晋城市中考数学期末几何中的最值问题汇编

1、晋城市中考数学期末几何中的最值问题汇编一、几何中的最值问题1. 如图乙，ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC DAE 90，点P为射线BD, CE的交点.1如图甲，将aADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接 BD、BE,则下 列给出的四个结论中，其中正确的是 .2 2 2 BD CE BD CE ACE DBC 45 BE 2 AD AB2若AB 4 , AD 2，把厶ADE绕点A旋转, 当 EAC 90时，求PB的长;PB长的最大值. 求旋转过程中线段EDCE图乙2. 综合与实践情景再现我们动手操作：把正方形 ABCD,从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把

2、其中一个 等腰三角形与正方形 ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随 旋转应运而生.如图把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形 ACD和厶BCE圏图(1 )问题呈现我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图所示 点P是一动点，若 AB=3, PA=1,当点P位于_时，线段PB的值最小；若 AB=3,PA=5，当点P位于 时，线段PB有最大值.PB的最大值和最小值分别是 . 直接写出线段 AE与DB的关系是 .(2) 我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图所示，点E在直线BC上，FM丄CD交直线CD于M . 当点E在BC上时，通过观察、思考易证：

3、AD=MF+CE 当点E在BC的延长线时，如图 所示；当点E在CB的延长线上时，如图 所示，线段AD、MF、CE具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图或图证明你的猜想.團囹冋题拓展(3) 连接EM,当SEmf =8, AF2=50，其他条件不变，直接写出线段 CE的长.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(- 1, 0)和点B(4, 0)，且与y轴交于点C,点D的坐标为(2, 0)，点P(m, n)是该抛物线上的一个动点，连接CA, CD,PD, PB.(1) 求该抛物线的解析式；当 PDB的面积等于 CAD的面积时，求点 P的坐标；当m>0, n>

4、; 0时，过点P作直线PEIy轴于点E交直线BC于点F,过点F作FG丄x轴 于点G,连接EG,请直接写出随着点 P的运动，线段EG的最小值.备甲图4.如图，在矩形 ABCD中，AB a, BC 2a, M是AD的中点，动点 E在线段AB 上，连接EM并延长交射线 CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，设MG的 中点为H，连接EG , FG .(1)当点E不与点 A重合时，求证：AME DMF ；(2) 当点E与点A或点B重合时，EGF是等腰直角三角形，当点 E与点A或点B不重合时，请判定 EGF的形状;求点H移动的最长距离.5 .问题探究(1) 如图1.在aABC中，BC 8，D为BC上

5、一点，AD 6 .则aABC面积的最大 值是.(2) 如图2,在厶ABC中， BAC 60 , AG为BC边上的高，oO为厶ABC的外接 圆，若AG 3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明如图3,王老先生有一块矩形地 ABCD , AB 6 212, BC 6 26，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘 AMFN，且满足点E在CD 上, AD DE，点F在BC 上，且CF 6，点M在AE上，点N在AB 上, MFN 90，这个四边形 AMFN的 面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由.6.如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=3cm, AD

6、=5cm,折叠纸片使 B点落在边AD上的点EB_ Q E(1 )若 AP: BP=1: 2,则 AE 的长为.(2) 求证：四边形 BFEP为菱形；(3) 当点E在AD边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动.若限定点 P, Q分别在边AB、BC上移动，求出点 E在边AD上移动的最大距离.a(0由BDDBDB点，O P的半径为.5，其圆心P在x轴上运动.7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y= 2 x+2的图象与y轴交于A点,与x轴交于(2)在(1 )的条件下，点 C为O P上在第一象限内的一点，过点C作O P的切线交直线AB于点D,且/ ADC= 120 °求D点的坐标;(3)

7、如图2,若O P向左运动，圆心 P与点B重合，且O P与线段AB交于E点，与线段AF，则线段BE和AF数量关系是(2)类比探究：如图2 ,保持 ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转(3)解决问题：若 BC DF 2，在(2)的旋转过程中，连接 AE ,请直接写出 AE的最大值9 在 ABC中， ACB 90 ,BC AC 2，将 ABC绕点A顺时针方向旋转 角(0180 )至AB'C'的位置.BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出&(1)问题发现：如图1,在 ABC中， BAC 90 , AB AC ,点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形 DFGE ,使点

