第四章电气系统与机电系统的建模

1、第四章第四章 电气系统与机电系统的建模电气系统与机电系统的建模 4.1 电气系统的数学模型电气系统的数学模型 本章重点内容为：电气系统的数学建模、模拟仿真与本章重点内容为：电气系统的数学建模、模拟仿真与混合仿真、机电系统的数学建模。混合仿真、机电系统的数学建模。 电气系统在工程中占有相当重要的地位，是构成一切电气系统在工程中占有相当重要的地位，是构成一切现代系统的必备环节。电气系统由于其电路系统相对明确，现代系统的必备环节。电气系统由于其电路系统相对明确，其问题基本属于白箱问题，其数学建模目标也自然是很明其问题基本属于白箱问题，其数学建模目标也自然是很明确的。确的。 一、电路系统基本定理的数学

2、表达式一、电路系统基本定理的数学表达式jjjjnkkjkjCqRitiLE 11、基尔霍夫第一定律、基尔霍夫第一定律条回路的电荷。条回路的电荷。第第总电容；总电容；总电阻；总电阻；条回路的电动势；条回路的电动势；第第回路间的互感；回路间的互感；和和条回路的电流；条回路的电流；第第式中，式中，jqCRjEkjLjdtdq)t (ijjjjjkjj 该定律表明任何回路的瞬时电动势等于通过该回路中该定律表明任何回路的瞬时电动势等于通过该回路中诸元件的电压降。诸元件的电压降。2、基尔霍夫第二定律、基尔霍夫第二定律01 nkki 该定律表明在一个节点上的电荷是守恒的，即在一个该定律表明在一个节点上的电荷

3、是守恒的，即在一个节点上的电流代数和始终为零节点上的电流代数和始终为零。例例 4.1建立如图所示系统的数学模型。建立如图所示系统的数学模型。1R2R1C2C1u2u222122211121020102011)(11)(1udtiCdtiiCRidtiCuRidtiiCtttttttt 解：解： 系统输入量为系统输入量为u1，输出量为，输出量为u2；按照基尔霍夫定律，分别列出运动方程：按照基尔霍夫定律，分别列出运动方程：消去中间变量消去中间变量i1，i2，整理得到系统方程，整理得到系统方程12.2212211.22211)(uuuCRCRCRuCRCR 表表4.1 几种典型电路的传递函数几种典型

4、电路的传递函数1 1、积分电路，滤波器、积分电路，滤波器2 2、微分电路、微分电路3 3、微分电路、微分电路4 4、超前滞后滤波电路、超前滞后滤波电路1112 RCs)s(V)s(V)s(G112 RCsRCs)s(V)s(V)s(GCRR/ )RR(sCR/s)s(V)s(V)s(G21211121 2122112 111CR,CR,CRs )(s)s)(s()s(Gabbaabbababa 4.2 4.2 模拟与混合仿真系统模拟与混合仿真系统一、模拟仿真一、模拟仿真 计算机仿真就是建立系统数学模型，并利用该模型在计算机仿真就是建立系统数学模型，并利用该模型在计算机上运行，进行系统科学试验研

5、究的全过程，按照所计算机上运行，进行系统科学试验研究的全过程，按照所使用的仿真计算机类型（模拟机、数字机和混合机）不同，使用的仿真计算机类型（模拟机、数字机和混合机）不同，计算机仿真被分为计算机仿真被分为模拟仿真模拟仿真、数字仿真数字仿真和和数数-模混合仿真模混合仿真。 模拟仿真具有并行高速运算、易于进行实时和超实时模拟仿真具有并行高速运算、易于进行实时和超实时仿真、使用模拟化量、显示直观、连接方便、技术成熟、仿真、使用模拟化量、显示直观、连接方便、技术成熟、使用简单等优点。但模拟仿真存在致命的弱点，即精度低、使用简单等优点。但模拟仿真存在致命的弱点，即精度低、无逻辑判断功能，且难以实现自动化

