2015考研数学基础班概率统计辅导讲义VIP

1、2015数学基础班概率统计辅导讲义第一讲概率论的基本概念一、随机试验、样本空间与随机1. 随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为 E ,(1) 试验可在相同的条件下重复进行；(2) 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； (3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.2. 样本空间: 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为W ；试验的每一个可能结果，即W 中的元素，称为样本点，记为w .3. 随机：试验 E 的样本空间W 的子集 E 称为随机. 常用 A, B, C 等大，简称写字母表示；在一次实验中，当且仅当这一子集中的一个样本点

2、出现时，称这一发生.4. 样本空间W 包含了所有的样本点，它又是自身的子集，在每次实验中它总是发生的，W称为必然；空集f 不包含任何样本点，它也为样本空间的子集，它在每次实验中都不发生， f 称为不可能.二、的关系与运算1. 包含关系与相等：A 发生必导致 B 发生，记为 A Ì B 或 B É A ；A = B Û A Ì B 且B Ì A .：A 与 B 至少有一个发生，记为 A U B 或 A + B .2. 和¥： A1 , A2 ," An 的和；称U Ak 为可列个k =1n类似地，称U Ak 为 n 个k =1

3、A1 , A2 ,"的和.：A 与 B 同时发生，记为 A I B 或 AB .3. 积¥： A1 , A2 ," An 的积；称I Ak 为可列个k =1n类似地，称I Ak 为 n 个k =1A1 , A2 ,"的积.：A 发生而 B 不发生，记为 A - B 称为 A 与 B 的差4. 差；1购课2015数学基础班概率统计辅导讲义5. 互不相容性：若 AB = f ，称A 与 B 是互不相容的，或互斥的.6. 逆：若 A I B = f 且 A U B = W ，称 A 与 B 互为逆；将 A 的对立，或对立记为： A .： A =W - A ，

4、A- B = AB .注： A 和 B 互斥指的是 A, B 不能同时发生，即 AB = f . A 和 B 互逆指的是 A, B 不能同时发生，但 A, B 中必有一个发生，即 A I B = f 且 A U B = W .因此A 和 B 互逆Þ A 和 B 互斥；反之不成立.A 和 B 互逆 Û A 和 B 互逆；A 和 B 互斥 ÞA 和 B 互斥；7.的运算法则：(1) 交换律： A U B = B U A ， AB = BA ；(2) 结合律： AU(BUC) =(AUB)UC ， ( AB)C = A(BC ) ；(3) 分配律： ( A U B)C

5、= AC U BC ， ( AB) U C = ( A U C)(B U C) ；(4) 对偶(De Morgan)律：A U B = AB ，AB = A U B ，可推广UAk= IAk ,kIAkk= UAk .kk8. 常用的运算的结论：(1) AB Ì A Ì ( A U B) ， A I A = A ， A U A = A ；(2) A - B = AB = A - AB ；(3) A = ( A - B) + AB = AB + AB ；(4) A U B = A + AB = B + BA = AB + AB + AB ；(5) A U B U C = A

6、+ AB + A U BC .三、频率与概率1. 频率：A 在 n 次重复试验中出现 n 次，则比值 nA 称为A 在 n 次重复试验中出An现的频率，记为 f ( A) ，即 f ( A) = nA .nnn2. 统计概率：当 n ® ¥ 时，频率 f ( A) = nA ® P( A) .即：当 n 很大时，P( A) = P » f ( A)nnn称为A 的统计概率.2购课2015数学基础班概率统计辅导讲义3. 概率的公理化定义设实验 E 的样本空间为W ，对 E 的任意一个P(i) 满足下列条件：(1)非负性：对于任意A ，有 P( A)

7、79; 0 ；(2)规范性： P(W) = 1；(3)可列可加性：对于任意两两互不相容的的A 赋予一个实数，记为 P( A) ，如果函数列： A1, A2 ," An ", 有¥¥P(U Ai ) = å P( Ai ) ；i=1i=1称 P( A) 为A 的概率.4. 概率的性质(1) 不可能概率等于零： P(f ) 0.(2) 有限可加性：设 A1 , A2 ,", An 是 n 个两两互不相容的，即 Ai Aj = f ，( i ¹ j )，其中i, j = 1, 2,"n ，则有 P( A1 U A2 U&

