苏州大学历年考研数学分析及高等代数答案

1、苏州大学考研数学专卷|苏州大学2000研究生入学考试一一高等代数I.(14分)设('*)£)上d)都是数1上的一元多项式,并且港足，(x4+l)/(x)+(x-l)g(x)+(x-2)h(x)=0(I)(x4+l)/(x)+(x+l)(x)+(x+2)/i(x)=0(2)证明：/+1能整除8(%)。iiE明：(2)-(1):2g(x)-f-4/?(x)=0=>h(x)=-g(J)(3)将(3)带入(1)中，得到：(x4+1)/(x)="-.rg(.v)2,.父+1与1互素,.4+1年(工).2.(14分)设A是nxr的用阵,并且秩(A)=r.B.C是rxm矩阵

2、,并且AB=AC.if明：B=C»讦明：=ACA(B-C)=0."&x曲矩阵，/?(A)=r,.A是列满秩的矩阵，即方程AX=0只有零解.，-。=0,即=C32-八3(15分)求矩阵A=2-22的最大的特征俏4,并且求A的屈于4的特征子空J6r间的一组基.解：|zE-4|=(A-2)2+4),.-.=2当儿二2时.求;I侬性无关的特征向址为J=(1,0,1)',自二(0,1,2丫，则配刍)构成的特征子空闻0是4的特征了空间的-组基.4(14分)设-2,3,T是3x3矩阵A的特征值，计算行列式-64+11£,.解，-2,3,7是3x3矩阵A的特征值，

3、不妨设4=-24=3,4二-1,解:-2,3,7是3x3矩阵A的特征值，不妨改=-2,4=3,4=-1,则矩阵43-6A+llEn对应的特什伯为：刍=156=20,夕=16故,3-6A+11Em|=15x20x16=48005(14分)设A.B都是实数域R上的矩际,证明:ABJBA的特征多项式相等.证明：要证明八的特征多项式相等.只福证叫AE-A=AE-fiE-b利用构造法，设2=0.令|=，AAEH=E-A8=(,-yAE-AB.(1)EB'E0EHA-R-2=AAt两边取仃列式得AErJ0E|/7|=(-)a|2£-BA|.(2)/、/由(1),(2)两式得d)EAB|=

4、(3"ME8A|K/v.|2E-/W|=|2E-网.(3)上述等式是假设/义工0,但足(3)式两边均为义的n次多项式，有无穷多个值使它们成立(2/0)，从而一定是恒等式.注：此题可扩展为A是皿x矩阵B是xm矩即,AB,BA的特征多项试打如下美系:/MgAM=，zl£a4,这个等式也称为薛尔伟斯特(Sylvester)公式.6 .(14分)设A是x实对称矩轩，证明：5A+7纥是一个正定矩阵.证明：A是实对称矩阵，则A的特征值均为实数.5?设2为A的任意特征值，则/-5A+7E”的特征值为§=万-52+7=(4-白2+2>0.24故A2-5A+7E.是一个正定矩

5、阵.7 .（15分）设A是数域P上的n维线性空间V的一个找竹.变换设aeV,使Ai=。,但是*a=0,（其中n>l）.证明：（a,Aa,A%.，A"%>是V的一组基.并且求线性变换人在此基卜的炉料，以及A的核的维数.证明：/VrTH（）,*a=O.令4仪十乙（八4）+/一（同"勿）=。.（I）用片左乘（1）式两边.得到4（*%）=0.由于八一*0././0=0.带入I）得4（Aa）+4_1人'力）=0.（2）再用A-2左乘（2>式两端,可得4=0.这样继续下去，可得到/。=4=0.幺Aa.A2a/V"2线性无关.()O、O OO O1 O

6、,()()IOA(a,Aa,/4"a,A"a)=(a,Aa,A'a,.,A""a)O1、OOO()()O、1O.OO.八住比必卜的矩阵为O1.00A)().1O,mJ见.RA=ndimker八=一(-1)=1即A的核的维数为1.1 .（15）设/（幻在a.+ao）上连续< |）若理ija）存在且行极限，证明：/0）在k+x）上一致连续< 2）若八x）在a,x）上一致迂续，吧”"）存在叫？问答并说明理由。证明：（1）由于lim/。）存在且有极限.设lim/（幻=八（八有限）NTR所以存在M,当时，旬/（1）-川<

7、7;一< f./>M.且|.v'-MV5,则|/，）一/3）|41/（，）-川+|/a"）-A|<+=从而7（幻在A1.+oo）上-致连续，由/*）在a,M上-,致连续所以/（外在小内）上一致连续（2）不一定。例如：f（x）=x,显然f（X）在,+«）上一致连续但limf（/）=limi不存在2 .(10)设/是向卜的连续函数.且证明:存在与a,可，使得/(%)=%证明：令尸&)=£仪)-“尸仁)在4,“上连续由于/(,目)n苗,可自/在4句上连续则/()<,/()>/)因此于(n)=/()_<0,尸S)=f(b

