四年级数学上册思维训练全

1、第一讲 方阵问题（一） 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做 列. 如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这 种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题） 。方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都 相同. 每向里一层，每边上的人数就少 2。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=每边人（或物）数-1 x4;每边人（或物）数=四周人（或物）数+ 4+ 1。 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数X 每边人（或物）数。例 1 ：有一条公路长 900 米，在公路的一侧从头到尾 每隔 10 米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？分析：要以两棵电

2、线杆之间的距离作为分段标准 . 公 路全长可分成若干段 . 由于公路的两端都要求栽杆， 所以 电线杆的根数比分成的段数多 1。解：以 1 0米为一段，公路全长可以分成900- 10= 90 （段）共需电线杆根数：90+仁91 （根）练习与作业1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行 11 人， 共 11 行的方阵。这个方阵里有多少同学？2. 用棋子排成一个6X 6的正方形，共需用棋子多少枚？3. 有 1764 棵树苗，准备在一块正方形的苗圃 （实心方阵） 里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？4. 576 人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？5. 棋子若干只，恰好可以排成每边

3、6 只的正方形，棋子 的总数是多少？棋子最外层有多少？6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏， 每边装 25 盏，四周共装彩灯多少盏？第二讲 方阵问题（二）例 3 ：某校五年级学生排成一个方阵， 最外一层的人 数为 60 人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五 年级学生多少人？分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数二四周人数+ 4+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：60+4+ 1=16 （人）整个方阵共有学生人数：16X 16=256 （人） 答：方阵最外层每边有 16人，此方阵中共有 256 人。 例 4：

4、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一 层每边有围棋子 14 个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少 个？分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个。 知道最外面一层每边放 14 个，就可以求第二层及第三层 每边个数。知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解：最外边一层棋子个数：（14-1 ） X 4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1 ）X 4=44 （个）第三层棋子个数： （ 14-2X2-1 ）X 4=36（个）摆这个方阵共用棋子：52+44+ 36= 132 （个）3 / 38练习与作业1. 有 16 个学生站在正方形场地的四周， 四个角上都 站 1 人，如果每边站的人数相等

5、， 那么每边站几个学生？2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽 1 棵树，如果 每边栽 6 棵，四边一共栽多少棵树？3. 有 100 个少先队员参加广播操比赛，十人一行， 排成了一个正方形队。这个正方形四周站了多少个少先 队员？4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都 竖 1 根，一共竖 28 根，正方形场地每边竖多少根电线杆？5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边 安装8灯（包括四个角上都安装1盏）,四周一共安装多 少盏灯？第三讲巧求周长（一）我们已经会计算长方形和正方形的周长了， 但对于 些不是长方形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多边形的周长转化为求长

6、方形和正方BC+ CM D曰EF+FA的和是多少，而在这六条线段中，只 有AB和BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段 的长度均是未知的当然，这个多边形的周长还是可以求 的.用一个大正方形把这个图形圈起来， 如图13 2所示， 这个大正方形是 ABCG把线段EF水平向上移动，移到C（ 边上，这样C> EF的长度正好与AB的长度相等.同样把 竖直方向上的DE边向左移动，移到 AG边上，这样AF+ DE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD DE EF、 FA这四条线段的长度不知道，但这四条线段的长度和我 们可以求出来，这样求这个多边形的周长就转化为求一 个正方形的周长。练习与作业下

7、图的周长与长厘米，宽厘米的长方形周长相 同，所以它的周长为厘米（单位：厘米）。,Fl 叮I 1厂f ilr J i a “ .1. 下图的周长可以看成一个长由个1厘米的小线段组成，宽由个 1厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是厘米。分析：先观察图13 3,第一层有一个长方形，第二层有两个长方形，第三层有三个长方形找到规律，第十五层有十五个长方形.同样，用一个大长方形把这个 图形圈起来.因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为2X 15=30 （厘米）、宽为1X 15= 15 （厘米）的长方2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状， 它的周长为多少厘米？月季花，一共需种棵。2016