8、quot;U An ) P( A1 ) P( A2 ) +"+ P( An ) .(3) 单调不减性：若B É A ，则 P(B) ³ P( A) .(4)求逆公式： P( A) = 1- P( A) ，且 P( A) £ 1 .(5)加法公式：对任意两A、B ，有 P(AUB) = P(A)+P(B) -P( AB) ；此性质可推广到任意 n 个A1 , A2 ,", An 的情形.(6)减法公式：P( A - B) = P( A) - P( AB) ，特别地，当 B Ì A 时，P( A - B) = P( A) - P(B).5

9、. 古典概率：若试验的基本数为有限个，且每个古典概型(等可能概型)，A 发生的概率为：发生的可能性相等，则试验对应P(A) = A中所含样本点数 k .nW中样本点总数6. 几何概率：若实验 E 的样本空间W 为几何空间中的一个有界区域，且W 中每个样本点，件 A ÌW 的概率定义为：即基本出现的可能性相同，则称实验 E 为几何概率. 此) A的度量(长度、面积或体积) .P( AgW的度量(长度、面积或体积)3购课2015数学基础班概率统计辅导讲义四、条件概率与乘法公式1. 条件概率：设 A、B 是W 中的两个，且 P( A) > 0 ，则 P(B | A) = P( AB)

10、 称为AP( A)发生的条件下B 发生的条件概率2. 乘法公式：设 A、B ÌW ，则 P(AB) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B) 称为A、B 的概率乘法公式.3. 全概率公式：设 A1 , A2 ,", An 是W 的一个划分，且 P( Ai ) > 0 ，(i = 1,2,", n) ，则对任何概率不为零的B ，有 P(B)å P( Ai )P(B | Ai ) ，称为全概率公式.i=1n(Bayes)公式：设 A1 , A2 ,", An 是W 的一个划分，且 P( Ai ) > 0 (i =1,2,

11、",n)，则4.P( Aj )P(B | Aj )对任何概率不为零的B ，有 P( A | B) =( j =1,",n) ，称为，jnå P( Ai )P(B | Ai )i=1斯公式.5. 条件概率与积概率P( AB) 是在样本空间W 内，AB 的概率，而 P( A | B) 是在试验 E 增加了新条件 B 发生后的缩减的样本空间WB 中计算A 的概率.虽然 A 、 B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当 A 、 B 同时发生时，常用 P( AB) ，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P( A | B) .五、的性：对于A、B ，若 P(AB) = P(A

12、)P(B)，则称A 与 B 相互1. 两的.2. 若 A 和 B 相互，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 分别相互：.3. 两的(1) P(AB) = P(A)P(B)(2) P(B | A) = P(B) ， ( P( A) > 0)(3) P(B | A) = P(B | A) ， (0 < P( A) < 1)(4) P(B | A) + P(B | A) = 1 ， (0 < P( A) < 1)4购课2015数学基础班概率统计辅导讲义W 、不可能f 与任何相互.显然，必然的两两：设 A1 , A2 ,", An 是 n 个，对于任

13、意1 £ i <" j £ n ，有4. n 个P( Ai Aj ) = P( Ai )P( Aj ) ，称n 个A1 , A2 ,", An 两两的相互：设 A1 , A2 ,", An 是 n 个，如果对任意的 k (1 < k £ n) ，任意5. n 个的1 £ i1 < i2 <" < ik £ n ，具有等式 P( Ai Ai " Ai ) = P( Ai )P( Ai )" P( Ai ) ，称 n 个1 2k12kA1 , A2 ,&quo