8、A , C分别在DE和DF上,连接BE ,a 360 )，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理-AG+OG的最小值2备用图i/(JrX0岌Si图2(1)如图1,当圆心P的坐标为(1, 0)时，求证：O P与直线AB相切;(1)如图1,当旋转角为60时，连接C'C与AB交于点M，则C'C(2)如图2,在(1)条件下，连接 BB'，延长CC'交BB'于点D,求CD的长.(3)如图3,在旋转的过程中，连线 CC'、BB',CC'所在直线交BB'于点D，那么CD 的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大

9、值：如果没有，请说明理由.10.如图，在矩形 ABCD中，AB=2, E为BC上一点，且 BE=1, /AED=90°,将 AED绕点 E顺时针旋转得到 A ED ,A'交AD于P,D'交CD于Q,连接PQ,当点Q与点C重合时， AED停止转动.(1) 求线段AD的长；(2) 当点P与点A不重合时，试判断 PQ与AD的位置关系，并说明理由；(3) 求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长.11.如图 1，在厶 ABC 中，ACB 90 , AC 2 , BC 2.3 ,以点B为圆心， 3为半径作圆点 P为OB上的动点，连接 PC，作PC PC，使点方，且满足P

10、C : PC 1: 3，连接BP , AP P落在直线BC的上（1 ）求 BAC的度数，并证明 APC s BPC ;（2）如图2,若点P在AB上时，连接 BP，求BP的长；BP取得最大值（3）点P在运动过程中，BP是否有最大值或最小值？若有，请求出当或最小值时，PBC的度数；若没有，请说明理由.12.问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形 EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.（二）问题解决：已知O O的半径为2, AB, CD是O O的直径.P是二厂上任意一点，过点 P分别作AB,

11、CD 的垂线，垂足分别为 N, M .（1）若直径AB丄CD,对于了上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形 PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2） 若直径AB丄CD,在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明 MN的长 为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角. 当点P运动到'的中点P1时（如图二），求 MN的长； 当点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明 MN的长为定值.（4）试问当直径 AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.C图圏二圉三213.如图，抛物线y ax 2ax 3a

12、(a 0)与x轴交于A, B两点(点B在点A的左 边)，与y轴交于点C,且OA OC .(1) 求抛物线的解析式.(2) 如图1,若点P是线段AC (不与A、C重合)上一动点，过点 P作x轴的垂线交抛 物线于M点，连接CM将厶PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上， 求此时点P的坐标.(3) 如图2,若第四象限有一动点 E,满足AE AO，过E作EF x轴于点F,设F坐 标为 t,0 , 0 t 3, aAEF 的内心为 I,连接 AI, OI , EI , CI , 请找出一对全等的三角形并证明; 请直接写出CI的最小值.k/，/.:Bo忙丿/图i4/c、/ £图271

13、4.如图，点A在抛物线y=- x2+6x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴 对称，直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，点 E的坐标为(2, 2).(1) 求线段AB的长； 点P为线段AB上方抛物线上的任一点，过P作AB的垂线交AB于点H,点F为y轴 上一点，当 PBE的面积最大时，求 PH+HF+ -1 FO的最小值；2(2) 在(2)中，当PH+HF+ 23FO取得最小值时，将5H绕点C顺时针旋转60。后得到CF H，过点F作CF的垂线与直线 AB交于点Q,点R为y轴上一动点，M为平面直 角坐标系中的一动点，是否存在使以点D, Q，R, M为顶点的四边形为矩形？若存在请直

14、接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由.15.如图,AB是圆0的一条弦，点C是优弧AmB上一点(1) 若/ ACB=45°,点P是O上一点(不与A. B重合)，则/ APB=_;如图，若点P是弦AB与AmB所围成的弓形区域(不含弦AB与AmB)内一点求证: / APB>/ ACB；(3)请在图中直接用阴影部分表示出在弦AB与AmB所围成的弓形区域内满足/ ACB / APB 2/ ACB的点P所在的范围；(3) 在(1 )的条件下，以PB为边，向右作等腰直角三角形PBQ,连结AQ,如图4，已知 AB=2, 当点Q在线段AB的延长线上时，线段 AQ的长为线段AQ的最小值为 16.

