数学形态学发展及应用

1、摘要摘要 数学形态学兴起于20世纪60年代，是一种新型的非线性算子，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。为了跟踪国际前沿，发展我国的非线性信号处理技术，进一步研究形态学理论和应用技术及非常必要而有实际意义的。本文首先深入地讨论了数学形态学的基本理论，详细介绍了数学形态学的起源、发展；从二值形态学推广到灰度形态学，并分析和介绍了数学形态学在图像处理中的具体应用,并对数学形态学的现状和未来发展方向进行总结。具体论述步骤分为以下几个方面： 1>学习和总结了数学形态学的基本

2、理论。 2>研究了二值形态学、灰度形态学、彩色形态学的算法理论。 3>列举并总结数学形态学在图像分割、边缘检测及图像滤波等方面的应用。 4>对两种图像的边缘检测进行简单的MATLAB实现。5>对数学形态学的现状及发展方向进行总结和展望。 关键词：数学形态学 二值图像 灰度图像 彩色形态学 边缘检测 图像分割 形态滤波 ABSTRACT Mathematics morphology rose in the sixties of the 20th century, it was a kind of new-type non-linear operator.It studie

3、s the geometry structure of the image,because vision information is comprehended based on geometry characteristics of the target,so it is suitable for the information processing and analyse of the vision.This kind of interaction is accomplished by two kinds of basic operation; erosion and dilation.

4、In order to follow the international front and develop the non-linear signal processing technology of our country, study the morphology theory and application technology are very necessary and have actual meaning further. Above all in this paper the basic theory of mathematical morphology is discuss

5、ed,then we introduce origin of mathematics morphology from binary morphology to gray morphology and extensively study lts diffent operators and quality. Its application in image processing is analysed and introduced as well. Then it tally up the present condition and develop direction of the mathema

6、tics morphology. Concrete discuss a step to is divided into a few aspects as follows： 1>Study and summary the basic theories of mathematics morphology. 2>Investigate the theories of binary morphology. grayscale morphology and color morphology. 3>Enumerate and tally up the applied in image s

7、egmentation. edge detection and morphological filter. 4>Carry out the edge detection of two kinds of image with matlab. 5>Summary and outlook the present condition and developing direction of mathematics morphology.Keywords：Mathematics morphology. Binary image. Grayscale inage. Color morpholog

8、y. Edge detection. Image segmentation. Morphological filter. 目录 iii目录第一章 绪论11.1 引言11.2 数学形态学发展简史1第二章 数学形态学基本理论52.1 引言52.2 二值形态学52.2.1 二值腐蚀52.2.2 二值膨胀62.2.3 二值开运算72.2.4 二值闭运算82.3 灰值形态学92.3.1 灰值腐蚀92.3.2 灰值膨胀102.3.3 灰值开运算122.3.4 灰值闭运算122.3.5 灰值形态学梯度142.4 彩色形态学152.4.1 彩色形态学简介152.4.2 分量法162.4.3 HLS法162.4

9、.5 彩色形态学总结182.5 本章小结18第三章 数学形态学的应用193.1 引言193.1.1 数学形态学在图像处理中的主要应用193.1.2 图像边缘检测193.1.3 图像分割203.1.4 噪声滤除213.2 数学形态学应用于图像边缘检测213.2.1 图像边缘定义213.2.2 基本的形态学边缘检测算子213.2.3 抗噪型形态学边缘检测因子223.2.4 基于多结构元的图像边缘检测233.2.5 基于多尺度的形态学边缘检测263.3数学形态学应用于图像分割273.3.1 图像分割定义273.3.2 并行边界分割技术293.3.3 串行边界分割技术293.3.4 并行区域分割技术3

10、03.3.5 串行区域分割技术313.4 基于分水岭变换的彩色细胞图像分割323.4.1 k-均值聚类和分水岭变换323.4.2 分割方法统筹323.4.3 图解细胞均值聚类333.4.4 图解细胞分割过程353.4.5 结果与讨论373.5 数学形态学应用于图像噪声滤波373.5.1 滤波基本原理373.5.2 对噪声污染的颗粒图像滤波383.5.3 对差、并噪声同存图象的滤波393.5.4 总结413.6 本章小结41第四章 两种图像边缘检测的MATLAB仿真实现434.1结构元素的选择434.2 算法实现444.3 MATLAB仿真实验454.4 图像的滤波及边缘检测的MATLAB实现4

