线性离散系统的数学模型和方法分析

1、§10-2线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。一、线性离散系统的数学描述1.差分方程对简单的单输入单输出线T离散系统，其输入u(kT)和输出y(kT)之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示y(kT)a1y(kT-T)any(kT-nT)=b0u(kT)hu(kT-T)bn

2、u(kT-nT)(10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式nny(kT)八aiy(kT-iT)二，biU(kT-iT)(10.18)i1i=0如果引入后移算子q,，即qy(kT)=y(kT-T)(10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式1_1_A(q)y(kT);B(q)u(kT)(10.20)式中A(q)=1aq,anq"B(q)=b。b1q,bnq"方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项bi,i=0,1，n,不全为

3、零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。y(kT)由齐次方程的通解2.差分方程的解线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解yi(kT)和非齐次方程的特解y2(kT)两部分组成，即y(kT)=yi(kT)y2(kT)(10.21)其中特解y2(kT)可用试探法求出，非齐次差分方程的

4、特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。(10.17)的特征方程为qnad，an=(q-q1)(q-q?)(q-qn)=0(10.22)其中qi,i=1,2，n为特征方程的根。根据特征根qi的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。考虑下面三种情况。(1)无重根，即当ifj时，qi=qj,则通解为nkkk一ky1(kT)uGq1C2q2gqn="GQi(10.23)i4式中待定系数G,i=1,2，n,由系统的n个初始条件确定。(2)全为重根，即qi=q,i=1,2,，n,则通解为ny1(kT)=c1q1kc2kq：-cnkn,q：='、.cikiq：(10.24)iW其中

5、Ci为待定系数。(3)有r个重根，其余的不是重根，即qi=q1,当i£r时；而qiqj,当i,jar且i*j时则通解为rni-1kky1(kT)=cikq1-qqi(10.25)i1i1其中Ci为待定系数。从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下：(1)求齐次方程的通解y(kT);(2)求非齐次方程的一个特解V2(kT);(3)差分方程的全解为y(kT)=y(kT)+yz(kT)；(4)利用n个初始条件或其它条件确定通解中的n个待定系数。例10-1求解二阶差分方程y(kT+2T)_3y(kT+T)+2y(kT)=3k,y(0)=y(T)=0解：先设特解为y2(kT)=c3k，

6、代入方程试探c3k2-33k123k=3k一1求出c=。再由特征方程22-一q-3q2=(q-1)(q-2)=0得出q1=1和42=2,则齐次方程的通解为ky1(kT)=gc22方程的全解为y(kT)=c1c22k13k2代入初始条件得1人c1c2023c12c2=021求出G=1和Q=-1。因而，非齐次差分方程的解为2y(kT)-2k-3k,k-022二、z变换类似于连续实变函数y(t)的拉氏变换Y(s),对序列y(kT)也有相应的z变换Y(z)。这里z也是一个复变量。通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此z变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主

7、要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。1.定义在线性连续系统中，连续时间函数y(t)的拉氏变换为Y(s),同样在线性离散系统中，也可以对采样信号y*(t)作拉氏变换。采样信号y"(t)可描述为OOy(t)=1，y(kT)、(t-kT)(10.26)k=0则对采样信号y*(t)作拉氏变换得Y*(s) = Ly (t)L00 aooOQ00 丁 y(kT)、：(tkT)e"tdty(kT )L (t - kT) I - % y(kT)e"Tsk -0k=0令z =esT ,则有oO_*kY(z) ?Y ="y(kT)z”kz0(1

8、0.27)Y(z)可看彳是y”(t)的离散拉氏变换或采样拉氏变换。一般称Y(z)为离散序列y(kT)的z变换,有时也称之为y(kT)的象，记作 Y(z) =zly(kT)。Y(z)是复变量z的函数，它被表示为一个无穷级数。如果此级数收敛，则序列的z变换存在。序列y(kT)的z变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即Nlim工y(kT)z”存在。原N "-kK函数y(kT)和象函数Y(z)是z变换对，即Y(z)=Zy(kT)1y(kT)=Z,Y(z)l下面计算几种简单函数的(1)单位脉冲时间序列z变换，并列出一个常用的 z变换表(表10-1)。S(kT)=10k =0k