8、10161210 / 38第五讲逻辑推理初步在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字， 也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也 不是一个几何问题。也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题， 但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和 结论，分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有 根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。 这类问题我们称它为逻辑推理。例1. 一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个 证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证 人说：“前面两个

9、证词中至少有一个是真的。”第四个证 人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下， 凶手是谁？分析与解：题目中条件较多，且四个人的证词有真 有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行 有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实 话。因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪 证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句 假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。 从而判断出甲和乙都是凶手。练习与作业1. 有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔， 个人有偶数根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙 原有铅笔数的2倍，他们

10、俩共有铅笔数为偶数。那么， 甲同学原有铅笔数是。2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比 丁同学高，比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比 甲同学矮。则最高的同学是，最矮的同学是。3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨 树，生物老师将照片从 1到4编了号，让同学们区分四 种树，每人说出两个，学生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1号是梨树，2号 是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个 学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只 说对了一半，那么，1号是,2号是, 3号是,4号是。第六讲枚举问题（一）电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试

11、一遍，结果 全部日光灯都是好的。像这样将事物一个一个全部列举 出来的方法就是枚举法。问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币， 要拿出8分钱，你能找出几种拿法？分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行。先找只拿一种硬币的拿法，有两种： 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1+ 1 = 8 （分）； 2 + 2+ 2+ 2 = 8 （分）。再找拿两种不同硬币的拿法，有四种： 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 2= 8 （分）； 1 + 1 + 1+1 + 2 + 2=8 （分）； 1 + 1 + 2+2 + 2 = 8 （分）； 1 +

12、 1 + 1 + 5 = 8 （分）。最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：1+ 2+ 5= 8 （分）。由此可见，共有7种不同的拿 法。在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全 部拿法作了适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又 快又省的技巧。练习与作业1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位 数？其中最大的三位数是什么？最小的三位数是什么？2. 用0、I、3、6可以组成多少个四位数?3. 有四张卡片分别写有数字 0、2、3,从中取出2张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的 四位数，这些四位数一共有多少个？5. 在两位整数中，十位

13、数字大于个位数字的共有几个？第七讲枚举问题（二）问题1.假设有A B、C三个城市，从A到C必须经过B.已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从 B 到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达. 问：从A到C 可以有多少种不同的旅行方式？分析 从A到C（ A-C）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B （A-B）;第二阶段，从B到C （B-C）,按 照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：A B B C A-坐飞机坐靜臥车.（曲逸* G気飞* （火，汽甘（火火）坐飞机* g飞所以，从A到C共有2X 3 = 6种不同的旅行方式。上述解法中的图示叫做枝形图（图 44 1）,在解不 太复杂的计数问题中很有用

14、。16 / 38练习与作业1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同 的裤子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多少种不同的装束？2. 从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙地到丙 地有4条不同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同 的路可走？3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙 地到丙地共有几种走法？4. 小英从家到学校有三条路可走，从学校到少年之 家有四条路可走，小英从家经过学校到少年之家共有几 种走法？5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？第八讲

15、平均数问题（一）求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型 应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、 平均分数”。平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一 份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数， 求出一份数，即平均数。一、算术平均数例 1. 用 4 个同样的杯子装水，水面高度分别是 4 厘 米、 5厘米、 7厘米和 8厘米，这 4 个杯子水面平均高度 是多少厘米？分析：求 4 个杯子水面的平均高度，就相当于把 4 个杯子里的水合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高度。解

16、：（4+ 5+7+8）+ 4=6 （厘米）6 厘米。答：这 4个杯子水面平均高度是19 / 38练习与作业1. 机械厂前 3 天平均每天加工零件 1259 只，后 4 天 共加工零件 5379 只，这星期内平均每天加工零件多少 只？2. 修路队 4 天修了两段公路，第一段长 430 米，第 二段长 250 米，平均每天修多少米？3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。 甲队得 114 分，乙队得 210 分，丙队得 186 分，丁队得 178 分。四 个队的平均成绩是多少分？4. 东村小学 38名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。 在路旁种了 190 棵，在校园内种的棵数是路旁的 3 倍。 平均

