备战中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案

1、备战中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案一、相似1 .设C为线段AB的中点，四边形 BCDE是以BC为一边的正方形.以 B为圆心，BD长为 半径的。B与AB相交于F点，延长 EB交。B于G点，连接 DG交于AB于Q点，连接(1) AD是。B的切线；(2) AD=AQ;(3) Bb=CF?EG【答案】(1)证明：连接BD,四边形BCDE是正方形，/ DBA=45 ； / DCB=90，即 DC± AB,.C为AB的中点，.CD是线段AB的垂直平分线，AD=BD,/ DAB=/ DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD,. BD为半径，.AD是。B的切线(2)证明:BD=B

2、G,/ BDG=Z G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,1/ G=Z CDG=Z BDG=& / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 , °/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)证明：连接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / DBF=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF与 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄

3、 E=90 ； RtA DCM RtA GED, cf a -1ED EG ,又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)连接BD,要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证 明Z ADB=劣即可。 由正方形的性质易得 BC=CD , /DCB=/ DCA=5/ , /DBC=/ CDB=15'，根据点 C为AB的中点可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=f5'，则 / / ADB=% ,问题得证；(2)要证 AQ=AD,需证/AQD=/ADQ。由题意易得 / AQD=，4 -/G , /ADQ=/'- ZBDG,根据等边对等角可得/G=/BD

4、G,由等角的余角相等可得/ AQD=/ADQ,所以AQ=AD;(3)要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分别在三角形 DCF和三角形 GED中，连接 DF,用有两 对角对应相等的两个三角形相似即可得证。2.如图所示， ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°, EC的延长线交BD于点P.(1)把4ABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是(选填 相等”或不相等”)；简要说明 理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90时，在图2中作出旋转后

5、的图 形，求PD的值，简要说明计算过程；(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为【答案】(1)解：相等理由： ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA2 .ABDAACE,BD=CE(2)解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示:/ EAC=90,° CE=Jd"一=二",3 / PDA=/ AEC, / PCD=/ ACE,.,.PCDAACE,PD= 7 :;若点B在AE上，如图2所示:4 / BAD=90 ；母ABD 中，BD= '2

6、BE=AE- AB=2,5 / ABD=Z PBE / BAD=Z BPE=90,.BAABPEPB % PB 2茄瓦，即3 一回,解得PB=力，PD=BD+PB= +(3) 1; 7【解析】【解答】解：(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下 方与。A相切时，PD的值最小；当 CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大. 如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?sin PER因此锐角 / PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，在 RtACE中，CE= 中 一 $ =4,在 RtDAE 中，DE=、卢 * 字,四

7、边形ACPB是正方形，PC=AB=3, PE=3+4=7,在 RtPDE 中，PD=威-皿-而 / ,即旋转过程中线段 PD的最小值为1;当小三角形旋转到图中 AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.故答案为：1, 7.【分析】(1 ) BD , CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出 /BAD=/ CAE,根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA DA=EA,从而利用 SAS判断出 ABDACE,根据全等三角形应边相等得出 BD=CE(2)作出旋转后的图形，若点 C在AD上，如图2所示：首先根据

8、勾股定理算出CE的长，然后判断出PCAACE,根据相似三角形对应边成比例得出 UE - CE ,根据比例式 列出方程，求解得出 PD的长；若点 B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出 BD的PR Bh长，然后判断出BAgBPE,根据相似三角形对应边成比例得出 AB BL ,根据比例式 列出方程，求解得出 PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下方与。A相切时，PD 的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此锐角/PED的大小直接决定了 PD

9、的大小.当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，根据勾股定理算出 CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3进而得出 PE的长，根据勾股定理算出PD的长，即旋转过程中线段 PD的最小值为1;当小三角形旋转到图中 AB'C'时，可得DP' 为最大值，此时，DP'=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.3.如图，在依色敬中，乙故-8广，点M是AC的中点，以AB为直径作 L 分别交AC朋于点儿心.（2）填空：©若北h6当M 孙时,） ；酉连接加创，当4的度数为 时，四边形ODME是菱形.【答案】 （1）证明：Z ABC=90 , AM=MC

10、 , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四边形 ABED 是圆 内接四 边形， ，/ADE+/ ABE=180° , 又 / ADE+/ MDE=180 , . / MDE=/MBA,同理证明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . MD=ME2;江倒【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/MDE,DE/ AB, . . Ab =w-捌. AD=2DM,DM: MA=1 : 3, . DE= ' AB= ' X 6=2故答案为：2. 当/A=60°时，四边形 ODME是菱形.理由如下:连接OD、OE.SC.OA=OD