14、t;, An 相互第二讲随量及其分布一、随量设W 是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果w Î W ，都有唯一的实数X (w) 与之对应，则称 X (w) 为定义在W 上的随母 X、Y、Z 等表示.量，简记为 X .随量通常用大写字二、离散型随量及其分布律1. 如果随量 X 只能取有限个或可列个值，则称 X 为离散型随量.如果 X 的一切可能值为 x1 , x2 ,"，并且 X 取 xi 的概率为 pi ，则称 PX = xi = pi ，(i = 1, 2, 3,") 为离散型随量 X 的概率函数(概率分布或分布律).列成表格形式如下，也称为分：其中

15、 pi ³ 0, å pi = 1 .i2. 设 X 的分布律为 PX = xi = pi ， (i = 1, 2,3,") ，则 X 的分布函数为：F (x) = P( X £ x) = å P( X = xi ) ， -¥< x < +¥ .xi £ x显然，若已知 X 的分布函数 F (x) ，则易求得 X 的分布律为 PX = xi= F(xi )-F(xi -0) ，i = 1, 2, 3,".3. 常见的离散型随量的分布：5购课Xx1x2x3Pp1p2p32015数学基础班概率统计

16、辅导讲义(1) 0 -1 分布 X B(0-1) ，其分布律为PX = k = pk (1- p)1-k , k = 0,1, 0 < p < 1 .(2)二项分布 X B(n, p) ，其分布律为PX = k = Ck pk (1- p)n-k , k = 0,1,", n, 0 < p < 1 .n(3)泊松(Poisson)分布 X P(l)，其分布律为l ke-l, k = 0,1,",l > 0 .PX = k =k !(4)超几何分布 X H(n, M, N)，其分布律为n-kN -M , k = l, l +1,", m

17、in(n, M ) ，其中l = max(0, n - (N - M ) .nNCk Cn-k若 lim MN ®¥ N MN -Mk k» C p (1- p)n-k，则对于一切 n ³ 1, k = 0,1,", n ，有= p.nnCN= k = p(1- p)k-1, k = 0,1,", 0 < p < 1 .(5)几何分布 X G(p)，概率函数 PX4. 泊松定理：设l > 0 是一， n 是任意正整数，设lim npn = l ，则对于任意的非负整n®¥lk e-ln-k数k ，有

18、lim C p (1 - p )kk=.nnnk!n®¥lke-ln-k当n 很大且 p 很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即C p (1- p)»k k，其中nk!l = np .三、连续型随量及其分布律1. 设 X 为随量，x 为任意实数，函数 F (x) = P的分布函数.< +¥) 称为随量 X2. 分布函数的性质：(1) 0 £ F (x) £ 1(-¥ < x < +¥) ；(2)如果 x1 < x2 ，则 F (x1 ) £ F (x2 ) ；(3) F (x)

19、 为右连续，即 F(x + 0) = F(x)；(4) lim F (x) = 0 ， lim F (x) = 1 ；x®-¥x®+¥6购课2015数学基础班概率统计辅导讲义x2 = PX £ x2 - PX £ x1 = F (x2 ) - F (x1 ) .(5)3. 如果对于随量 X 的分布函数 F (x) ，存在非负函数 f (x) ，使对于任一实数 x ，有xòF (x) =f (t)dt ，则称 X 为连续型随量，函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数.-¥4. 概率密度函数具有以下性质：(1) f

20、 (x) ³ 0 ；(2) ò-¥ f (t)dt = 1；+¥x2òx2 =x2 =x =f (t)dt ；(3)2x1(4) PX = a = 0 ；(5)如果 f (x) 在 x 处连续，则 F ¢(x) = f (x) .5. 常见的连续型随量的分布：(1)均匀分布 X U(a,b)，其概率密度为ì1, a £ x £ bf (x) = ïb - aí，ïî0,其它x < aì0,ï x - a相应的分布函数为 F (x) = &#

21、237; b - a , a £ x £ b ；ïïî1,x > b(2)指数分布 X E(l) ，其概率密度为ìle-lx , x ³ 0f (x) = í，î0,其它ì1- e-lx , x ³ 0相应的分布函数为 F (x) = í；x < 0î0,(3)正态分布 X N(m,s 2 )，其概率密度为-( x-m )2f (x) = 1e2s 2, -¥ < X < +¥ ，2ps7购课2015数学基础班概率统计辅导