11、7第五章 总结与展望555.1数学形态学学习总结555.2 数学形态学发展过程中存在的问题565.3 数学形态学发展方向56致 谢57参考文献59 第一章 绪论 3第一章 绪论1.1 引言 1965年法国巴黎地质学家G.Matheron和J.Serra创立数学形态学理论,这是一门新兴的图象分析科学。这是一门建立在严格数学理论基础上的学科,以集合论为其数学基础。其基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和图象中的对应形状,以达到对图象分析和识别的目的34。这门学科最初是针对二值图象进行运算的,由于它不但能够简化图象数据,保持图象基本形状特性,而且能够除去图像中不相干结构的特点,所以被广泛应用于图

12、象处理领域。1.2 数学形态学发展简史 （1）二十世纪六十年代:数学形态学的孕育和形成 数学形态学诞生于1964年，当时法国巴黎矿业学院的J.Serra正在G.Matheron指导下从事研究工作，内容是对法国洛林地区的铁矿核做定量岩相学分析，从而预测其开采特性。Serra决定用计算矿核切片的多形态图(Variograms)的方法取代刚体力学方法。为了达到这一目的，需要建立一个数字分析设备。为此，Serra与J. C. Klein合作开发了第一个“纹理分析仪”34,35。在实验分析过程中，Serra意识到方差、弦长分布、周长测量及颗粒计数等都是某个独特概念的特殊情况，并将其称为击中击不中变换。与

13、此同时，在一个更为理论的层面上，G.Matheron承担了多孔介质渗透性与其几何结构(或纹理)之间关系的研究工作，第一次引入了形态开运算的表达式，并在基础上利用凸结构元建立了颗粒分析方法。这一期间的工作从理论和实践两方面初步为数学形态学奠定了基础，给出了击中击不中变换、开运算、闭运算和布尔模型的理论描述，以及第一个纹理分析仪的原型。1966年，G.Matheron和J.Serra决定将他们预见的方法称为“数学形态学”，从此，数学形态学这一术语被提出来了。在这一时期，关于数学形态学的公开发表物主要有J.Serra在1965年发明的一项专利(这是数学形态学最早的文献)以及Hass,J.Serra和

14、G.Matheron在1965年至1967年间发表的文章34-36。 （2）二十世纪七十年代:充实和发展在数学形态学理论方面，二十世纪七十年代以Matheron的工作为主要标志，拓扑学基础、随机集、递增映射、凸性分析、随机集的若干模型等，这些成果反映在Matheron于1975年完成的随机集与积分几何一书中35。该书奠定了形态学的理论基础。在算子方面，可以说数学形态学工具的核心是在这一阶段发现的(除形态滤波外)。与此同时，最初面向集合的方法被拓展到数值分析领域，产生了形态学梯度、TOP-HAT变换、流域变换等灰度形态学理论和方法。 （3）二十世纪八十年代：成熟和对外开放 有四个事件可以标志这十

15、年的发展特点: 1>数学形态学走向世界，尤其是美国; 2>在格论基础上建立了数学形态学的数学框架; 3>算法开发; 4>随机处理方法的更新。 数学形态学为国际学术界所知，可归结为一本书和一个人。这本书是Serra在1982年完成的图像分析与数学形态学(Image analysis and mathetical morphology)34该书反映了位于法国枫丹白露的数学形态学研究中心到1980年为止的研究情况。这个人是S.R.Sternberg. S.R.Sternberg是美国机器视觉国际公司的高级技术职员，并在密西根大学任教。他善于用数学形态学方法思考问题，解决问题，

16、并将数学形态学方法应用于产品开发中。他还在美安亚伯市组织关于形态学的学术讲座，将数学形态学介绍到美国学术界。八十年代的另一个特点是在格论基础上建立了形态学方法的数学框架。各种各样的实际应用问题，迫使人们回到基础理论方面寻找解决问题的方法。最初的数学形态学算子是面向集合的，将它们拓展到其他领域时，如对(网络)、图幼数值函数的形态学处理，平移或旋转会影响到处理过程，甚至使处理过程无效。一些概念，如连通性、测地性等需要用新的符号来描述。这就使形态学的基本理论具有更广泛的适用性、更统一的形式和便于新算法的研究，数学形态学基本定理的核心最终被简化到备格结构。Serra在1988年完成的图像分析与数学形态