6、，因此，被后来的混无逻辑判断功能，且难以实现自动化，因此，被后来的混合仿真和数字仿真所排挤，失去进一步发展势头。合仿真和数字仿真所排挤，失去进一步发展势头。 。尽。尽管如此，模拟仿真目前仍然广泛使用，尤其是它不仅是教管如此，模拟仿真目前仍然广泛使用，尤其是它不仅是教学中不可缺少的部分，还是混合仿真中的一个重要的组成学中不可缺少的部分，还是混合仿真中的一个重要的组成环节。环节。 1、模拟计算机的组成、模拟计算机的组成 模拟计算机是一种由运算放大器组成的模拟计算装置。其基模拟计算机是一种由运算放大器组成的模拟计算装置。其基本组成如下图所示。本组成如下图所示。控制部分控制部分运算部分运算部分电源电源

7、排排 题题 板板输出设备输出设备操作信息操作信息模拟计算机的基本组成框图模拟计算机的基本组成框图控制部分控制部分：用以控制计算机的各种工作状态。：用以控制计算机的各种工作状态。运算部分运算部分：能实现各种运算功能的运算部分。它是以运算放大器为：能实现各种运算功能的运算部分。它是以运算放大器为 核心的各种运算部件。核心的各种运算部件。排排 题题 板板：根据模拟结构图连接被仿真的系统。即，根据设计好的：根据模拟结构图连接被仿真的系统。即，根据设计好的 模拟排题图，在排题板上用导线连接成仿真模型。模拟排题图，在排题板上用导线连接成仿真模型。输出设备输出设备：用以显示、记录仿真结果。：用以显示、记录仿

8、真结果。电源部分电源部分：提供所需要的各种电源。：提供所需要的各种电源。 2、模拟计算机的基本运算部件、模拟计算机的基本运算部件 运算放大器运算放大器 是模拟计算机的核心和基本部件。它实质上是是模拟计算机的核心和基本部件。它实质上是一个放大倍数极大、输入放大器电流很小，零点漂移很小，线性度一个放大倍数极大、输入放大器电流很小，零点漂移很小，线性度很好的直流放大器。很好的直流放大器。 具有具有n个输入端的运算放大器电路图如下。图中，个输入端的运算放大器电路图如下。图中，ei1,ein为为各支路输入电压；各支路输入电压；Ii1,Iin为各支路输入电流；为各支路输入电流； Zi1,Zin为各支路输为

9、各支路输入阻抗；入阻抗； e0为输出电压；为输出电压；If为反馈电流；为反馈电流； e 为虚地电压；为虚地电压；为运为运算放大倍数。算放大倍数。 njijijfeZZee10 , 0 利用节点电流定律可得利用节点电流定律可得由于由于5-11ie2ieine1iZ2iZinZ1iI2iIinIfIe fZ0e运算放大器电路图运算放大器电路图 5-1式中的负号表示运算放大式中的负号表示运算放大器的输出电压与输入电压极性相反。器的输出电压与输入电压极性相反。该式是利用运算放大器构成模拟计该式是利用运算放大器构成模拟计算机各种运算部件的基本关系式。算机各种运算部件的基本关系式。根据该式，只要采用不同形

10、式的输根据该式，只要采用不同形式的输入阻抗和反馈阻抗，就可对输入电入阻抗和反馈阻抗，就可对输入电压进行各种数学运算。压进行各种数学运算。 比例加法器比例加法器 简称加法器，用来完成对输入变量乘以某一常简称加法器，用来完成对输入变量乘以某一常数后进行相加运算的部件。它的输入阻抗和反馈阻抗均为电阻。其数后进行相加运算的部件。它的输入阻抗和反馈阻抗均为电阻。其工作原理图及符号如下。根据式（工作原理图及符号如下。根据式（5-1）可以写出加法器的运算关）可以写出加法器的运算关系式为系式为 njijjnjijijfeKeRRe1105-2即即为为反反向向器器。时时时时，且且当当即即为为比比例例器器。时时，