15、如图， ABC的两条中线 BD、CE交于点F.(1)ADFBF卄 2BE 3l(2 )若 BE= EF?EC 且=-,EF =J6，求 DE 的长；DF 217.如图，在 ABC 中， ACB 90 , ABC 45 , BC 12cm，半圆 0 的直径DE 12cm 点E与点C重合，半圆0以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为 x s，半圆0与 ABC的重叠部分的2面积为S cm(1 )当x 0时，设点M是半圆O上一点，点 N是线段AB上一点，则 MN的最大值为 ; MN的最小值为.(2) 在平移过程中，当点 O与BC的中点重合时，求半圆

16、O与 ABC重叠部分的面积S;(3) 当x为何值时，半圆 O与 ABC的边所在的直线相切？18. 将一个直角三角形纸片 ABO，放置在平面直角坐标系中，点AC 3,0)，点B 0, 3，点 O(0,0)(I)过边OB上的动点D (点D不与点B , O重合)作DE OB交AB于点E，沿着DE折 叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处. 如图，当D为OB中点时，求E点的坐标； 连接AF，当 AEF为直角三角形时，求 E点坐标：（n ） P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将 AOP沿0P所在的直线折叠，得到A'OP，连接BA'，当BA'取得最小值时，求 P点坐标（直接写出

17、结果即可）.DA ,a19. 在厶ABC中，AB= AC, M是平面内任意一点，将线段 AM绕点A按顺时针方向旋转 与/BAC相等的角度，得到线段 AN,连结NB.（感知）如图，若M是线段BC上的任意一点，易证 ABNA ACM，可知/ NAB = / MAC, BN= MC.（探究）（1）如图，点E是AB延长线上的点，若点 M是/CBE内部射线BD上任意一 点，连结MC,（感知）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说 明理由.（拓展）（2）如图，在厶DEF中，DE= 8, / DEF= 60° / EDF= 75° P是EF上的任 意点，连结DP,将DP

18、绕点D按顺时针方向旋转 75°得到线段DQ，连结EQ,则EQ的最 小值为.20. 如图，以G（0, 1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C, D两 点，点E为。O上一动点，CF丄AE于F,当点E在O 0的运动过程中，线段 FG的长度的最21. 在厶ABC中，AB AC，点P在平面内，连接 AP，并将线段 AP绕A顺时针方向 旋转与 BAC相等的角度，得到线段 AQ，连接BQ .（1）如图，如果点 P是BC边上任意一点则线段 BQ和线段PC的数量关系是(2)如图，如果点 P为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给 予证明；若不成立，请说明理由请仅以图

19、所示的位置关系加以证明(或说明)；DE 8， EDF 60， DEF 75，p 是线段 EF 上的任意一点，连接DP ,将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°得到线段DQ，连接EQ 请直接写出线段EQ长度的最小值.CD是厶ABC的高，AB= 8, CD- 3,以点C为圆心，半径 ，连接 AE,点F是AE的中点，求线段 DF的最小值23 我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合我们又知道了在平面内点 与圆有三种位置关系.如图1，点P在OO外，点A是OO上一个动点，连接 PO交OO于(1) 利用图1，说明PA>PB(2) 如图2, 架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁1

20、2米，距离地面5米的小鸟 看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；(3) 如图3,矩形 ABCD中，AB=2, AD=3,点E、F分别为 AD、DC边上的点，且 EF=2, 点G为EF的中点，点P为BC上一动点，直接写出 PA+PG的最小值.24. 定义：长宽比为n:1 (n为正整数)的矩形称为n矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个.2矩形，如图a所示.坠IBfr珞MJ閤)|操作1：将正方形 ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线 AE上的点G处，折痕为AH .操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点 F、点E分别落在