17、学第二卷中正式收录了这一时期的主要进展36。八十年代的第三个特点是加强了对形态学算法的研究。形态学软件及各种处理系统数量的增长，促进了这种研究的发展。算法研究主要是为了使诸如二值膨胀或更复杂的流域变换等基本形态学运算具有更高的运算速率。这方面的工作取得的进展使传统的数据流被边缘跟踪、多层队列、箭头传播等算法取代，提高了形态学软硬件的运算速度。 （4）二十世纪九十年代 这一时期有两个显著的发展趋势，第一个是致力于运动分析，包括编码与运动景物描述；第二个是算法与硬件结构的协调发展，及应用于处理数值函数的形态学算子的开发与设计。 （5）我国数学形态学的发展情况 我国早在二十世纪七十年代便引入了数学形

18、态学为基础的实用图像处理系统。近年来，亦开发出了基于数学形态学的图像处理产品。一些科研院在科研和教学方面都引入了数学形态学的方法和内容，如是中国科学院生物物理研究所等几个研究所合作开发的癌细胞自动识别系统，便是以数学形态学为基础的。1989年电子工业出版社出版的数字图像处理教材也收入了数学形态学的有关内容。此外，国内还出版了有关数学形态学方面的著作和一定数量的学术论文，如1990年由上海科技文献出版社出版，吴敏金编著的图像形态学一书41;1990年由科学出版社出版，唐常青等编著的数学形态学方法及其应用一书;1997年由科学出版社出版，龚炜、石青云、程民德等编著的数字空间的数学形态学-理论及应用

19、一书等42。但在总体水平上还不能达到国际水平，在应用方面还不是很广泛，还有很多工作需要进一步去做。 第二章 数学形态学基本理论 19第二章 数学形态学基本理论2.1 引言从科学的角度来说，形态学指的是形状和结构的科学。在图像处理中，形态学是分析图像中内在几何结构的方法。通过使用一定形状和尺寸的结构元素，形态学运算可以把图像中形状和尺寸与结构元素相似的几何特征保留下来，把其余的特征滤除。从应用的角度来说，形态学运算可以用于许多方面，包括图像分割、边缘检测、图像滤波等。 本章的主要内容是对本文所涉及的主要理论-形态学进行介绍，首先从二值形态学入手，接着研究灰值形态学算法，最后延伸到彩色形态学中。数

20、学形态学理论是建立在严格数学理论上的学科，因此本着简明、直观、形象的原则，本章给出数学形态学算法的基本概念以及实现方法，并予以图解。2.2 二值形态学2.2.1 二值腐蚀集合A被集合B腐蚀，表示为 AB，其定义为AB=x：B+x A （2-1）其中A称为输入图像，B为结构元素。由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么AB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成，如图2.1所示。 图2.1 腐蚀示意图2.2.2 二值膨胀膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以表示集合A的补集，表示B关于坐标原点的反射。那么集合A被集合B膨胀，其定义:

21、 A B= （2-2）为了利用结构元素B膨胀集合A，可将B相对原点旋转180度得到，再利用对进行腐蚀。腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2.2所示。 图2.2 膨胀示意图 膨胀和腐蚀这两种运算是紧密联系在一起的，一个运算对图像目标的操作相当于另一个运算对图像背景的操作，其对偶性可表示为 = （2-3） （2-4）由以上公式和图示可以得出腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像的作用29。 2.2.3 二值开运算在形态学图像处理中，除了腐蚀和膨胀这两种基本运算之外，还有两种二次运算起着非常重要的作

22、用，即开运算及其对偶运算-闭运算。从结构元素填充的角度看，它具有更为直观的几何形式。 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A B表示，其定义为: （2-5）开运算还可以用其它符号来表示，如 O(A,B),OPEN(A,B)等，在本文中我们用O(A,B)来表示。开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。也可以理解为开运算可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。当结构元素B扫过整个图像集合内部，那些使结构元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A的像素点的集合，就是A B。 通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过前面对腐蚀和膨胀运算的描述，我们不难得

23、到开运算的结果，如图2.3所示。 图2.3 利用圆盘作开运算从图2.3我们可以看出开运算的两个作用:一是利用圆盘作开运算起到磨光边缘的作用，即可以使图像的尖角转化为背景；二是圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的效果。2.2.4 二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。用符号A·B表示，其定义为: （2-6）闭运算还可以用其它符号来表示，如C(A,B),CLOSE(A,B)等，在本文中我们用C(A,B)来表示。上式可以看出:对图像A用结构元素B作闭运算可得到一个集合，该集合中包含所有这样的点x, x被一个平移的镜像结构元素覆盖的同时，平移的镜像结构元素与A图像必有一些

