多目标决策分析课程

1、海港港址海港港址经济经济技术技术环境环境社会社会直接效益直接效益间接效益间接效益投资额投资额投资回收期投资回收期利税总额利税总额海运收益海运收益国际贸易收益国际贸易收益国内贸易收益国内贸易收益航道航道海滩海滩建筑建筑运行运行城市关系城市关系交通关系交通关系资源资源环保环保政策政策军事军事 图图6-2 6-2 单层次目标准则体系单层次目标准则体系总目标总目标目标目标m目标目标m-1目标目标2目标目标1G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高层最高层中间层中间层准则层准则层g21g22g1k-1g1k )., 2 , 1(0), 2 , 1(.), 2 , 1(min11njxmi

2、bxatsKkxcZjinjjijnjjkjk问题：问题：能否化为单目标线性规划问题求解？能否化为单目标线性规划问题求解？如何处理各目标的主次、轻重？如何处理各目标的主次、轻重？产品产品消耗消耗原料原料012 xx262321 xx302421 xx 0), 2 , 1(00 kkkkddKkdd，正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低于期望值的数值。于期望值的数值。引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。成为约束条件组的一部分。302426230332122211112 ddxxddxxdd

3、xx kkddfZ,min kdfZmin kdfZmin 3322211mindPddPdPZ ）（3 , 2 , 10,0,2432302426230.min121213321222111123322211iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPdPZi LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk, 2 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1.min1111， ）（3 . 6.)(,),(),()(max21XxtsxfxfxfxFTm 其中其中f1(x), f2(x), , fm(x)表示表示m个目

4、标函数，个目标函数，X表示满足某些约束条件的表示满足某些约束条件的n维点集。维点集。 处理方法：处理方法：（1）化为一个单目标问题）化为一个单目标问题 （2）化为多个单目标问题。）化为多个单目标问题。 03001032404920054.23)(min01207)(max600400)(max21212121213212211xxxxxxxxtsxxxfxxxfxxxf，（污染最小）（污染最小）（利润最大）（利润最大）（产值最大）（产值最大） Xxmiaxftsxfii, 2)(.)(max1可以得到（可以得到（6.3）的一个有效解。）的一个有效解。 ，（利润最大）（利润最大）09232000

5、06004003001032404920054.01207)(max212121212121212xxxxxxxxxxxxtsxxxf miiixfxU1)()( 构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：XxtsxfxUmiii .)()(max1 难点：难点：如何使多个目标用同一尺度统一起来如何使多个目标用同一尺度统一起来（多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统（多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。 XxtsxfxfT .)(),(max21记：记：)(),()()(max)()(max)1(202)2(101

6、)2(22*2)1(11*1xffxffxfxffxfxffXxXx （即（即x(1)、 x(2)分别为以分别为以f1(x)和和f2(x)目标的单目目标的单目标问题的最优解）标问题的最优解） XxtsxfxfT .)(),(max21要求：要求：XxtsxfxfxU .)()()(max2211 c1是任意的非零常数。是任意的非零常数。1*220111022*11cffcff 即可确定权系数。即可确定权系数。若进一步要求若进一步要求120201*2*101*120201*2*102*21ffffffffffff 0,342.)(),(max21212121xxxxxxtsxfxfT试用试用21

7、221123)(4)(xxxfxxxf 解：解：先分别求解先分别求解 0,342.4)(max212121211xxxxxxtsxxxf 0,342.23)(max212121212xxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T0, 76, 002*201*1 ffff对目标进行线性加权：对目标进行线性加权： 0,342.1351310)(max21212121xxxxxxtsxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 1361370201*2*101*120201*2*102*21 ffffffffffff 2122111351310)()()

8、(xxxfxfxU 化为单目标问题：化为单目标问题： XxtsxfxfxfTm .)(,),(),(max21取：取：)(max1*xfffiXxiii ， 化为单目标决策问题：化为单目标决策问题：XxtsxfxUmiii .)()(max1 适用条件：适用条件：fi*0 21*)()( miiiifxfxU 构成单目标决策问题：构成单目标决策问题： XxtsfxfxUmiiii .)()(min12* i 权权系数，可按要求的相差程度分系数，可按要求的相差程度分别给别给出。出。 TmfffF*2*1*, 称称 XxtsfxfxUmiii .)()(min2112*mixfxffiiXxi,

