经典高等数学课件D12-3幂级数(2)

1、10nnna x ) 0(00 xxx00(,)xx 0nnna x 0 xx 00(,)(,)xx 0nnnxa，0 na定理定理2. 是它的相邻两项的系数且满足：是它的相邻两项的系数且满足：1,nnaa 1lim,nnnaa limnnna （或或）1R 20(,)nnna x 不不缺缺项项R.11 (limlim)nnnnnnaRaa 或或R. 012nnnxa， 00)(nnnxxa.0 xxt 先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .3第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运

2、算 幂级数 第十二章 4三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数设幂级数0nnna x 0nnnb x 及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为12,RR0(1)nnna x 0()nnna x 为为常常数数 ，1xR 12min,RRR 记记00(2)nnnnnna xb x 0(),nnnnabx xR 则有则有 :0,nnnc x xR 00(3)nnnnnna xb x 50,nnnc x xR 22012012(3)()()aa xa xbb xb x 其中其中0110nnnnca ba ba b 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12

3、ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba321xxx说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多.6定理定理4 若幂级数若幂级数0nnna x 的收敛半径的收敛半径0,R ( )S x则其和函数则其和函数在收敛域上连续；在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，运算前后收敛半径相同，即即00limnnxxna x 即即0lim ( )xxS x0()S x 00lim()nnxxna x ，00nnna

4、 x 0 x 收收敛敛域域0( )nnnS xa x ( )S x 11nnnna x ，(,)xR R 0( )dxS xx 101nnnaxn ，(,)xR R 0()nnna x 0()nnna x 00()dxnnna xx 00()dxnnna xx 701 1nnxx 如如( 1,1)x 2201 ( 1,1)1nnxxx 则则01 ( 1)( 1,1)1nnnxxx 则则2201 ( 1)( 1,1)1nnnxxx 则则变量代换变量代换801 1nnxx 如如，( 1,1)x 则则01( )()1nnxx 1201(1)nnnxx 即即( 1,1)x 逐项求导逐项求导1121(1

5、)nnnxx 即即，( 1,1)x 2121 1 23(1)nxxnxx 即即，( 1,1)x 901 ( 1)( 1,1)1nnnxxx 如如：，逐项积分逐项积分0001( 1)d()d11,1)xxnnnxxxxx 100( 1)ln(1)1nnxnxxn 即即( 1,1)x 两边积分：两边积分：10( 1)ln(1)( 1,11nnnxxxn 即即若在端点处若在端点处新级数收敛新级数收敛且和函数在该点处且和函数在该点处连续连续，则在端点处和函数的表达式不变则在端点处和函数的表达式不变.10(1)lim ( )limln(1)ln2,xxSS xx 1001 1nnxx 如如，( 1,1)

6、x 0001()d()d1xxnnxxxx 10ln(1)1nnxxn 即即 1,1)x 1( 1)lim ln(1)ln2xSx 故故 幂级数的运算性质的应用之一：幂级数的运算性质的应用之一：利用利用已知和函数的幂级数已知和函数的幂级数求幂级数的和函数求幂级数的和函数.10( 1)ln21nnn 即即逐项积分逐项积分1x 在在收收敛敛1x 在在连连续续1( 1)nnn 问问？ln2 11例例1. 1( ).nnn xS x 求求幂幂级级数数的的和和函函数数解法解法1: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发散时级数发散,1( )nnS xnx 设设( 1,1)

7、x 故收敛域是故收敛域是 10dnxnxxxn 11nnxnx -10101()d( )dxnnxS xxnxx ( 1,1)x 两边积分：两边积分： 111( )nnS xnx 设设-101(d )xnnnxx 01nxnxnn 1nnx 1xx 1)1(xSxx 21(1)x 2( )(1)xS xx 所所以以( 1,1)x 110( )( )dxS xS xx 12例例1. 1( ).nnn xS x 求求幂幂级级数数的的和和函函数数解法解法2: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 ,1( )nnS xnx ( 1,1)x 故收敛域是故收敛域是 1()nnnxx 11n

8、nxnx 1()nnxx 1nnxx 1xxx 2(1)xx ( 1,1)x 1x 时时级级数数发发散散，13例例2. 求级数求级数0( ) .1nnxS xn 的的和和函函数数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 1x 且且时时级级数数0( )1nnxS xn 001dxnnxxx 01d11xxxx 1ln(1)xx (01 1)xx 及及收敛收敛 , 1011nnxxn 001dxnnxxx 0 x 则当则当 时，有时，有01 1nnxx ( 1,1)x 10d1nxnxxxn 收敛域为收敛域为 1,1) 1,0)(0 1(), )x 14 1,0)(0,1)