11、 , /A=60 °, .AOD 是 等边三 角形， ，/ AOD=60 °, DE/ AB , ，/ODE=/ AOD=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等边三角形， .OD=OE=EM=DM, .四边形 OEMD 是菱形.故答案为：60°.【分析】(1)要证 MD=ME,只须证/MDE=/MED即可。根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得BM=AM=MC ,则/ A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 盟(2)由(1)易证得DE/ AB

12、,可得比例式AB .扬,结合中的已知条件即可求解； 当/A=60°时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接 OD、OE,由题意易得 ODE, DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。4.如图1,等腰4ABC中，AC= BC,点 O在AB边上，以 O为圆心的圆与 AC相切于点 C,交AB边于点D, EF为。的直径，EF± BC于点G.麦11(1)求证：D是弧EC的中点；(2)如图2,延长 CB交。O于点H,连接 HD交OE于点K,连接 CF,求证：CF= OK+DO;2b(3)如图3,在(2)的条件下，延长 DB交。于点Q,连接QH,若D

13、O= 6 , KG= 2,求QH的长.AC是。O的切线, OCX AC,/ ACO=90 ；a A A+Z AOC=90 ,° ,.CA=CB,/ A=Z B, EFL BC,/ OGB=90 ；/ B+/BOG=90 ；/ BOG=/AOC, / BOG=Z DOE,/ DOC=Z DOE,.点D是应的中点(2)证明：如图2中，连接OC. EF，HC, .CG=GH, EF垂直平分HC, .FC=FH/ / CFK=- / COE / COD=Z DOE, / CFK之 COD, I / CHK= / COD, I/ CHK= / CFK点K在以F为圆心FC为半径的圆上，FC=FK

14、=FH DO=OF, . DO+OK=OF+OK=FK=CF即 CF=OK+DO曾(3)解：如图 3 中，连接 OC、彳HMLAQ 于 M.设 OK=x,贝U CF= 6 +x, OG=2 x, GF=$ - ( 2 - x),邺CG2=CF? - FG2=CC2 - OG2 , 踞世26( 6 +x) 2行-(2-x) 2= ( J 2 (2-x) 2 .J解得x=1, I I.CF=5, FG=4, CG=3, OG=, / CFE=/ BOG,.CF/ OB,0B =磔=GG可得 OB= IS , BG= "22BH=由 BHMsbog, .BM=心,MQ=OQ- OB - B

15、M=在 RtA HMQ 中,qh=.=【解析】【分析】(1)如图1中，连接OC.根据切线的性质得出 OCAC,根据垂直的定 义得出/ ACO=90 ,根据直角三角形两锐角互余得出/ A+/ AOC=90 ,根据等边对等角得出角形两锐角互余得出ZA=Z B ,根据垂直的定义得出/ OGB=90 :根据直角ZB+Z BOG=90 ;根据等角的余角相等得出/ BOG=Z AOC,根据对顶角相等及等量代换得出/ DOC=Z DOE,根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；(2)如图2中，连接OC.根据垂径定理得出 CG=GH进而得出EF垂直平分HC,根据线段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出

16、FC=FH根据圆周角定理及等量代i换得出ZCFK=/ COD, /CHK=/CFK从而得出点 K在以F为圆心FC为半径的圆上，根 据同圆的半径相等得出 FC=FK=FH DO=OF,根据线段的和差及等量代换得出 CF=OK+DQ(3)如图 3 中，连接 OG 彳HMLAQ于 M.设 OK=x,则 CF= + +x, OG=2 x, GF= 6-(2-x),根据勾股定理由 CG2=C* - FG2=CO2 - OG2 ,列出关于x的方程，求解得出x 一的值，从而得出 CF=5 FG=4, CG=3, OG=，根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两 直线平行得出 CF/ OB,根据平行线分线段成

17、比例定理得出 C F：O B = C G： G B = F G : G O ,进而可得 OB,BG,BH的长，由 BHMs BOG,可得 B H ： O B = B M : B G = H M ： O G,再得出BM,HM,MQ的长，在RtAHMQ中，根据勾股定理得出 QH的长。5.如图，在平面直角坐标系中， 。为原点，四边形 ABCD是矩形，点 A、C的坐标分别是 A (0,2)和C (2V；0),点D是对角线 AC上一动点(不与 A、C重合)，连结 BD,作， 交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形 BDEF.图m图（2）（1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点 D,使得 DE