9、2 , 1)()(max)(1* 为理想点。为理想点。若所有若所有x(i)都相同，记为都相同，记为 x(0)，则，则x(0)就是所求就是所求的多目标决策问题的最优解；若不然，则考虑的多目标决策问题的最优解；若不然，则考虑求解下面的单目标决策问题：求解下面的单目标决策问题：7, 0*2*1 ff 0,342.)723()4()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 2122122121212*) 723()4()()( xxxxfxfxUiii 矩阵矩阵是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(ma

10、x21kixcxcxfnjjijii, 2 , 1)(1 kixbxAtsxfi, 2 , 10.)(max )()(ijijxfz ijkijjzff 10*min和和 0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff kikjiii, 2 , 11 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii ),(,),(),(00201xfxfxfk 0,)()(, 2 , 1)(.min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii ，（原原材材料料）（装装配配能能力力）（机机器器能能力力）072542 . 02 . 0852 . 05

11、. 0.21212121xxxxxxxxts（放放射射性性污污染染最最小小）（利利润润最最大大）2122115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 625.23,00,5 .4502*201*1 ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.31623115 .45

12、05 .45)(12212*022212*0*1 njijiiinjijiiicfffcfff 6369. 03631. 0,21 ， 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0105 . 135 .45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图图6.6 序

13、列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系效用并合过程效用并合过程从下到上，逐层进行从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到：最低一层各准则的效用，经过并合得到： 符号符号“”表示按某种规则和逻辑程序进行的表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合运算。 isisikipipiiiiauauawauauawauauaw 112211第三层子目标的效用并合得到第二层各目标第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值：的并合效用值： iliiavavav，21最后，可得可行方案最后，可得可行方案ai 的满意度为：的满意度为： iliiiiavavavaHH 21

14、)8 . 6( max1*imiaHaHH 222111uud 即：即： W=W(u1，u2)的取值与的取值与d成正比。有：成正比。有： 2120 , 01 , 1,1 , 121 WWduuWW距离规则下的二维效用函数为：距离规则下的二维效用函数为：公式公式(6.9)可以推广到多维情形：可以推广到多维情形： 如：成本和效益的效用并合可以按距离规则进如：成本和效益的效用并合可以按距离规则进行，并合效用函数行，并合效用函数 )9 . 6( 11 211,222121uuuuW )10. 6( 111,1221 niinunuuuW 2211 211,ECECuuuuW 代换规则下的二维效用函数为

15、：代换规则下的二维效用函数为： 推广到多维情形，推广到多维情形，n维效用并合的代换规则维效用并合的代换规则公式为：公式为： )11. 6( 111,21212121uuuuuuuuW )12. 6( 11,121 niinuuuuW推广到多维情形，推广到多维情形，n维效用并合的加法规则公维效用并合的加法规则公式为：式为：加法规则下的二维效用函数为：加法规则下的二维效用函数为： 1 )13. 6( ,21221121 其中：其中：uuuuW )14. 6( ,1i21 niinuuuuW )15. 6( ,2121uuuuW )17. 6( ,121 niinuuuuW推广到多维情形，推广到多维

16、情形，n维效用并合的乘法规则公维效用并合的乘法规则公式为：式为：乘法规则下的二维效用函数为：乘法规则下的二维效用函数为：更一般地：更一般地： 是是正正常常数数。其其中中：212121, )16. 6( ,21 uuuuW 是是正正常常数数。其其中中：niuuuuWiniin, 2 , 1)19. 6( ln,ln1i21 更一般地，更一般地，乘法规则下的乘法规则下的n维效用函数为：维效用函数为：或表示成对数形式：或表示成对数形式： )18. 6( ,121 niiniuuuuW )20. 6( ,211221121ucucucucuuWc 其中，其中，1 1称为形式因子。称为形式因子。的不同取

17、值的不同取值分别表示代换、加法和乘法三规则之一。分别表示代换、加法和乘法三规则之一。推广到多维情形，推广到多维情形，n维效用并合的混合规则公维效用并合的混合规则公式为：式为： )22. 6( 1 11 niiiucW )21. 6( 1 1 ,1221121ucucuuW 当当00时，时，(6.20)可以化为较为规范的形式：可以化为较为规范的形式： 当当= - -1时，化为代换规则形式；时，化为代换规则形式；当当=0=0，且，且c1+c2=1时，化为加法规则形式；时，化为加法规则形式； 当当0 0时，近似于乘法规则形式：时，近似于乘法规则形式： 111121 ,ucucuuW 各国各国对比对比