22、讲义-( x-m )21x相应的分布函数为 F (x) = ò e2s 2t d；2p-¥注：当 m = 0,s = 1时，即 X N(0,1) 时，称 X 服从标准正态分布.用j (x) 和F(x) 分别表- x2- t 211x示 X 的密度函数和分布函数，即j(x) = e, F(x) = ò e 2 dt . 具有性质：22p2p-¥F(-x) = 1 - F(x) . X N (m,s 2 ) 的分布函数 F (x) 与标准正态分布的分布函数F(x) 有关系：æ x - m öF (x) =F ç÷ .s

23、èø四、随量的函数的分布1. 离散型随量函数的分布设 X 为离散型随量，其分为：则Y = g(X)仍为离散型随量，其分为：yi 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.2. 连续型随量函数的分布量，概率密度为 f X (x) ，则Y = g(X)的概率密度有两种方法可求.设 X 为连续型随(1)定理法：若 y = g(x) 在 X 的取值区间内有连续导数 g ¢(x) ，且 g (x) 单调时，Y = g(X )( y) = ìï f X h( y )h¢( y) ,a < y < b .量，其概率密度为 fí

24、0,是连续型随Yïî其它其中(a , b ) 为 y = g(x) 的值域， h( y) 是 g (x) 的反函数.(2)分布函数法：先求Y = g(X ) 的分布函数FY ( y) = PY £X =y g (P)= y £ò xxd( ) x ，然f 后求 fY ( y) = FY ( y)¢ .g ( x£ y )8购课Yy1 = g(x1 )y2 = g(x2 )y3 = g(x3 ) yn = g(xn ) Pp1p2p3pnXx1x2x3xnPp1p2p3pn2015数学基础班概率统计辅导讲义第三讲随量及其分布一

25、、二维随量1. 设 X ，Y 为定义在同一个样本空间W 上的随的向量( X ,Y ) 为二量，则称由它们维随量.2. 设( X ,Y ) 为二维随量，对于任意实数 x 、 y ，称二元函数F (x, y) = PX £ x I Y £ y 为( X ,Y ) 的F (x, y) = PX £ x,Y £ y .分布函数，常记为3.分布函数具有以下基本性质： F (x, y) 是变量 x 或 y 的非减函数； 0 £ F (x, y) £ 1且 F (-¥, y) = 0,F (x, -¥) = 0,F (-

26、5;, -¥) = 0,F (+¥, +¥) = 1； F (x, y) 关于 x 右连续，关于 y 也右连续；对任意点(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ，若 x1 < x2 , y1 < y2 ，则F (x2 , y2 ) - F (x2 , y1 ) - F (x1 , y2 ) + F (x1 , y1 ) ³ 0 .前式表示随机点( X ,Y ) 落在区域2 , y1 < Y £ y2 .2 , y1 < Y £ y2 内的概率为： P4. 二维离散型随量及其分布律如果二维随量( X ,Y

27、) 所有可能取值是有限对或可列对，则称( X ,Y ) 为二维离散型随量.量,它的所有可能取值为 (xi , y j ) ， i, j = 1, 2," 将设 ( X ,Y ) 为二维离散型随PX = xi ,Y = yj = pij (i, j = 1, 2,") 或下表称为( X ,Y ) 的分布律.9购课YXy1y2y jx1 x2xip11p12p1 jp21p22p2 jpi1pi 2pij2015数学基础班概率统计辅导讲义¥ ¥(2) åå pij分布律具有下列性质：(1) pij ³ 0 ；= 1 .i=1 j

28、 =15. 二维连续型随量及其概率密度函数如果存在一个非负函数 f (x, y) ,使得二维随x, y 有量( X ,Y ) 的分布函数 F (x, y) 对任意实数xyò òF (x, y) =f (x, y)dxdy ，则称( X ,Y ) 是二维连续型随量，称 f (x, y) 为( X ,Y ) 的-¥ -¥密度函数(或概率密度函数).密度函数具有下列性质：6.(1)对一切实数 x, y ，有 f (x, y) ³ 0 ；+¥ +¥(2) ò-¥ ò-¥f (x, y)dxdy