11、当当递递函函数数。为为加加法法器器个个输输入入端端的的传传式式中中，,11 ,1 010iiijfjeeKneKenRRK 1ie2ieine1iR2iRinR fR0e1ie2ieine0e1K2KnK原理图原理图 符号符号 比例积分器比例积分器 将加法器的反馈电阻将加法器的反馈电阻Rf 换成电容换成电容Cf ，就构成，就构成了比例积分器，简称积分器。积分器可以同时完成加法和积分运算，了比例积分器，简称积分器。积分器可以同时完成加法和积分运算，是模拟器中最主要的运算部件。其工作原理图及符号如下。是模拟器中最主要的运算部件。其工作原理图及符号如下。1ie2ieine1iR2iRinR fR0e

12、1ie2ieine0e1K2KnK原理图原理图 符号符号ssEKsEsCR(s)EsCZRZniififfii)()(1 1-5,1,1 0 ）得得根根据据式式（反反馈馈阻阻抗抗输输入入阻阻抗抗式式。此此时时出出积积分分运运算算的的拉拉斯斯变变换换时时，由由复复阻阻抗抗法法，可可写写当当。称为积分器的传递系数称为积分器的传递系数式中，式中，得，得对上式进行拉氏反变换对上式进行拉氏反变换fitiCRKdeK1e 00 同理，当有多个信号输入时，积分器的运算关系为同理，当有多个信号输入时，积分器的运算关系为递系数。递系数。为积分器各输入端的传为积分器各输入端的传式中，式中，), 2 , 1(1e

13、100njCRKdeKfijjnjtijj 常系数器是用来给某一变量乘以一个小于常系数器是用来给某一变量乘以一个小于1的系数的专用部件，的系数的专用部件，他实际上是一个可调电位计。其原理图及符号如图所示。他实际上是一个可调电位计。其原理图及符号如图所示。常系数器常系数器常系数器空载时的运算关系为：常系数器空载时的运算关系为：分压比。分压比。式中，式中， 1)(0 0 ieeiiLeeRRe 1110式中式中,mRRmL 1 1m若考虑负载电阻若考虑负载电阻RL的影响，则运算关系为：的影响，则运算关系为： 由上式可知由上式可知 。因此，常系数器只能实现小于因此，常系数器只能实现小于1 1的系数。

14、的系数。通常，将比例器或积分器的传递系数与常系数器配合使用，就可以通常，将比例器或积分器的传递系数与常系数器配合使用，就可以设置不同的传递系数。例如，与设置比例器的传递系数为设置不同的传递系数。例如，与设置比例器的传递系数为K=5.5K=5.5，我们可以取常系数器的系数我们可以取常系数器的系数a=0.55a=0.55及比例器的固定传递系数为及比例器的固定传递系数为1010，就能实现就能实现K=0.55K=0.55* *10=5.510=5.5的传递系数。的传递系数。1ie55. 0 100e非整数系数的实现非整数系数的实现3、模拟仿真原理和方法、模拟仿真原理和方法 模拟仿真原理模拟仿真原理 自

15、然界的物理变化表面各不相同，但是却有相似的规自然界的物理变化表面各不相同，但是却有相似的规律。具体表现为用来描述这些物理过程的数学模型有相同律。具体表现为用来描述这些物理过程的数学模型有相同的形式，这些相似性的存在，构成了采用模拟仿真技术的的形式，这些相似性的存在，构成了采用模拟仿真技术的基础。基础。 为此，在研究中，相似系统是可以相互比拟和取代的。为此，在研究中，相似系统是可以相互比拟和取代的。例如：如下图所示的典型二阶系统，它无论是电气系统、例如：如下图所示的典型二阶系统，它无论是电气系统、机电系统、机械系统或是流体动力学系统，都可以用与之机电系统、机械系统或是流体动力学系统，都可以用与之