21、边 AF、BE上，折痕为CD 则四边形 ABCD为 2矩形.(1) 证明：四边形 ABCD为2矩形；(2 )点M是边AB上一动点. 如图b , O是对角线AC的中点，若点N在边BC上, OM ON，连接MN 求 tan OMN 的值；CN 若AM AD，点N在BC边上，当仝DMN周长最小时，求的值.NB 连接CM，作BR CM，垂足为R .若AB 2，则DR的最小值为.125. 在 RtA ABC 中，/ ACB= 90 ° tan / BAC= 点 D 在边 AC上(不与 A, C 重合)，2 连结BD, F为BD中点.(2) 若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得 D、E、2 .求

22、证：BE-DE= 2CF；(3) 若BC= 6,点D在边AC的三等分点处，将线段 点，求线段CF长度的取值范围.B三点共线，点 F仍为BD中点，如图AD绕点A旋转，点F始终为BD中【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、几何中的最值问题1 -( 1)；(2)PB 455 或 125 5 ；PB长的最大值是2,32 .【分析】(1)由条件证明也ABDACE，就可以得到结论;由厶ABD也公ACE就可以得出出结论；ABD ACE，就可以得出 BDC 90，进而得由条件知 ABC ABDDBCBE22AB2,45，由 ABDBD2 DE2，由 就有BC2 BD2ACE就可以得出结论；a DAE和 BA

23、C是等腰直角三CD2 BD2就可以得出结ABDE为直角三角形就可以得出 角形就有DE2 2AD2, BC2 论；(2)分两种情形a、如图乙 1中，当点E在AB上时，BE AB AE 2，由PB BEaPEB s企AEC，得，由此即可解决问题； b、如图乙 2中，当点E在BA延AC CE长线上时，BE 6，解法类似； 如图乙 3中，以A为圆心AD为半径画圆，当 CE在。A上方与。A相切时，PB的值最 大，分别求出PB即可；【详解】90，90，BAC 即 BADDAC DAE DAC ,CAE，90，在厶ABD和aACE中,AD AEBAD CAE,AB AC从BD ACE SAS ,BD CE，

24、故正确；“ABD 旦 ACE,ABDace ,/ cab90 ,ABDAFB90 ,aceAFB90 .T dfcAFB ,acedfc90 ,fdc90 BD CE，故正确； t bac90 ,AB AC ,ABC45 ,ABDdbc45 .acedbc45，故正确； vBD CE ,be2 BD)2 DE2：1/ bacDAE90 , AB AC , AD AE ,de2 2AD2，BC2 2AB2,/ BC2 BD2 cd2BD2 ,2 2 2 22AB2 BD2 CD2 BD2,2 2 2BE 2 AD AB ，故错误；故答案为;AE 2 解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE AB

25、EAC 90 ,CE .'AE2 AC22 5，同1可证aADB也aec .DBA ECA ./ PEB AEC ,厶PEBs “AEC,PB BEAC CE，PB 24 2 5PB -5b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE 6 ；CE .AE2 AC22、5，同1可证aADB也“AEC .DBA ECA .BEP CEA ,厶PEB s SEC ,PBBEACCE 'PB642、5 '125PB5综上，“4需十PB或12.5 ；55解:如图5中，以A为圆心最大;AD为半径画圆，当 CE在0 A上方与OA相切时,PB的值PB最大QPBC是直角三角形，斜边 BC为定

26、值，BCETAE EC,EC .AC2 AE22,3，由1可知，厶ABD也ACE ,ADB AEC 90 , BD CE 2.3 ,ADP DAE AEP 90 ,四边形AEPD是矩形，PD AE 2,PB BD PD 2 .3 2 综上所述，PB长的最大值是 2.32 2 (1)AB, BA延长线，最大值是 8,最小值是2;AE=BD, AE丄BD;(2) 选择图 ，贝U AD+CE=MF见详解；(3) 1 或 7.【分析】(1) P为一动点，PA=1，则点P在以A为圆心，以1为半径圆上，画图的解；同理 PA=5，则点P在以A为圆心，以5为半径圆上，问题得解； ACEA DCB,问题得 解；