29、 = 1 ；(3)设 D 是平面上的区域，点( X ,Y ) 落在区域 D 上的概率 P( X ,Y ) Î D = òò f (x, y)dxdy ；D¶2F (x, y) =(4)如果 f (x, y) 在(x, y) 处连续，则f (x, y) .¶x¶y7. 两个常见的二维分布(1)二维均匀分布若( X ,Y )的密度函数为ì1,(x, y) Î Df (x, y) = ï S (D)í.ïî0, 其他其中 D 为一平面有界区域， S (D) 为 D 的面积，则称(

30、X ,Y ) 服从二维均匀分布，常记为(X,Y) U(D).(2)二维正态分布若( X ,Y )的密度函数为é(x-m1) 2 2r(x-m1)( y-m 2 ) ( y-m 2 ) 2 ù1êúúû-+12(1-r 2)êës 2s1s 2s 2f (x, y) =e12，2ps s1- r 21 210购课2015数学基础班概率统计辅导讲义其中 m1,m2 ÎR,s1 > 0,s2 > 0, r <1 ， 则称 ( X,Y ) 服从 二维均匀 分布，常 记为 m ,m ,s ,s ,

31、 r22(X,Y) N().1 212二、边缘分布1. 设( X ,Y ) 为二维随量，则FX ( x) = PX £ x = PX £ x,Y < +¥ = F ( x, +¥) ，FY ( y) = PY £ y = PX < +¥,Y £ y = F (+¥, y)分别称为( X ,Y ) 关于 X 和关于Y 的边缘分布函数.2. 当( X ,Y ) 为离散型随量，则¥¥pi = P( X = xi ) = å P( X = xi ,Y = y j ) = å

32、; pij ， (i = 1, 2,") ,j =1j =1¥¥p j = P(Y = y j ) = å P( X = xi ,Y = y j ) = å pij ， ( j = 1, 2,")i=1i=1分别称为( X ,Y ) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律.3. 当( X ,Y ) 为连续型随量，则()()x+¥y+¥òòòòF (x) =f (x, y)dy dx ， F (x) =f (x, y)dx dyXY-¥ -¥-¥ -&#

33、165;分别称为( X ,Y ) 关于 X 和关于Y 的边缘分布函数；+¥+¥而 fX (x) = ò-¥ f (x, y)dy, fY (y) = ò-¥ f (x, y)dx 分别称为( X ,Y ) 关于 X 和关于Y 的边缘密度函数.三、条件分布1. 离散型随量的条件分布设( X ,Y ) 为二维离散型随量，其分布律和边缘分布律分别为PX = xi ,Y = y j = pij ， PX = xi = pi ， PY = y j = p j ， (i, j = 1, 2,")对于固定的 j ，若 PY = y j =

34、 p j > 0 ，称p = PX = x | Y = y = PX = xi ,Y = yj = pij ,i =1,2,"i| j ijPY = y pjj为在Y = y j 条件下随量 X 的条件分布律.11购课2015数学基础班概率统计辅导讲义类似地，对于固定的i ，若 PX = x = p > 0 ，称 p= PY = y | X = x = pij , j = 1, 2,".jij|i jipi为在 X = x j 条件下随量Y 的条件分布律.2. 连续型随量的条件分布设 ( X ,Y ) 为二维连续型随 f (x, y), f X (x), fY

35、( y) .量， 其密度函数和边缘密度函数分别为：(x | y) = f (x, y) ，-¥< x < +¥ ， 为在条件Y = y对于给定的 x ，若 f ( y) > 0 时，称 fYX |Y f ( y)Y下 X 的条件概率密度函数.f (x, y)类似地， fY |X ( y | x) =称为在条件 X = x 下Y 的条件概率密度函数.f (x)X四、相互的随量1. 设 F (x, y) 及 FX (x)、FY ( y) 分别是( X ,Y ) 的分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数 x, y 有 F (x, y) = FX (x) 

