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1、第六章第六章 平稳随机过程平稳随机过程6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程正态过程正态过程二阶矩存在二阶矩存在6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念0)sin()cos( )sin()cos()()(EZtEYttZtYEtEXtmX )()(),(tXsXEtsRX)sin()cos()(sin

2、()cos(tZtYsZsYE 6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 )cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin( )(sin)cos()cos()()sin()sin( )()(sin)()cos()cos()sin()sin( )(sin)cos()cos(2222222 sttstsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYtsE所以所以X(t)，t T 为宽平稳过程。为宽平稳过程。6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念2000Xnn,R (n,n)E X X,6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过

3、程的概念0)2sin()()2(sin)2sin()(10dtdfttEtXE6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 所以所以X(t) 是平稳过程。是平稳过程。0,00,21)2(2cos)2cos(21)(2sin)2sin()()(),(1010 dtdtttXtXEttRX6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过程6.2 6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过程)()()()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()()()()()()()( WYYXXYXRRRRRtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtYtXtYtYtXtXtXEtYt

4、XtYtXEtWtWE6.2 6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过程时间增量时间平移正交增量过程 EX2EX=0，EX2宽平稳随机过程独立增量过程严平稳随机过程平稳独立增量过程维纳过程泊凇过程高斯过程增量服从正态分布增量服从泊凇分布有限维联合变量服从正态分布马尔可夫过程时间记忆6.2 6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过程6.2 6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过程)()cos(21)22cos( )cos(21220 XYRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtBtAEtYtXEttRXY6.2 6.2 结合平稳随机过程结合平稳随机过

5、程)()cos(21)22cos( )cos(21220 YXRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtAtBEtXtYEttRYX所以所以X(t)和和Y(t)是结合平稳随机过程。是结合平稳随机过程。6.3 随机分析简介随机分析简介 将微积分中普通函数的极限、延续、将微积分中普通函数的极限、延续、导数和积分等概念推行到随机过程上，导数和积分等概念推行到随机过程上，产生随机分析。产生随机分析。6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介一、随机序列的极限一、随机序列的极限定义定义6.2 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn(e)以概以概率率1收敛于

6、二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X(e) ，假设，假设使使 成立的成立的e组成的集合的概率为组成的集合的概率为1，即，即 或称或称Xn几乎处处收敛于几乎处处收敛于X (e) ，记作，记作lim( )( )nnXeX ea a. .e enXX | lim( )( )1nnP eXeX e6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介定义定义6.3 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn(e)依概依概率收敛于二阶矩随机变量率收敛于二阶矩随机变量X(e) ，假设对，假设对于恣意的于恣意的 有有 记作记作P PnXX lim |( )( ) |0nnP eXeX e06.3 6.3 随机分析简介随机分

7、析简介定义定义6.4 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二阶和二阶矩随机变量矩随机变量X，假设有，假设有 成立，那么称成立，那么称Xn均方收敛于均方收敛于X。记作。记作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square) (limit in mean) 6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介定义定义6.5 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn依概率依概率收敛于二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X ，假设，假设Xn相相应的分布函数列应的分布函数列Fn(x),在在X的分布函数的分布函数F(x)的每一个延续点处有的每一个延续点处有 记作记作d dnXX

8、lim( )( )nnF xF x6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介依分布收敛依分布收敛随随机机序序列列依概率收敛依概率收敛几乎处几乎处处收敛处收敛均方均方收敛收敛6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介0|lim2,mnmnXXE6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介,l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.mcUUcnnl.i.m6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.ml

9、im222l.i.mlimnnnnXEXEXE6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介,limnmn mE X X6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介二、均方延续二、均方延续定义定义6.6 设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t), tT，假设，假设对每一个对每一个tT ，有，有 那么称那么称X(t)在在t点均方延续，记作点均方延续，记作 假设对假设对T中的一切点都均方延续，那么称中的一切点都均方延续，那么称X(t)在在T上均方延续。上均方延续。0| )()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.4均方延续准那么均方延续

10、准那么 二阶矩过程二阶矩过程X(t), tT，在，在t点均方延续点均方延续的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处延续。处延续。 推论推论 假设相关函数假设相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，tT上延续，那么它在上延续，那么它在TT上延续。上延续。),(),(),( ),(| )()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介三、均方导数三、均方导数定义定义6.7 二阶矩过程二阶矩过程X(t),tT，假设存，假设存在随机过程在随机过程X(t)，满足，满足 那么称那么称X(t)在在t点均方可微，记作

11、点均方可微，记作 并称并称X(t)为为X(t)在在t点的均方导数。点的均方导数。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(06.3 6.3 随机分析简介随机分析简介假设假设X(t)在在T上每一点均方可微，那么称上每一点均方可微，那么称X(t)在在T上均方可微。上均方可微。类似地可定义二阶均方导数类似地可定义二阶均方导数相关函数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为的广义二阶导数定义为htXhtXdttXdtXh)()(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),( ),(),(lim),(21hh

12、ttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 )()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()() 1 (),(,),(,),(,)(211221221212211212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRtttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上上存存在在，并并且且有有在在上上在在6.3 6.3 随机分析简介随机

13、分析简介四、均方积分四、均方积分 设设X(t), tT为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通为普通函数，其中函数，其中T=a,b，用一组分点将，用一组分点将T划划分如下：分如下：a=t0t1tn=b，), 2 , 1(, )()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiiiinniini其其中中作作和和式式记记6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 babaXdtdtttRtftf212121),()()(6.3 6.3 随机分析

14、简介随机分析简介 定理定理6.7 设设 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可上均方可积，那么有积，那么有 (1) (2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特别别地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特别别地地有有6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介)( ,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()( 特别地有特别地有6.3 6.3 随机分

15、析简介随机分析简介)()()()(tmtXEdttdEXdttdmXX),()()(),(2tsRtXsXEtstsRXX6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 tstsBtmsmtsRtsdttdmdssdmtstsRtmsmtsRtmsmtXsXEtmtXsmsXEtsBXXXXXXXXXXXXXXX),()()(),()()(),()()(),()()()()()()()()(),(222所以所以6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介2( )exp(|)XRa22exp()0( )exp()0XaRa( )XR6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介又相关函数的导数：又相关函数的导数

16、： 在在0处不延续，从而相关函数在此点处不延续，从而相关函数在此点二阶导数不存在，由定理二阶导数不存在，由定理6.5知随机过程知随机过程不可微。不可微。22exp()0( )exp()0XaaRaa6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性dttXTtXTTT)(21l.i.m)(dttXtXTtXtXTTT)()(21l.i.m)()( 6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性.1( )( )2l.i.ml.i.ma sTXTTX t dtE X tmT.1( )()( )2l.i.ml.i.ma sTXTTX t X tdtRT6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性021)

17、cos()(20 dtatXE6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 .1( )l.i.mcos()2sin()sin()l.i.m02( )( )0,TTTa sTa sX tatdtTaTTTX tE X t 从而有故均值遍历)()cos(2)cos()cos(2)cos()cos(),(2202 XXRadttatataEttR6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 2222.( )()1cos() cos()21cos()cos(22 )22cos()2sin(22 )sin(22 )22cos()2l l. .i i. .m ml l. .i i. .m m l l. .i i. .m mTTTTTTTa sX t X tatatdtTatdtTaaTTTa 6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性.( )()( ),a sXX t X tR 从而有故相关函数遍历所以随机相位过程是遍历的。22XXR (t,t)EY DY