18、u9我国人口总目标我国人口总目标HV1V2吃用吃用v1实力实力v2用用w2吃吃w1粮食粮食u1鱼肉鱼肉u2空气空气u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低总和最低总和生育率生育率u8GNPu7目标准则体系目标准则体系987654321)1()1(uuuuuuuuuH 综合评价科研课题综合评价科研课题成果贡献成果贡献人才培养人才培养可行性可行性发展前景发展前景实实用用价价值值科科技技水水平平优优势势发发挥挥难难易易程程度度研研究究周周期期财财政政支支持持经经济济效效益益社社会会效效益益H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高层最高层中间层中间层最低层最低层G21G22G1k-1G

19、1k层次结构图层次结构图 mmmmmmmmijWWWWWWWWWWWWWWWWWWaA212121212111mWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWAWmmmmmmm 21212121212111由线性代数知：由线性代数知：m是是A的最大特征值，的最大特征值，W是矩阵是矩阵A属于特征值属于特征值m的特征向量。的特征向量。 mjjijixRXmjjijixRXxaxxaximim110110maxmaxminminmax 其中：其中： 0, 0|,21 XxxxxXRiTmm0, jijiji mmii max2 )175(1.max mmIC )175(1.max mmIC ), 2

20、, 1,1mjiaaqmkkjijij （ 将将 Q 的 元 素 按的 元 素 按 行行 相 加 ， 得 到 向 量相 加 ， 得 到 向 量 ), 2 , 11miqmjiji （ 对向量对向量归一化处理得特征向量归一化处理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （ 求最大特征值求最大特征值 miiiwAWm1max1 即对矩阵即对矩阵Q各行求算术平均得特征向量各行求算术平均得特征向量W。 14/16/1412/1621A例例 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w 089. 0324. 0587. 0 268. 09

21、74. 0769. 1Aw010. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31 列向量列向量归一化归一化行算术行算术平均平均wAw 精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010一致性检验：一致性检验：C.I0.005，R.I0.52，C.R0.010.1), 2 , 11miaMmjiji （ 计 算计 算 Mi的的 m 次 方 根 得 到 向 量次 方 根 得 到 向 量 ), 2 , 1miMmii （ 对向量对向量归一化处理得特征向量归一化处理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （ 求最大特征值求最大特

22、征值 miiiwAWm1max1 14/16/1412/1621A例例 0417. 0212w 090. 0323. 0587. 0 269. 0977. 0773. 1Aw011. 3)09. 0269. 0323. 0977. 0587. 0773. 1(31 每行元每行元素之积素之积归一化归一化wAw 一致性检验：一致性检验：C.I0.0055，R.I0.52，C.R0.0110.1三三次次方根方根 35. 026. 129. 20，则：，则：CWeAeeAkTkk lim3、幂法、幂法步骤步骤1）任取初始正向量任取初始正向量W(0), k=0，设置精度设置精度 )()1(kkAWW 2

23、）计算计算 mikikkWWW1)1()1()1(/3）归一化归一化 mikikiWWm1)()1(1 5） 计算计算4）若若 )()1(maxkikiiWW停止；否则，停止；否则，k=k+1, , 转转2） miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.min1211，这是一个非线性规划问题。这是一个非线性规划问题。 miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.lnlnlnmin1211，目标函数关于目标函数关于lnwi是线性的，该方法结果与根是线性的，该方法结果与根法相同。法相同。 1 , 3, 211, 11nniwainwwawnijjijin

24、nnn mmijaA （残残缺缺），jiwwjiaaijijij/其中：其中： miwwtswwawwaWFimiimimjjijiijij, 2 , 101.2min111，niwwawwanjjijinjijij, 2 , 111 0 ijijjiijwwa ijij ， mjiwwtsijijjimimjijij, 2 , 1lnlnlnln.lnlnmin11， G)1(1ng)1(2g)1(1g)(nnng)(2ng)(1ngsc2c1c2a1ama总目标总目标n层子目标层子目标准则层准则层方案层方案层完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相

25、关联相关联不完全层次结构不完全层次结构第第3层对第层对第2层权向量：层权向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学, P4只作科研只作科研, P3兼作教学、科研兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等kkknjkjkijkiniWPwpwk, 2 , 1)1()(11)1()()( ) 1 (2)()()()(WPPPWnkkcaa 权重权重 mjjjbw11 mjjj

