SARS传播规律的数学模型

1、SARS传播规律的数学模型指导教师：张勇参赛者：张 鑫 王永恒 乔 磊SARS传播规律的数学模型摘要 本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大.本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预

2、计政府的监控力度一直保持在5月10日5月15日的水平上时，6月10日6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右.进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决.本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6

3、、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平.最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性.一、问题的提出公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤痛与如此难以“磨灭”的印象？SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病.SARS的爆发和蔓延给

4、我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.现需对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性.（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计.附件2提供的数据供参考.（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数

5、学模型并进行预测.附件3提供的数据供参考.（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.二、对附件1模型的评价该模型以某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率K为参数，考虑了平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限L，建立了病例累积数N与时间t的函数关系.由于病毒的传播与很多因素有关，且多不易确定，所以给定量研究SARS的传播规律带来了困难.因此模型也不易完善，所以该模型在存在其合理性与实用性的同时也存在不合理性与不实用性. (一) 合理性1. 该模型考虑了平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限L. 鉴于SARS传染性的强大威力，带病毒者在外自由的时间长短对疫情

6、会有很大影响.据中国科学院遥感应用研究所提供的调查研究数据（1），SARS病人在1.5天后住院与在2天后住院后相比，SARS发病总人数可能会减少1500人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月；SARS病人在1.5天后住院与在2.5天后住院后相比，SARS发病总人数可能会减少2400人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1.5个月.由此可见对L的描述是很关键的.2. 对前期描述的合理性由于前期传染源未受控制，所以累积病例数是成指数上升的.该模型对这段时期的描述是合理的. (二) 实用性 该模型简单，机理清楚，算法简单快捷，且对广东香港地区的拟和效果较好.(三) 不合理性1. 将累积病例

7、数与确诊病例数的概念混淆.该模型在进行参数的拟和时，一直采用的时公布的累积病例数，但它所描述的推得的结果是累积病例数，而累积病例数是包括了已知的病例数与未知的病例数的. 2. 预测结果不准确.通过计算，我们发现该模型的预测结果与真实偏差太大.该模型的主要功能就是用于预测的，预测结果与真实偏差太大则使该模型的指导意义大打折扣(1) 对附件1的模型进行重建在疫情到达高峰期后的10天，要逐步调整参数K的值.这里，我们并不知道本模型是如何调整K值的.为了使再现的北京最终非典病例累计数达到3100左右，通过对北京计算日增病例图像地仔细观察，发现这10天的调整大致分了四个阶段：第一阶段的3天K值调整后保持

8、不变；第二阶段的三天同样如此；第三阶段的四天再调整一次K值，并保证这三次调整过程的结果不小于10天后的K值：0.0273!最后一次调整要使K值达到0.0273！通过大量的调试和人工干预，确定在北京疫情高峰期后的10天，四个阶段的K值依次为：0.08116 0.06087 0.03873 0.02730这样经过137天时间，计算出北京最终非典累计病例为3101人.重现北京的疫情图如图： 北京疫情的重现图从图一可以看出，在有公布的实际数据时期，拟合效果很好地重现了原模型的结果，但后期的预测偏差很大.在重现原模型的过程中，我们发现K和L，以及调整K值的天数T对预测结果影响很大；正因为如此，原模型在确

9、定K，L，T值时，会进行大量的人工干预，通过不断调整，以达到在有公布数据时期较好的拟合效果；而后期又采用其它地区（如香港）的参数，必然使预测结果与后来的实际结果偏差很大.分析K，L，T的灵敏度，可以看到K，L，T的取值对预测结果影响很大.(2) 灵敏度分析将灵敏度分析结果罗列于表一：表一 K，L，T灵敏度检验 K0.13913*(1+5%)0.13913*(1-5%)0.0273*(1+5%)0.0273*(1-5%)总累计病例 4853 1965 3205 3008结束天 数 145 129 143 132L 15天25天T7天 5天总累计病例 10694598总累计病例 2779 2522

10、结束天 数 95 205结束天 数 134 131从表一的数据可以看到，K，L，T如果发生较小的变化，都会使预测结果发生显著改变.这说明该模型对K，L，T十分敏感，如果用该模型来分析传染病的传播，只能近似描述累积病例的变化趋势，而不能有效预测累积病例数量.3. 参数分析的不合理性(1) K值不易确定，但是经过灵敏度的分析，K值改变对结果影响很大(2) K值的改变并非从高峰开始，而使从控制力度加大后，开始显现出效果的时期开始.(3) 从高峰期逐步调整K值到比较小的稳定值之间经历的时间（10天）缺少具体依据.(4) 对“从高峰期逐步调整K值到比较小的稳定值”这一过程方法叙述模糊，个人根据自己的方法