8、)-b>0从而由连续函数的介值定理知.存在与wa,以使得F(%)-0即/(%)=%3 .(15)证明函数SCr)=W在(h+oo)内无穷可微I江证明：>l,h<+oofla<b,Vxca,bEpu&b上致收敛八一1因为二<4,而>1时上收敛,从而Z1n(1,+oc)上一致收敛由a,b的任意性知.2如所以S(x)连续且可导Iin.s，(x)=(z9=E(gE急J5rnMni右lnInnVxea.b|>有<(a>1)n'七In/zlnnz.、Vxga,b,ti-三(>1)nn<./c、吟In”In/i八令a=l+a(

9、a>0)/im2=hm=02而攵数xwa,b,因此£叫攵敛fFl,4Tr»l"n-从而S，(x)在a,b上一致收敛，由b的任意性加，S'#在(1,十8)内连续可微Vk>0,S(k)(x)=(-l/£W=lnjrin/InziInwzVxea,b,有<-(a>1)nn用上所证,s=(-l匹竽在(l,+8)上一致收敛从而3(x)在(La)内无穷可微4.(10)求曲面积分，二JJx2dydz+yMdx+42al办，其中S为锥面z?二x?十y?在OMZ”部分的下侧222解：令"二广'4；''=h且

10、方向向上，取向上为正z=/?则令C=S+S,他方向向外并且封闭，由高斯公式得J|x'dydz.十)"dWx十z2dxdy=jJJ2x+2y十Izdxdydz=2j|jx+y十idxdyd，Arx=rcos0<6<271、，y=rsin夕0WrWh2JjJ人十y十zdxdydz-21）dOj”r2sin0+r1cos0+zrdz二h*si$°oo2x2dydz+3证dx+z2dxdy=JJ/dxdy=zh'jjxdydz+y'dzdx+dxdy-jjx2dydz+y2Jzdr+zdxdy=rch4-h4=h's,n225.(15)在

11、<0,l)上把r(x)=(x展成氽弦级数并且求之士rt-l九M-X把"X)进行周期延拓(偶延拓)4（万）2a0=2Jx-1）2Ja=-|atl=2£x-L）ycos/zjtayZx=?白4从而,（x）卜，rcosnrrx3TT5k）今x=O,贝/（0）=I之，3卬£r(不下6.(10)设/(工力是屋上的连续函数，试交换累次积分入公，力的枳分次序解:尸印x2+l<><x+l从而产"2I从而交换后的累次枳分为j：dyj/ky)7.(15)设f(x)=F+for+和c为参数求出口有极值的充要条件(2)根据与J")的草图，求出/

12、(#有三个相异零点的充要条件(l)f(x)=3x2+b要有极值,则r(x0)=3x；+/7=O/?=-3x；<0(2)由知谢。)有极值,J(0)=cJ(R)=4R+且极值点为士小；回)=为但+,即/(x)有极值的充要条件为6W033Y3八幻=6无八|)>从而当人工)有三个相异零点时，/C333V3即<c<<.0333<0,所唔为极小值点，-心极大值点棒<0且/唔)>08.(10)设f(x)是0,1上的连续函数,f(x)>0,m=minf(x),M=maxf(x),xe0,1,证明；l“f(x)dx幺4殳©JoJO/(x)42M证明

13、：由希瓦兹不等式知£("。"绿(万*x>(£4f(x)-j=dx)2=iyJyJ即ff(x)dxr-21JoJ。f(x)下证f(x)dx旦V如业JoJo/(x)4也由于/。)>0=0</»4f(x)<M构造F(x)=(/(x)-mXA/-/(x)fMmM.F(x)>0，两边积分fM(M»m)dx>,f(x)+m"dx八Jo/(X)即有f(x)dx+，Udx>2JuJd/(x)mM,dxdx从而(M*m)J>4/A7ff(x)tZvfJuJ。/(x)即有卜，时去驾携苏州大学200

14、1年硕士研究生入学考试高等代数试,L(15分)设4=0、012 3-0 12-0 0 1- B = 0 0 0 -1。 00r-l2。 （20 分）设 A =-24Z2-1fl、-2n-1一3一2都是"X矩阵解矩阵方程4X=8.120,4 3'5 3.A毡否相似T对角矩阵？如果相似下对角矩珥.-4一2,求可逆矩许C.使得CTAC是一个对角矩阵.3. （10分）设A.八s都是非负整数。设f（x）=1+x+f+ag（x）=.证明：/（X）整除g（力4. （10分）设A,8部是X”矩阵，G是“X刖矩阵，并且G的铁是八。证明：如果AG=BG1则A=8.5. （10分）设4是X”矩阵，