24、公共点。由此看出，初始图像A是包含在闭运算后的A·B中，即闭运算是具有延伸性的运算。图2.4描述了闭运算的过程及结果。 图2.4 利用圆盘作闭运算 显然，闭运算对图像的外部作滤波，仅仅磨光了图像内部的尖角。开、闭运算也互为对偶运算，开运算具有磨光图像外边界的作用，闭运算具有磨光图像内边界的作用30。2.3 灰值形态学在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的，这意味着输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。2.3.1 灰值腐蚀由于腐蚀和膨胀满足许多代数运算规则，因而，对于这两种运算，同样也存在许多等价的定义方法。前面曾指出形态学源于填充的概念，而灰值形态学处理的对

25、象是信号(图像)波形的拓扑特性，因此，与二值运算相同，我们可利用填充概念直接定义灰值运算。利用结构元素g(也是一个信号)对信号f的腐蚀定义为: （2-7）式中，g<<f表示信号g在f下方。从几何角度讲，为了求出信号被结构元素在点x腐蚀的结果，我们在空间滑动这个结构元素，使其原点(对于信号，为欧氏空间相对结构元素的原点)与x点重合，然后向上推结构元素，结构元素仍处在信号下方所能达到的最大值，即为该点的腐蚀结果。由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。上述公式的几何意义相当于结构元素在信号曲线的下面“滑动”时，其圆心画出的轨

26、迹。实质上结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。灰值腐蚀可按下面的步骤完成:对于结构元素g的定义域中的每一点x，将信号f平移-x，然后，再从每次平移信号这中减去g(x)，对于结构元素定义域的每一点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最小值，便可以得到腐蚀22。 图2.5描述灰值腐蚀运算的过程及结果: 。 图2.5 灰值腐蚀运算2.3.2 灰值膨胀 与二值情况一样，灰值膨胀也可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。在定义灰值腐蚀时，我们采用了求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。这里我们利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元

27、素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义灰值膨胀。f被g膨胀可逐点的定义为: （2-8）其中，表示为对原点的反射，g>>f表示信号g在f的上方。 从几何角度讲，为了求出信号被结构元素在点x腐蚀的结果，我们在空间滑动这个结构元素，使其原点(对于信号，为欧氏空间相对结构元素的原点)与x点重合，然后向上推结构元素，结构元素仍处在信号下方所能达到的最大值，即为该点的腐蚀结果。由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。上述公式的几何意义相当于结构元素在信号曲线的下面“滑动”时，其圆心画出的轨迹。实质上结构元素从信号的

28、下面对信号产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。灰值腐蚀可按下面的步骤完成:对于结构元素g的定义域中的每一点x，将信号f平移-x，然后，再从每次平移信号这中减去g(x)，对于结构元素定义域中的每一点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最小值，便可以得到腐蚀结果23。图2.6描述了灰值腐蚀运算的过程及结果。图2.6 灰值膨胀运算2.3.3 灰值开运算具备了腐蚀和膨胀这两种初级灰值形态学运算，我们可以定义二级运算-灰值开和灰值闭运算。与二值情况相同，这两种运算为对偶运算，并且两者都可用填充概念来说明。灰值开运算可以参照二值情况来定义，即先作腐蚀再作膨胀的迭代运算: （2-9）

29、图2-7描述了灰值开运算的过程及结果。 图2-7 灰值开运算2.3.4 灰值闭运算 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为: （2-10） 图 2.8描述了闭运算的过程及结果。 图2.8 灰值闭运算 从图2.7、2.8可以看出，灰值开运算具有非扩展性，即滤波结果总位于原始图像的下方，它从图像的下方磨光图像灰值表面向上突出的尖峰（即波峰），灰值闭运算具有扩展性，即滤波结果总在原始图像的上方，它从图像的上方磨光图像灰值表面向下的尖峰（即波谷）22,25。 以细胞组织为例，对细胞组织图像进行灰度腐蚀、膨胀、开、闭等操作，如下图2.9所示。 图2.9 细胞组织图像的灰值形态计算2.3.5 灰值形态学梯度 在

30、边缘检测图像处理中有许多梯度，其边缘检测的基本原理都是基于下面的考虑：如果在某一点出现的梯度值大，则表示在该点处图像的明暗变化迅速，从而可能有边缘通过。下面讨论一种梯度处理方法，称为形态学梯度。其定义为： （2-11） 式中，g为以原点为中心的扁平结构元素，所谓扁平结构元素指的是在其定义域上取常数的结构元素。因为利用扁平结构元素作腐蚀和膨胀可以得到极大极小滤波器的效果，故在每一个点，形态学梯度都可以得到由扁平结构元素所确定的邻域上的极大值和极小值的差值。 在经典的数字图像处理中，差分梯度往往与阀值技术相结合，用于检测图像的边缘。与差分梯度情况相同，形态学梯度也可以与阀值结合使用，完成边缘检测4