11、会得出K不同的取值.(5) 参数L的确定缺乏依据(四) 不实用性1. 该模型在预测北京地区的人数时要用到香港与广东地区的参数做近似代替.而实际上由于当地政府监控力度、群众警觉程度的不痛，K值是有较大差别的，所以该模型不具有通用性.从后面的实际情况看，北京的监控力度是要大于港粤两地的.这便造成了该模型的预测值比实际值要大.2. 模型中的不确定参数多，更重要的是许多参数的值的灵敏度很高，结果受参数的影响很大.这样模型的稳定性便不强，会造成预测结果的不够准确.三、SARS的预测和控制模型 (一) 模型的目标根据前文分析，可以发现附件1模型（以下简称“附模”）其实是不完善的，因此有必要建立起有一个真正

12、能够起到预测、控制传染病蔓延作用的数学模型.针对附模须改善之处有：1. 必须区别累计确诊病例，处于潜伏期人数与累计患病人数.累计患病人数由累计确诊人数，现有疑似病例中的带菌人数相加组成，潜伏期人数不计入内2. 要准确划分传染的几个阶段传染病传播可以分为3个阶段：控制前：疾病自由传播，政府不进行控制过渡期：公众意识到疾病的严重性后，政府采取控制措施之前控制后：在政府介入控制后除了广州、香港之外，其他城市都是在SARS大肆传播之前，政府就已经采取了强有力的控制措施，可以分为控制前与控制后两个阶段.阶段的划分以政府采取措施的时间为准.3. 模型要在不借助其他地区的资料的情况下可以预测本地区情况. 必

13、须能够由前期的公开数据求得模型中所需求得的各参数. 4. 能够衡量政府采取的各项措施的效果. 在模型中必须有表示政府控制力度的变量.并且能够量化.5. 模型中的参数必须易于求解，尽量不借助人为调控. 建立的模型中各参数由公开数据直接得到，变量不经人为调整.(二) 模型的分析要建立能够预测传染病传播的数学模型，必须对这种传染病的传播规律有足够的认识.SARS（Sever Acute Respiratory Syndrome）是一种主要通过飞沫、与患者接触而传染的疾病，且无特效药可医治.SARS的潜伏期为211天，一般为45天，潜伏者几乎没有传染力.消毒可以有效的杀死SARS病毒.没有发现对SAR

14、S免疫的人群.在控制前，SARS的传播与一般传染病传播方式相同，可以采用一般传染病模型.社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有的因素，只有抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化. (三) 模型的建立1.模型假设(1) 国家统计数据真实可信(2) SARS的潜伏期为常数5(3) 潜伏期病人不具备传染性(4) 地区总人口N为一常量(5) 在控制后只有自有带菌者有传染性(6) 不考虑人群的自然出生率与死亡率2. 变量说明：(1) ：总人口(2) ：健康人群占总人

15、口的比例(3) ：患病人数占总人口的比例(4) ：退出人数占总人口的比例(5) ：处于潜伏期的病人占总人口的比例(6) ：不可控带菌者占总人口的比例(7) ：累计发病人数占总人数的比例(8) ：可控制感染者占总人口数的比例(9) ：传染期限(10) ：平均每个不可控带菌者被收治之前传染的人数(11) ：可控制的感染者占总感染者的比例(12) ：控制前发病人群的收治率(13) ：控制前每个病人在一个周期内感染的人数(14) ：有效接触率(15) ：退出率(16) ：疑似病例中发病人数的比例3. 对人群的分类按照一般意义，可将人群分为4类：(1) 健康者：用S表示，健康者占总人口的比例(2) 潜伏

16、期病人：处于潜伏期的病人，无传染性，但最终将发病，用E表示这部分人的比例(3) 患病者：用I表示这部分人的比例(4) 退出者：患病者中被治愈者与死亡者占总人口的比例，用R表示.由于总人口N足够大，所以可以将变量S，I，E，R都看作连续可微变量，而则可以根据总人口N不变，即各变量之和为1，利用各变量相互转化关系，建立微分方程模型.但在控制前所知道的数据很少，根本不足以确定模型中的参数，所以可以考虑适当对模型进行简化进行模拟.在控制后，因为人口的分类大大增加，应该考虑使用新的模型.假设控制后在社会自由流动的人一发病就被送治，则社会上的带菌者只有在潜伏期的病人.发病病人由于被收治而失去传染他人的机会