26、bw12 mjnjjbw1)195(.1 mjjjICwIC)215(.11 mjjjmjjjIRwICwRCICRC)205(.1 mjjjIRwIR例例6.14 某市中心有一座商场，由于街道狭窄，某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题经过有关专府决定解决这个问题经过有关专 家会商研家会商研究究，制定出三个可行方案：，制定出三个可行方案：a1：在商场附近修建一座环形天桥；在商场附近修建一座环形天桥；a2：在商场附近修建地下人行通道；在商场附近修建地下人行通道；a3：搬迁商场。搬迁商场。改善交通环境改

27、善交通环境天桥天桥a1地道地道a2搬迁搬迁a3通车通车能力能力C1方便方便群众群众C2基建基建费用费用C3交通交通安全安全C4市容市容美观美观C5图图6.16 层次结构模型层次结构模型解解：( (1) )建立层次结构模型；建立层次结构模型；135351 / 313131 / 51 / 311 / 331 / 313131 / 51 / 31 / 31 / 31 11223344maxmaxmaxmax3, 0.455,0.455,0.091, .00.13.005, 0.648,0.230,0.122, .0.0040.13.079, 0.695,0.229,0.075, .0.0680.13

28、.018, 0.169,0.387,0.443, .0TccTccTccTccwC RwC RwC RwC R55max.0160.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0.0160.1TccwC R1230.455 0.455 0.0910.648 0.230 0.122(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059) 0.695 0.229 0.0750.169 0.387 0.4430.169 0.387 0.4430.442,0.374,0.185Waaa排序结果：注意注意: :改善交通环境改善交通环境天桥天桥a1地道地道a2搬迁搬迁a3通车通车能力能力

29、C1方便方便群众群众C2基建基建费用费用C3交通交通安全安全C4市容市容美观美观C5n21m21mvvv21投入投入产出产出决策单元决策单元p21puuu21mnmmnnxxxxxxxxx212222111211pnppnnyyyyyyyyy212222111211对每个决策单元，都定义一个效率评价指标对每个决策单元，都定义一个效率评价指标hj表示第表示第j个决策单元所取得的经济效率，可以个决策单元所取得的经济效率，可以适当选择权系数，使得适当选择权系数，使得hj1。), 2 , 1(11njxvyuxvyuhjTjTmiijiprrjrj 其中：其中：u=( (u1, u2, , up) )

30、T, , v=( (v1, v2, , vm) )T, xj=( (x1j, x2j, , xmj) )T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T ，：00), 2 , 1(1.max00vunjxvyutsxvyuhPjTjTToT设第设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：个决策单元的投入和产出向量分别为：xj0=( (x1j0, x2j0, xmj0) )T, yj0=(y1j0, y2j0, yrj0)T效率指标效率指标h0=hj0评价第评价第j0个决个决策 单 元 有 效策 单 元 有 效性 （ 相 对 于性 （ 相 对 于其 它 决 策 单其 它 决 策 单元 而 言 ）

31、的元 而 言 ） 的模型为：模型为：称为称为CCR模型（模型（C2R）是一个分式规划，令是一个分式规划，令t=1/vTx0，=tv, , =tu，则可化为一个等价的线性规划问题：则可化为一个等价的线性规划问题：P ：001), 2 , 1(0.max)(0 xnjyxtsyVPTjTjToTp线性规划线性规划( (P ) )的对偶问题为：的对偶问题为：其中：其中：s- - =( (s1- -, s2-, sm-) )T, ,s+=( (s1+, s2+, , sm+) )T, 为松驰变量向量。为松驰变量向量。，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysxxsxtsVDjnjj

32、jnjjjD 定义定义6.6：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP(0)Ty01则称决策单元则称决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。定义定义6.7：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP(0)Ty01，且，且00，00则称决策单元则称决策单元j0为为DEA有效。有效。决策单元决策单元j0为为DEA有效的含义：有效的含义：指决策单元指决策单元j0相相对于其它决策单元，其效率评价指标取得最优对于其它决策单元，其效率评价指标取得最优值，即在多值，即在多 ：eexnjyxtsyVPTjTjToTp 1), 2 , 1(0.