31、5。 图2.10为形态学梯度算法检测到的脑部核磁共振图片的边缘图像。 图2.10 核磁共振图像的形态学梯度2.4 彩色形态学2.4.1 彩色形态学简介 图像处理中色彩的运用主要出于以下两个因素:第一，在自动图像分析中色彩是一个有力的描绘，它通常可使从一个场景中识别和抽取目标的处理得到简化；第二，人们对图像进行分析时，人眼能区别的灰度层次大约只有二十几种，但却能够识别成千上万的色彩。色彩在人类视觉感知中是极为重要的，而且彩色显示己经是计算机系统的默认配置了。彩色图像在多媒体、生物医学、INTERNET等方面的应用使得彩色图像的感知与处理正越来越为人们所重视。彩色图像处理已成为一个重要的研究领域并

32、运用于计算机视觉和视频通信系统中。 彩色形态学由于它特有的结构元选取特性，在矢量排序技术发展的推动下正大量应用于军事、气象、医学及智能机器开发中。在过去的研究中，人们提出了多种定义彩色形态学基本操作的方法，总结起来主要有三类:第一类方法将彩色像素的每一个颜色分量(RGB)独立的使用灰度形态学的算子去完成形态操作，我们称之为“分量法”；第二类方法是基于HLS模型，由多分量处理转化为单分量处理(例如:亮度处理)；第三类方法是矢量法，它视每一个彩色像素为一个具有三个分量的矢量，使用矢量排序统计特性来定义基本腐蚀、膨胀，这是近年来提出的新方案。本节对现有的这几种彩色形态学处理法进行了总结和比较。 因为

33、二值和灰度图像像素都是标量值，容易进行自然的集合运算和排序统计。但彩色图像的像素是由特定意义的三个分量组成的矢量，而由于并没有一个统一的矢量空间排序方案，因此，不能把最初的形态学理论直接推广到彩色空间19-21。2.4.2 分量法 最简单的彩色形态学处理方法，我们称之为“分量法”。就是将RGB空间中的彩色图像分解为三幅独立的灰度图像，每一幅图像代表原彩色图像中所有像素的R, G或B值。对三幅灰度图像分别作形态学处理，然后将处理后的结果再合并回彩色图像。假设I是RGB空间的彩色图像，用结构元S定义的腐蚀和膨胀分别为: （2-12） （2-13） 这里表示彩色腐蚀，表示灰度腐蚀。这种方法显而易见很

34、容易改变原图像中像素的颜色。假设彩色图像I中大多数像素是黄色的(也就是红和绿分量较多)，而结构元S是纯绿色图像，那么腐蚀的结果使原图像中对应像素的绿色灰度值减小，而红色分量值没有改变，导致处理后的图像比原图像看上去要红一些，这可能会影响到彩色定量分析例如颗粒测量等。2.4.3 HLS法 第二类方法主要是以HLS法为基础，它与前一种方法不同，是一种色彩保护方法。这种方案并不改变图像中像素的颜色，只是对图像的亮度有所改变。它先将彩色图像转换到HLS模式下，然后对结构元涉及到像素的H,L,S这三个分量中的亮度分量做简单的灰度形态处理，保持H和S分量不变，最后将处理后的结果变换回RGB空间。HLS法腐

35、蚀和膨胀的定义如下: （2-14） （2-15） 这里 , 表示像素所对应的H,L,S分量值，表示对图像的亮度分量做灰度腐蚀，RGBQ表示将结果图像转换回RGB空间的操作31。在这种方案中，只有图像和结构元的亮度分量对操作的结果产生影响，而表现颜色的S,H的分量并没有参与处理，这对一种用于处理彩色图像的方法来说，似乎并不科学。比如说一幅图像中只有纯红色和绿色像素，转换到HLS空间后，红绿像素对应的亮度是一样的，对于一幅等值灰度图像做形态学处理当然是徒劳，问题在于不同颜色像素对应的亮度却可以是相同的。2.4.4 矢量法 近几年，研究者提出了一种新的彩色形态学算法，以矢量的排序统计特性为基础，我们