16、相似的电子模型代替。相似的电子模型代替。)2(nnss )(sR)(sY 典型二阶系统结构图典型二阶系统结构图)(tr1 R5 R4R4 R3 R2 R2 C3 C )(ty 典型二阶系统电子模型图典型二阶系统电子模型图模型仿真结构图模型仿真结构图)(tr)(ty2n 22n 模拟仿真方法模拟仿真方法 逐次降阶积分法简称逐次降阶积分法简称降阶法降阶法，若系统的数学模型为线，若系统的数学模型为线性常系数微分方程，可采用降阶法进行模拟仿真。此法的性常系数微分方程，可采用降阶法进行模拟仿真。此法的基本原理是：对系统微分方程中变量的最高阶导数进行逐基本原理是：对系统微分方程中变量的最高阶导数进行逐次积

17、分，最后得到系统变量的零阶导数，即要求解的变量次积分，最后得到系统变量的零阶导数，即要求解的变量值。值。 在模拟仿真中，根据系统数学模型的不同，通常采用在模拟仿真中，根据系统数学模型的不同，通常采用逐次降阶积分法逐次降阶积分法和和结构模拟法结构模拟法。 当系统的数学模型以传递函数以及由它组成的结构图当系统的数学模型以传递函数以及由它组成的结构图表示时，宜采用表示时，宜采用结构模拟法结构模拟法进行模拟仿真研究。结构模拟进行模拟仿真研究。结构模拟法是用运算器组成模拟单元模拟系统的各个典型环节，再法是用运算器组成模拟单元模拟系统的各个典型环节，再将模拟单元按系统的结构图关系连接起来，构成整个系统将模

18、拟单元按系统的结构图关系连接起来，构成整个系统的仿真模型，即的仿真模型，即模拟结构图模拟结构图。这种方法的最大优点是可以。这种方法的最大优点是可以直接观察到各个典型环节某个参数的变化对系统性能的影直接观察到各个典型环节某个参数的变化对系统性能的影响，从而容易实现系统的参数优化。响，从而容易实现系统的参数优化。4 4、线性微分方程的模拟仿真、线性微分方程的模拟仿真。初初始始条条件件为为00 00 00 )y(,)( y,)( y)t (fcyybyay 模拟计算机的主要特长是求解微分方程。当线性系统的微分方模拟计算机的主要特长是求解微分方程。当线性系统的微分方程已经获得时，即可以用程已经获得时，

19、即可以用降阶法求解降阶法求解。 微分方程模拟结构图的建立微分方程模拟结构图的建立 下面举例说明如何利用降阶法下面举例说明如何利用降阶法求得线性常微分方程的模拟结构图。若系统由下列三阶常系数线性求得线性常微分方程的模拟结构图。若系统由下列三阶常系数线性微分方程描述微分方程描述 首先，将上式的最高阶导数留在等式的左边，其余项放在等首先，将上式的最高阶导数留在等式的左边，其余项放在等式的右边，得到式的右边，得到y-ayf(t)-cy-by 上式右端各项用一加法器实现，其和便是上式右端各项用一加法器实现，其和便是 。但由于运算放大。但由于运算放大器本身的反号特性，故加法器输出端得到的是器本身的反号特性

20、，故加法器输出端得到的是 。 最后，将各个积分器输出信号乘以相应的系数之后，把结构图最后，将各个积分器输出信号乘以相应的系数之后，把结构图闭合起来。构成满足上式的闭合回路。为了符合信号的极性要求，闭合起来。构成满足上式的闭合回路。为了符合信号的极性要求，可以在反馈回路中适当增加反号器。可以在反馈回路中适当增加反号器。.y.y 根据初始条件的要求以及模拟结构图中积分器输出根据初始条件的要求以及模拟结构图中积分器输出信号的极性，在积分器上机上初始电压。至此，构成了求信号的极性，在积分器上机上初始电压。至此，构成了求解本例题微分方程式的模拟结构图（如下）。解本例题微分方程式的模拟结构图（如下）。模拟