18、C是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：的 3 ；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用 的结论），并求 出y的最小值【答案】（1） I 切（2）解：存在，理由如下：d,.QA=2,OC=2'；I,tan / ACO= 3 ,/ ACO=30 ；/ ACB=60 °如图（1）中，当 E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC/ DCE=Z EDC=30,°/ DBC=ZBCD=60,° .DBC是等边三角形， . DC=BC=Z在 RtA AOC 中，/ ACO=

19、30 ； OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2,当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图（2）中，当 E在OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.ab=ad=2"综上所述，满足条件的 AD的值为2或2g.(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。 . A(0.2)和 C(23 ,0),直线AC的解析式为y=-33x+2,设 D (a, -33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=

20、90 ,Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE, . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图(2)中，作DHI± AB于HoH 8图在 RtAADH 中， . AD=x, ZDAH=ZACO=30,° .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x, .BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, . DE=33BD=3312x2+23-32x2, .矩形 BDEF的面积为 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y

21、=33x2-23x+43,y=33x-32+3. 33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1)二.四边形AOCB是矩形,BC=OA=2,OC=AB为日, 2)/ BCO=Z BAO=90 ,【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出 BC AB的长，即可求解。(2)根据点 A、C的坐标，求出/ACO, ZACB的度数，分两种情况讨论： 如图(1) 中，当E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC如图 (2)中，当E在 OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分别求出 AD的长，即可求解

22、。(3) 如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线 AC的解析式，设 D (a,-二Ta+2),分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明 BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出 DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出 y与x的函数关系式，求出顶点坐 标，即可求解。6.已知：如图，在 RtA ABC中，/C= 90°,点O在AB上，以 O为圆心，OA长为半径的 圆与AC, AB分别交于点 D, E,且/ CBD= / A

23、.(1)判断直线BD与。O的位置关系，并证明你的结论;(2)若 AD: AO=8: 5, BC= 2,求 BD 的长.【答案】(1)解：BD是。的切线；理由如下： OA=OD,/ ODA=Z A . /CBD=/ A,，/ODA=/ CBD, / C=90 ,°/ CBD+/ CDB=90 ； / ODA+Z CDB=90 ,°/ ODB=90 ；即 BD± OD,.BD是。O的切线(2)解：设 AD=8k,贝U AO=5k, AE=2OA=10k,. AE是。的直径，/ ADE=90 ,°/ ADE=Z C,又/CBD叱 A, . MDEs BCD,A

24、E BL 10k 曲，疝-正，即额一1，/ ODA=Z CBD,由直角三角形的性解得：BD= .所以BD的长是,【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质和已知得出 质得出 /CBD+/ CDB=90 ,因此 Z ODA+Z CDB=90 ,得出 / ODB=90 ,即可得出结论;(2)设 AD=8k,贝U AO=5k, AE=2OA=10k,由圆周角定理得出 ZADE=90 , AADEABCD,AE BL得出对应边成比例 疝一瓦，即可求出BD的长.7.已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD, /D=90°, AD= CD= 2,点E在边AD上(不 与点A、D重合)，ZCEB=

25、45°, EB与对角线 AC相交于点F,设DE= x.(1)用含x的代数式表示线段 CF的长； 如果把4CAE的周长记作Cacae , 4BAF的周长记作Cabaf ,设/)W=y,求y关 于x的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当/ ABE的正切值是 a时，求AB的长.【答案】(1)解：. AD=CD./ DAC=Z ACD=45 ,° / CEB=45,°/ DAC=Z CER Z ECA之 ECA.CEFCAECE )二. 门 仪，Sil在RtA CDE中，根据勾股定理得,.CA=.CF=CE=、(2)解：./CFEW BFA, /CEB之 CAB,/ E

26、CA=180 - / CEB- / CFE=180-°Z CAB- / BFA, / ABF=180 -° / CAB- / AFB, / ECA土 ABF, / CAE玄 ABF=45 ,° .CEABFAC A AE2 - xC A SFA 种 广隹* +打 £ + 2 3；/(0vxv 2)，AB=x+2,.一/ABE的正切值是5,AE 2 - x 5，tan/ABE=出"丫 5,.AB=x+2=.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得/DAC=/ACD=45,进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得CEM4CAE,然后根据