27、(2) 类比；通过添加辅助线 FG丄BE,交BE延长线于G，证明 ABEA EGF,进行线 段转移，得出结论；(3) 已知SEMF =8，通过三角形面积公式，求出CF=4， AEF为等腰直角三角形， AF2=50,得出EF=5,勾股定理得EG=3,计算得出结果【详解】解：(1)AB； BA延长线；最大值是8，最小值是2 ； AE=BD, AE丄 BD；证明：如图， ACD和厶BCE都是等腰直角三角形， AC=DC, EC=BC Z ACD=/ BCE=90 °/ Z ACD+ZDCE=Z DCEfZ BCE即：Z ACE玄 DCB, ACE DCB, AE=BD, Z AEC玄 DB

28、C,/ Z BFC+Z DBC=90 , Z BFC=Z EFD, Z AEC+Z EFD=90 ° AE丄 BDr KF B图(2) 答：选择图，则AD+CE=MF.证明：如图，作 FG丄BE,交BE延长线于G, 四边形ABCD是正方形， Z B=Z MCG=Z G=90 , AD=AB=BC, Z BAEZ AEB=90 ° AEF为等腰直角三角形， AE=EF, Z AEF=90 ° Z AE由Z GEF=90 :.Z BAE=Z GEF, ABE EGF, AB=EG/ AB=BC, EG=BC, EG+CE=BGCE,即：CG=BC+CE=AD+CE/

29、Z G=Z MCG=90 ° FM丄CD,四边形CMFG为矩形， MF=CG, AD+CE=MF(3) / CG=BC+CE=FG,四边形 CMFG 为矩形,四边形CMFG为正方形，TEmf =8 , S正方形CMFG =16 FG=4af2=50, AEF为等腰直角三角形， EF=5,在直角 EFG中，EG=3, CE=CGEG=4-3=1 或 CE=C&EG=4+3=7 .【点睛】(1) P为动点，PA为定值，则点P在以A为圆心，PA长为半径圆上，此题为隐圆，通过 圆求线段的最大(小)值是初中几何常见的一个模型；两条线段的位置关系一般从位置和数量两方面分析；(2) 三条线

30、段的关系一般为两短之和等于最长或者三条线段构成勾股关系，此题类比，易得出结论；见等腰直角三角形构造全等是几何中一种常见辅助线构图；(3) 注意分类思想运用1 233. (1) y X X 2 ；( 2)点 P 的坐标是(1, 3 )、( 2, 3 )、( 5, -3 )或(-2 22, -3)；( 3)线段EG的最小值为.5【分析】(1) 根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A (-1, 0)和点B ( 4, 0)，应用待定系数法，求出 该抛物线的解析式即可；(2) 首先根据三角形的面积的求法，求出 CAD的面积，即可求出 PDB的面积，然后求 出BD=2,即可求出|n|=3，据此判断出n=3

31、或-3,再把它代入抛物线的解析式，求出 x的 值是多少，即可判断出点 P的坐标；(3) 首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，然后根据点P的坐标是(m ,n),求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出线段EG的最小值.【详解】解：(1)把A (-1 , 0), B (4 , 0 )两点的坐标代入 y=ax2+bx+2中，可得a b2 016a4b2 01a解得：2b321 23抛物线的解析式为： yx x 2 ；2 21 3（2） 抛物线的解析式为 yx2-x 2 ,2 2当 x=0 时，y=2,点C的坐标是（0, 2）,点 A （-1, 0）、点 D