17、，即考虑被收治人群不会传染，只有社会中的不可控带菌者可以传染他人.由于种种情况，实际有发病者未被及时送治而感染他人的情况，可以假设每名不可控带菌者被送治之前平均感染人数，其中由于政府的严格控制，有可以被控制.可控制感染者不会传染他人所以可以将人群重新分类：(1) 健康者：可被感染人群(2) 不可控带菌者：在社会中带菌的人口比例(3) 累计发病人群：包括累计确诊人数与疑似病人中确为发病病人，包括后来死亡和被治愈的人群(4) 可控制人群：被不可控带菌者感染人群中可控制比例根据分类可以建立微分方程求解.但由于社会统计数据中没有不可控带菌者人数，累计发病人数的统计数据，必须使用其他数据进行求解，或把模

18、型进行简化求解.4.模型的建立由于政府介入了SARS传播，可以将模型分为两个阶段，即控制前的模型和控制后的模型.(1) 控制前的模型在政府介入之前，SARS传播可以看为一般传染病的模型由于社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有的因素，只有抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化.由于SARS有潜伏期，而传染周期比较短，可以考虑用无自然出生率与死亡率的SEIR模型进行模拟.在SEIR模型中人员变动形式为：为类成员变成传染者数量占类成员的比例，称为表现率利用上图

19、可以建立微分方程：其中S为健康人数占总人口的比例,E为处于潜伏期人数占总人口比例,I为患病人数占总人口比例,R为恢复类人数占总人口比例,为有效接触率, 为退出率, 为表现率上式是假设表现率为常数时的SEIR模型，由于难于估计，考虑潜伏周期为常数的SEIR模型.时刻类成员数量取决于时刻到时刻之间染上病毒的成员数量.将区间划分成等长度的小区间，为区间长度，为在区间上感染上病毒的成员数量，通过积分得：经求导整理得：再将第三个方程作相应调整可以得到一个新的SEIR模型：因为微分方程形式复杂，不易得到解析解，且存在周期性因素，无法利用数值积分方法得到结果.所以考虑将微分方程转化为项后差分方程形式通过递推

20、关系进行求解.这个差分方程存在周期为的循环，需要确定各参数的前个数据，因为控制前数据比较少，无法满足要求.我们只有考虑在减少参变量的情况下建立近似的模型.(2) 控制后的模型当政府控制后，采取了隔离的措施，当发现病源后，与之接触而感染的人员可以部分被跟踪，这部分感染者为可控制的感染者，不会传播SARS病毒.只有在社会上不可控制的感染者能传播SARS病毒.同时，政府对预防SARS的宣传力度加大，公民对SARS的防护程度有所提高，在感染期限内，每名感染者所能传染人数有所下降.人群重新分类为：健康者：易于感染人群，用S表示占总人口的比例 不可控带菌者：在社会上不可控制的感染者，用M表示占总人口的比例

21、累计发病人数：包括累积确诊病例与意思中的发病人数，用T表示占总人口的比例可控制的感染者：被感染者中可以控制的部分，用W表示占总人口的比例可以根据这几类之间的相互转化关系得到微分方程： 为不可控带菌者占总人口的比例, 为累计发病人数占总人数的比例, ：可控制感染者占总人口数的比例,S为健康人数占总人数比例, 为传染期限为平均每个不可控带菌者被收治之前传染的人数,为可控制的感染者占总感染者的比例为控制前发病人群的收治率与控制前的模型相似，可以将此模型转化为差分方程形式因为控后统计的数据中没有统计累计发病人数与在社会上不可控制的感染者，这需要由其他数据得出，其中累计发病人数为累计确诊人数与现有疑似病

22、例中真正的发病人数之和.疑似病例中的真正发病人数无统计量，我们可以假设真正发病者占疑似病例的比例为一常数，就可以根据当天累计的确诊人数与疑似人数确定累计发病人数.而某天的不可控制的感染者将在下一个周期里因发病而被收治，但下一个周期内新增发病人数不仅是当天的感染者,所以这个差分方程也难于求解.我们考虑要减少所需确定的变量.因为控制前社会上的感染人数为，则这个感染者在开始控制的第一个周期内全部被收治，即为下一周期新增发病人数，这是可以进行求解的，这样可以找出，此后的每天感染人数无法进行具体求解，但一个周期内的由感染的人数可以求出为，其中可以控制的为，不可控制的感染者为，因为在潜伏期内这都不会因发病

