第四章 动态电磁场1：基本理论与准静态电磁场

1、动态电磁场的基本方程与边界条件 时谐电磁场电磁场能量-坡印廷定理 电磁位 准静态电磁场重点内容回顾及重点内容回顾及疑难解答疑难解答麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组教教学学内内容容主要知识点主要知识点动态电磁场的麦克斯韦方程组动态电磁场的麦克斯韦方程组和媒质特性的构成方程和媒质特性的构成方程动态电磁场中不同媒质分界面动态电磁场中不同媒质分界面上的边界条件。上的边界条件。 重点和难点重点和难点动态电磁场中不同媒质分界面动态电磁场中不同媒质分界面上的边界条件推导上的边界条件推导 思考题与作业思考题与作业 例题例题4-14-1；作业；作业4-14-1、4-24-2备注备注4.14.1动态电磁场的基本方程与

2、边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件 一 动态电磁场的定义 4.1.1 4.1.1 动态电磁场的基本方程动态电磁场的基本方程1.1.动态电磁场的特点及定义动态电磁场的特点及定义 时变电磁场随时间迅速变化，必须考虑:由磁场变化产生的感应电场；由电场变化产生的感应磁场；此时，时变电场和时变磁场相互依存、相互制约、相互耦合，称其为动态电磁场2.2.动态电磁场知识结构图动态电磁场知识结构图图图 时变场知识结构框图时变场知识结构框图电磁感应定律电磁感应定律全电流定律全电流定律MaxwellMaxwell方程组方程组分界面上衔接条件分界面上衔接条件动态位动态位A A , ,达朗贝尔方程达朗贝尔方程正弦电

3、磁场正弦电磁场坡印亭定理与坡印亭矢量坡印亭定理与坡印亭矢量电磁幅射电磁幅射( ( 应用应用 ) )二 描述动态电磁场的麦克斯韦方程组 ，高斯定律，磁通连续性原理，电磁感应定律，全电流定律DBtBEtDJHc0三 媒质特性的构成方程组 EJHBEDc4.1.2 4.1.2 动态电磁场的边界条件动态电磁场的边界条件一 回顾静态电磁场边界条件： 021ttlEEl dE02112 nnnnSD ddDDDD SS1.分界面上电场强度的边界条件:1）电场强度的旋度方程：表明：两种介质分界面上，电场强度的切向分量是连续的；2）电位移矢量的散度方程：表明：在分界面不存在面分布形式的自由电荷（=0）的条件下

4、，两种介质分界面上的电位移矢量的法向分量是连续的。图2-14 E的旋度方程对应的边界条件图2-15 D的散度方程对应的边界条件nnSBBdB21 0SttttSlHHHHSdJl dH210K21 K 2.分界面上磁场强度的边界条件:1）磁感应强度的散度方程：表明：两种磁媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。2）磁场强度的旋度方程：表明：在分界面不存在宏观的自由面电流分布（K=0）的条件下，两种介质分界面上的磁场强度的切向分量是连续的。图3-30 H的旋度方程对应的边界条件二 动态电磁场边界条件求取：1.对比动态电磁场和静态电磁场的基本方程:DBtBEtDJHc0DBEJHc00 可知：

5、仅旋度方程有异，所以仅需推导场量的切向分量之间的关系。2.动态电磁场边界条件求取:1）电场强度的旋度方程：)(tB 21ttEE结论：只要 不是无限大，电场强度的切向分量依然是连续的，即图2-14 E的旋度方程对应的边界条件2）磁场强度的旋度方程:结论：只要在分界面上)(tD是有限量，两种介质分界面上的磁场强度的切向分量依然是连续的。K 21ttHH图3-30 H的旋度方程对应的边界条件3）动态电磁场分界面上的边界条件:)(tD)(tB实际上，媒质分界面上 和 总是有限量。动态电磁场的边界条件为：nnnnttttDDBBEEHH21212121 K 结论：在不同媒质分界面上： E切向分量和B法

6、向分量总是连续的； H切向分量和D法向分量只有在媒质分界面上不存在传导电流和自由电荷时才是连续的； 边界条件与媒质无关，类似于电路中的网络拓扑结构的约束。=0；根据4）在理想导体与介质交界面上的边界条件:cJEJcEtBE注意：理想导体内部电导率 , 有限，则根据 ，导体内不存在随时间变化的磁场，得到：，理想导体内在理想导体（媒质1）与介质（媒质2）交界面上的边界条件为：nnttDBEH222200 K 结论：理想导体与介质在不同媒质分界面上: 电力线垂直于理想导体表面 磁力线沿理想导体表面分布。 实际上理想导体不存在，但当场源激励频率很高时，对于高导电率的良导体，由于集肤效应，时变电磁场分布