17、每人种蓖麻多少棵？第九讲 平均数问题（二）二、加权平均数例 3. 果品店把 2 千克酥糖， 3 千克水果糖， 5 千克奶 糖混合成什锦糖 . 已知酥糖每千克 4.40 元，水果糖每千 克 4.20 元，奶糖每千克 7.20 元. 问：什锦糖每千克多少 元？分析： 要求混合后的什锦糖每千克的价钱， 必须知道 混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。解：什锦糖的总价：4.40 X 2+4.20 X 3+7.20 X 5=57.4 （元） 什锦糖的总千克数：235=10（千克） 什锦糖的单价：57.4 + 10=5.74 （元）答：混合后的什锦糖每千克 5.74 元。我们把上述这种平均数问题叫做“

18、加权平均数” . 例 3 中的 5.74 元叫做 4.40 元、 4.20 元、7.20 元的加权平 均数.2 千克、3 千克、 5千克这三个数很重要， 对什锦糖 的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”练习与作业1. A B、C三人储蓄，A储了 1240元，B比A少储70元，C比B多储50元。求 A B、C三人平均储蓄额。2. 甲、乙二数的平均数是 72，丙是 18。甲、乙、 丙三个数的平均数是多少？3. 甲、乙的平均数是 30，乙、丙的平均数是 34， 甲、丙的平均数是 32。求甲、乙、而三个数的平均数。4. 有A、B、C三个数，A与B的平均数是97, B与C 的平均

19、数为 132， A 与 C 的平均数为 125。问：这三个 数的平均数是多少？小刚参加我学考试， 前两次的平均分数是 85 分， 后三次的平均分数是 90 分。小刚前后几次考试的平均分 数是多少？22 / 38第十讲 消去问题（一）转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量关系，有的题可以对题中的某些条件进行必 要的调整，使这些条件重新组合，解答起来，往往容易 一些。 O例 1 学校买了 10 盒白粉笔和 4 盘彩粉笔共花了 32 元，每盒彩粉笔的价钱是白粉笔的 2.5 倍，每盒白粉笔、 彩粉笔各多少钱？分析：依题意，用买 1 盒彩粉笔的钱可以买 2.5 盒 白粉笔，那么，买 4盒

20、彩粉笔的钱就可以买4X2.5=10（ 盒 ） 白 粉 笔 。 因 此 ， 可 以 理 解 为 花 32 元 买 了 10+4X2.5=20 （盒）白粉笔，这样，就可以求出1盘白粉笔的价格。解：（1） 4 盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？4X2.5=10 （盒）（2）白粉笔每盒多少元？32+（ 10+10） =32-20=1.6 （元）（ 3）彩粉笔每盒多少钱？1.6 X 2.5=4 （元）答：白粉笔每盒 1.6 元，彩粉笔每盒 4 元。24 / 38练习与作业1. 买一块橡皮和 4 支铅笔一共用去 2 角 7 分，买同 样的一块橡皮和 2支铅笔的价钱是 1角 5分，一块橡皮 和一支铅笔各多少钱？2.