36、5; FY ( y) 则称随量 X 与Y 相互.2. 设( X ,Y ) 为二维离散型随量， X 与Y 相互的充要条件是= pi ´ p j (i, j = 1, 2,") .pij3. 设( X ,Y ) 为二维连续型随f (x, y) = f X (x) fY ( y) .量， X 与Y 相互的充要条件是对任何实数 x, y ，有五、二维随量的函数的分布量( X ,Y ) 的概率分布(如1. 已知二维随分布函数、密度、或分布律)，随机变量 Z 是 X ,Y 的函数，即Z =j(X,Y)，则 Z 的分布函数为 FZ (z) = P(Z £ z) = P(j(x,

37、 y) £ z) ，-¥ < z < +¥ .2. Z = X + Y 的分布量，概率密度函数为 f (x, y) ，则 Z = X + Y 的概率密度函数为：若( X ,Y ) 为连续型随+¥+¥fZ (z) = ò-¥ f (x, z - x)dx = ò-¥ f (z - y, y)dy .+¥+¥时，有卷积公式 fZ (z) = ò-¥ f X (x) fY (z - x)dx = ò-¥ f X (z - y) fY ( y

38、)dy .当 X 和Y12购课2015数学基础班概率统计辅导讲义X3. Z =的分布YX量，概率密度函数为 f (x, y) ，则 Z =的概率密度函数为：Y若( X ,Y ) 为连续型随+¥fZ (z) = ò-¥yf ( yz, y)dy .+¥时，有 fZ (z) = ò-¥当 X 和Yyf X ( yz), fY ( y)dy .4. Z = XY 的分布若( X ,Y ) 为连续型随量，概率密度函数为 f (x, y) ，则 Z = XY 的概率密度函数为：+¥fZ (z) = ò-¥+

39、5;时，有 fZ (z) = ò-¥当 X 和Y5. M = maxX ,Y及 N = minX ,Y 的分布，其分布函数分别为 FX (x) ， FY ( y) ，则 Z1 = maxX ,Y ，设 X 和 Y 相互 Z2 = minX ,Y的分布函数分别为：FZ (z) = P(Z £ z) = P(max( X ,Y ) £ z) = P( X £ z,Y £ z) = F (z)F (z)11XYFZ (z) = P(Z £ z) = P(min( X ,Y ) £ z) = 1- P(min( X ,Y

40、) ³ z)22= 1- P( X > z,Y > z) = 1- (1- FX (z)(1- FY (z)第四讲随量的数字特征一、数学期望¥1. 设离散型随量 X 的分布律为 PX = xk = pk , k = 1,2,"，如果级数å xk pk 绝对k =1收敛，则称级数的和为随量 X 的数学期望.13购课2015数学基础班概率统计辅导讲义+¥ò-¥2. 设连续型随量 X 的密度函数为 f (x) ，如果广义xf (x)x d绝对收敛，则称此+¥值 E(d ) = ò-¥xf数

41、学期望.3. 数学期望的性质：(1) 设C 是，则 E(C) = C ；(2) 设C 是，则 E(CX ) = CE( X ) ；(3)若 X 1、X 2 是随量，则 E( X 1 + X 2 ) = E( X 1 ) + E( X 2 ) ；对任意 n 个随E(量n ，有n ) = E( X 1 ) + E( X 2 ) + "+ E( X n ) ；(4)若 X 1、X 2 相互，则 E( X 1 X 2 ) = E( X 1 )E( X 2 ) ；对任意 n 个相互的随量n ，有n ) = E( X 1 )E( X 2 )" E( X n ) .E(5)E( X X

42、2) £ E2 ( X )E2 ( X )1 2124. 随设Y 是随量函数的数学期望量 X 的函数： Y= g( X )量 X 的分布律为 PX = xk = pk , k = 1,2,"，(1)设离散型随¥¥若å g(xk ) pk 绝对收敛，则： E(Y ) = Eg(x )= å g(xk ) pk .k =1k =1量 X 的密度函数为 f (x) ，(2)设连续型随+¥+¥若ò-¥g(x) f (x)dx 绝对收敛，则 E(Y ) = Eg(x )= ò-¥ g(

