼近思想，这就是启发。问题是你如何创设情境，把存在他心中的本原的思想激发出来，通过你的暗示使他能够感悟出来。这里我创设了一个求方程近似解的教学情境，当然我这个创设未必是最合适的，老师们可以仁者见仁，智者见智。原来要求近似解的方程是lnx=3-x，学生对这个方程比较陌生，因为加了一个“lnx”在里面，带有了超越方程的性质，所以学生不知所措。这个方程陌生，我们就找一个比较熟悉的方程来探究求近似解的

54、方法。把陌生的对象转化为熟悉的对象，这是方法论思想，方法论意义的提示语就在这里就有用武之地了。什么方程我们熟悉？当然是一元二次方程。于是选择x2-x-1=0，这个方程的解只能是近似数。方程转化为函数，把函数f(x)= x2-x-1图像画出来，我们给它画出来。(演示多媒体创设的教学情境) 红点是它的零点，那么，零点两端附近的函数值f(x)和f(x)异号，一下一上，零点就是夹在x和x这两个数之间。现在要把它找到，你看怎么找到？ 然后演示x和x的运动，你也不讲话，就演示，反复演示几遍。那么这个演示的过程实际上就给学生暗示，让他看到把x和x这两个数越来越靠近红点，也就是函数零点，那么f(x)和f(x)

55、就越来越接近于0，这样就能找到。这样演示以后，提出一个问题：你能不能提出一个方案来，求这个方程解，我不要你求出来，只要你提出一个能找到这个解的方案。(元认知提示语，方法论意义提示语)然后学生就去讨论，当然先独立思考，然后讨论，以后全体交流。现在已经知道1和2的函数值异号，这个零点必在1，2之间，零点值取1，2都不合精确度要求。要想符合精确度要求，就要让x和x向零点靠近。怎么来靠近呢？学生会提出缩小x，x的范围。接下来是怎么来缩小呢？这时候二分法就发挥作用了，把中点求出来，区间x，x就被中点一分为二。那么零点在其中哪个区间里呢？应该在使函数值异号的两个端点构成的区间里，一看或者一算，就知在1.5

56、，2之间，不过两个端点近似值显然达不到精确度。那就如法继续这个过程。一直到区间端点近似值相等，并且精确度达到要求为止。零点在两个端点之间，两个端点近似值都相同了，也就是两个端点重合，那零点近似值也就是它。找到区间为1.56，1.52的时候，两个端点的近似值都是1.6，精确度达到要求，那么x =1.6就是所求的方程的近似解。你如果提出新问题，要求近似到0.01位怎么办？那就接着再找，再把更多的中点区间选出，到某一步发现，符合两个端点近似值相等，并且精确到0.01要求的是x =1.62。这个新问题的过程是在后面，是在学生领悟了逼近，知道用缩小的方法，并且探究出来用二分法的方法来逼近以后。整个过程经

57、历了几个转化，求方程解的问题转化为求函数的零点问题，求函数的零点问题转化为求使函数值异号的两个自变量值的问题，然后由逼近思想转化为缩小这两个点构成的区间的问题，再转化为如何缩小这两个区间的问题，最后转化为用二分法求区间中点来缩小区间的问题，一步一步地进行。 通过这样一个情境，你没有告诉他逼近，也没有告诉他求中点，也没有告诉他任何东西，仅仅通过动态的画面让学生从中间领悟。可能有学生有所感悟，也有一些没有感悟。我们不能指望通过一个动态画面的一次演示便使每个学生都能感悟，因而要反复演示。为什么要多动几次呢，为什么要从左边动动，又从右边动动，再两边一起动。这些多次演示实际都是在由弱到强，由暗到明地进行

58、暗示。通过这样一种启发暗示，可以达到引导学生进行主动探究的学习。 教师引导下的学生主动探究，这种探究方式比较符合我们国家目前的国情，我们教学内容容量大，教学进度快，采用以学生自主活动为主的探究，花费的时间多，时间不允许。再说也没有必要，人类经过几千年文明史发现的那么多东西，这些都是人类的遗产，我们接受过来就行了，每个东西都要发现一下，人能经过几千年吗？不可能的事情。这是我讲的第二个问题，就是怎么教学生学。第三个问题是解题教学。 解题教学在中学是十分重要的问题，但是解题教学这个问题解决得不是很好。原因有几个问题，最主要的什么是解题教学，这个问题没有明确。首先“解题教学教什么”呢，还是“教学生学”啊！这又回到“教学生学什么”的这个问题。解题教学“教学生学什么”呢？教学生“学解题”，他要学习怎么解题！不是说今天解题课，你拿出几道题，让学生来解，再说说解的过程，就是进行解题教学了。其实他这是在“解题”，而不是在“学解题”。学解题是什么呢？是要学习“寻找和发现解题思路的方法”，以及“与解题活动有关的各式各样策略”，这才叫“学解题”。所以，学生在解题教学中最主要的任务不是“解题”，而是“学解题”。这样一来，教师教的重点，学生学的重点都不在“解”，而在“学解”。你老师或者哪个学生，上黑板把题解一遍，再重复一遍，这不是解题教学，这个是解题，而不是学解题。