21、 甲班用 4元 2角钱买了 4支铅笔， 3支圆珠笔； 乙班用 10元 2角钱买了 4支铅笔和 8支圆珠笔。问：铅 笔、圆珠笔的单价各是多少元？3. 妈妈买 6 米白布， 8 米花布 . 用去 21 元 3 角钱， 王大妈买同样的白布 6 米，同样的花布 6 米，用去 18 元 钱。问：每米白布和每米花布各多少钱？4. 妈妈买 2千克糖果和 1千克饼干，共付 7元 2角， 如果买 1 千克糖果和 2千克饼干得付 6 元，糖果和饼干 每千克多少钱？小明买 6 本红岩、 5 本新华字典共用 725 / 38元2角；小刚买5本红岩、6本新华宇典共用 7 元1角。红岩和新华字典每本售价各多少元？第十一讲

22、消去问题（二）例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？®2-2这样想：根据（1）、（ 2），可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量；然后把（3）中的一个梨替换成2支香 蕉，这样，（3）中就相当于1个菠萝等于2个桃子和3 支香蕉的重量，又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉 的重量，因此，2个桃子实际上是1支香蕉的重量，可推 得1个菠萝等于8个桃子的重量。例2.1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量 又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好与 4头 小猪的重量相同，那么 1头象的重量等于几头小猪的重27 / 38量。这样想： 1 匹小马刚好是 4 头小猪的重量，那么 3

23、 匹小马等于 12头小猪的重量， 又 1 头牛相当于 3 匹小马 的重量，也就是 12 头小猪的重量，因此 4 头牛等于 48 头小猪的重量， 也就是 1 头象的重量等于 48 头小猪的重 量。28 / 38练习与作业1. 美术小组第一天买了 3盒彩笔和 1支毛笔，付款 4元 4 角 4 分，第二天又买同样的 5 盒彩笔和 3 支毛笔， 付款 7 元 9 角 6 分。求每盒彩笔和每支毛笔的价钱？2. 学校第一次买 3只篮球，4只排球用了 354 元，第二次 买 2 只篮球， 3 只排球用了 252 元。问：篮球与排球的单 价各是多少元？3. 甲求乙代买 5 千克酒、3 千克酱油，按售价交给乙

24、6.45 元。乙误买为 3千克酒、 5千克酱油 .结果拿回 2.10 元， 问每千克酒、酱油各多少元？4. 王老师带了 30 元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。 他买了3 支钢笔和 5 支圆珠笔后，剩下的钱再买 2 支圆珠笔还差4 角 . 再买 2 支钢笔还差 2 元。每支钢笔多少元？第十二讲 行程问题（一）例 1. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发， 相向而 行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现 在两人都比原计划每小时少走 1千米，那么 5 小时相遇。 A B两地相距多少千米？分析：可以想象， 如果甲、 乙两人以现在的速度 （比 原计划每小时少走 1 千米）仍然走 4 小时，

25、那么他们不 能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就 是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度 行走，他们 5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他们 恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在 的速度和了。解：1X 4X 2+（ 5-4 ）X 5=40（千米） 这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和 X时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向 而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的 关系式。 不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇 （而 是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然 后应用上面的关系式。练习与作业1. 一列火车平均每小时

26、行用千米， 这列火车从甲地 到乙地共用了 4 小时，问：甲、乙两地相距多少千米？2. 一辆汽车 5小时行了 280 千米，这辆汽车平均每 小时行多少千米？3. 小明家到学校 1800 米，小明早晨上学，平均每 分钟走 120 米，问：小明从家到学校一共用多少分钟？4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行， 甲每 分钟走 85 米，乙每分钟走 90 米 ,18 分钟后两人相遇。 东 西两村相距多少米？5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行， 甲车每小 时行55千米，乙车每小时行60千米，4小时后两车相遇。两地相距多少千米？第十三讲 行程问题（二）例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。小李骑车的速度为每小时 10.8千米。小王、 小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时 出发，在小张与小李相遇 5分钟后，小王又与小李相遇。 小李骑车从乙地到甲地需多长时间？分析：为便于分析，画出线段图 36-1 :甲炮 严尸乙地1DECB图 36-1图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相 遇时小王所在地点。根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过 5分钟相遇。因此，DC的 长为这段长度也是相同时间内， 小张比小王多行的路程。 这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相 遇所经过的时间。这段时间为1.3 -（ 544.8 ）