9、x (1( )ln(1) , 1,0)(0,1 ) )S xxxx 因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:而而(0)100S 00ln(1)(0)lim( )lim1,xxxSS xx 或或1ln(1),xx1,0 x 1 , 0( )1nnxS xn 01?1) 2nnn 思思考考：（1( )2S 12ln2ln22 15说明说明1：求幂级数的和函数的方法及步骤：求幂级数的和函数的方法及步骤： 求部分和式的极限求部分和式的极限; 逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 初等变换法初等变换法: 分解、变量代换后套用公式分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）（在收敛区间内）.1)求所给

10、幂级数的收敛域求所给幂级数的收敛域.2)将所给幂级数转化为将所给幂级数转化为已知和函数的新级数已知和函数的新级数.转化方法：逐项积分、逐项求导、四则运算，转化方法：逐项积分、逐项求导、四则运算，恒等变形及变量代换等恒等变形及变量代换等.幂级数幂级数已知和函数的新级数已知和函数的新级数转化转化16说明说明2：需要熟记的幂级数有需要熟记的幂级数有01 1)1nnxx ，( 1,1)x 01 2)( 1)1nnnxx ，( 1,1)x 00( )(0)( )d( )( )d )xxf xffxxf xf xx 110()d1nnnxnnxxxxxn 20? nnx 问问( 1,1)x 10( 1)3

11、)ln(1)( 1,11nnnxxxn ，211x 17说明说明3：经过经过逐项积分、逐项求导得到的新级数逐项积分、逐项求导得到的新级数的和函数还应讨论在端点处的情况的和函数还应讨论在端点处的情况.若在端点处若在端点处新级数收敛新级数收敛且和函数在该点处且和函数在该点处连续连续，则在端点处和函数的表达式不变则在端点处和函数的表达式不变.10( 1)1nnnxn 如如求求的的和和函函数数. .10( 1)1( )nnnS xxn 00( 1)dxnnnxx 00( 1)dxnnnxx （）01()d ,1xxx ln(1),x ( 1,1)x ( 1,1x 18说明说明4： 幂级数逐项求导后，收

12、敛半径不变，但它的收幂级数逐项求导后，收敛半径不变，但它的收敛域会改变？敛域会改变？例如例如21( ),nnxf xn 11( ),nnxfxn 22(1)( ).nnnxfxn 它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是 1,1, 1,1),( 1,1) 思考题：思考题：若幂级数若幂级数的收敛半径为的收敛半径为0,R 0nnna x 和函数为和函数为( ),S x则则02nnnnxa 的收敛半径为的收敛半径为 和函数为和函数为2R2xS （ ）19221213( ) .( 1,1),2nnnnxs x 例例 . .其其中中求求级级数数的的和和函函数数解：解：

13、22121( )2nnnns xx 2111()2nnnx 211()2nnnx 221212xxx 211()2nnnx 211() 2nnxx 2()2xx 22 22.(2)xx 01,( 1,1)1nnxxx 8(2)( 1,1).x 20212lim4).(,nnnaaa 例例 求求极极限限其中其中1.a 解解: 令令212nnnSaaa 1nkkka 作幂级数作幂级数1,kkk x 设其和为设其和为( ),S x易知其收敛半径为易知其收敛半径为 1,则则1( )kkS xk x 11kkxk x 1()kkxx 1xxx 2(1)xx 1=limnknkkSa 原原式式1()Sa

14、2(1)aa ( 1,1)x 1kkxx 01( 1,1)1nnxxx 21P323 题题6.求下列极限求下列极限111139327(2)lim248(2 )nnn 提示提示:11111339332273927248(2 )2nnnn 132nkkk 1?3nnn 132nnn 原原式式1( )?nnS xnx 设设1()32S原原式式22定理定理4 若幂级数若幂级数0nnna x 的收敛半径的收敛半径0,R ( )S x则其和函数则其和函数在收敛域上连续；在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，运算前后收敛半径相同，

15、即即00limnnxxna x 即即0lim ( )xxS x0()S x 00lim()nnxxna x ，0 x 收收敛敛域域( )S x 11nnnna x ，(,)xR R 0( )dxS xx 101nnnaxn ，(,)xR R 0()nnna x 0()nnna x 00()dxnnna xx 00()dxnnna xx 232.求幂级数的和函数的方法及步骤：求幂级数的和函数的方法及步骤： 求部分和式的极限求部分和式的极限; 逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 初等变换法初等变换法: 分解、变量代换后套用公式分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）（在收敛区间内）.1)求所给幂级数的收敛域求所给幂级数的收敛域.2)将所给幂级数转化为已知和函数的新级数将所给幂级数转化为已知和函数的新级数.转化方