21、结构图模拟结构图拟结构图如下。拟结构图如下。为微分算子。简化后模为微分算子。简化后模式中，式中， dtdP)(1t yaybcytfPyt 为了提高解题的精度，在模拟结构图中应尽量减少运为了提高解题的精度，在模拟结构图中应尽量减少运算部件。在上图中的算部件。在上图中的1 1号号加法器和加法器和2 2号号积分器可以合起来用积分器可以合起来用一个积分加法器代替。其结果为：一个积分加法器代替。其结果为：简化模拟结构图简化模拟结构图模拟电子图模拟电子图 比例尺的选择比例尺的选择系统方程过程时间系统方程过程时间机器过程时间机器过程时间）实际时间（实际时间（）仿真时间（仿真时间（）时间比例尺（时间比例尺（

22、 tMt 当当 Mt=1=1，称为实时仿真（模拟）；，称为实时仿真（模拟）； 当当 Mt111，称为减速仿真（模拟）。，称为减速仿真（模拟）。 模拟仿真中，被仿真的物理量及其各阶导数均有运算模拟仿真中，被仿真的物理量及其各阶导数均有运算放大器的输出电压表示，且模拟机的运算部分只能在一定放大器的输出电压表示，且模拟机的运算部分只能在一定的输出幅度和频率范围内才有良好的运算性能。而被仿真的输出幅度和频率范围内才有良好的运算性能。而被仿真系统中的各物理量有不同的量纲及变化范围。故解题之前，系统中的各物理量有不同的量纲及变化范围。故解题之前，需要进行比例变换，它通过确定比例尺实现。需要进行比例变换，它

23、通过确定比例尺实现。 a a、时间比例尺、时间比例尺 用以确定模拟机的解题速度，为了用以确定模拟机的解题速度，为了提高解题精度以及观察和记录方便，需要对系统方程进行提高解题精度以及观察和记录方便，需要对系统方程进行时间比例变换。时间比例尺的关系式为时间比例变换。时间比例尺的关系式为的单位）的单位）yVyEyeMmyy/( yMeyeyyEyyym/ 示示为为的的机机器器电电压压，它它可可以以表表是是对对应应于于变变量量的的最最大大值值的的绝绝对对值值；为为变变量量值值；为为机机器器的的基基准准电电压压绝绝对对式式中中， b b、幅度比例尺、幅度比例尺 模拟计算机各运算放大器的最大输模拟计算机各

24、运算放大器的最大输出电压都不能超过机器的基准电压。此外，如果输出信号出电压都不能超过机器的基准电压。此外，如果输出信号过小，则有用信号容易被噪声信号淹没，造成精度下降。过小，则有用信号容易被噪声信号淹没，造成精度下降。因此，需要通过选择合适的幅度比例尺，使模拟机中各运因此，需要通过选择合适的幅度比例尺，使模拟机中各运算部件充分发挥其效应。算部件充分发挥其效应。 比例尺比例尺定义为：定义为：5 5、利用结构模拟法进行实际系统的模拟仿真、利用结构模拟法进行实际系统的模拟仿真（实例实例）s s) )( (s ss ss s) )( () )( ( 10 2110 210 V060 040 010V2

25、 VV200 V1.K,.T,.TK,/K,/Kt 例例4.24.2 对对图图a所示的小功率随动系统进行模拟仿真设计，图中各参所示的小功率随动系统进行模拟仿真设计，图中各参数为：数为：且已知图中各变量最大值为：且已知图中各变量最大值为：00max010 1000 V,1000 V,5 ,5 maxomax.maxmaxi,/uE s s图图a 小功率随动系统小功率随动系统解：解：步骤一、对原系统结构图进行适当的等效转换步骤一、对原系统结构图进行适当的等效转换为计算传递系为计算传递系数方便，将数方便，将图图a等效变换为等效变换为图图b。图图b步骤二、确定比例尺步骤二、确定比例尺 若事先对各个环节