23、而收治，即在第二个周期开始前社会上的不可控人数为.这说明虽然每天的不可控带菌人数不能具体求出，但一个周期后的不可控带菌人数却能求出.我们可以一个周期为差分方程的时间单位改变差分方程进行求解.得到的最终控后方程为：其中表示周期，周期从4月21日开始计算，为第个周期内累计确诊人数的增加量为第个周期内疑似病例的变化量.下一个周期与当前周期新增发病人数之比为，当>1时>0,说明新增发病人数成增长趋势，疫情不可能被控制，只有<1，疫情才能被控制，政府在控制疫情发展时应须满足<1可控制率与隔离措施相关，隔离措施越有利，可控制概率越大，而不可控带菌者在收治前的平均感染人数与隔离措施与

24、防疫措施都有关，隔离措施越有利与感染源接触概率越小.根据这个控制后的数学模型，我们可以设定同样的控制前的模型.假设控制前因对SARS的诊断不确切，假设收治人数与发病人数之比为.只需考虑一个周期内感染者的数量与累计收治人数即可.可以得到控制前的方程为：其中为周期内感染者数量，为周期内收治的感染者数量这两个模型均为近似模型，只能解出5天内各类人群总数，并不能准确预报每天的信息，所以并不能真正预测，及为预防和控制提供可靠足够的信息量.(四) 问题的求解1. 对控前模型的求解：因为累计收治人数为4月20日的的收治总人数.第10个周期的感染人数为控制后的社会中未控制的感染人数.为疑似病例中真正发病人数的

25、比例，可以取总疑似转患病与总疑似被排除之比，查资料取值为0.3771.可以解得: 2. 对控后模型的求解：根据控后模型的递归式,求得:第2周期的新增发病人数为第一周期的倍.其余周期新增发病人数均为前一周期的倍.取5月15日以前的数据来对剩下的数据进行预测周期12345新增发病746.1782734.2190495.4677287.3838130.82930.67480.58000.4522由第一个周期与第二个周期的新增发病人数可以算出：=0.9840可以解得当政府管理力度不加强，即0.4522不变时6.16-6.20完全恢复（一个周期内新增发病<1），累计病例2993人.管理力度加强0.

26、35时，6.6-6.10完全恢复，累计2954.管理力度放宽0.55时，6.25-6.30完全恢复，累计3041.如果从5月10日开始预测，保持力度不变 7.1-7.5完全恢复，累计3247.(五) 对模型结果的分析开始控制的第一个周期，就产生了变化，由控制前的1.6380降为0.9840，这说明北京政府从一开始，控制力度就很大，使得迅速降低为原来的60%.从第二个周期开始可控制概率的作用才显现出来，若仍取0.9840，可控制概率为31.71，说明隔离措施效果还是非常明显的.第三个周期的可控制概率为41.24与同期北京公布的可控概率40-50吻合，可以认为预测是成功的.在控制前每个感染源在一个

27、周期内感染的人数只有1.630，比起天花（3），麻疹（10多）要小的多，说明SARS传染性并不大.但却在人群中引起了恐慌，这是因为人们对的认识不够SARS，并没有搞清楚它的传播途径，没有特效药，加之在初期出现了一些超级传播者，于是造成了很大的恐慌.可以预见，如果现在再次爆发SARS疫情也不会引起太大的恐慌.(六) 误差分析：模型中只是对累计患病人数进行了预测，累计患病人数与累计确诊人数不具有可比性，但在疫情结束的情况下，这两个数据应该相等.但实际上在政府监控力度不变的情况下，预测出的累计患病人数比累计确诊人数多了400人左右. 而且在改变的情况下累计患病人数的变化不大.所以可以肯定是参数直接影

28、响最终的累计患病人数.在模型中取的是0.3771，在5月15日有疑似病理1317例，按比例在此1317例疑似病例应有患病人数497例，但实际从5月15日到疫情结束总共新增确诊人数才134例.特别是5月31日的747例竟然没有1例转为确诊病例.这说明并不是一个常数，而是一个变量，这个变量在5月15日以后有一个快速下降过程，从而影响了我们的预测结果.但在没有后期数据的情况下，我们取为常量也是无可厚非的.(七) 与附模的比较1. 附模中混淆了累计确诊病例与累积患病人数，而本模型区分了这两个概念2. 附模中参数k是在发病高峰期开始改变，不符合实际情况，实际情况是在政府开始控制是时就开始改变，本模型是按