32、（2, 0）, AD=2- （-1） =3,1cad =3232 ，SPDB =3,点 B （4, 0）、点 D （ 2, 0）, BD=2,|n|=3 X 2 巳 2=3 n=3 或-3, 当n=3时，m23m 23,2 2解得：m=1或m=2 ,点P的坐标是（1 , 3）或（2 , 3）; 当n=-3时，1 23m m2 32 2解得m=5或m=-2 ,点P的坐标是（5 , -3）或（-2 , -3）;综上，可得点 P的坐标是（1, 3）、（ 2 , 3）、（ 5 , -3 ）或（-2 , -3）;点C的坐标是（0 , 2）,点B的坐标是（4 , 0）,n 24m n 01m解得：2 ,n

33、 2二bc所在的直线的解析式是：y点P的坐标是(m, n).EG24_ 2 22nn5n216n1628165 n?55当n8时,线段EG有最小值5点F的坐标是(4-2n , n),线段EG的最小值为-5【点睛】 本题是对二次函数知识的综合考查，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键, 难度较大，属于中考的常考题型 14. (1)详见解析；(2)等腰直角三角形，理由详见解析；a .2【分析】(1 )由矩形的性质可以得出 / A=Z FDM=90 , / AEM=Z DFM,再证明AM=DM即可证出 结论；(2)如图1，过点G作GN AD于N，证 AEM NMG，推出EGM 45，再证GF

34、=GE即可判定 EGF的形状；由题意可判断出点 H的运动路程为 CG的一半，可直接写出结果；【详解】(1) /四边形ABCD是矩形， A MDF 90 ,；M是AD的中点，AM DM ,又；AME DMF ,AME DMF ；(2)过点G作GN AD于N，如图，/ A B ANG 90 ,ABGN是矩形，GN AB a,/MG EF ,GME 90 ,AME GMN 90 ,/ AME AEM 90 ,AEM GMN,AD BC 2a, M是AD的中点，AM a,AM NG,AEM NMG ,ME MG ,EGM 45 ,由（1）得 AME DMF ,ME MF ,丁 MG EF ,GE GF

35、 ,EGF 2 EGM 90 ,GEF是等腰直角三角形；如图，当点E与点A重合时,|£ |JtL/州XC 11*）|3MG AD，MG BC，G为BC的中点，当点E运动到B时，点G与C重合,+ 1”CG BC a，211HH '-CG a,221点H移动的最长距离为a .2【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键 是能够发现动点的运动规律及相关点的运动轨迹并会用函数的思想求极值.5问题探究：(1) 24;( 2)存在，BC的最小值为2 3 ；问题解决：存在，144【分析】(1) 根据三角形的面积公式即可得到结论；(2) 如图2中，

36、连接0A, OB , OC，作OE BC于E 设OB OC 2x 求出x 的最小值即可解决问题；(3) 如图3中，连接AF，延长BC交AE的延长线于G，将 EFM顺时针旋转得到 aFBH，作 FNH的外接圆。O 由(2)可知，当 FNH的外接圆的圆心 O在线段 BF上时， FNH的面积最小，此时四边形 ANFM的面积最大.【详解】解：(1)当AD BC时, ABC面积的最大,则拦ABC面积的最大值是11BC AD 822624,故答案为：24 ；OC ,作 OEBC 于 E 设 OA OC 2x ,EB , OE/ OCOC OB , OECOE BOE 60 ,OB2OE/AG ,x, BE

37、 3xCB , 3x3, , x的最小值为1, BC 2、3x ,BC的最小值为2 3 ；(3)如图中，连接 AF , EF，延长BC交AE的延长线于G ,G.* D 90 ,ADDE 6、2 6，DAEAED45 ,CD AB6212，CE CF6 ,CEFCFE45 ,AEF 90EF 6、2BF，将厶EFM顺时针旋转得到Z.FBH，作 FHB的外接OO交BC于N , 连接ON ,/ AEF ABF 90 , AF Rt AEF 如Rt ABF（HL）,AF，EFBF , Sa aefSaabf ，二 FG由( 2)四边形EFG 45 ,FEG 90 , EFG 45 ,EG 6.2，.2