26、输入、输出的最大值很难若事先对各个环节输入、输出的最大值很难估计。可先取所有的幅度比例尺在数值上均相等。本例已给出了个估计。可先取所有的幅度比例尺在数值上均相等。本例已给出了个环节输入、输出的最大值，则相应变量的幅度比例尺可确定为：环节输入、输出的最大值，则相应变量的幅度比例尺可确定为：； V V V V ) )( (V V0 0 205100100 205100100/EM/MmaxEmaxii ； s s) )( (V V V V V V1 1- -0 0 101000100100 101000100100.M/.uMmax.maxu. 。 101010010000) )( (V V0 0

27、 /Mmax 由于小功率随动系统响应速度较快，我们取由于小功率随动系统响应速度较快，我们取。 10 tM步骤三、选择模拟单元并计算传递函数步骤三、选择模拟单元并计算传递函数 （1）综合点的模拟单元可用加法器实现，如综合点的模拟单元可用加法器实现，如图图C所示。所示。图图C 综合点的结构模拟单元综合点的结构模拟单元综合点综合点模拟结构图模拟结构图图图C所示模拟结构图中各传递系数可直接获得：所示模拟结构图中各传递系数可直接获得：11202011 KMMKiE原方程系数原方程系数输入变量的幅度比例尺输入变量的幅度比例尺输出变量的幅度比例尺输出变量的幅度比例尺21102012 KMMKoE120601

28、02013 .KMMKtE. （2）传递函数传递函数 为两个惯性环节串联，其模拟结为两个惯性环节串联，其模拟结构图亦为两个惯性环节的模拟单元串联，如构图亦为两个惯性环节的模拟单元串联，如图图D所示。所示。112211 sTKsTK 图中，各传递函数图中，各传递函数分别计算如下：分别计算如下：100101020200101121 .TMMKMKtEu100101011122 .TMKt520401011232.TMKt 504010102102231 .TMMKMKtu. 图图D 模拟结构图模拟结构图112211 sTKsTK （3）传递函数传递函数 的模拟单元如的模拟单元如图图E所示，其传递函

29、数为：所示，其传递函数为：s1101011010141 .MMMKt.o 图图E 1/s 模拟结构图模拟结构图步骤四、绘制模拟结构图步骤四、绘制模拟结构图 将各模拟单元连接构成总模拟结构图，将各模拟单元连接构成总模拟结构图，图中系统位置负反馈在回路中设置一反号器，其传递系数图中系统位置负反馈在回路中设置一反号器，其传递系数K51=1。总模拟结构图总模拟结构图二、混合仿真二、混合仿真 混合仿真综合了数字仿真和模拟仿真的优点，克服了混合仿真综合了数字仿真和模拟仿真的优点，克服了它们各自的缺点。因而被广泛应用于工程系统仿真、随机它们各自的缺点。因而被广泛应用于工程系统仿真、随机过程研究、统计计算、参

30、数寻优、函数寻优、求解偏微分过程研究、统计计算、参数寻优、函数寻优、求解偏微分方程等方面。方程等方面。 但由于混合仿真设计的器件多于模拟机和数字机，所但由于混合仿真设计的器件多于模拟机和数字机，所以价格比较昂贵。因此，就其仿真领域的应用而言，仅限以价格比较昂贵。因此，就其仿真领域的应用而言，仅限于几个方面，如飞行仿真、卫星仿真、核反应堆仿真、导于几个方面，如飞行仿真、卫星仿真、核反应堆仿真、导弹仿真等方面。弹仿真等方面。 混合计算机是将模拟计算机及数字计算机结合起来构混合计算机是将模拟计算机及数字计算机结合起来构成的混合仿真系统。它由两种形式，一种是在普通模拟计成的混合仿真系统。它由两种形式，

31、一种是在普通模拟计算机的基础上，增加一些数字逻辑功能和存储元件，使之算机的基础上，增加一些数字逻辑功能和存储元件，使之成为成为混合模拟计算机混合模拟计算机。另一种则是通过一个中间界面将一。另一种则是通过一个中间界面将一台数字机与一台模拟机连接起来，组成一个新的计算系统，台数字机与一台模拟机连接起来，组成一个新的计算系统，称之为称之为数字数字模拟混合计算机模拟混合计算机。4.3 4.3 机电系统的数学建模机电系统的数学建模 机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要数学建模可分为电气和机械两部分进