9、-0ZL(kT)1延迟的单位脉冲时间序列“kT nT)=10k = n 0其他Z1(kT-nT)-z"1(2)单位阶跃时间序列1(kT)= <rok-0k ：二 0(3)单位斜坡时间序列则(4)衰减指数序列则Z1(kT)J-、zJ11y1-Zy(kT)=kT,i二,TzZy(kT)1=kz”=k=0(1-Z)y(kT)=eTZy(kT)l-e*Tz”-一二k=o1-ez1n 1s1s acn!-at en - n( z ) n!匕 n z-e-Tz-aT z - e表10-1常用拉氏变换及z变换表Y(s)y(t)Y(z)1")1*Tse6(t-kT)工z1z1(t)s

10、z-11tTz2,22s(z-1)1二2T2z(z+1)3s22(z-1)3atteaTTzea-aT 2(z-e )1(sa)2as(sa)at1-ez(11)(z-1)(z-e-T)0sin.tzsinT22s2一，z-2zcosT1scostz(z-cosT)22stE2z-2zcosT1co-atesint_aT_zesinT22(sa)f2c-aTT_2aTz-2zecosTesa-atecost2_aTz-zecosT22(sa)2c_aTT_2aTz-2zecosTe2.Z变换的基本性质(1)线性性质Z变换是一种线性变换，即ZLf(kT)-g(kT)I->ZIf(kT)IH

11、：zg(kT)I->F(z)-G(z)(10.28)其中a和P为两个任意常数。线性性质的证明可以由定义直接得到。(2)滞后性质序列y(kTT)的z变换为O0Zly(kT-T)I-%y(kT-T)z”k=0QO="y(kT-T)z”(y(-T)=0)(10.29)k1y(jT)z"j3oO=z-y(jT)z-j4=z，(z)同样，由于单边序列y(-T),，y(-nT)均为零，故Zy(kT-nT)-zY(z)(10.30)从这个性质可以看出zf代表序列滞后了n个周期。(3)超前性质序列y(kT+T)的z变换为oOZly(kTT)y(kTT)z上k卫CO zk =0 cdz

12、j 4cd zj 1cd zj =0y(kT T)z.y(jT)z(10.31)y(jT)z,zy(0)-zy(0)y(jT)z-zy(0)zY(z)-zy(0)推广到超前n步序列y(kT +nT),可得(4)Zy(kT nT) L象函数尺度的变化znY(z) -zny(0)-znJy(T) - zy(nT -T)(10.32)oO(10.33)za”y(kT)l-%y(kT)(az)*=Y(az)k=0初值定理_2Y(z)=y(0)y(T)zy(2T)z?(10.34)可得limY(z)-y(0)z->-(6)由终值定理(1_2_2_3-z)Y(z) =y(T) y(T)zy(2T)z

13、"- y(0)z- y(T)z, - y(2T)z，Hmi(1-zJ)Y(z) = kimoy(kT)(10.35)卷积f (k)和g(k)的卷积被定义为cOf(kT) g(kT)=f (iT) g(kT -iT)i =0(10.36)qQrqQHZf(kT)g(kT)l-、一f(iT)g(kT-iT)z”k=0Hi=0f(iT)g(kT-iT)z上i0_k=0='f(iT)g(kT-iT)z*(10.37)i0_k=0oO='、f(iT)z，G(z)i=0=F(z)G(z)以上是几个主要的z变换性质，这些性质为z变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。3. z变换