33、max)(0 维维向向量量的的是是元元素素均均为为peT11 , 1 , 1 其中：其中： 维向量维向量的的是元素均为是元素均为meT11 , 1 , 1 ，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysxxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD 43212121 产出产出决策单元决策单元11 231343311211 0, 0,1302402330303. .max)(1212112112112112111 ：tsVPp 无无约约束束： , 0,123233433.min)(43214321432143211tsVDD解得：解得：0, 1)0 , 0 , 0 , 1(00

34、松松驰驰变变量量均均为为 T故决策单元故决策单元1为为DEA有效。有效。 0, 0,1302402330303. .max: )(1212112112112112112 tsVPp 无无约约束束： , 0,122333433.min)(43214321432143212tsVDD解得：解得：0, 1)0 , 0 , 1 , 0(00松松驰驰变变量量均均为为 T故决策单元故决策单元2为为DEA有效。有效。 0, 0,13302402330303. .max: )(1212112112112112113 tsVPp 无无约约束束： , 0,1232333433.min)(4321432143214

35、3213tsVDD解得：解得：10.5)0 , 5 . 0 , 0 , 0(00 T故决策单元故决策单元3不是不是弱弱DEA有效。有效。 0, 0,12402402330303. .max: )(1212112112112112114 tsVPp 无无约约束束： , 0,1222334433.min)(43214321432143214tsVDD解得：解得：16 . 0)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(00 T故决策单元故决策单元4不是不是弱弱DEA有效。有效。定义定义6.8：设设0，s0-,s0+,0是对偶问题是对偶问题( (D) )的的最优解。令：最优解。令： 0000000,

36、syysxx 称为决策单元称为决策单元j0对应的对应的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的的相对有效面上的投影。相对有效面上的投影。),(00yx定理定理6.10：设设 为决策单元为决策单元j0对应的对应的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的相对有效面上的投影。的相对有效面上的投影。则新则新决策单元相对于原来的决策单元相对于原来的n个决策单元个决策单元来说，是来说，是DEA有效的。有效的。 ),(00yx),(00yx构造新的决策单元：构造新的决策单元：15 . 00,)0 , 0 , 5 . 0 , 0(01210 sssT新决策单元相对于原有的新决策单元相对于原有的4个

37、决策单元是个决策单元是DEA有效的。有效的。202)5 . 1 , 5 , 1()0 , 0()3 , 3(5 . 00000000 syysxxTTT 构造新的决策单元：构造新的决策单元：16 . 00,)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(01210 sssT新决策单元相对于原有的新决策单元相对于原有的4个决策单元是个决策单元是DEA有效的。有效的。101)2 . 1 , 4 . 2()0 , 0()2 , 4(6 . 00000000 syysxxTTT 图图6.20 6.20 生产函数生产函数xy点点A：既技术有效又规模有效；：既技术有效又规模有效；点点C：技术有效但非规模有效

38、；：技术有效但非规模有效；点点B：既非技术有效又非规模有效。：既非技术有效又非规模有效。即是说，如果即是说，如果x1, x2分别以分别以和和( (1-) )的加权和的加权和为投入量，则为投入量，则y1, y2以同样的加权和作为产出量。以同样的加权和作为产出量。 即是说，如果以即是说，如果以x的的倍作为投入量，则产出量倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。是的同样倍数。 公理公理2 ( (锥性锥性) )：对任意对任意(x,y)T，0，均有，均有(x, y)(x, y)T公理公理1 1( (凸性凸性) )：对任意对任意(x1, y1)T，(x2, y2)T以及以及0,1，均有均有(x1, y1)(

39、 (1) )(x2, y2)T.),()2(),()1(TyxyyTyxxx ，则则均均有有若若有有；，则则均均有有若若有有即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。量或者减少产出量，生产活动总是可能的。 公理公理4( (最小性最小性) )：生产可能集生产可能集T是满足公理是满足公理13的所有集合的交集。的所有集合的交集。1.生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集由由n个决策单元（个决策单元（xj, yj）的生产活动所描述的）的生产活动所描述的生产可能集，满足公理生产可能集，满足公理14是唯一确定的。这是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为个生产可能集可以表示为 , 2 , 10,| ),(11njyyxxyxTjjnjjjnjj 3211产出产出决策单元决策单元15425 . 312生产可能集为：生产可能集为：3 , 2 , 10,3.52,542| ),(321321 jyxyxTj 用线性规划模型用线性规划模型( (D) )评价决策单元评价决策单元j0的的DEA有效性，模型有效性，模型 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysyxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD，： 为了清楚起见，考虑不含松弛变量的线性规划为了清楚起见，考虑不含松弛变