32、行。在数学建模中要分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统模型。模型。 本节的知识将通过实例讨论数学建模问题。本节的知识将通过实例讨论数学建模问题。例例4.3 4.3 建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。)(teiaRaLmeI C 解解 （1）系统工作原理分析：）系统工作原理分析：该系统由一个电动机和一套由该系统由一个电动机和一套由转动惯量转动惯量I 及旋转阻尼及旋转阻尼 组成。组成。电动机电枢电阻和电感不可忽电动机电枢电阻和电感不可忽略，考虑串联在电回路中。机略，考虑串联在电回路

33、中。机械系统中转动惯量与阻尼具有械系统中转动惯量与阻尼具有相同的运动速度，按并联处理。相同的运动速度，按并联处理。 C （2）系统输入变量为）系统输入变量为 ，输出变量为，输出变量为 。设中间变量。设中间变量)(tei . emaTmaKeiKTTei 电电动动机机与与机机械械轴轴耦耦合合：电电机机转转矩矩；电电动动机机感感应应电电动动势势；通通过过电电枢枢绕绕组组的的电电流流； （3）根据各部分工作原理列出运动方程）根据各部分工作原理列出运动方程iTeTaaaaTaemaTmaaaaieKKKCRIRCLILCIKiCITKeiKTedtdiLRie )()(153(5) )(1 42(4)

34、 (3) (2) (1) . ）得：）得：）带入（）带入（）（）（）得：）得：）带入（）带入（机械系统：机械系统：耦合关系：耦合关系：电气回路：电气回路：)()()( sessG 传递函数为：传递函数为：s )KKCR(s )IRCL(IsLKsGeTaaaaT 23)( 例例4.44.4 建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型 如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比例，求关于

35、输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯量和等效阻尼。齿轮量和等效阻尼。齿轮1的齿数和齿轮的齿数和齿轮2的齿数分别为的齿数分别为Z1和和Z2，齿轮，齿轮1和齿轮和齿轮2的角速度分别是的角速度分别是1和和2 。齿轮齿轮2的转动惯量和粘性组尼系数的转动惯量和粘性组尼系数分别用分别用J1、C1和和J2、C2表示。表示。1 2 )1(输入轴输入轴)( 11Z齿轮齿轮)(22Z齿轮齿轮)2(输输出出轴轴mT扭扭矩矩输输入入LT扭扭矩矩负负载载 通过牛顿定律，得以下方程通过牛顿定律，得以下方程mTTCJ 1111.1 2222.2TTCJL

36、 式中：式中：T1是由齿轮传动引起的齿轮是由齿轮传动引起的齿轮1上的负载转矩，上的负载转矩， T2是传递到齿轮是传递到齿轮2的的转矩。转矩。mLmLTTZZCZZCJZZJZZTTCJZZCJTTZZTTTTT 211222111.2221121212221.121111.12121212212211 )( ，得到，得到，消去上式的，消去上式的）（因为因为得下式得下式和和消去前面两式中的消去前面两式中的或或变，有变，有由于齿轮传动的功率不由于齿轮传动的功率不。式中式中为为的表达式，方程可简化的表达式，方程可简化和等效阻尼和等效阻尼根据等效惯量根据等效惯量的效应决定于齿数比。的效应决定于齿数比。

37、和等效阻尼和等效阻尼对等效惯量对等效惯量和和和等效粘性阻尼系数为和等效粘性阻尼系数为，齿轮传动的等效惯量，齿轮传动的等效惯量因此，对轴因此，对轴21111.1111122222111222111/ , 1ZZnTnTCJCJCJCJCZZCCJZZJJmLeqeqeqeqeqeqeqeq mLeqeqeqeqTnTCJCZZCCJZZJJ1 , 2222.2121222121222 方程可简化为方程可简化为和等效粘性阻尼系数为和等效粘性阻尼系数为，齿轮传动的等效惯量，齿轮传动的等效惯量对轴对轴例例4.54.5 建立如图所示位置随动系统的数学模型建立如图所示位置随动系统的数学模型r 1 2 sK