43、x) f (x)dx .二、方差1. 设 X 是一个随量，则 D(X )(= ) r Xa =VE X - E X称) 为 X 的方差. D( X ) = s ( X ) 称为 X 的标准差或均方差.常用方差计算公式(2D( X ) = E( X 2 ) - E( X )2 .2. 方差的性质：(1)设C 是，则 D(C) = 0 ；14购课2015数学基础班概率统计辅导讲义(2)设C 是，则 D(CX ) = C 2D( X ) ， D( X + C) = D( X ) ；(3)若 X 1、X 2 相互，则 D( X 1 + X 2 ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) ；对任意

44、n 个相互的随量n ，有D(C X + C X +"+ CX ) = C 2D( X ) + C 2D( X ) +"+ C 2D( X ) ；1 122nn1122nn(4) D( X ) = 0 的充要条件是：存在C ，使 PX = C = 1(C = E( X ) .3. 契比雪夫不等式：设随量 X 具有数学期望 E( X ) = m ，方差 D( X ) = s 2 ，则对于任s 2意正数e ，有 P X - m³ e £成立.e2三、协方差与相关系数1. E X - E( X )Y - E(Y ) 称为随量 X 与Y 的协方差，记为cov( X

45、 ,Y ) ，即cov(X ,Y ) = E X - E( X )Y - E(Y ).计算公式： cov(X ,Y ) = E( XY ) - E( X )E(Y ) .cov(X ,Y )2. 对于随量 X 与Y ，如果 D( X ) ¹ 0 ，D(Y ) ¹ 0 ，称 r XY = 为随量 XDXDY与Y 的相关系数.当 r XY = 0 时，称 X 与Y 不相关.3. 协方差及相关系数的性质：(1) Cov( X ,Y ) = D( X ) ;(2) Cov( X ,Y ) = Cov(Y , X ) ;(3) Cov( X1 + X 2 ,Y ) = Cov( X1

46、,Y ) + Cov( X 2 ,Y ) ;(4) Cov(aX + c, bY + d ) = abCov( X ,Y ) ， a, b, c, d 是；r XYr XY£ 1 ；= 1 Û 存在(5)a, b ，且 a ¹ 0 ，使 PY = aX + b=1，即 X 与Y 以概率 1 线性相(6)关；4. 若 X ,Y，则 r XY = 0 ，即 X ,Y 不相关. 反之，不一定成立.四、矩1. 设 X 是随量，若 E( X k ), k = 1, 2,"存在，称它为 X 的 k 阶原点矩.2. 设 X 是随量，若 E X - E( X )k ,

47、k = 1, 2,"存在，称它为 X 的k 阶中心矩.15购课2015数学基础班概率统计辅导讲义3. 设 X 和Y 是随量，若 E( X kY l ), k, l = 1, 2,"存在，称它为 X 和Y 的 k + l 阶混合原点矩；4. 设 X 和Y 是随量，若 E X - E( X )k Y - E(Y )l , k, l = 1, 2," 存在，称它为 X 和Y的 k + l 阶混合中心矩.注：数学期望为一阶原点矩，方差为中心矩，协方差为1+1 阶混合中心距.五、几种常见分布的数学期望与方差分布(1) (0 -1) 分布 X B(0 -1)(2) 二项分布

48、X B(n, p)(3) Poisson 分布 X p (l)数学期望E( X ) = p E( X ) = npE( X ) = l方差(1- p)D( X ) = np(1- p)D( X ) = lp21pnM NE( X ) =(4)几何分布 X G( p)E( X ) =(5)超几何分布 X H (n, M , N )D(X ) = nM (N - M )(N - n)N 2(N -1)a + b(b - a)2E( X ) =D( X ) =(6)均匀分布 X U (a, b)2121l1l 2(7)指数分布 X E(l)E( X ) =D( X ) =(8)正态分布 X N (m