38、EF 12，可知，当 FHN的外接圆的圆心ANFE的面积最大，O在线段BF上时, FNH的面积最小，此时设OFON r，则 OB BN近厂- r r 6 .2 ,2 r 6.2（2,NH ，2r 12（2、2）,二四边形ANFM的面积的最大值（12 6、2） 6、2212（2、2）“2144 .【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关 键是学会用转化的思想思考问题.6. （1） . 3 cm,证明见解析；（3）2cm ;【分析】AEE在边（1）先根据AB=3cm, AP: BP=1: 2,计算出AP、BP的长度，再根据勾股定理即可求得 的长度；根据

39、折叠的性质得到点 B与点E关于PQ对称，进而得到 PB=PE BF=EF/ BPF=Z EPF,根据平行的性质再证明 BP=BF=EF=Ef即P可得到答案；（3）找到E点离A最近和最远的两种情况，运用矩形的性质以及勾股定理即可求出点 AD上移动的最大距离；【详解】解：（1） / AB=3cm,12若 AP： BP=1： 2,则 AP=AB 1cm , BP=AB 2cm ,33根据折叠的性质得到：PE=PB=2cm又四边形ABCD是矩形， / A=90 °二 AP2 AE2 PE2 ,即：12 AE222， AE23, 即: AE 3,故AE的长为：3 cm ；（2）折叠纸片使B点落

40、在边AD上的E处，折痕为PQ,点B与点E关于PQ对称. PB=PE BF=EF / BPF=/ EPF.又 EF/ AB, / BPF=/ EFP （两直线平行，内错角相等）， / EPF=/ EFP （等量替换）， EP=EF BP=BF=EF=E（四边相等的四边形是菱形），四边形BFEP为菱形；当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，*4 EDP/2四边形ABCD是矩形,BC=AD=5cm, CD=AB=3cm, / A=Z D=90°点B与点E关于PQ对称，/ CE=BC=5cm,在 RtACDE中，DECE2 CD2 4/ AE=AD-DE=5-4=1cm,此时

41、AE=1cm；当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远.此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm.点E在边AD上移动的最大距离为 2cm .【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定方法、勾股定理等知识，解题的关键是依题意画 出正确的图形，运用折叠的对称性解决问题.7. (1)见解析；(2) D (纭3，仝+2);( 3)4 .332【分析】(1) 连接PA先求出点A和点B的坐标，从而求出 OA、OB、OP和AP的长，即可确定 点A在圆上，根据相似三角形的判定定理证出 AOB POA,根据相似三角形的性质和 等量代换证出PA丄AB,即可证出结论；1(2) 连接PA PD,根据切线

42、长定理可求出 / ADP= / PDC= / ADC= 60 °利用锐角三21角函数求出AD,设D ( m ,m+2),根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m的值即可；(3) 在BA上取一点J,使得BJ=乜，连接BG, OJ, JG,根据相似三角形的判定定理证21 1出厶BJ2A BGA,列出比例式可得 GJ= AG,从而得出AG+OG= GMOG,设J点的坐22一 1标为(n,亍门+2),根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出n,从而求出OJ的长，然后根据两点之间线段最短可得GMOGRJ,即可求出结论.【详解】图11一次函数y=，x+2的图象与y轴交于A点，与x轴

43、交于B点, A (0, 2), B (- 4, 0),二0A=2, 0B= 4,P (1 , 0), 0P= 1,-0A2= OB?OP, ap= OA2 OP2. 5OA OB.= ，点A在圆上OP OA/ / AOB= / AOP= 90 ° AOBs POA, / OAP= / ABO,/ / OAP+Z APO= 90 ° / ABO+Z APO= 90 ° Z BAP= 90 ° PA 丄 AB, AB是O P的切线.(2)如图1- 1中，连接PA PD.kSi-iDA, DC 是 O P 的切线，Z ADC= 120 °1 Z AD

44、P= Z PDC=Z ADC= 60 °2 / APD= 30 °/ / PAD= 90 ° AD= PA?ta n301535 1设D(m，严)- A (0, 2),m2+ ( 1 m+2- 2)22_159解得m =±2 3 点D在第一象限，2巧 m =,3 D( 23 ,3+2)33(3)在BA上取一点J,使得BJ= 5，连接BG, OJ, JG.21 4(旳Fo%團2/ OA= 2, OB= 4, / AOB= 90 ° AB=OA2 OB2 = 22 42 = 2 .5， BG=、5 , BJ -52 BG2= BJ?BA,BG _