27、相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由/ABE的正切值求解.8.如图，抛物线y=a （x-m-1） 2+2m （其中m>0）与其对称轴l相交于点P.与y轴 相交于点A（0,m）连接并延长PAPO,与x轴、抛物线分别相交于点B、C,连接BC将 PBC绕点P逆时针旋转，使点 C落在抛物线上，设点 C、B的对应点分别是点 B和C'.（2）求证：/BCA=/CAO;（3）试问：BB' +BCBC是否存在最小值？若存在，求此时实数 m的值，若不存在，请说 明理

28、由.【答案】(1) y= - M+x+l(2)证明：把点 P、A的坐标代入一次函数表达式:y= kx+b 得:令y= 0,解得：x= - m - 1,即点B坐标为(-m - 1, 0),2m同理直线 0P的表达式为：y=量* i|x，2m越将联立得：a (x- m - 1) 2+2m -博 x= 0,其中a=-出'/产， 该方程的常数项为：a (m+1) 2+2m,c a(m + l)2 + 2ih由韦达定理得： xix2= xc?xp= a = - ( m+1) 2 ,其中 xp= m+1 ,则 xc= - m - 1 = xb ,.BC/ y 轴, Z BC上 Z CAO(3)解：

29、如图当点 B'落在BC所在的直线时,设：直线I与x轴的交点为D点，连接BB'、BB' +B6BC存在最小值,CC, 点C关于I的对称点为C； .CCL,而 0山,CC7/ OD, Z POD= Z PCC； . / PB' UPB '与 180 , PB'由'PBC旋转而得， . / PBC= / PB' ,CPB= PB； Z BPB= Z CPC；Z PBC+Z PB'韦 180 ；. BC/ AO,Z ABC+/ BAO= 180 / PB '韦 / BAO . PB=PB； PC= PC； / PB 

30、9;韦/ PBB =/ PCC= / PCM / PB '韦/ PCC；/ BAO= / PCC；而 / POD= / PCC,/ BAO= / POD, 而 / POD= / BAO= 90°, .BAOAPOD),BO AC二小血将 BO= m+1 , PD=2m, AO= m, OD= m+1 代入上式并解得：m=1 +4(负值已舍去)【解析】 【解答】解：(1)把点 A的坐标代入二次函数表达式得：m= a (- m - 1)+2m,解得：a =一'朋'j；'则二次函数的表达式为:(x m T) 2+2m则点P的坐标为(m+1 , 2m),点A的

31、坐标为(0, m),1把m = 1代入 式，整理得：y= - 3 x2+x+1,故：答案为：y= - ； x2+x+1；【分析】(1)把点A的坐标代入二次函数表达式得：m = a ( - m-1) 2+2m,解得：a =-I伍 T ,把m= 1代入上式，即可求解；(2)求出点 B、C的坐标，即可求解；(3)当点 B'落在 BC所在的直线时， BB' +BCBC存在最小值，证 BAA4POD,即可求 解.二、圆的综合9. (1)如图1,在矩形 ABCD中，点 O在边AB上，/AOO/BOD,求证：AO=OB;(2)如图2, AB是OO的直径，PA与OO相切于点A, OP与OO相交

32、于点C,连接CB, Z OPA=40 ；求 / ABC 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2) 25°.【解析】试题分析：(1)根据等量代换可求得 /AOD=/ BOC,根据矩形的对边相等，每个角都是 直角，可知/A=/B=90°, AD=BC,根据三角形全等的判定 AAS证得AODZBOC,从而 得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求 / ABC的度数.试题解析：(1) - ZAOC=Z BOD / AOC -/ COD=Z BOD-/ COD即 / AOD=Z BOC 四边形ABCD是矩形/ A=

33、Z B=90 ； AD=BCAOD BOC.AO=OB(2)解：.AB是eO的直径，PA与eO相切于点A, .PA，AB,/ A=90 :又 /OPA=40,/ AOP=50 ；.OB=OC, / B=/OCB.又 / AOP=/ B+Z OCB,1-B OCB AOP 25 . 210.如图，AB为。O的直径，点 E在。O上，过点E的切线与 AB的延长线交于点 D,连 接BE,过点O作BE的平行线，交。于点F,交切线于点C,连接AC(1)求证：AC是。的切线；(2)连接EF,当/D=。时，四边形FOBE是菱形.c【答案】(1)见解析；(2) 30. 【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出O

34、Cg OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出 BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明：.CD与。相切于点E,OE CD , CEO 90 , 又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB, OEB OBE , COE COA, y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SA0 ,CAO CEO 90 , 又AB为。O的直径， .AC为。O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF .OE=OB=BEOBE

