希望杯全国数学邀请赛决赛冲刺班六年级教师

1、2012年第十届“希望杯”全国数学邀请赛决赛冲刺班六年级 第1讲亲爱的小朋友，欢迎你参加第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛！祝贺您顺利通过了初赛，你将进入一个新颖、有趣、有挑战性的数学天地，将会留下一个难忘的经历。好，我们开始前进吧！预祝同学们决赛中取得优异的成绩！送给各位数学精英的2句话：第1句：没有解决不了的问题！无望而前行，百折而不挠！第2句：简单的是本质的！极端的是很有用的！一、冲刺目标分数 循环小数 四则运算 新定义运算 约数个数二、知识归纳小数和分数的互化（1）有限小数与分数的互化有限小数化成分数时：小数点后面有多少个数字则分母的后若干位就有多少个0；分母的首位是1，分子则是由原来

2、的小数去掉小数点后的所有数字按原来的顺序所组成的数，然后再约分.如：0.3412化成分数是；1.23化成分数是.(2)循环小数与分数的互化纯循环小数化成分数纯循环小数化成分数时，分母是由9组成的自然数，其中9的个数是循环节的位数.如：.混循环小数化成分数混循环小数化成分数时，分母前若干位是9，位数是循环节的位数；其余为0，位数是循环节前的小数位数，如：化成分数时，分母为99900，分子是7345673=73383，即繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”找到最长的

3、分数线，将其上视为分子，其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数有分数有小数的的运算通常化为分数进行处理。 3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可连续分数的分拆、整数分拆1、 2、3、n×(n+1)= ×n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1) 4、n×(n+1) ×(n+2)= ×n×(n+1)×(n+2) ×(n+3)-(n-1)

4、×n×(n+1) ×(n+2）约数个数、约数和的求法 I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身).约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)

5、5;(1+5+52+53)×(1+7)=74880三、例题选讲例1、计算：【分析与解】原式=例2、计算：【分析与解】 例3、计算：【分析与解】 方法一：=2.4方法二： =() =2.1+×(1+2+3+4+8+9)=2.1+×27=2.1+0.3=2.4方法三：如下式， 0.0 1 1 0.1 2 2 0.2 3 3 0.3 4 4 0.7 8 8+ 0.8 9 9 2.3 9 7所以注：2.399999=2.4 =1 ,=例4、下图列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位_ ？ 讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.29189291

6、5，9.189291592，9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.291892915。再考例5、对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 .解：由题设的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.例6、数360的约数有多少个?这

7、些约数的和是多少? 【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为03,6为02,c为01)因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因

8、数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5) 于是,我们计算出值:13×15×6=1170 所以,360所有约数的和为1170四、巩固练习1、计算:= .解：原式 .2、计算:= .解：原式 .3、计算:= .解：原式 .4、用简便方法计算:.解：原式 .5、计算: 解：因为,所以 原式 .6、

9、计算:【分析与解】方法一: 发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少 所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+9+10=55，所以最终计算结果为方法二：,方法三：先找出通项的规律为 有 而,以下省略7、计算：，结果保留三位小数【分析与解】 方法一：-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666= 0.73590.736方法二：0.736方法三（推荐）：所以=0.7368、设a,b是两个非零的数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34). (2)如果已知a是一个自

10、然数,且a3=2,试求出a的值.解：(1)按照定义有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.9、两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求19912000,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x.解：(1)19912000=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45

11、=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x3(因为x应大于余数2),所以x=3或9. 2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19. 方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14.

12、 当y=7时,分两种情况解19x=7. 1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x8,所以x=12. 2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45. 当y=14时,分两种情况解19x=14. 1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的. 2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33. 总之,方程(19x)19=5有四个解,x=12,26,33,45.10、.一个数是5个2,3个3,6个

13、5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】 设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数11、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数 【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