38、EsuauaibEaRaLM常数常数 fim C 1Z2ZLJLf 解解 （1）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负反馈闭环位置随动系统；反馈闭环位置随动系统； （2）输入变量为）输入变量为 ，输出变量为，输出变量为 ； （3）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；aK)(1r)(2C，忽略负载力矩）和总粘性摩擦系数的总转动惯量负载（折算至电机轴上为反电动势系数。为转

39、矩系数的电感和电阻，分别为电动机电枢绕组和式中：伺服电机：为放大器增益。式中，放大器：自整角机：fJKCRLiCTdtdfdtdJTdtdKEEdtdiLRiuKKtututtKttKubmaaammmmmmbbbaaaaaaasacrsss , )()( )()()()( 222122/ifffiJJJLmLm21/ZZi 对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的开环传递函数为开环传递函数为)()()()(bmaamasrCKCfJsRsLsiCKKsssG )()()()( )()()( /,/,)1()(,/,/, 2221

40、1tKtKdttddttdTKssTKsssFJTFKKsTsKsGRKCfFiRCKKKLrcccMMrcMMabmamasa 其对应的微分方程为其对应的微分方程为是是。相应的闭环传递函数。相应的闭环传递函数其中，其中，化为化为上述开环传递函数可简上述开环传递函数可简又令又令如果忽略电枢电感如果忽略电枢电感例例4.54.5 打印机皮带驱动器打印机皮带驱动器 常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实例。在该系统中

41、，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数学模型。学模型。打印机皮带驱动器系统打印机皮带驱动器系统 下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数为为k，滑轮半径为，滑轮半径为r，电机轴转动角为，电机轴转动角为p，打印头质量为，打印头质量为m，位移为，位移为y( (t t) )。光传感器用于测量位移。光传感器用于测量位移y，其输出电压为，其输出电压为v1, ,

42、且且v1 =k1y。控制。控制器输出电压为器输出电压为v2，它是，它是v1的函数。假设的函数。假设v2与与v1具有线性关系：具有线性关系：。，则，则由于系统只有速度反馈由于系统只有速度反馈0 313122 kvkdtdvkv打印机皮带驱动器模型打印机皮带驱动器模型 电机和滑轮的转动惯量之和为电机和滑轮的转动惯量之和为J =J 电机电机+J 滑轮滑轮，电机的绕组磁场，电机的绕组磁场电感忽略不计电感忽略不计L0，绕组电阻为，绕组电阻为R，电机系数为，电机系数为Km。 下面我们来推导系统的运动方程。注意到下面我们来推导系统的运动方程。注意到 y = rp，可知皮带张，可知皮带张力力T1、T2分别为：

43、分别为：)( )()(2p1 rykTyrkrrkT 于是，作用在质量上的静张力为：于是，作用在质量上的静张力为：)(2)()( dd 212221yrkrykyrkTTtymTT 且且12212dd ,dd ),( xmktxtyxyrx 可可得得：结结合合以以上上二二式式取取状状态态变变量量定定义义状状态态变变量量 2313dddddd ,dd xrxtytrtxtx 则则有有再再定定义义状状态态变变量量(4.5.1)(4.5.2) 接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当L=0时，电机绕时，电机绕组电流组电流 ，而电机转矩为，而电机转矩为 ，于是有：，于是有：R/vi2 iKTmm 2vRKTmm 电机输出转矩包括驱动皮带所需的电机输出转矩包括驱动皮带所需的有效转矩有效转矩T 和和克服扰动或无克服扰动或无负载所需的转矩负载所需的转矩Td，因此又有：，因此又有：dmTTT 有效转矩有效转矩T 驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：)(dddd2122TTrtbtJT 1332232dd dddd xJkrxJbJTTtxttxdm 故故有有：再再注注意意到到： 。于是最后可得到：。于是最后可得到：其中其中2212122xkkdtd