7、趋于表面，工程上可将该导体近似看做理想导体。例：4-1在图4-2所示的无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为： ，式中 为常数。试求：1）板间时变的电场强度 ；2）两导体表面时变的面电流密度 和电荷面密度 。)cos()cos( 0 xtzdHeHyEK重点内容回顾及重点内容回顾及疑难解答疑难解答场量的直角坐标和球面坐标的表场量的直角坐标和球面坐标的表示方法示方法教教学学内内容容主要知识点主要知识点时谐电磁场的麦克斯韦方程组时谐电磁场的麦克斯韦方程组和媒质特性的复数构成方程和媒质特性的复数构成方程重点和难点重点和难点时谐电磁场的麦克斯韦方程组时谐电磁场的麦克斯韦方程组和媒

8、质特性的复数构成方程和媒质特性的复数构成方程思考题与作业思考题与作业 例题例题4-24-2备注备注4.2 4.2 时谐电磁场时谐电磁场一 时谐电磁场的定义： 4.2.1 4.2.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示二 时谐电磁场的复数表示：1. 时谐电磁场的三要素：振幅、频率、相位在电路中，正弦量有三个要素：振幅、频率、相位( )2 cos()( )2sin()jji tItIIedi tItj Ij Iedt 时谐电磁场的三要素：振幅、频率、相位：以电场强度为例，推导其复数表示。jjezyxEjEjtzyxEdtEdezyxEEtzyxEtzyxE),()sin(),(2),()co

9、s(),(2),(角频率；电场强度三个分量的振幅（有效值）；电场强度三个分量的振幅（最大值）；电场强度在直角坐标系下三个分量的初相位；2. 电场强度在直角坐标系下的表示方法：( , )2( )cos( )2( )cos( )2( )cos( )( )cos( )( )cos( )( )cos( )xxxyyyzzzxxmxyymyzzmzE r teE rtreE rtreE rtre Ertre Ertre ErtrzyxEEE,zmymxmEEE,zyx,3. 电场强度的相量表示方法：( )( )( )( )( )( )( )yxzjjjxxyyzzxxyyzzE re E r ee E

10、r ee E r ee E re E re E r( )2 ( )( )( )( )( )( )( )yxzjjjmxxmyymzzmxxmyymzzmErE re Er ee Er ee Er ee Ere Ere Er)(2)(),(tjetjmeerERerERtrE4. 时谐电磁场麦克斯韦方程组的复数表示：DBBjEDjJHc0结论：频率形式的麦克斯韦方程组不含场量对时间的偏导，分析更加简单。5. 请同学们自己学习时谐电磁场有损媒质中的复数表示！例：例：4-24-2写出下列与时谐电磁场对应的复矢量或瞬时矢量：1）2）sin0)coscos(sin zjxexjHH)sin()cos(

11、xtEextEeEzmzymy重点内容回顾及重点内容回顾及疑难解答疑难解答静态电磁场中电磁能量静态电磁场中电磁能量 教教学学内内容容主要知识点主要知识点 坡印廷矢量的物理意义、时谐坡印廷矢量的物理意义、时谐电磁场中复坡印廷矢量的表示方电磁场中复坡印廷矢量的表示方法以及坡印廷矢量的应用。法以及坡印廷矢量的应用。重点和难点重点和难点时谐电磁场中坡印廷矢量的表时谐电磁场中坡印廷矢量的表示方法。示方法。 思考题与作业思考题与作业 例题例题4-34-3，作业，作业4-34-3备注备注4.3 4.3 电磁场能量电磁场能量- -坡印廷定理坡印廷定理一般形式为：一 静态电磁场中电磁能量： 4.3 4.3 电磁

12、场能量电磁场能量- -坡印廷定理坡印廷定理22ccJEEJdVdPpcJEp在恒定电流场中，电功率体密度为：上面两式被称为焦耳-楞次定律的微分形式。在恒定电场中，导电媒质吸收的电功率以焦耳热形式体现。二 动态电磁场的电磁能量： 1. 坡印廷定理2. 坡印廷矢量坡印廷定理的物理意义：动态电磁场中，单位时间内穿过闭合曲面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W的增加率和电磁场能量的消耗率。反映了动态电磁场能量守恒和功率平衡关系。 HES表征：单位时间内穿过单位面积的电磁能量，还描述了该电磁功率流的空间流动方向，可以对动态电磁场的功率和能量传播进行计算和分析。 三 时谐电磁场的电磁能量： 1.