36、称之为“矢量法”。最初的矢量法研究的是用二值结构元来做形态学处理，这种结构元实际上相当于我们所熟悉的滤波窗，起一个像素选择的作用。矢量排序问题的解决是推动矢量法发展的关键。多采用彩色像素所对应的三个分量(RGB)的线性组合或距离原点的欧氏距离来衡量向量之间的大小等等。由于从RGB空间到HLS空间的变换是线性的，所以前面提到的HLS法实际上可以说是一种特殊的矢量法。 矢量法通过将矢量标量化，比较结构元中对应点像素的标量值确定最小最大矢量来代替中心像素的值，从而实现形态腐蚀和膨胀。由于结构元不带有任何色彩信息，所以这种方案相当于“窗口滤波器”，只不过滤波窗的大小、形状随结构元的变化而变化。这种方法

37、在实现从彩色图像中提取具有某颜色特征的目标时就显得有些力不从心了。于是在矢量法的基础上取消了对结构元的限制，研究了结构元也是一幅彩色图像的情况，提出了一种叫“投影法”的方案。在投影法中，结构元矢量和原图像均视为矢量的集合，通过研究结构元矢量在原图像像素矢量方向上的投影来确定它们之间的“匹配”程度，与前两种方法一样，这也是一种色彩保护方案，最大最小值操作是通过比较原矢量和受结构元影响的新矢量对应的幅值大小得到代替中心像素的矢量，操作的结果取决于结构元像素矢量在原图像矢量方向上的投影。在投影法中，图像I被S腐蚀和膨胀的定义如下： （2-16） (2-17) 其中表示求向量的幅值运算，是向量在方向上

38、的投影，是两矢量间的夹角24,25。可见，矢量间的夹角对投影运算会有较大影响，若结构元矢量的幅值大但垂直于原图像中的像素矢量，则结构元对原图像像素没有任何影响，相反，若两矢量间是平行的，那么形态学操作的结果将会受到结构元的影响，这恰好体现了具体操作情况中结构元彩色图像与原图像之间的相关关系。2.4.5 彩色形态学总结 彩色形态学用于彩色图像的识别、分割和特征提取，正越来越受到人们的重视。由于彩色图像的处理技术很容易向更复杂的情况推广，所以对彩色形态学的研究的深入是非常有意义的。常用方法中，分量法和HLS法都很难较好的完成目标识别任务:分量法忽略了颜色分量之A的相关性；而HLS法更可能在亮度一致

39、图像中识别出具有某一颜色特征的目标，当然在解决其它问题方面这两种方法还是各有所长的。矢量法和投影法是近年来发展起来的新技术，算法合理，己经成为彩色形态学中的主流。2.5 本章小结 在本章中，我们分层次的论述和研究了二值形态学、灰度形态学以及彩色形态学的基本理论，利用数学公式及图像应用举例将形态学予以描述，列举了二值形态学及灰度形态学的腐蚀、膨胀、开闭运算等各种算法，并进行了图像描述；最后扩展到彩色形态学，介绍了彩色形态学的研究现状，并列举三种实用算法。 第三章 数学形态学的应用 45第三章 数学形态学的应用3.1 引言3.1.1 数学形态学在图像处理中的主要应用 数学形态学已经成为图像处理理论

40、的一个重要方面，它已由二值和灰度形态学发展成软数学形态学，其基本思想是利用“顺序统计”理论并将结构元素分为核心和软边界两大部分；将模糊集合理论用于数学形态学形成了模糊数学形态学，进而发展成模糊软数学形态学。这些方法已广泛地应用到医学成像、生物学、机器人视觉、自动字符读取、金相学、地质学、地理学、气象学、遥感技术等图像处理的不同领域。在这些领域中，利用二值或灰度数学形态学基本运算，可通过组合得到一系列灰度数学形态学实用算法，它们在图像增强、分割、边缘检测、噪声滤除、形状结构的增强及形状的数量化、骨架化、组分分析、曲线填充、图像压缩等方面得到了广泛应用。3.1.2 图像边缘检测 边缘是图像最基本的

41、特征，理想的边缘检测应当正确解决边缘的有无、真假和定向定位。为了有效抑制噪声，一般首先对原图像进行平滑，再进行边缘检测就能成功地检测到真正的边缘。边缘检测技术中较为成熟的方法是线性滤波器，其中尤其以拉普拉斯LOG算子最为有名，LOG算子较好地解决了频域最优化和空域最优化之间的矛盾，计算方法也比较简单方便23。另外，该算子在过零点检测中具有各向同性特点，保证了边缘的封闭性，符合人眼对自然数学形态学运算用于边缘检测的规律。 数学形态学运算用于边缘检测，存在着结构元素单一的问题。它对于结构元素同方向的边缘敏感而与其不同方向的边缘或噪声)会被平滑掉，即边缘的方可以由结构元素的形状确定。但如果采用对称的