14、的方法在许多参考书中都附有z变换表，可以利用它查出序列y(kT)的z变换。但是即使所引用的z变换表是如何的详细，在实际应用中还是常常遇到有的变换不能从变换表上直接查出来的时候。因而熟悉z变换的基本性质和运算方法是十分必要的。常用的z变换方法有下列几种。1)级数求和法：这是最直接的方法，即由z变换的定义出发，应用z变换的基本运算规则和级数求和公式而求得。例如在前面定义一节中所用的例子。2)部分分式法：已知某函数的拉式变换Y(s),先把它分解为一些基本的部分分式yi (t),对V、(t)离散化得nY(s)Y(s),然后再分别求出与各基本部分分式相对应的原函数i1nyi(kT),对y(kT)取z变换

15、得到Y(z),最后由z变换的线性性质可得Y(z)=ZYi(z)。i=1例10-25、KKr111Y(s)=二一一一s(sa)assay(t)=L，Y(s)lKat、=(1-e)aY(z)=Zy(kT)】K1a z -1-aTK(1-eT)z?(z-1)(z-e"T)3)留数计算法：由复变函数中留数定理可知，如果函数Y(s)除有限个极点s(i=1,2,，n)外,在某域G内是解析的，则11Y""s)Edsnc、，,、ResY(s)p-一(10.38)其中c为G内一段封闭的积分回路，Res表示函数,在极点s=si的留数。留数的计算方法因1)当无重极点时，即当i # j时

16、，s # sj，则Y(z)/1吗(i)Y寸当所有极点都相同时，即Si=&,i = 1,2,，n,则Y(z) = lims海1 dnJ(n.1)!dsn_(s-S)nY(s)Ts 11 -e zY(s)是否有重极点而异,3)当有r个重极点时，即si=s1,iwr,而si#sj,i,j>r且i#j,则Y(z) = lims脂六(一)丫1-Ts41 -e z:simi(s-si)Y金例 10-3 Y(s)Ks(s a)Y(z)= lims s 0 s(s ' a)1-Tsj1 -e zlim (s a) s - -as(s a) 1 - eTszK(1-e")za(z

17、-1)(z-e*T)例10-41Y(s)=-sTs1 - e zT)Y=四2Tz(z-1)24. z反变换由Y(z)求出相应的脉冲序列y(kT)称为z反变换。记作y(kT)=ZY(z)(10.39)卜面给出几种常用的求z反变换的方法。1)哥级数展开法：把Y(z)展开为z的负哥级数，即把它展开为z的哥级数，z”的系数相应于在第k个采样时刻的时间函数的值。当Y(z)是有理函数时，z反变换可以用长除法得到。例如b°zbz+bnY(z)二一nnja°zaiz-an(10.40)y(kT)若干项的数值来。=y(0)y(T)z,y(kT)zAQ0y(kT)z*k=0如果能够找到y(kT

18、)的一般数学表达式则最好，否则也可以写出例10-5Y(z)zz -1_19=1zzy(kT)=1z反变换的步骤为:2)部分分式法设Y(z)是z的有理分式，当其实根互不相同时，利用部分分式法求展开0=£-c,其中ci=lim(zzi)Yz)Izimz-zi一znC7把展开式乘以z,得Y(z)=£二yz-zi一一n1cz反演展开式得y(kT)=Zyi(kT),其中yi(kT)=Z|iimKJ-zi例10-6Y(z)z22z23z2-4z-7Y(z)-0年Y(z)43号z-3y(kT)=1.3合一0.1(一优现在讨论如果Y(z)中至少包含一对共轲复根z1,2=eTLos0T土js

19、incoT的情形，即Y(z)=Nz2aT2aT(z-2zecosTe)p(z)b0(z2-zeTcosT)b1ze'TsinT、,、=2°-J/aTY1(z)z-2zecosTe其中Yi(z)是把具有共轲复根的项分离出来后的剩余分式。由z变换表知akTZecoskT1-ZekTsinkT=2-aTz-zecosTz2-2zeTcosTeaTaTzesinTz2-2zeTcosTeaTy(kT)=b0e"kTcoskTb1ekTsinkTZ1Y1(z)IY1(z)的反变换可由前面介绍的方法求得。例10-7Y(z)=z2z(z2-1.13z0.64)(z0.8)-4.7

20、8z22.576z4.78z=rz2-1.13z0.64z-0.8把具有共轲复根项化为标准形式，有e'aT=0.64eT=0.8_2aT2ecosT=1.13cosT=0.706-aTecosT=0.565sinT=0.707_aT._esinT=0.5656于是25、-4.78(z2-0.565z)-c0.5656z4.78zY(z)二一2-0.219z2-1.13z0.64z2-1.13z0.64z-0.8y(kT)=-4.78(0.8)kcos(0.786k)-0.219(0.8)ksin(0.786k)4.78(0.8)k3)留数计算法由留数定理，得y(kT)1k 12TcY(

21、z)zdzn(10.41)='、ResY(z)zkl i 4 "其中Zi(i =1,2,，n)是Y(z)的n个极点。留数的计算方法随Y(z)是否有重极点而异,1)当无重极点时，即当i # j时，zi = zj ,则ny(kT)八 lim (z - zi )Y(z)zk-1 y z町当所有极点都相同时，即Zi =4=1,2,，n ,则y(kT)n 1= limni (z -乙)Y(z)z 1J (n-1)! dznJ3)当有r个重极点时,zi例 10-8y(kT)=limzzidr(r -1)! dzr4(z - 4)rY(z)zknI % lim (z - zi )Y(s)z

22、kJ i=r 1z %Y(z)=z2 z(z -0.6)(z -0.8)(z-1)y(kT); lim zzzk 4 limz 06 (z -0.8)(z -1) z 0kk .= 20(0.6)k -4.5(0.8)k 25z2 z.8(z -0.6)(z -1)k4z limz-1z2 zz(z-0.6)(z-0.8)k-1例10-9Y=777(z-1)"丁、I-dI2Tz3kTy(kT)=lim-Kz-1)-禧zzTdz_(z-1)一5.用Z变换法求解差分方程类似于用拉氏变换可以求解微分方程，利用Z变换中的滞后和超前性质，以及已知函数的Z变换，也可以求线性常系数差分方程的解。它

23、把解差分方程变为以Z为变量的代数运算问题。考虑差分方程y(kTnT)ay(kTnT-T)any(kT)(10.42)=b°u(kTmT)bu(kTmT-T)%u(kT)利用z变换的线性性质，对差分方程两边作z变换，得(10.43)Zly(kTnT)1alzy(kTnT-T”+anZy(kT)1=b0ZU(kTmT)1b1ZU(kTmT-T)卜+bmZU(kT)1由超前性质，得Zy(kTiT)=ziY(z)-y(0)zi-yDzi-y(iT-T)z=ziY(z)-P(z)(10.44)式中P(z)代表(10.44)式第一个等式右端第二项起所具有的多项式。如果把(10.43)右端的z变换

24、记为B(z),并把(10.44)代入(10.43),可得nzna/n，-anY(z)anPi(z)=B(z)i1它是一个z的代数方程，可把它写成Y(z)=n'、an -L Pi (z)i=1zn - a1zn4 anN(z) , B(z)A(z) A(z). B(z)zna1zn，an(10.45)式中A(z)为(10.45)第一个等号右端的分母所代表的特征多项式。N(z)是第一个分式的分子，它由y(kT)的n个初始条件所决定。对(10.45)作z反变换，可得y(kT) = Z-N(z)z_i B(z)_A(z) _A(z)(10.46)(10.46)表示差分方程(10.42)的解由与

25、初始条件有关的通解和与驱动项有关的特解两部分组成。例10-10求解二阶系统y(kT2T)ay(kTT)a2y(kT)-bu(kT)的阶跃响应。设y(0)=y(T)=0,u(kT)=1(kT)。解：对方程两端取z变换，得bzY(z)=bzc1z,2(z a1z a2)(z -1)z -ZlC2zqzz - z2z - 1，2(za1za2)Y(z):z-1其中zi和z2为二阶方程的根，Cl,C2和C3为展成部分分式后的系数。求z反变换得y(kT)=G(zi)kC2(z2)kC3,k_0此二阶系统的响应曲线形状将与zi和z2取值的大小及正负号有关。三、脉冲传递函数1.定义一个线性时不变离散系统的脉

26、冲传递函数G(z)定义为：在初始静止的条件下，G(z)是系统输出脉冲序列的z变换和输入脉冲序列的z变换之比。即(10.47)zly(kT)lY(z)zU(kT)1U(z)G(z)有时又被称为z传递函数。对用线性常系数差分方程(10.42)所代表的离散系统，当考虑初始条件为零时，两边取z变换得(zna/nan)Y(z)=(bozm"zm,bm)U(z)G(z)=bozm “zm bmzn aznan9B(z)?A(z)(10.48)A(z) =0系统的特征方程为(10.49)由特征方程可求出系统的极点，由B(z)=0可求出系统的零点。系统的极点数目表示系统的阶数。但要注意在决定系统阶数

27、时，传递函数要写成z的正哥形式。例10-11求系统y(kT+3T)+2y(kT+2T)+y(kT+T)=u(kT+T)+1.5u(kT)的脉冲传递函数。解：G(z)"z 1.53- 2z 2z - zz： 1.5z“1 2z4 z”现在我们进一步分析脉冲传递函数G(z)和系统的单位冲激响应h(kT)之间的关系。所谓系统的单位冲激响应是指输入为单位脉冲序列6(kT)时系统的输出序列。即u(kT)=、(kT)U(z)=1代入(10.47),得Y(z)=G(z)(10.50)QO二，h(kT)zkO(10.51)或y(kT)=h(kT)因此，系统的脉冲传递函数和单位冲激响应是一对z变换，见

28、图10-6。其中G(z)=Zh(kT)1h(kT)=Z,G(z)lu(kT)h(kT)y(kT)U(z)H(z)Y(z)图10-6系统的脉冲传递函数和单位冲激响应或记为(10.52)h(kT)=G(z)如果系统的输入为任意函数u(kT),则输出为y(kT)=h(kT)u(kT)(10.53)oO二'h(iT)u(kT-iT)i=S由z变换的卷积定理，得Y(z)=G(z)U(z)表10-2简单环节的脉冲传递函数G(z)G(s)1s12 s_sT1s a1s(s a)sab(s a)(s b)20s2 2 s 2zz -1Tz(z-1)21 zzaTz 一 ez(1 ")(z-1

29、)(z-eT)zsin T2z -2zcos T 1z(z - cos T)2z - 2zcos T 1abz(eJ3T -e"T)a -b (z-eT)(z-eJ3T)0ze-5 since ,1 ： 2T,1- 2 z2-2ze- Tcos . .1- 2T e tG(z)2.系统的脉冲传递函数实际系统常常是由一些子系统组成的，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系形式有三种：串联、并联和反馈。下面将分析这三种基本系统和一些复杂系统的脉冲传递函数。首先介绍一些写法，为简便起见，记G(z)=zl，G(s)D?zG(s)表示卞据G(s)利用冲激不变法得到的与G(s)相对应的

30、脉冲传递函数G(z)oG(z)=Z1(s)G2(s)？G1Gz(z)表示传递函数G1(s),G2(s)乘积的脉冲响应函数经采样后的z变换。1)串联系统两个子系统串联的情况如图10-7所示。图10-7(a)表示两个离散系统串联，此时整个系统的脉冲传递函数为而对于图10-7(c)中直接串连的情况有(10.54)G(z)=G(z)G2(z)图10-7(b)显示串联系统之间带有采样器，则整个系统的脉冲传递函数为(10.55)G(z)=ZG1(s)1ZG2(s)I-G1(z)G2(z)图10-7(c)表示两个连续系统串联后再离散化，则整个系统的脉冲传递函数为G(z) =ZG(s) G2(s”-GG2(z

31、)(10.56)注意，GG(z):G(z)G2(z)G(z)(a)G(z)k_U(s)G(s)G2(s)X.Y(z)(b)G(z)_XU(s)G(s)*G2(s)Y(z)(c)图10-7串联系统11例10-12图10-7中设G1(s)=,G2(s)=，则对图10-7(a)中情况有ssaG(z)=G(z)G2(z)aTz-1z-e(z-1)(z-eT)1-aTL,Gi(s)G2(s)-1-ea1G(z);Z_akT-ea1，一za|z-1z_e"(1-e")za(z-1)(z-eT)2）并联系统图10-8所示并联系统的脉冲传递函数为G(z)=G(z)G2(z)(10.57)图

32、10-9线性离散闭环系统3）反馈系统设线性离散闭环系统如图10-9所示。Y(z)Y(z)=E(z)ZG(s)1=E(z)Gi(z)E(z)=ZU(s)l一B(z)=U(z)一B(z)B(z)=E(z)ZGi(s)G2(s)LE(z)GG2Q)E(z)=U(z)-GiG2(z)E(z)E(z)11 - GiG2(z)U(z)G1 (z)Y(z)1 G£2(z)U(z)线性离散闭环系统的脉冲传递函数为Gc(z)=G(z)1G1G2Q)从上述例子的推导过程可以看出，闭环传递函数Gc(z)或输出量的z变换Y(z)的推导步骤大致可分为三步：(1)在主通道上建立输出Y(z)与中间变量E(z)的关

33、系；(2)在闭环回路中建立中间变量E(z)与输入U(z)的关系；(3)消去中间变量E(z),建立Y(z)和U(z)的关系。图10-10给出了几种典型反馈系统的原理框图及其脉冲传递函数或输出量的z变换，由此可看出线性离散系统的闭环传递函数Gc(z)或输出量的z变换Y(z)具有以下特点：(1)分子部分与主通道上的各个环节有关；(2)分母部分与闭环回路中的各个环有关；(3)采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数的形式不同，而且会有不能写出闭环系统脉冲传递函数的情况，只能写出输出的z变换表达式。U(s)U(s)U(s)G(s)G3(s)G1 (s)G2(s)G (s)Gz(s)G

34、1(s)G3(s)- Gz(s)Y(s) Y(z)5-Y(s)Gc(z).G1(z)G2(z)1 G1(z)G2G3(z)Y(z)N 一丫二Gz(s)Gc(z)GKz)1 G1(z)G2(z)Y(z)Y(z)1 G©(z)UG3Y(s) 一 Y(z)Y(z)=G2 (z)1 G1G2G3(z)UG1(z)图10-10典型线性离散反馈系统及其脉冲传递函数或输出量的z变换四、z平面和s平面之间的映射关系可以把z变换看成是一种离散拉氏变换，于是有sTz=e(10.58)(10.58)关系式反映了z平面和S平面之间的映射关系：S平面z平面极点：s=<r±j0极点：z=rej,

35、其中r=仃,日=T虚轴：s=j6单位圆上：z=1右半平面：C-0单位圆外:z>1左半平面：二<0单位圆内:z<1这一点是与s平面的极点有差别的。图10-11表示注意，在z平面上极点的位置与采样周期T有关,出s平面和z平面上一些特殊线段之间的关系。s3TAAA一加/T图10-11s平面和z平面之间的映射关系-T/Tn-/T2二s平面与z平面之间的映射关系是“多对一”的关系，即在s左半平面上每个宽的带子都映T射到z平面上同一单位圆内，见图10-12。设AAATn-/T/T,2二一s2=s1-jNN=0,1,2,zsiTs2Te二e图10-12“多对一”的变换关系习题1 .求解下列差分方程(1) y(kT)-3y(kT-