13、 时谐电磁场中，导电媒质吸收的复功率体密度：2. 时谐电磁场的坡印廷定理)()(*DjHEDjHEJEc微分形式 积分形式 *()()cEHE JjB HE D VcSdVDEHBjJESdHE)()(*3. 时谐电磁场的复坡印廷矢量*HES结论：1）复坡印廷矢量的实部（媒质吸收的有功功率密度）等于电磁功率流面密度矢量的平均值：2）时谐电磁场能量、功率分析：可以建立与正弦交流电路功率平衡之间的对应关系，可用于场的分析等。 ),(1*0HERdttrSTSeTav例：例：4-34-3用坡印亭矢量分析直流电源U0沿同轴电缆向负载R传送能量的过程。设电缆为理想导体，内导体半径为a，外导体的内外半径分

14、别为b和c。重点内容回顾及重点内容回顾及疑难解答疑难解答静态电磁场中电磁位的定义和作静态电磁场中电磁位的定义和作用用 教教学学内内容容主要知识点主要知识点电磁位电磁位- -洛伦兹规范以及电磁位洛伦兹规范以及电磁位的非齐次波动方程的基本内容。的非齐次波动方程的基本内容。时谐电磁场非齐次波动方程及其时谐电磁场非齐次波动方程及其求解方法。求解方法。重点和难点重点和难点动态电磁场非齐次波动方程的动态电磁场非齐次波动方程的建立及求解建立及求解 思考题与作业思考题与作业 作业作业4-54-5备注备注了解非齐次波动方程在动态电磁了解非齐次波动方程在动态电磁波分析中的重要作用。波分析中的重要作用。 4.4 4

15、.4 电磁位电磁位4.4.1 4.4.1 电磁位电磁位- -洛伦兹规范洛伦兹规范一 电磁场分析中引入位函数的作用： 在恒定磁场的分析中，基于恒定磁场的无散性，定义了矢量磁位函数，由求得的矢量磁位，最终可以算的待求场点处的磁感应强度。 矢量磁位的引入没有任何具体的物理意义，是一个纯粹的计算辅助量，但在磁场问题的分析计算中，基于矢量磁位的分析计算更为方便。 同样在动态电磁场中，定义辅助位函数可以简化麦克斯韦方程组的求解。二 动态电磁场的电磁位-洛伦兹规范： 定义动态矢量位A（单位：韦/米）的辅助矢量函数：AB定义一个动态标量位（单位：伏）的辅助矢量函数：tAEA位函数组被称为动态电磁场的电磁位。1

16、. 动态电磁场的电磁位 2. 洛伦兹规范 与恒定磁场取库伦规范不同，在动态电磁场中，我们将定义洛伦兹规范。) 1 ( )(222cJtAtAA(2) )(2At 上述两个二阶偏微分方程，对 的散度规范不同，方程组形式也不同。 如果取库伦规范 ，式（2）可简化为泊松方程，但（1）中 与 仍然耦合。 A0AAcJtAtAA)(222取（1）式中梯度项为零，得到 的散度规范（也称洛伦兹规范）：AtA洛伦兹规范的重要意义：1）确定了 的值，与 共同唯一确定 ； 2）简化了动态位与场源之间的关系，使得A 单独由J 决定，J单独由r 决定，给解题带来了方便；3）洛仑兹规范是电流连续性原理的体现。AABA4

17、.4.2 4.4.2 非齐次波动方程非齐次波动方程一 动态电磁场电磁位的非齐次波动方程（达朗贝尔方程）洛仑兹规范定义后，上面两式可转化为：) 1 ( )(222cJtAtAA(2) )(2At(3) 222cJtAA(4) 222t若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程：cJA22 二 时谐电磁场电磁位的非齐次波动方程（非齐次亥姆霍兹方程） 对于时谐电磁场，需给出非齐次波动方程的复数形式： (5) )(222222222cJAkAAAAjAtAA(6) )(222222222kjt式中， 称为波数（单位：弧度/米），物理含义后面讨论。 k注意：非齐次波动方程在动态电磁场的产生、传播和接收分析

18、中的重要意义。 4.4.3 4.4.3 电磁位的积分解电磁位的积分解 (3) 222cJtAA(4) 222t直接求解非齐次波动方程较困难，采用类比法，由熟知的静电场结果，推出动态电磁场非齐次波动方程的积分解。以位于坐标原点时变元电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。一 回顾静态电磁场电磁位的积分解若场不随时间变化（静态电磁场），波动方程蜕变为泊松方程：cJA22 解为：VcdVRJA4VdVR41 二 动态电磁场电磁位的积分解总体思路：以位于坐标原点时变元电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。1. 标量位函数 的积分解 222t1）位于坐标原点的时变元电荷dq的位函数的积分解 通解的求取