42、结构元素，又会减弱对图像边缘的方向敏感性。所以在边缘检测中，可以考虑用多方位的形态结构元素，运用不同结构元素的逻辑组合检测出不同方向的边缘;还可以结合小尺度形态学、多尺度形态学及顺序形态学的图像边缘检测方法等。 基于边缘轮廓结构的形态学开、闭变换的第一运算起了提取噪声区域的作用，而第二个使用的运算则将该区域内的噪声全部滤掉。传统的方法是点滤波操作方式，一个噪声必须满足给定的判决条件才能被滤掉，但要求每一个噪声点都要满足要求是不现实的，所以噪声块不能完全被滤掉。同传统的方法相比，该方法只要求噪声块中有一个点满足判定条件，则整个噪声块都可全部滤掉。3.1.3 图像分割 考虑边缘特征受噪声影响较大，

43、而区域特征受噪声影响要小得多，而使用灰度门限法进行区域分割较简单。经典的图像分割方法是基于度量空间的空间域聚类的，常用诸如简单统计法、类间方差法、最小误差法等图像分割方法，实际上它利用了直方图作为图像中不同区域的统计特征。这种方法的最大问题在于分割出区域的边界或空间是不连续的。图像的边缘提取和分割是图像处理的难题，它的解决对我们进行高层次的处理如特征描述、识别和分析有着重大影响。 对开运算是在膨胀的基础上再进行一次腐蚀，对于闭运算就是在腐蚀的基础上再进行一次膨胀。取一大小可调的正方形灰度平面，则膨胀运算的实质就是通过模板，寻找图像在结构元大小范围内所有点的灰度极大值，以该极大值代替该结构元大小

44、范围内所有点的灰度值，在图像灰度曲面上移动结构元模板，重复同样操作，直到图像上所有点都参与运算为止。因此，膨胀的结果滤去了小于二倍结构元的波峰，同时原图像灰度曲面在原有基础上有一定程度的膨胀。而腐蚀运算相当于削去小于二倍结构元的波谷。用原图减去开运算的结果，可以提取出原图像小于结构元的波峰;用原图减去闭运算可以提取出小于结构元的波谷，改变结构元的大小可提取不同的目标。目前，已研究出了基于数学形态学抗噪声的流域算法、计算图像形态梯度多尺度算法及深度图像分割等方法。3.1.4 噪声滤除 对图像中的噪声进行滤除是图像预处理中不可缺少的操作。将开启和闭合运算结合起来可构成形态学噪声滤除器。对于二值图像

45、，噪声表现为目标周围的噪声块和目标内部的噪声孔。用结构元素B对集合X进行开启操作，就可以将目标周围的噪声块消除掉;若进行闭合操作，则可以将目标内部的噪声孔消除掉。该方法中，对结构元素的选取相当重要，它应当比所有的噪声孔和噪声块都要大;对于灰度图像，滤除噪声就是进行形态学平滑。实际中常用开启运算消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不变;用闭合运算消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不变。将这两种操作综合起来可达到滤除亮区和暗区中各类噪声的效果，而将多结构元素和开、闭滤波等结合起来，在目标图像细节保护方面有更大的优越性。3.2

46、 数学形态学应用于图像边缘检测3.2.1 图像边缘定义 图像边缘检测的实质是采用某种算法提取图像中研究对象与背景间的交界线及对象与对象的分界线。由图像边缘的定义知道:图像的边缘就是图像灰度的奇异点和突变点也就是图像灰度发生急剧变化的区域。这种变化情况可以用图像灰度函数的梯度来反映，因此图像的边缘检测算法可以由图像局部微分技术来得到。根据上述图像边缘的特性和梯度理论，众多学者在研究图像处理时提出了许多现在被认为是传统的和经典的边缘检测算子27。下面介绍这些算子及其应用。3.2.2 基本的形态学边缘检测算子根据第二章形态学基本运算对图像处理的作用，可构造基本形态学边缘检测算子（形态学梯度）如下：膨

47、胀型： (3-1)腐蚀型： (3-2)腐蚀膨胀型： (3-3)开运算型： (3-4)闭运算型： (3-5)开闭型： (3-6) 可见，形态学边缘检测算子是一种非线性的差分算子，而且其检测出的边缘与结构元素b有关. 这些算子实现简单，在实际中有一定应用。其中，前3种算子可以分别提取图像外边缘、内边缘和骑跨在实际欧氏边界上的边缘，但是对噪声都很敏感，适用于噪声较小的图像，后3种算子的抗噪性能好于前3种算子，但存在偏移现象。3.2.3 抗噪型形态学边缘检测因子 由灰度形态学基本运算的定义可知，腐蚀运算可以去掉图像中比结构元素小的亮细节，膨胀运算可以去掉比结构元素小的暗细节。 开启运算可以消除比结构元