29、照实际情况确定3. 附模在预测是借鉴了其它地区数据，而本模型在进行预测时，不需要借鉴其他地区数据4. 附模中参数需要人为调整，而本模型中参数全部由公开数据求得，不需人工调整.5. 本模型中给出了判断疫情能否被控制的指标，具有实际意义.(八) 参数检验：因为控制前的模型的参数是跟据已知数据求的，不用进行检验所要检验的参数为控制后模型的参数控制后的模型为：其中为参数但表示政府对疾病的控制，公众对疾病的重视，其本身为随时间的变量，不用检验，我们只需检验为疑似病例中，真正发病人数的比例，为了方便计算，将其定为常量，而其本身是一个随时间的变量，且没有办法被统计.我们取5月15日之前疑似病例转为确诊病例的

30、数量和从疑似病例中排除的数量（包括转为确诊与被确定没有患病）之比为计算得到0.3771因为我们取作为均值计算，有误差必然对最后结论产生影响现在分别对取几组数据，考察对最后累计病例与完全恢复所需时间的影响0.37710.10.20.30.5累计病例29932650277828973186完全恢复6.166.206.166.206.166.206.166.206.116.15病例误差-11-7-36(九) 模型推广：可用于潜伏期固定的传染病模拟(十) 模型评价：优点：1. 参数完全由公开数据得出，不存在人为调控，适用性强 2. 所需数据少，可以在缺乏数据的情况下得到较为准确结果 3. 模型简单，实

31、用性较高 缺点：虽能较容易预测总累计患病人数以及一个周期内患者总数，但预测每天的值较为复杂(十一) 模型改进：模型中为定值，而实际为随时间变化参数，可以用函数拟合进行更精确求解.四、怎样建立一个完善的预测模型完善的预测模型就是一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.我们考虑，这个模型应该为微分方程模型，而且不是一组微分方程模型，而是多组微分方程模型.1. y1：疑似病人中每天排除的排除率2. y2：疑似病人中每天转化为确诊的转化率3.：自由带菌者转化为病人的日转化率4.：每个自由带菌者发病后收治前平均每天感染的人数5.：每天由健康人群转化为疑似人群的人数占总人口的比例6.

32、C：恢复人数占总人口比例7.V：死亡人数占总人口比例这个模型可以预测每天的累积确诊人数，当天的疑似人数，当天死亡人数，当天治愈人数，社会上不可控带菌人数这个模型可以预测实际患病人数，可控制带菌人数，不可控带菌人数.这两个微分方程模型就可以预测所有所需的信息虽然微分方程可以较为准确预测未来数据,但是存在以下难点：1. 参数y1，y2在前期很小，后期逐渐放大，且变化无规率，难于估计2. 参数的变化无规律，且无统计量可以推导3. 无的统计数据4. 模型2中M，S，都需要个初值，但无统计量可以求出所需的初值上两个模型可以满足足够可靠的信息量，但如要求模型更加精准则要考虑：1. 超级传播者在总感染人群中

33、占有的比率，以及超级传播者平均传染人2. 量化政府采取的各项措施，并在模型中加以考虑3. 要考虑人们的心理变化的影响这样做的困难：没有准确的数据,心理变化随机性太强.五 模型的应用(一) 对措施“提前或延后5天采取严格隔离措施”的定量评价由控前模型可以解得提前5天，延后5天，开始控制时社会上不可控带菌者，为403，1587控制时套用实际的前期的.如果延迟5天开始控制，此后保持0.4522不变可得：8月10日至8月15日完全恢复，累计病例5217.提前5天开始控制：6月5日至6月10日完全恢复，累计病例1337.(二)对卫生部门所采取的其他措施的评价除上面的措施外，卫生部还制定了其它的预防控制措