45、BA"BJ BG，/ / JBG= / ABG, BJ2A BGA,JGBG 1 , , AGAB 21GJ= AG,21 - AG+OG= GJOG,2/ BJ= 5，设J点的坐标为(n,丄门+2),点B的坐标为(-4,0)2 22125(n+4)+ ( n+2)=4解得：n=-3或-5 (点J在点B右侧，故舍去)1、-J (-3,)，GJ+OGOJ,11-AG+OG37 2 AG+OG11故答案为旦2【点睛】此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键.8. (1) BE=

46、AF；( 2)成立，理由详见解析；(3) 3【分析】(1) 证明 ADFA BDE即可得到结论；连接AD,证明 BDEAADF即可；由正方形DFGE绕点D旋转，故以点 D为圆心DE为半径作圆，当点 E旋转至点M，且1点A、D、M三点共线时AE有最大值，根据等腰三角形的性质求出AD= BC=1，根据正方2形的性质求出 DE=DM=DF=2,即可得到AM=3.【详解】解：(1) / AB AC ,点D是BC的中点， AD 丄 BC, BD=CD, / ADC=Z ADB=90 ,°BAC 90 , AB AC , / ABC=Z ACB=45 , / BAD=Z ABC=45 ,AD=B

47、D,四边形DFGE为正方形， DE=DF ADF BDE, BE= AF;(2) 成立，理由如下，如图 2，连接AD,/ BAC= 90 ° AB = AC, D 为 BC中点， AD 丄 BC, AD= BD= CD, / 2+ Z 3 = 90 :四边形EDFG为正方形， DE= DF, Z EDF= 90 ； Z 1+ Z 2 = 90 °, Z 1 = Z 3, BDE ADF (SAS , BE= AF.(3) 由正方形DFGE绕点D旋转，故以点 D为圆心DE为半径作圆，当点 E旋转至点M , 且点A、D、M三点共线时 AE有最大值，/ Z BAC= 90

48、76; AB = AC, D 为 BC中点，1 AD= BC=1,2四边形EDFG为正方形， DE=DM=DF=2, AM=AD+DM=1+2=3 , AE的最大值为3.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，同圆的半径相等，全等三角形的判定及 性质，旋转的性质，(1)证明 ADFA BDE是解题的关键，(2)可利用同样的思路及 证明方法进行证明，(3)中作出圆辅助解题是关键 .9.(1) 2；( 2) CD 1.3 ;( 3) CD 的值最大，此时 CD 2 .【分析】(1) 由旋转60。可知， ACC为等边三角形，进而 C'C AC=2即可求解.过点B作BH丄CD于H,

49、求得 CBH三边之比为1： ,3:2，进而求出CH和BH的长，再 求得 DBH为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.证明 B'AB C'AC，再取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作。H，连接CD最CH，得出D点的运动轨迹为以 H为圆心，HA为半径的圆，当 CD是该圆的直径时 大，即可求解【详解】解：（1） T旋转前后对应的边相等，二AC=AC又旋转60° ACC为等边三角形 C'C AC 2.故答案为2.DBM ACM 60 ,/ “DMB = AMC ,BDC BAC 45，且 DBH为等腰直角三角形， BCH BCA ACC'30

50、BH DH -BC 1,CH3.2CD CH DF 13.故答案为：1.3.3 CD的长有最大值为22，理由如下，如下图3中,B'AC'BAC 45B'AB C'AC/ AB' AB, AC AC'AB' ABAC' ACB'AB -C'ACDBM "ACMDMBAMCBDMMAC45取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作0H，连接CHCA CB,ACB90CH AB,CH BH AH , BHC 90/ 1 - BDCBHC2点D的运动轨迹是以 H为圆心，HA为半径的圆，当 CD是该圆的直径时 CD最大，故