48、素小的亮细节，而保持图像整体灰度和大的亮区域基本不受影响. 闭合运算可以消除比结构元素小的暗细节，而保持图像整体灰度和大的暗区域基本不受影响. 根据4种运算对噪声抑制的特点，对基本形态学边缘检测算子的前3种进行改进，得到抗噪型的边缘检测算子如下：抗噪膨胀型： (3-7)抗噪腐蚀型： (3-8)抗噪膨胀腐蚀型： (3-9) 由上述3式可见，抗噪膨胀型边缘检测算子可以抑制负脉冲噪声，抗噪腐蚀型边缘检测算子可以抑制正脉冲噪声，而抗噪膨胀腐蚀型边缘检测算子对正负脉冲的噪声均能抑制。为使抗噪膨胀型形态边缘检测算子和抗噪腐蚀型边缘检测算子能对正负脉冲噪声均有抑制作用，再做如下改进：改进的抗噪膨胀型： (3

49、-10)改进的抗噪腐蚀型： (3-11)3.2.4 基于多结构元的图像边缘检测 基于形态学的图像边缘检测不仅和使用的边缘检测算子有关，而且还取决于结构元素的选择。如果只采用一种结构元素，其输出图像中只包含了一种几何信息，不利于图像细节的保持，而会使图像的大部分细节特征都呈现为线段，因此采用不同取向的多个结构元素，将每一结构元素作为一种尺度对图像细节进行匹配，可以充分保持图像的各种细节. 实际应用中，构造多结构元的边缘检测算子，能检测出图像的各种边缘，同时又可以抑制噪声。 本章利用抗噪膨胀腐蚀型的边缘检测算子（式3-9），定义多结构元的边缘检测算子如下： (3-12) 式中的和为结构元素，固定不

50、变（正方形），为不同的结构元素。是不同结构元素下的边缘，将他们合成得到最终的图像边缘。 下面用该方法对1幅噪声图像进行边缘检测，并与Canny和LOG算子边缘检测的结果进行比较。边缘检测结果如图3.1所示，可见这种多结构元的方法既抑制了噪声，又保持了图像细节，对噪声图像的边缘检测优于其他方法的检测结果。图3.1 基于多结构元噪声边缘检测3.2.5 基于多尺度的形态学边缘检测 形态学边缘检测算子中的结构元素不仅有形状，而且有大小（如3×3，5×5，7×7的窗口），因此可以用多尺度的结构元素对图像进行多尺度的边缘检测，即利用大小不同的结构元素去提取图像边缘特征，小尺度

51、的结构元素去噪声能力弱，但能检测到好的边缘细节。大尺度的结构元素检测的边缘较粗，但去除噪声能力强。因此将不同尺度下的边缘结合起来可得到较理想的边缘图像。 该方法利用大小不同的结构元素在不同尺度上进行边缘检测，大尺度的结构元素是由小尺度元素经过膨胀运算得到，本节利用该方法对1 幅图像进行2个尺度的边缘检测，结果如图3.2所示，可见大尺度上利于噪声的抑制，小尺度有利于边缘细节的提取19-21,27。图3.2 多尺度形态学边缘检测3.3数学形态学应用于图像分割3.3.1 图像分割定义 所谓图像分割是指将图像中具有特殊含义的不同区域分开来，这些区域是互不交叉的，每一个区域都满足特定区域的一致性。从处理

52、对象角度来讲，分割是在图像矩阵中确定所关心的目标的定位。显然，只有用这种方法把感兴趣的目标从复杂景物中提取出来，才有可能进一步对各个目标进行定量分析或识别。图像分割可以分为两个基本类型:即面向整体区域的整体分割和面向边缘的部分分割。整体分割是以图像区域为对象的分割方法，其定义如下： 对图像R的分割是指将R分成若干个满足以下条件的非空子集(1)(2)对所有的i和j，有.(3)对i=1，2···n，有(4)对，有 子集可对应一个图像区域，也可对应多个区域。上述条件(1)指出分割应完备性，即全部子集的并集应能包括图像中的所有像素;条件(2)指出各个子集应互不交迭，即一个像素不能同时属于两个子集