15、并且A是可逆的.证明：如果A5A"的所行的元素都是整数,则A的行列式是-1或1.6. （10分）设A是X”反对称矩阵，证明：-A:是半必定的.7. （15分）设A是“X”矩阵.加果A2Mz,并且（AEJ的秩是小A是否相似干一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵.8. （10分）设V是有理数域Q上的线性空间,V的维数是",A与8是V的线性变换.其中8可对角化,并且A8-8A=Ac证明：存在正整数团,使得A”是零变换.苏州大学2001年硕士研究生入学考试高等代数试题解答*00V I23000I200001) II1-10 0 00 10 0 0n -1 nn-2 n-n-3 n-

16、2 I 201-4 0537/1-1000、01-1-00001-001.解根据初等变换，可知:二000-1-1(00001,'I一1001-I.00I则Y=000000110II0012+1-4-32.解|人£-阂=2：-5-3=（之-1）（之3）（；+2）,-44Af、故4相似于对角矩Pf3、£当4=1时，得到的特征向曷为：备;（0,3,-4）'.当儿=3时.得到的特价向量为：42=0，1，。）当4=一2时，用到的特征向帚为：4=（l.l,一/011令。二（44，4）二311(、则。-四。:3.、-2,3 .证明显然f(x)是三次多项式，且/(尢)的根也

17、是的根.不妨设/(X)的三个根分别为：4*3,贝崎4=1=刍4=1.将。君2,刍带入g(X)=/*十X4"+"M2+/"3中，得到gG)=产+"加"+"*+“"3=1+4+。2+r，(/=1,2,3),可见/(X)的根也是g(x)的根,故/(x)|g(x).4 .证明/4G=八一)G=0.G是”xm的矩阵.R(G)=.川见n4m，G是行满秋的矩阵,即方程XG=O只有零解.，A-8=0,即4=8.5 .证明.卜人=|川|图=1AA-1的所方元素都是整数.|川)八。都是整数.4的行列式只能为-1或1.6 证明人足阶反对称矩陌.则

18、A的特征值4为。或纯虚数('=1，2,事实上，A是反对称也因，之是它的一个特价值，乂是相应的特征向早，那么Ax=Zr.a工a=a(-A)，a=a=-(Aaa=-(/laja=Ta，a(1)另一方面.aa=/akr(2)由(1).(2)得，=-4,(3)设4=4+山,由(3)缶4=0,/,2=bi,即2为。或纯虚数.的特征值a=-/V，(<=L2，,),显然一2：20.故一八2是平正定的.-7 .解利用Jordon矩阵/V=E-，人的特征值必为I.-1.不妨设A不妨于一个Jordon矩阵J.则A=PJP.a-e=pjp'-e=p(j-e)p'4+E=PJP-'

19、;+E=P(J+E)P-'(A-E)(A+E)=A-E=P(八-£尸=0n=E=4M对角化A=tf/rtg(l,1,.,-1),其中个一1,一r个I.8 .证明rBM对角化，.B右个线性无关的特征向早.不妨设8的任一特征值为彳，对应线性无关的特征向量为X.vAB-BA-A9(AB-BA)x=Ax(1);Bx=Ax.带入(I),得到=(2-1)/tv,可见Ax是B的特征向量，同理可知工,4口胃、,.,小.”.都是片的特征向昂,与B有"个筏性无关的特征向吊矛盾.故存化正整数m,使用八”;0,其中，£.苏州大学2002局等代数000 = 43773'69

20、I1. (15分)解矩阡方程：00A是杳相似ij对角矩阵？如果相似于对角地即，求可22-2、2. （15分）设A=25-4一2T5/逆矩阵C，史得CMC是一个对角矩阵.3. (10分)设pCv)w(工)都是仃理数域。上不可约的多项式。证明：如果p(«)与q(x)的最大公因式不是一个非零常数,则存在一个芈库常数c使得p(M=cg(x).4. (17分)设4是数域P上的八矩花(23),并旦A的秩是-2,设W=18是P上的x2矩阵|AN=0)。证明:卬关于矩阵通常的加与数量乘积是工上的一个货性空间.(2)求卬的维数e5. (18分)设人是复数域C上秩为，的mx矩阵，求矩阵方程AM4=A的一