19、： )(1)(121vrtfrvrtfr式中，r是元体积dV至场点距离；f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。通解的物理意义：的物理意义)(1vrtftvrr, ttt信号从当时间从 f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v v 向 r r 方向传播，称之为入射波。t r)()(11vrtfvtvrttf有：的物理意义)(1vrtftvrrttt信号从当时间从,有：)()(11vrtfvtvrttf它表明：f2 在 时间内, 以速度v v 向( -r r )方向前进了 距离,故称之为反射波。 ttv 所以在无限大媒质中，通解为： 在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0

20、。)(11vrtfr 特解的求取： 位于原点的时变元电荷dq产生的标量位为： rdVvrtrvrtdqtrd4)(4)(),(不在原点，位于点的时变元电荷dq产生的标量位为： RdVvRtrrrdVvrrtrtrd4),(4),(),(2）连续分布电荷产生的标量位 VdrrvrrtrtrV),(41),(结论： 动态电磁场中，动态标量位的积分解与静电场电位的积分解的形式相似，但在时间上滞后。 一个随时间变化的点电荷，在空间任意一点的标量位为： 一个随时间变化的点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波。rvrtqtr4)(),( 在动态电磁场中，电荷在空间产生的电位，需要时

21、间 的传播过程，传播速度为： 在自由空间中，vrt/1v8001031v2.动态电磁场的矢量位 的积分解 A(3) 222cJtAAVdrrvrrtrtrVc),(4),(JA达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。故又称 、 为滞后位（Retarded Potential） )(vrt A3. 总结电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。 1v三 时谐电磁场电磁位的积分解对于时谐电磁场，时域上的时间延迟等同于频域上的相位滞后。时间延迟仍以坐标原点为基准点，记为 ，则有： vrt ()rrtttkrvv得到时谐电磁场

22、复数形式的电磁位积分解（非齐次亥姆霍兹方程的解）：VderrrtrrrjkV)(41),(VderrrrVrrjkc)(4)(JA总结： 根据上式，显然 代表相位。当电磁波沿r方向传播一个波长时，正好走过的相位是 ，所以有： 电磁位求得后，利用 和 或者对应的复矢量运算求出同一点的磁感应强度和电场强度。 动态电磁场的积分解表明：在时间或相位上场量滞后于源量，即满足因果关系。 源量附近的动态电磁场，因电磁效应由源点到场点的传播时间很短，如果源量随时间变化缓慢，在时间上可以忽略场量相对于源量的滞后效应。即可认为二者同步变化。（似稳电磁场） 当似稳电磁场应用于时谐电磁场时，可以忽略场量相对于源量的相

23、位滞后效应。（似稳区）()rrtttkrvvkr222kk：被称为波数、相位系数 ABtAE重点内容回顾及重点内容回顾及疑难解答疑难解答静态电磁场中电磁位的定义和作静态电磁场中电磁位的定义和作用用 教教学学内内容容主要知识点主要知识点准静态电磁场的麦克斯韦方程准静态电磁场的麦克斯韦方程组。组。重点和难点重点和难点准静态电磁场的基本特点准静态电磁场的基本特点思考题与作业思考题与作业 例题：例题：4-44-4；备注备注查阅电磁兼容相关知识查阅电磁兼容相关知识4.5 4.5 准静态电磁场准静态电磁场 4.5.1 4.5.1 电准静态场与磁准静态场电准静态场与磁准静态场 一 准静态场定义：动态电磁场根

24、据激励源频率的不同，分为高频电磁场和低频电磁场。低频电磁场中，电磁场随时间变化缓慢，可忽略麦克斯韦方程组中 的作用，简化后的电磁场具有似稳电磁场的特征，被称为准静态电磁场。 tBtD/,/二 电准静态场（简称EQS场）： 时变电场的激励源有电荷（库伦电场）和变化的磁场（感应电场）。在低频电磁中，如果感应电场远小于库伦电场，可以忽略 的作用，此时麦克斯韦方程组变为： tB /，高斯定律，磁通连续性原理，电磁感应定律，全电流定律DBEtDJHc00此时的电磁场被称为电准静态场。它具有与静电场类同的有源无旋场，可用随时间变化的动态标量位 的负梯度表示： )(tE满足泊松方程： )(2t三 磁准静态场（简称MQS场） 时变磁场的激励源有传导电流密度和位移电流密度。在低频电磁中，如果位移电流密度远小于传导电流密度，可以忽略位移电流的作用，此时麦克斯韦方程组变为： 此时的电磁场被称为磁准静态场。它具有与恒定磁场类同的有旋无源场，可用随时间变化的动态矢量位 的旋度表示： 满足泊松方程： ，高斯定律，磁通连续性原理，电磁感应定律，全电流定律DBtBEJHc0)(tAABcJA2例：例：4-44-4一个圆形平板电容器，极板间距d=0.5cm，电容器填充的云母介质 ，极板间外加工频电 ，忽略平板电容器的边缘效应。试分析将其极板间的动态电磁场看作电