49、,s 2 )E( X ) = mD( X ) = s 2第五讲大数定律及中心极限定理A. 重要内容与结论一、大数定律n ,"是相互1. 弱大数定理:设，服从同一分布的随量，且具有数学期望 E( Xi ) = m (i = 1,2,") ，则对任意e > 0 ，有16购课2015数学基础班概率统计辅导讲义ì 1ünå Xi - m < e ý = 1 .lim P íî nn®¥þA 发生的次数， p 是i=1大数定理:设nA 是 n 次重复A 在每次试2.试验中验中发生的概

50、率，则对于任意给定的e > 0 ，有ì< e ü = 1ìünn> e= 0 .- p- plim PA或 lim PAíýíýnnn®¥îþn®¥îþ大数定理给出了当 n 很大时， A 发生的频率 nA 依概率收敛于 A 的概率.A二、中心极限定律n ,"是1.同分布中心极限定理:设同分布的随量序列，具有数学n期望和方差， E( X ) = m ， D( X ) = s 2 ³ 0(k = 1,

51、2,") .则，随量之和å X 的标准kkkk =1化变量nnnå Xk - E(å Xk )å Xk - nm= k =1k =1= k =1YnnsnD(å Xk )k =1的分布函数 Fn (x) 对任意实数 x 满足1xòlim F (x) = lim PY £ x =e-t2 /2 dt = F(x) .nn2p-¥n®¥n®¥n ,"相互，它们具有数学期望和方差：2. 李定理:设随量nnå kE( X ) = m , D( X ) =

52、 s 2 ³ 0(k = 1, 2,") ，记B =s . 若存在正数d ，使得当22kkkkk =1nn ® ¥ 时，有 1 ån2+d ® 0 , 则随量变量之和å X 的标准化变量E X - mB2+dkkkk =1k =1nnnnnå Xk - E(å Xk )å Xk - å mk= k =1k =1= k =1k =1ZnBnD(å X )nkk =117购课2015数学基础班概率统计辅导讲义的分布函数 Fn (x) 对于任意的 x ，满足1lim F (x) =

53、 lim PZ £ x =xò2e-t /2dt .nn2pn®¥n®¥-¥nn当n 很大时, Zn % N(0,1) .因此当n 很大时， åXk = BnZn +åmk 近似地服从正态分布k=1k=1nN (å m , B2 ) .knk =1量hn (n = 1,2,") 服从参数为 n, p(0 < p < 1) 的二项分3.佛拉斯定理:设随布，则对于任意的 x ，有lim P ïì£ xüï = 1 e-t2 /2

54、dt = F(x) .hn - npxòíý2pnp(1- p)-¥n®¥ïîïþ三、重要公式与结论n ,"相互，它们具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) = m1. 设随量,D( Xk ) = s ³ 0(k = 1, 2,") ，则2å Xk - nmn(1) k =1近似服从 N (0,1) ；nsn(2) å X 近似服从 N (nm, ns 2 ) ；kk =1æs 2 ö1nnå kX 近似服从 N

55、m,÷ ；(3)çnèøk =1(4)近似计算公式：æönåX - nmç a - nmb - nm ÷knP(a £ å Xk £ b) = P ç÷£ k =1£çnsnsns ÷k =1ç÷èø» F æ b - nm ö - F æ a - nm öç÷ç÷nsnsè&#

56、248;èø2. 设 Xn % B(n, p)(n = 1, 2,")(0 < p < 1) ,则18购课2015数学基础班概率统计辅导讲义X - np(1)n近似服从 N (0,1) ；npq(2) Xn 近似服从 N (np, npq) ；(3) 近似计算公式：P(a £ X £ b) = P æ a - np £Xn - np £ b - np öçnpq ÷nnpqnpqèøæ b - np öæ a - np &#

57、246;» F çnpq ÷ - F çnpq，其中 q = 1- p÷èøèøn ,"同分布服从 B(1, p)分布,则3. 设nå Xk - np(1) k =1近似服从 N (0,1) ；npqn(2) å Xk 近似服从 N (np, npq) ；k =1n1npqå kX近似服从 N ( p,) ；n(3)k =1(4)近似计算公式：æönåX - npç a - npb - np ÷knP(a £ å Xk £ b) = Pç÷ £ k =1£npqçnpq ÷npqk =1ç÷è