35、为等边三角形，BOE 60 , 而OE CD,D 30 .故答案为30. 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir11 .如图，AB是半圆。的直径，C是，优的中点，D是，芯的中点，AC与BD相交于点E.IK/3 s(1)求证：BD平分/ABC；(2)求证：BE=2AD;(3)求DE的值. BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3) 五 12【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF

36、=2AQ(3)连接OD交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH= J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是笳的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF,BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,则 BC 为 2, OB=OD=J2 , DE DHDH= , 2 1, 一=一BE BCDE =1BE 212 .如图1,以边长为4的正方形纸片 ABCD的边AB为直径作O 0,交对角线 AC于点E. (1)图1中，线段AE=；(

37、2)如图2,在图1的基础上，以点 A为端点作/DAM=30 ,交CD于点M ,沿AM将四 边形ABCM剪掉，使RtAADM绕点A逆时针旋转(如图 3),设旋转角为 a (00< a< 150°),在旋转过程中 AD与。O交于点F.当a =30B,请求出线段 AF的长； 当a =6叫，求出线段 AF的长；判断此时 DM与。O的位置关系，并说明理由；当a=。时，DM与。O相切.国1图2国3街用图【答案】(1) 2、12 (2)22 % 相离当a =90时，DM与。O相切【解析】(1)连接BE, AC是正方形ABCD的对角线，/ BAC=45°, AEB是等腰直角三角

38、形，又 AB=8, .AE=4V2；(2) 连接 OA、OF,由题意得， /NAD=30°, /DAM=30°,故可得 /OAM=30°,ZDAM=30 ；贝U/OAF=60 ；又OA=OF, .OAF 是等边三角形，.OA=4, .AF=OA=4;连接 B'F,此时 / NAD=60 °, . AB'=8, /DAM=30 °,AF=AB'cos/ DAM=8此时DM与。O的位置关系是相离;AD=8,直径的长度相等，当DM与。相切时，点D在。上，故此时可得 a 与 NAD=90 °.点睛：此题属于圆的综合题，

39、主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30。角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度.CFDF 313.如图，AB是。的直径，弦 CD± AB于点G,点F是CD上一点，且满足若 连接AF并延长交。于点E,连接AD、DE,若CF=2, AF=3.E(1)求证：ADFsAED;(2)求FG的长;(3)求tan/E的值.【答案】(1)证明见解析；(2)FG =2；(3)-5 .【解析】分析：(1)由AB是。的直径，弦 CD± AB,根据垂径定理可得：弧 AD=M AC, DG=CQCF继而证得ADFsAED; (2)由CF fd则可求得F

40、G=2； (3)由勾股定理可求得1,CF=2,可求得DF的长，继而求得 CG=DG=43AG的长，即可求得tan/ADF的值，继而求得 tan / E=5 .本题解析：.AB是。的直径，弦 CD>±AB, . dg=cg Ad Ac ， / adf=z aed, / FAD=Z DAE （公共角）,ADFsAED;CFfdCF=2,FD=6, ，CD=DF+CF=8.CG=DG=4,FG=CG-CF=2-. AF=3, FG=2, AG=JaF2 FG2 45,点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角 函数等知识点，考查内容较多，综合性较强

41、，难度适中，注意掌握数形结合的思想14.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求证：ag= gd； 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？若 AB=10, sin/ABD= 3 ,求 BC 的长.【答案】(1)证明见解析;2)当/ABC= 60°时，4DFG是等边三角形.理由见解析;(3) BC的长为14 .5(1)首先连接AD,由DE±AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得Z ADE / ABD,又由弦BD平分/ABC,可

42、得/DBC=/ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD;(2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与 三角形的外角的性质，易求得 Z DGF=Z DFG=60 ,即可证得结论；(3)利用三角函数先求出 tan /ABD 3, cosZ ABD=-,再求出DR BF,然后即可求出45BC.【详解】(1)证明：连接AD, . DEXAB, AB 是。的直径，Ad Ae , / ADE= / ABD，,.弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD；(2)解：当/ABC= 60&

43、#176;时，4DFG是等边三角形. 理由：二.弦BD平分/ ABC,/ DBC= ZABD=30 °,.AB是。的直径，/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / ABC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 ; .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °, .DGF是等边三角形；(3)解：.AB是。的直径，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,.Ai' sin"：3'在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6, BD= Jab2 bd2 =8,AD 3, BD 4 tan / ABD= 一，cos/ ABD=一，BD 4AB 5,39在 RtA ADF 中,DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=,42 .BF=BD- DF= 8 - 9 = 7 ,22 在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBG B