123(1)直线和极坐标方程

1、1.2.3(1)直线的极坐标方程直线的极坐标方程主备：冯宗明主备：冯宗明 喻浩喻浩 徐洪燕徐洪燕 审核：牟必继审核：牟必继要相信总有一扇窗是为自己打开的。要相信总有一扇窗是为自己打开的。1.2.3(1)直线的极坐标方程直线的极坐标方程教学目标：教学目标：理解曲线的极坐标方程概念，掌握理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线的极坐标方程直线的极坐标方程 重点：重点：曲线的极坐标方程的概念，根曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线的极坐标方程据条件求直线的极坐标方程 难点难点：直线的一般极坐标方程及其：直线的一般极坐标方程及其反用反用 复习回顾复习回顾: :方程的曲线定义：方程的曲线定义： 一般地在直角

2、坐标系中，如果某曲线一般地在直角坐标系中，如果某曲线C C ( (看作适合某种条件的点的集合或轨迹看作适合某种条件的点的集合或轨迹) )上的上的点与一个二元方程点与一个二元方程 的实数解建立了的实数解建立了如下的关系：如下的关系：( , )0f x y （1 1）曲线）曲线C C上的点的坐标都是这个方程上的点的坐标都是这个方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解；（2 2）以这个方程）以这个方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都是曲线上的点是曲线上的点. . 那么这个方程那么这个方程叫做曲线的方程叫做曲线的方程；这条曲；这条曲线叫做线叫做方程的曲线。方程的曲线

3、。在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，平面曲线平面曲线C可以用方程可以用方程 f(x,y)=0表示，表示，曲线与方程满足如下关系：曲线与方程满足如下关系：（1）曲线）曲线C上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；的解；（2）以方程）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上上表示呢？方程平面曲线是否可以用那么，在极坐标系中，0),(f一问题的提出一问题的提出 有时我们却需要用有时我们却需要用角和距离角和距离来表示物体运动的来表示物体运动的轨迹轨迹.例如例如:射击运动员射击运动员在瞄准飞行中的目标时在瞄准飞行中的目标时,就要就要研究飞行目标的运动

4、轨迹研究飞行目标的运动轨迹,这条曲线相对于射击运这条曲线相对于射击运动员来说动员来说,用角和距离来表示会更加方便和实用用角和距离来表示会更加方便和实用.1.曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程定义定义：在极坐标系中：在极坐标系中,曲线可以用含有曲线可以用含有 , 这这两个变量的方程两个变量的方程 ( , )=0来表示来表示.如果曲线如果曲线上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程 ( , )=0有如下关系有如下关系()曲线上每个点的极坐标中至少有一组曲线上每个点的极坐标中至少有一组( , )符合方程符合方程 ( , )=0 ；()极坐标满足方程极坐标满足方程 ( , )=0的所有解为坐标的所有解为

5、坐标的点都在曲线上。的点都在曲线上。 则曲线叫作则曲线叫作极坐标方程极坐标方程 ( , )=0的曲线的曲线 ;方程方程 ( , )=0 叫作曲线叫作曲线C的极坐标方程。的极坐标方程。2.怎样求曲线的极坐标方程怎样求曲线的极坐标方程?答：与直角坐标系里的答：与直角坐标系里的情况一样情况一样，求，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点点的坐标的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再，再化简并讨论化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？2、直线的极坐标方程、直线的极坐标方程x4 l例例1：求过极点，倾斜角为

6、：求过极点，倾斜角为 的的射线射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 其极径其极径 可以取任意的非负数。可以取任意的非负数。故所求射线的极坐标方程为故所求射线的极坐标方程为(0)4 解：建立极坐标系解：建立极坐标系如图如图,设所求的射设所求的射线上任一点线上任一点M( , )( 0),连结连结OM，则则M点的极角点的极角 都是都是/ 4 直线呢直线呢()4R (或o故所求直线的极坐标方程为故所求直线的极坐标方程为M( , ),544或3、求直线的极坐标方程步骤、求直线的极坐标方程步骤1、由题意建立极坐标系画出草图；、由题意建立极坐标系画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(

7、 , )M 3、连接、连接MO；4、建立关于、建立关于 的方程，并化简；的方程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。注意：极坐标方程要注明极径注意：极坐标方程要注明极径 的取值范围。的取值范围。例例2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设直线解：如图，设直线l上的作一点上的作一点( , )(0),MOM 并连结ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cos(0)a这就是过点这就是过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的，且垂直于极轴的直线直线l的极坐标

8、方程。的极坐标方程。 课堂练习课堂练习1求过点求过点A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于极轴的直线极轴的直线l的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点 为直线为直线l上除点上除点A外的任意外的任意一点，连接一点，连接OM( , )(0)M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI课堂练习课堂练习2 设点设点A的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点( ,0)a ll解：如图，建立极坐标系，设点解：如图，建立极坐标系，设点( , )(0)M 为直线为直线 上

9、异于上异于A点的任意一点，连接点的任意一点，连接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满足上方程点也满足上方程A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。AMOMAMAOMOsinsin化简得化简得 oMx A例例3、设点、设点P的极坐标为的极坐标为( 1， 1)，直线，直线 l 过点过点P且与且与极轴所成的角为极轴所成的角为 ，求直线，求直线 l 的极坐标方程的极坐标方程.xOAP ( 1, 1)l M( , )解解：如如图图，设设为为直直线线 上上除除点点 外外的的任任意意

10、一一点点，( , )(0)MlP ,OMOMxOM连连接接，则则，1111(,)POPxOP 由由点点 的的极极坐坐标标为为知知，lAxAM 设设直直线线 与与极极轴轴交交于于点点 ，则则，1,()MOPOMPOPM在在中中，sinsinOMOPOPMOMP由由正正弦弦定定理理，得得sinsinOMOPOPMOMP由由正正弦弦定定理理，得得11sin()sin() 即即11sin()sin()整整理理得得 1111(,)sin()sin()Pl 显显然然，点点 的的坐坐标标是是上上述述方方程程的的解解，直直线线 的的极极坐坐标标方方程程为为。xOAM( , )P ( 1, 1)l 例例3、设点

11、、设点P的极坐标为的极坐标为( 1， 1)，直线，直线 l 过点过点P且与极轴且与极轴所成的角为所成的角为 ，求直线，求直线 l 的极坐标方程的极坐标方程.程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2) 3 , 2(2A练习练习3 这也为求极坐标方程的这也为求极坐标方程的另一种方另一种方法：先求直角坐标方程，再把它转法：先求直角坐标方程，再把它转化为极坐标方程。化为极坐标方程。练习练习1 设点设点A的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过

12、点( ,0)a ll解：如图，建立极坐标系，设点解：如图，建立极坐标系，设点( , )M 为直线为直线 上异于上异于A点的任意一点，连接点的任意一点，连接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满足上方程点也满足上方程A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。AMOMAMAOMOsinsin化简得化简得 oMx A练习练习2求过点求过点P(4, /3)且与极轴夹角为且与极轴夹角为 /6的直线的直线 的的方程。方程。l2)6sin(2,)4A 变变题题、求求过过点点平平行行于于极

13、极轴轴的的直直线线。OBAM( ， )( , )MlA 解解：如如图图，设设是是直直线线 上上除除点点 外外的的任任意意一一点点(2,)2 sin244AMBsin ,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直线线方方程程为为x(2,)4A 可可以以验验证证，点点 的的坐坐标标满满足足上上式式，1cos()sin()aaABCD、两两条条直直线线与与的的位位置置关关系系是是( )( )、平平行行 、垂垂直直、重重合合 、平平行行或或重重合合B练习：练习：24sinsin2 cos2cos4 cos4ABCD 、在在极极坐坐标标系系中中，与与圆圆相相切切的的一一条条直直

14、线线的的方方程程是是、( )B22224sin40(2)42cos2xyyxyx 解解：圆圆的的化化为为直直角角坐坐标标方方程程是是即即那那么么一一条条与与此此圆圆相相切切的的圆圆的的方方程程为为化化为为极极坐坐标标方方程程为为12121212123:sin()2 lalAllBllCllDll 、直直线线和和 ： 的的位位置置关关系系为为( )( )、 平平行行、 与与 重重合合 、 和和 斜斜交交B 2. 1 . 15. 12.2, 1cos2. 3 83,28, 1,. 2cos1. ;cos1. ;cos. ; 1.), 1 (. 1DCBAQPDCBAPP等于的最近距离与定点上的动点

15、极坐标系内曲线方程的直线的倾斜角是和点过点在极坐标系中方程为极坐标且垂直于极轴的直线的那么过点的极坐标为已知点C85A圆的圆心的极坐标是ABCD1、直线的位置关系是有关，不确定A、平行B、垂直 C、相交不垂直D与2、 3、在极坐标系中有如下三个结论： 点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程； 41tan 与表示同一条曲线；=3与=-3表示同一条曲线。在这三个结论中正确的是：A、 B、C、 D、 sin25sincos. 3 ,22)4sin(. 2 2,)2,2(,. 1距离是的最小到曲线上的动点直线的距离为则极点到该直线若直线的极坐标方程为为半径的圆的方程是为中心以在极坐标系中Paa小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点垂直于极轴、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点，且与极轴成一定的角度、过某个定点，且与极轴成一定的角度3、过某个定点平行于极轴、过某个定点平行于极轴ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(Rcosa sin a11sin()sin()1 1、过极点，倾斜角为、过极点，倾斜角为2 2、求过点、求过点A(aA(a，0)(a0)0)(a0)，且垂直于极轴，且垂直于极轴3 3、求过点、求过点A(aA(a，0)(a0)0)(a0)，且平行于极