34、施（2），大致如下：1.疾病预防控制机构详细了解、记录传染性非典型肺炎病人、疑似病人及其密切接触者的情况.2.疫情报告实行属地化管理. 3.疾病预防控制机构发现疫情或接到疫情报告，应立即报告上级疾病预防控制机构和当地卫生行政部门.4.医疗机构实行首诊医生负责制.5.县(区、市)疾病预防控制机构接到疫情报告后，应于2小时内上报省、市(地)级疾病预防控制机构、同级卫生行政部门，同时将收到的传染病报告卡进行网络直报.卫生部接到报告后立即向国务院报告.6.订正报告，包括疑似病例转诊断病例、疑似病例排除、诊断病例转疑似病例、诊断病例排除.7.传染性非典型肺炎流行期间，各级卫生行政部门根据卫生部要求，实行

35、传染性非典型肺炎病例、疑似病例发病、转归等情况日报和“零”病例报告制度.这些措施无非想达到两个目的：1.提高传染性非典型肺炎监测的敏感性和报告的及时性，做到“早发现、早报告、早隔离、早治疗”.2.提高疫情监测报告质量，及时、准确地掌握传染性非典型肺炎在人群中的发病情况和流行病学分布特征，为制订科学、有效的预防控制措施提供依据.这些措施在我们的模型中可以找到科学的依据.六、经济影响预测模型(一) 问题分析在非典流行期间，旅游客源大量减少，严重影响了旅行社和中介机构的业绩.从附录二中2003年的数据可以明显看到，在非典流行时期，北京市的海外旅游者人数与近年同期数据相比，大大减少.为了定量的描述这种

36、影响和预测北京市海外旅游者人数的走势，可首先利用经济预测中的“时间序列法”，求出在没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量.再利用经济预测中的“时间序列法”，建立在没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量的预测模型.根据现有的2003年每月海外旅游者实际接客数量，通过分析当年同月的数据，利用二次曲线拟合其近似变化规律，建立在有非典的情况下的预测模型.(二)建模与求解受非典直接冲击的主要是旅游、交通、商业零售、餐饮、文化娱乐等流通和服务部门以及外资外贸领域；间接受冲击的是部分工业和建筑业，有一定滞后期；目前受益的是医药、保险和通讯产业.由于不同行业间存在较大的

37、相关性，有些影响是可以相互传递的，实际行业所受影响应大于理论分析.这里，我们主要就非典对北京市接待海外旅游者的人数的影响，利用题中附件二的数据，建立相应的数学模型并进行预测.1.变量说明：在没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量.；在有非典的情况下（实际情况），2003年每月海外旅游者接客数量.2.模型假设附录提供的数据是真实可靠的.3.模型的建立为了定量的描述这种影响和预测北京市海外旅游者人数的走势，我们首先利用经济预测中的“时间序列法”，求出在没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量；再根据现有的2003年每月海外旅游者实际接客数量，通过分析每年同月的

38、，利用二次曲线拟合其近似变化规律.利用北京的海外旅游人员平均消费金额，并通过在没有非典情况下和实际情况下得到的总海外旅游人数的差值，就可以算出北京在非典时期，该旅游行业因此造成的总损失.4.模型的求解 (1) 没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量：我们利用经济预测中的“时间序列法”求出2003年北京市每月海外旅游者的接客数量.时间序列法是根据历史统计资料的时间序列，预测事物发展的趋势，且时间序列法主要用于短期预测.为了更有效的预测，在利用“时间序列法”之前，我们通过多元线性回归中的“逐步回归”思想，分析得出2000年，2001年，2002年三年的数据线性相关程度很好，并且

39、和2000年以前的数据关系甚小的结论. 由一般的经济常识可知，一年中某旅游行业的游客数往往和前几年的游客数有关.通过前面的分析，只需考虑2000年，2001年，2002年三年的游客数对2003年游客数的影响.图一为1997-2002年的游客数的变化趋势：图一 1997-2002年的游客数的变化趋势从图一6年游客数的变化趋势可以看到，变化大致呈周期性（周期为一年）变化，且逐年的游客数有递增趋势.由于只考虑2000年，2001年，2002年的游客数对2003年的影响，我们通过时间序列法求出在没有非典的情况下，2003年每月的游客预测值.令2000年每月游客数为（）2001年每月游客数为（）2002

40、年每月游客数为 （）计算出这三年平均每月的游客数： （）2003年的一月，北京还未出现非典，因此一月份的游客数15.4万人就是在正常情况下的游客数.又由于逐年游客数有递增趋势，我们将得到的，即前三年一月的平均游客数，用15.4-表示：2003年每月的游客预测值比对应的前三年平均每月游客数的平均递增值！那么2003年的每月游客数为：15.4- （） 将求得的结果罗列于表一，图形如图二表一 没有非典的出现，2003年北京每月的海外游客预测值（单位：万人）1月2月3月4月5月6月15.430.624.230.231.729.87月8月9月10111227.933.532.332.931.323.9图