21、般解。6. (15分)设V是一个维欧氏空间，雇人)=产-3k+7"是丫的一个对称变换证明：对于V的任意非专向量a,都大于U.7. (10分)设V=R卜L=£a*|qc=0,1.,n-是实数域/T上的维线性空间,1；-0设A是V的线性变换，使得对于任意A(#(M=8Q)+aO),(其中#'(x)是的维商).(1)试求A在基l,x,工,，上，下的矩阡.12!(n-l)!j(2)在V中共仃多少个人不变子空间？并且证明你的结论,2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题及解答考试科目：数学分析1. (12分)计算：£ £=J 2cos,w/sinx = J

22、解：原式=lim4gJ/-乂=lim-(-；2=j；-Jl-x1dx.r1+cos2xs7cos,xax=-dx=)。242ts(cos2xJ2.ros.t.2,cosj-rlnlim-rln解：原式二lim,cos2x=ex2k月-H)士中2tcosxr21r/cosx2cosx-cos2x考虑limIn=Innln(!)+!=Iim-xcos2x，田xcos2xxcos2x223xx23xx-lim(cosx-cos2x)=lim(2sinsin-)=lim-2-:=3d/x122of222从而1而(吃1)了=/cos2x2. (10分)设(%,yo，z°)是方程组一,的解，证明

23、：x+y+z=1953S苍+y：+zj49+5*3.)7=X+V讦明：由于(%。,q)是广丁丁乙的解，从而广0.°°FX+>+z=I%+%=令产(工.yfz,u,Z)=x2+y2+z2+m(a2+/-z)+X(x+>+z-I)令耳=2x+2ux+Z=0F：=2y+2uy+2=()F/=2z-h+Z=0F=x2+y2-z=<)=x+y+z-l=0解得x=0>=WAz=2-6r、-1-"63rz改尸一"-,y=-,z=2+V3所以9-53W.；+,；+4；£9+5,33. (10分)设/=iw,y2="h；,z2=

24、"1'/*,乂2)=尸(，,%),证明:M；+yfy+/=i，F：+VF/+*。It明：由/-vu>2-uw.z2-UV噎=喳哈宾吱所以斤二/；2+工'孚+£Clt UU从而阳+.+*=啮+卜般+唠小盘般+唱/>9/；）UWy由/=iw,y2=UMZ2=了从而M；+vF；+wF'=xf；+yf；+或4.（12分）设=pxn+"什,=1,2,，其中|p|<|同o证明：数列匕,收敛时，数列口"也收敛。设回收敛,不妨设limy. =(p + g)L> 0, m.N,当 > m时,有 一( + 4)I| &l

25、t; £即 |- ( +< £ = Ip(x - L) +- L)卜 £又|p(x.-L) + 4(3 -L)| >|(xw+1-L)|-|p(x“ -L)| 所以 |q(工川-L)1Tpy -L)| <£由于|p|<|q|,从而 2 <1.即有tOStx) q q从而当n>N,时，（巴）q£氏4一4<“1£+%£W(A11+M2)£其中="一4"八=7-二订丁iHkl-W取"=01娥，”&当>MH.有ke-4<（M+A）&

26、#163;、即L收敛5.（14分）设函数/义在（,+8）上有定义，并且在每一个有限区间（“,）内有界,(a)证明：如果lim/(x+l)-/(x)j=4-30,iiE明：lim-=+ooaIfX3）举出反例说明当limX->+00(/(文+1 )_/(4) = 8 时，未必成立lim'(")=x>2X8.(15分)设半径为广的球面S的球心在半径为常数a的定球而上,试证明：当厂时，S位定球面内部部分的面积最大。3见苏州大学数学分析2004年第7题苏州大学2003年数学分析解答(A卷)L(24)小c,sinA：arctanx-ax-K>求Innt方法：泰勒公式展

27、开答案2(2)设/*)在有限开区间(a,b)上连续，x,a2?证明存在b)，使得£(切=：2勺)方法:取m为f(x)最小值,M为最大值m<f(x)<M=>m<22/(芍)WM,用介值定理2 .(郎")是(f,+g)上无穷可微函数，f(_L)=/_ntr+1求尸(0),k=1,2解：令人=工=>/(大)=7二n1+jT通过一在()处的泰勒展开，把r用一替换1 +x结果：/(n(O>=(-l/-3 .(18)若S为谕单讨即曲面，分别计算.曲面枳分八势必出+当原点在S之内和在S之外的值，其中5双外侧。s(xa+V2+z:户ltlrrfz/>

28、;>22-4、xdvdz4-vdzdx+zdxdx解：山于4(T厂+yZ+z)D=-=-(x1+y2+z2y从而若原点在S之外，则1=0若原点在S之内，则取单位球体，使原点落于球体内部，设球体体积V则:行i+(-v)=0=>I=V=g”4 .(15)试用积分号下积分法和枳分号下微分法求1='竺竺了竺如小S>a>U)=cosav-cos h.vdx=?解：由于Jxsinxydy=-cosxy产 cos at - cos 6工Jo替换，化为二亚积分由于:包詈公致收敛,交换积分顺序5 .(18)设二次连续可微，且lim立二0,证明K>0X£/(1)绝时

29、收敛“】"(2)若数列4满足1=1+/(1),则|而生存在an川廿证明：(。由lim=On/()=0,ff(0)=0KfUX/(-)=/(0)+/r(0),+g/*(0)J+。(与=/*(0)7+nn2/r/r2irn当a忖,/()。"In2tr七(0)4收敛=f/d)绝对收敛”12ni也=i+/(I)n"=1+/.=1+/(k&=1+/(1),4%2an_n-i累乘得%=(1+/(1)(1+fJ)?(1+/(-!-)q2n-i两边1仅对数,nlna“=Ina+ln(l+/(；)由知道，>(：)->8时,ln(l+/(1)/(1)=£

30、hi(l+/d)绝对收敛iiti=>In“极限存在，设为A=Iinian=eA6.(18)沏为x”实对机证明：若%为脱最小特征值，则(1-4)E.+A是正定电工.0、证明:4为“X”实对称=存在正交P,A邛二；,.；?、°4,n。-%)E,+耶甫征信都大于0,所以正定7(21)设尸为数域，V为P上n维线性空间，A为V的一个线性变换，令W=AalawV.证明：若A$=3A?-6A,则V为A的核与N的直核。证明：常规证法8.(18)如,&.v)工为0山上的连续函数，称一工。)在0,1上线性相关，若存在小全为M勺常数C/GQ使£c/(x)三0/-I证明：，(x)j(

31、X)工(外在0,1上线性相关Odet(J；43/jO)=oXO,I证明：常规证法，一步步写出来，可能有点烦苏州大学2003年数学分析+高等代数(B卷)1.(24)求lim()“。xex-1解：原式=12(2)即为4句上的连续函数，且y(a,b)uam证明:存在使f(即)=G证明：令?(幻=/。)一八2.(15)设4为正数数列，证叨11(山工-1)的上极限(-刃)大于等于100）3 .（18）讨论级教工收敛性。一致收敛性=1（x）n22证见一-（T8）（"%-nxnex当卜|1一致收敛|x|侬散2224 .（18）求曲线积分卜dx+zdy+xdz,其中L为曲线/+1,L5-?=0j20

32、,y20,z20,L方向从（0也0）到（白，°，委）.7r25.( IX)已如='-，求 6"dx炉+ 1解，令/二附8上ex6.（18）改4为x矩阵QA的秩为r（r【。，i正叨：存在一个秩为n-r的x矩阵B使AB=O（e0、讦明：存在可逆的矩阵P,Q使A-P'Q、（）,/O。、令（。秋（"）=nrAH=O7 .（12）设尸为一个数域，V为P上n维线性空间，A为V的一个线性变换,r为止整数证明：若（4E-AY的核不为0,则4为A的一个特征值。（其中E为V的一个恒等变换）证明：（4，E-Ayx=o有非零解|（4E_A）=0n|（4E_A）=0n|（4

33、E_A）|=0n4为A的一个特征值8 .(设儿B为两个x的实对称矩阵，B正定证明G(x)Bx.x)#0在匕1即勺最大特征值与最小特征值之间，其中P为某个可逆阵)表示*巾的内积 证明:B正定存在可逆阵可吏rBP=EP'AP仍为实对称矩阵=存在正交阵Q,使Q'P'APQ-'4 . oi ： 4是p'ap的特征值<° "J令PWT, TAT 二40、0、vF。幡嘿需一= 4<G(x)4求极限同丁一师吗)-iQ (arcsin x)解：原式二lim匚牛!UX X42x-2(arctaiu)?lim；吐工t 4r.2x(l + r)

34、-2(arctanx)= lim:"旬 4x (1+x )2 + 6?-2；= limfl=limKT(I(2+6?)(l + ?)-2 r 8f +6T1 ir = lim-、r(l 1 /)(!2x2 + 20?) 7 f (I + f)(12+209)8+6j_ 8 二(l + ?)(l2+20x?)"i2-3证明对任意自然数，方程/+尸+X=1在区间0,1上总有唯一实根X2并求1加1证明:令/(1):f+尸+1-1P!lJ/(0)=-l<0Jd)=n-l>0.xG04因的3在0J上有零点又广(力=x"+(-1)/"+2.v+l>

35、0,i0,1所缉(x)在仰止单调从而f(x)在04上存在唯一的零点，也即方程+1=1在区间(川上总有唯一实根与因既+L+W两边令1网则用而-=1川而44Irm2证明函数sin1在区间(0,十8)上不一致连续，但是对于任意>0,在Xa+8)上一致连续。证明：(1)法一：取V|=!,x2!.则limsin-!-=1/limsin=0开.7t+2n2BxI，x,rL)7l1一2从而sin在区间(O,+8)上不一致连续x法二：取与二L则三5>0也产一!.为:一!2*2所.+4加xT二<!,wv>-7+47474/Qsinsin=1>/X%从而sin,在区间(0,+8)上不

36、一致连续X当xa,+oc）时/£>0刁5>0,当、一巧|<加寸，有l.lII1sinsin<=-N玉田取S=42加十，有sin-!-sin<ex七即sin-在,x>o)上一致连续。x3.证明不等式巴”>(0,-)xsinx2证明：由于x£（0.三）,sina,cosx,（an工均大于02不等式变为tanxsinx-x">0='sinax'>0COSA即要证明sii/x-/cosx>0f(x)=sin2x-x2cosxfr(x)=2sinxcosx+x2sinx-2xcosx/"(

37、x)=2cos2x-2sin2x+x2cosx+2xsinx-2cosj+2xsinx=2cos2x-2sin2x+x2cosx-2cosx+4asinx由于x>sinx,xe(0,)事实上，令g(x)=x-sinx,g'(x)=l-cosx>0g(x)单调递增,g(0)=0,从而g(x)>0,即x>sinx因此dxsinxXsin-E|J/"O)>2cos2x-2sin2x+x2cosA-2cosx+4sin2x=2-2cosx+x:cosx>x1cosx>0从何，(力单调递增，八0)=0"(1)>0从而/(外单调递

38、增,/(0)=0=/。)>0即证所要结论4.(2OX1)即在上非负递减,证明n->-s时£f(k)-J7(x)去有极限LKO<L</(1)(2)设心=一!+!+!InIn",=2,3'21n231n3nInn证明数列“收敛。证明：令4=2f(k)-j/*)dx则%=-J/(x)dx=Zf(k)-£j/(x)JA>f(<)-f(k)(fc+1-1)=/(n)>0k-l1k-lhl“EE所以(有下界乂%4=f("l)-f"小=/S+l)-/G),其中“(n,n-l)JK由于/在1-8)上非负递减，所

39、以/(+l)-/)KO从而外电调递减因此收敛且由二川)24>0,两边令儿->先有04人/(1).f(x)=xnx”,二£/伙)-/女=£/伙+1)-"a+岫£=21=1二£/伏+1)-/a+)dx-f)x+)dxI有知道£/(仁+1)-/。+1)小收敛i-l1又令g(x)=fl/(i+Y)dx=!dxJo(x+l)ln(j+l)可以知道0是g(x)的瑕点，xtO时.!-(x+l)ln(x+l)i(1+a)而敞敛，所以1徐I攵敛Joa(1+a)Jo(x+l)ln(x+l)因此aj收敛5.(20')设u(x,y)在平面

40、上二次连续可微,x=rcosfty=rsinft(r#0)用u关于r,例勺偏导数表示勺dx(2)用u关于r,弼一，二阶饰导数表示？貂：(1).=arctanxduduxcuIzyvc)u八cusin6dxBrJx+9oOfy1/打dOrf.c2u5du«cusinOdu.dOn,c2udrc2ucOdx2oxcrdOrdrexdr1dxordOdxdu1du1.adrsin0/Md力力、dOr8x60foxrc(toxcriOdx二 cos.sin。cos 0 沔+ 2；J dxersin0cos。2"sin*0四sin20du6,(5)设>0、求级数上高向和格设/=

41、£七/()的收敛区间为(-1,1)1-1二如小，令/二j>jg(x)=£心”Xn=)Xii=lMt)=.fc)=I/=则力'(打二7二7,0刈二7T一(l-xr(l-xr、l+x1而x(l+x)g(»二码干从叫3=后n1、y上t(_L)_"1)_(1+砂2+。)幺(1+"1+。(|_Lfd1+47.(20?)设半径为r的球面s的球心在半径为常数u的定球而上，问；I为何值时，s位于定球面内部部分面积最大？解：设s位于定球面内部部分面积为S,S为一球冠，则S=2ch,其中h为球冠的高如用，ED=h,BE=r,AB=r作OF1AB,则O

42、F二ADOB=OFAS=>AD=°FAB-OBaRD久A-AD:二2a所以0E=r-L2(i因此S=2rh=2<r(r-)=2xr2-rlaaa?4令S'=4乃r-r2=0nr=a35*14=47rr4=一4尸<0二a丁所以当r=：涮，S最大8.( 15')设函数f, g在%的某个领域上可导，且g'(x) x O,lim g(x) = oo HQ如果加沙 =4证明=其中A是实数，* 3 xW证明：取x。<工< 8,由CmMy中值定理，令 T为右 f(x) f(xj f'C) 4/、g(x) - g(xj -f(X)-f(X

43、 )/(X)二：依 一 g(xj)+f(%)g(K)- g(X|)从而闻(x)T(xJ(_回)+止2*(.1) &(x)-&(X)#(x) kM所以皿_八二。(6一1)一外(”四)+八工)一他以)g(K) g(X)-g(X|)g(*)gX)令则We>034 >0.使得当Xq <x<用八+d时，有f(X)-r(X)-4gW-g(4)将X1固定9令X-的则山g(X)T8知道mb一 A)将再固定,令则由g(x)T8知道m6>0(6<4-4)使 a <x<d.fi|<?U) 于是 l/w<Lg(x)+ /一4?(芭)<&

44、#163;.8。)2 + f =，所以lim久»=/1，f。g(x)一(15')求满足下列条件的Xo r2 1。2,_q o r10 1 02、-l0-I、1 .12 201,nf0二(154)设P是一个数域,p(x)是Px中次数大于。的多项式,证明：如果对于任何多项式f(x),x(x),由p(x)f(x)*(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式6证明:假设p(x)是可约多项式，则存在PI(x),P2(x)使用P(X)-P(X)P2(X),fl。(p(x)XcKp(x),i=l,2Ifit(x)=Pj(x),g(x)=p2(x),因此

45、f(x)g(x)=p(x)IMp(x)If(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不可约多项式三(25')设b是数域P上的维向量空间V的一个线性变换,2=不证明：<1)O，(0)=|£Z-6r(£f)l«GV|(2)V=<7-,(0)©fF(V)(3)如果r是Y的线性变换.a'CO),c(V)都是r的不变子空间，则有证明：(1)Vawr,则o(a-(7(a)=a(a)a2(a)=a(a)<r(a)=0则a-Ha)e。"(0)=>a-a<a)laV|又取&quo

46、t;wcr'(O),2)二0."二-<7()=>aea-Ha)lawV=>。,(O)c(a-cr(a)laeV所以b(0)二a-Ha)lacV(2)VawI，,则a-Ha)w°O)a=a-a<a)da)wbT(O)+b(V)即v=b"(o)+mv)任取Scb'S)cb(V),则二0VaeV,使从而，)=a(/3)=0所以(7*0)C(T(V)=0因此V=。(0)a(V)(3)因为LS)a(V)是而不变子空间Vaea'(0),分wcr(V),ywV,且/=&夕r(a)ger-,(O),r</?)gcf(V

47、),Hr(a)=0,出0)=r(/?)(rr<7)=r(y)=o(da、0)=<t(Ha)+r()=Hr(万)=«/)a(a)=0,云B)二By)=r(<7(y)=式6。+/)=r(b(a)+。(M)=M从而0T(y)=raC7)=>ar=ra四(20)设。是数域P上的向量空间V的一个线性变换，%是b属于特征值洲特征向量，向量组,%见满足关系(a-2E)i=L2?sT,其中E是恒等变换证明：av%,?a、证明：因为(<t-1E)a.二/所以Ha计)=%+4%讨i=L2?s-1设Kq+k2a2+?。、卜0,即2名上01-1。化e+k2a2+?a*0电(%)

48、+£1.)=0/=1,2?s-1n森乌+22北。川=°/=1r=l$j-l.=>4+2l+网=0,由于产0SoR4+%+?市卜二。(r(k2al+k3a2+?琳)二0重复上述过程可得k?4十%的十?二貂k=0继续宣复上述过程，我们有k乌=0,因为“显然不为0,所以=0从而我们有喃+k2a2+?#h=0解续上面步骤，可触向=0=>忆产0由归纳法得k产k?=?产Q因此知与生线性无关五(20)川正交线性替换三元.次型f(x«,x9,xq)=x/-2x-2x.>2-4x1x9,+zlx1x.8xxn为标准型,并给出所用的正交线性替换.一22、除平：设A为

49、二次型矩阵，A=-2-244一2,令INEA1=01 -22BP-2-24=(2-2)2(-f-7)=O2 4-24二=2,%=-7对应于4.2=2的特征向量为£=(0,1,1),2=(2,0,1)对应于=-7的特征向量为基=(12-2)正交化令 4 =(0.1,1)% =(122)()2I从而令C=I-22I-2k2J"2()O、从而。'AC=020、oO-7,令x=CY贝忏(X,x”x3)=X/AX=(cyyA(cr)=YlClACY=+2y/一A(l5)设人B为四个"阶方阵'(八)=，(A)=-I.其中>1齐次线性Jj程组AX=O与BX

50、=O同解,证明:A.的非等列与Be的非卷列的非寻列成比例，其中A”,IT分别是A,B的伴随矩阵.证明：sincer(A)=rB-n-so9r(A*)=r(LT)=Ibecause.AA=|x|E=0.RB*=BE=0n/V的列向量是AX=O的解，R的列向量是RX=O的附For,AX=O与B"0同解改a是A，的非零列，"是IT的非零列=a=k4匕(15)设Gr是n维欧式空间V的线性变换,对任意a,夕wV,都有(o(a),万)=(a.),证明:。的核等于的值域的正交补证明：Vagkero,so,a(a)二0=(a,r(/7)=93,0)=(0,0)=0na£d(V)n

51、kesurL(V)(I)"w-(V),=(人六夕)=0=>(b(/9,B)=(B，r(/)=0=>0-(/)=0=>/gkorcr,=-Mukerb(2)According()and(2)WeC(inSeer1(V)=kera八(15)设M是数域尸上的阶方阵(>1)J(x),g(x)P。且(/屈幻)=IA=/(M),B=g(M),W,%W2分别是方程组=0,AX=0,BX=0W解空间,证明:c.ill明:£叱。26Aat=0二>/(M)a=0=A8%=/(M)g(M)Q|二g(A，)/(M)q=0n«卬=叱uW1I同样W2±

52、W=W+%uW(2)because.(f(a),(a)=,so,3m(x).v(a)ePxu(a)/(a)-t-v(.v)x(v>-1=>u(M)f(M)-t-v(.W)g(.V)-EVaeWjcl%,Aa-0,Ba=0.=f(M)a=O.g(M)a-0=)十v(Af)g(M)a=Eana=0=0(3)since,W,4-W2Wso,dim(W1+W?)Mdim(W)Also'iCW2=0=>dim(W1+W2)=dim(W,)+dirn(W2)=>dim(W,)+dim(W2)<dim(W)(1)Still.rA)+r(H)<+r(AH)=>

53、ndim(Wl)+ndim(W2)<ti+n-dim(VV)=dimCWj)-bdim(W2)>dim(W)(2)尸(l)<7(2)9dim(W1)+dim(W2)=dim(W)a1so,WjcW2=0=W】cW2=0九。0)设U是数域P上的n维线性空间，67是V的线性变换，。有“个互异的特征值，证明：可交换的充分必要条件是"是E.G的线性组合，其中E是恒等变换.证明：=>因为ro=g设2是HTJ个互异的特征值，a是属于7的特征向垃则a也是加勺特征向量(事实上，对于每个%"=1、2)有6r(q)=s(a)=9(6)=了93)=7«?)=，7

54、(。)从而r(a,)wQ，由于4互异,所以di(以)=l,(i=L2jt)故a也是丁的特征向量)从而w匕使«%)(，=1,2m)于是有Ha1,4zr,)=(«1，«.a.)".、4,M',、.、“2r(a”4,4)=(a02zrj.工1+4工2+4*u考虑方程组+2.(I)ATX3乙144尸由干系数行列式I4石上n(4-4什0(4互异)1400I4V则方程组有唯一解.设为(apaaj则+4勺+4.=,，(：=1.2n)即(劣+4"1+，"%,)氏=匕«得(al£+a2a(a/)+。歹押共/):r<aj

55、由于%,%”是V的一组基，因此r=a声+"y<a,)+a)所以Z是E,6/,的线性组合1.(20)求下列极限limF7F,(0<aOFife解，因为折被"+""«折7而lim炳二lim廊?二人,iocrr->®因此limM"十七”=b(2)lim(-其中/，(a)xojg)存在f(x)-f(a)(x-a)f(a)解：由于/'()=0J"(a)存在，从而f(x)=f(a)+f，(a)(x-a)+f"(a)U-+o(x-a)?)lim(一；卜1而("-吸f(x)-f(d)(

56、x-dfd)J*(f(x)-fiaTix-d)f(a)(a)(x-a)+r(a)：)+o(/-4)=lim(J(a-<z)/'©(a)(x-a)2")"bo(»-4)?)-r(a)"")+0(1-0)2)=lim5(x-a)/'()(f'(a)(x-a)*f*(a)"+(x-a)2)28)2l7W=lirn，fW)+F(a)?+o(x-)2州涉在向上可做，由（油每一个零点都是简单零点,即若/（引=0则（七）工0.证明：/（I）在0川上只有有限个零点.证明：设若不加U）在0,1上有无穷多个零点，不妨设%忙0.修尸0旌1,2?则存在kJ的一个子列、