41、二 游客数变化趋势从图二可以看出，2003年预测的值反映了周期变化的趋势，是合理的结果.这里，可以看到在有非典出现的情况下，三月份的数据23.5万人与没有非典时三月份的数据24.2万人的相对误差为：.而通过对三月份北京的非典疫情调查，几乎没有病历出现.这就说明三月的北京，旅游行业还未受到冲击.这个事实，也从一方面说明了我们预测结果的合理性.（2）有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量： 根据现有的2003年每月海外旅游者接客数量（共8个），通过分析当年同月的（为没有非典的情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量），利用二次曲线拟合其近似变化规律！由于北京三月份的实际海

42、外旅游者人数23.5万人，与没有非典时三月份的预测值24.2万人的相对误差仅为0.029 ，可以剔除掉该数据，得到1，2，4，5，6，7，8月的 数据依次为：0 0.4406 0.6155 0.9438 0.9123 0.6850 0.5159对应图像如图三： 图三 相对人数比例在5月份，是疫情高峰期，相应的达到最大值0.9438；五月后，由于疫情逐步得到控制，也逐渐下降，且这种下降趋势应达到=0为止；如果在2003年末,那么我们还需要通过时间序列法，得到在没有非典情况下，2004年的预测值，直到=0为止。由于高峰以前的数据与高峰后的数据关联不大；且在疫情高峰期后，因为政府的控制措施与国民的自

43、我防范意识加强，使后期的数据相关性较大；又根据旅游业的自身特点和大众的消费心理：只要疫情得到较大缓解，就会有较多的人以旅游的方式消除控制期的压抑。根据实际的北京疫情情况，在六月中旬，非典就得到了有效控制，新增患病人数也减少到每天一例左右，这样的条件，对旅游行业来说，无疑是快速复苏的好迹象；所以，我们选择用二次曲线对从高峰期开始的数据进行最小二乘拟合。得到的曲线方程为：通过曲线方程得到的5，6，7，8月份的数据和原始值的残差依次是：0.0127 -0.0381 0.0381 -0.0127说明拟和效果十分显著！拟和后的图像为图四：图四 对未来数据的预测从图像上可以看出，十月上旬左右，=0，即北京

44、市的海外旅游者的接客数量恢复到正常水平。通过网上的一些资料表明：随着非典疫情得到有效控制，各旅行社纷纷把目光瞄向了9月和10月的旺季，这说明我们的预测是合理可行的。通过大量的资料调查，得到海外旅游人员在国内的平均消费量在5001000美元间。我们以此为北京的海外旅游人员平均消费金额。在非典时期，即4，5，6，7月份，该旅游行业的总损失为：由前面的数据可以算出在非典时期该旅游行业的总损失：474050000（美元）948100000（美元）海外旅游接待人数减少948100人上面仅就北京的海外旅游接客人数进行预测分析，从而不难看出，这场非典灾难对旅游业造成的损失相当巨大。5. 对经济其它方面的影响

45、      据有关资料显示： 非典对旅游业的影响预计在亿元左右.非典对零售业的影响预计在左右.非典对零售业的冲击主要是使消费者信心受挫，压抑消费者的消费心理.我但从全年来说，预计损失在左右.非典对餐饮业的影响约为以上.非典对建筑业的影响相对滞后.由于建筑业关联性较大，对经济可能产生滞后影响.随着非典疫情的控制，估计月份以后，影响将逐渐减弱.非典对房地产业具有潜在影响.目前由于非典影响，使北京市房地产即期销售减少，新开工和部分在建工程进度可能延迟，开发商资金压力较大，银行利息增加，具有潜在影响.医药、通讯、保险行业受益较大.&

46、#160;根据上面的资料显示以及对旅游业的定量分析，我们认为非典对北京第业冲击较小，预计仍保持稳定增长趋势；对第二产业总体影响有一定的滞后期.第三产业短期内受冲击比较大是不可避免的，尤以旅游及其相关行业损失最大.但因消费需求具有较强的惯性和刚性，不会长期压抑.6 .模型的推广本模型还可以研究许多传染病（如水痘，腮腺炎等）的传播规律，为相关部门提供较合理的病情传播信息，以更好地制定在传染病流行期间，给单位部门的防止措施和生产计划！7.模型的评价(1) 利用“时间序列法”预测在没有非典情况下，2003年北京市每月海外旅游者的接客数量，并得到了合理的结果。(2) 根据旅游业的自身特点和大众消费心理，

47、用二次曲线对从高峰期开始的数据进行最小二乘拟合，在实际情况（出现非典）下进行预测。通过大量资料的调查，可以表明预测结果是合理的。(3) 我们搜集了有关海外旅游人员在国内的平均消费量数据，并以此算出在非典时期，该旅游行业的总损失。根据得到的结果，可以更形象地说明非典对旅游业造成的巨大负面影响！(4) 我们仅对在非典时期北京市接待海外旅游者的人数建立数学模型，还有对其它经济方面的影响数据未收集。(5) 在实际情况（出现非典）下进行预测时，还可以考虑更好的数学方法，以得到更为合理的结果！七、参考文献1 中国科学院遥感应用研究所, “早发现、早隔离、早治疗”对于控制SARS疫情的定量分析，,2003/

48、9/242 卫生部：“非典”疫情监测报告实施方案（全文）, 3景学成，非典对北京经济的影响因素， ，2003/9/244 寿纪麟，数学建模方法与范例，西安：西安交通大学出版社，1993年5 赵静 但琪等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2000年6 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社， 1993年附件附件一 给当地报刊的短文数学枪模型弹 瞄准病毒一二三2002年末，一种叫SARS的病毒看中了我们耐以生存的蓝色星球，决定在这里繁衍生息。它们站在这颗星球的主人人类的头上大声叫嚣：“我是病毒我怕谁？” SARS确实厉害，在人类可以为自己在科技、医学等各方面的巨大成就而骄傲的时候，它给足

49、了人类颜色。由于我们品种齐全的“杀虫剂”中没有“灭SARS牌”的药剂，所以它们把整个世界搞得天昏地暗所做的工作，仅仅是轻轻推倒多米诺骨牌的第一张。在这种危急时刻，人类的政治、科技领袖们带领大家扬着科学的旗帜，同舟共济，赢得了非典狙击战的巨大胜利。而这其中，传染病数学模型的建立起到了至关重要的作用。首先，正确的传染病模型客观反应了病毒的传播规律，为预测和控制传染病提供了必要前提；为我们的生产生活提供了科学的依据与正确的指导方向。例如：中科院非典模型研究小组建立的非典预测模型，就为我国的非典控制和消除起到了十分有效的指导作用！其实，我们也正是通过这些传染病模型，积极阻断非典的传播途径，加大监控力度

50、，以致最终取得这场战争的胜利。其次，传染病模型并非仅仅可以描述病毒的传播规律。一种传染病的流行，还会使国民经济，政治，文化受到冲击。例如SARS对旅游业的负面影响巨大，有了SARS传播的数学模型，就可以预测SARS对旅游业的影响，估算损失。例如：通过SARS传播的数学模型，我们建立了非典对北京市接待海外旅游者人数影响的数学模型，并利用建立的模型预测出十月上旬左右北京市的海外旅游者的接客数量将会恢复到正常水平；在非典时期该旅游行业的总损失在474050000美元到948100000美元之间！海外旅游接待人数将会减少948100人！通过现有资料的调查，可以说明我们的预测结果是合理可行的。当然亦可以

51、分析SARS对其它方面的影响。这样，各相关部门可以根据模型所提供的病情预测，更好地制定在传染病流行期间，其防止措施和生产计划，使疾病造成的损失降到最小！这足以说明建立传染病模型的重要性！知己知彼是我们在这场与SARS的斗争中取胜的法宝。传染病数学模型的建立，不仅是我们在这场战役中使用的强大武器也是一支指挥棒。一个正确的数学模型，能客观反应事物内在规律，有科学的预见作用。而在进行了科学预测之后，我们才能对症下药，对传染病的传播加以正确控制，并达到事半功倍的效果。马克思指出：一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完美的地步。有了传染病数学模型这个强有力的科学武器做指导，再面目狰狞的传染病我们也有科学的决策去应对它！ 数学枪模型弹，瞄准病毒，一二三，开枪！附件二 “SAS的传播”原模型的半模拟循环计数法程序N0=1;%北京的初始非典病例k=0.13913;%开始阶段的每个病人平均传染概率t